0 引　言

随着现代电子战电磁环境越来越复杂，宽带数字信道化接收机以其宽处理带宽、高灵敏度、大动态范围、同时多信号处理能力等特点受到学者们的广泛关注。短时傅里叶变换（STFT）和多相滤波是常见的数字信道化实现工具^[1-3]，其中STFT相对算法简单，计算量小，消耗的硬件资源更少。考虑对低截获概率信号的侦收，子信道带宽不能太窄，信道数不能盲目增加，为了进一步提高检测灵敏度，对于子信道数据，采用自相关累加检测，能够以较小的计算量换取较大的灵敏度提升，实时性好，易于工程实现，因此大量学者对自相关检测和其参数测量展开研究^[4-6]，而频率作为信号分析的一项基本参数，提高其测量精度具有重要意义。王国华等^[7]研究了信道化接收机瞬时自相关测频法，选取合适的相关延迟点，就可以通过瞬时自相关函数的相位获得信号的无模糊频率。周成群^[8]研究了在STFT数字信道化接收机中，瞬时自相关测频改进算法。该算法利用多条延迟线提高测频精度，但是增加了多组乘法计算。

对于存在数据重叠的滑动STFT接收机，为了得到子信道自相关函数的无模糊相位，一般采用单点延迟自相关。由于滑动过程存在数据重叠，同一子信道相邻两个时刻噪声数据存在相关性，将导致自相关相位估计不准，从而导致测频误差，针对这种情况的相关研究较少。本文研究数据重叠STFT的子信道自相关函数，基于噪声部分的自相关均值不为0，提出一种相位校正方法，利用噪声功率校正相位，从而降低测频误差。

1 自相关测频

假设带噪声的单频信号等间隔时间采样可以表示为：

$ s(i) = A{e^{j2 \text{π} fi/{f_s}}} + n(i) 。$

(1)

其中： $ i $ 为采样时刻； $ A $ 为信号幅度； $ f $ 为信号频率； $ {f_s} $ 为采样率； $ n(i) $ 为高斯白噪声。其自相关函数 $ {R_{ss}} $ 为：

$ \begin{split} {R_{ss}} = &\frac{1}{L}\sum\limits_{i = 0}^{L - 1} {s(i + d){s^ * }(i)} = \\ & {A^2}{e^{j2 \text{π} fd/{f_s}}} + \frac{1}{L}\sum\limits_{i = 0}^{L - 1} {{e^{j2 \text{π} f(i + d)/{f_s}}}{n^ * }(i)} + \\ &\frac{1}{L}\sum\limits_{i = 0}^{L - 1} {{e^{ - j2 \text{π} fi/{f_s}}}n(i + d)} + \frac{1}{L}\sum\limits_{i = 0}^{L - 1} {n(i + d){n^ * }(i)} 。\end{split} $

(2)

其中： $ d $ 为自相关延迟点数； $ L $ 为自相关积累长度。

记 $ {R_{xx}} = {A^2}{e^{j2 \text{π} fd/{f_s}}} $ ，考虑信号与噪声相互独立，当 $ L $ 较大时，由中心极限定理，可知式(2)的后3部分近似服从均值为0的正态分布， $ {R_{ss}} $ 为 $ {R_{xx}} $ 的渐近无偏估计，则有：

$ {\phi _{xx}} = 2\pi fd/{f_s} \approx \arctan \Bigg(\frac{{imag({R_{ss}})}}{{real({R_{ss}})}}\Bigg)。$

(3)

显然，可以通过式(3)计算信号频率。

对于延迟点数 $ d $ 的选择，为保证 $ {\phi _{xx}} $ 无模糊，必须满足以下条件：

$ \left| {\frac{{2\text{π} fd}}{{{f_s}}}} \right| \leqslant \frac{\text{π} }{2}。$

(4)

2 信道化接收机的自相关测频 2.1 基于STFT信道化接收机的单点延迟自相关

对于时间序列s(0), ···, s(q), ···, s(q+1), ···, s(q+N), ···，其标准N点STFT为：

$ {S^m}(q) = \sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {s(i + q)w(i){e^{ - j2 \text{π} (i + q)m/N}}} 。$

(5)

其中： $ N $ 为FFT点数，即划分的子信道数； $ m $ 为子信道索引， $ q $ 为信道化输出时刻； $ w(i) $ 为长度为 $ N $ 的窗函数； $ s(q) $ ， $ s(q + 1) $ ， $ ... $ ， $ s(q + N - 1) $ 为 $ q $ 时刻信道化数据输入； $ {S^m}(q) $ 为第 $ m $ 个子信道 $ q $ 时刻的输出。

时间序列滑动 $ D $ 点，再次进行FFT，此时第 $ m $ 个子信道的输出为：

$ {S^m}(q + D) = \sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {s(i + D + q)w(i){e^{ - j2 \text{π} (i + D + q)m/N}}} 。$

(6)

时间序列滑动 $ D $ 点，相当于抽取 $ D $ 倍，子信道采样率降低至 $ {{{f_s}} / D} $ ，而子信道频率范围为 $ \left[ { - \dfrac{{{f_s}}}{{2N}},\dfrac{{{f_s}}}{{2N}}} \right) $ ，由式(4)可知，延迟点数必须满足 $ d \leqslant \dfrac{N}{{2D}} $ 。

STFT数据重叠率对接收机的时间分辨率、最小脉冲处理能力及运算速度都有影响^[9]，综合考虑以上因素，一般选择50%的数据重叠率，即 $ D = {N \mathord{\left/ {\vphantom {N 2}} \right. } 2} $ ，那么子信道相关延迟点数 $ d $ 只能为1，即单延迟自相关才能得到无模糊相位。

将式(1)代入式(5)和式(6)，滑动 $ {N \mathord{\left/ {\vphantom {N 2}} \right. } 2} $ 点，第 $ m $ 个子信道的单延迟自相关函数可以表示为：

$\begin{split} & R_{ss}^m = \frac{1}{L}\sum\limits_{q = 0}^{L - 1} {{S^m}(q + \frac{N}{2}){{({S^m}(q))}^ * }} = \\ & \qquad \;{\kern 1pt} {A^2}{e^{jN \text{π} (\frac{f}{{{f_s}}} - \frac{m}{N})}}{\left| {\sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {w(i){e^{j\text{π} i(\frac{f}{{{f_s}}} - \frac{m}{N})}}} } \right|^2} +\\ & \quad \quad \frac{A}{L}\sum\limits_{q = 0}^{L - 1} \sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {w(i){e^{ - j2\text{π} \frac{f}{{{f_s}}}(i + q)}}} {e^{j2\text{π} (i + q)m/N}}\\ & \sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {n(i + \frac{N}{2} + q)} w(i){e^{ - j2\text{π} (i + \frac{N}{2} + q)m/N}} + \\ & \quad \quad \frac{A}{L}\sum\limits_{q = 0}^{L - 1} (\sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {w(i){e^{j2\text{π} \frac{f}{{{f_s}}}(i + \frac{N}{2} + q)}}} {e^{ - j2\text{π} (i + \frac{N}{2} + q)m/N}}\\ & \sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {{n^*}(i + q)} w(i){e^{j2\text{π} (i + q)m/N}}) +\\ & \quad \quad \frac{1}{L}\sum\limits_{q = 0}^{L - 1} (\sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {n(i + \frac{N}{2} + q)} w(i){e^{j2\text{π} (i + \frac{N}{2} + q)m/N}}\\ & \sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {{n^ * }(i + q)} w(i){e^{ - j2\text{π} (i + q)m/N}}) 。\end{split} $

(7)

2.2 频率计算及校正算法

按照传统的频率估计方法，仅考虑式(7)的第1部分（记为 $ R_{xx}^m $ ），认为其他3项近似为均值为0的高斯随机变量，所以 $ R_{ss}^m $ 的相位 $ \phi _{ss}^m $ 可以作为 $ R_{xx}^m $ 的相位的估计 $ \hat \phi _{xx}^m $ ，可以通过 $ {\phi _{Rc}} $ 估计出信号频率 $ \hat f $ ，参考下式：

$ \hat \phi _{xx}^m = N \text{π} \Bigg(\frac{{\hat f}}{{{f_s}}} - \frac{m}{N}\Bigg) = \phi _{ss}^m 。$

(8)

信号与噪声相互独立，式(2)的中间两部分仍近似服从均值为0的正态分布，但式(7)中第4部分数据并非完全独立，其均值不为0。将式(7)第4部分记为 $ E(R_{nn}^m) $ ，那么有

$ E(R_{nn}^m) = E\{ {\left| {n(i)} \right|^2}\} \sum\limits_{i = 0}^{N/2 - 1} {w(i)w\Bigg(i + \frac{N}{2}\Bigg)}。$

(9)

其中： $ E\{ {\left| {n(i)} \right|^2}\} $ 为噪声功率。令 $ R_{ss}^m = X_{ss}^m + iY_{ss}^m $ ， $ R_{xx}^m = X_{xx}^m + iY_{xx}^m $ ，显然， $ E(R_{nn}^m) $ 不为0，会对 $ X_{xx}^m $ 造成固定偏差，将对最终测相结果造成影响。计算相位时，可以用 $ X_{ss}^m - E(R_{nn}^m) $ 替代 $ X_{xx}^m $ ，如式(10)，将降低测相误差，即降低测频误差。

$ \hat \phi _{xx}^m = \arctan \Bigg(\frac{{Y_{xx}^m}}{{X_{xx}^m}}\Bigg) = \arctan \Bigg(\frac{{Y_{ss}^m}}{{X_{ss}^m - E(R_{nn}^m)}}\Bigg) 。$

(10)

3 仿真实验

对于单个子信道相关积累后的结果，按照式(10)对其实部进行校正后计算得到校正后的相位估计值 $ \hat \phi _{xx}^m $ ，再通过式(8)即可计算出校正后的信号频率。对该算法进行仿真验证，仿真采用的信号参数见表1。

校正前频率测量结果如图1所示，可以看出，均值误差接近3.1 MHz。

由于窗函数为矩形窗，实部的校正量为 $ \dfrac{N}{2}E\{ {\left| {n(i)} \right|^2}\} $ ，校正前校正后测频结果对比如图2所示。可以看出，校正后，频率测量值均值更接近真实频率。

测频结果的均值误差及均方根误差对比见表2，可以看出校正后，均值误差和均方根误差均有减少。

按步进2dB逐步提高SNR，其余仿真条件不变，校正前后的均值误差如图3所示，均方根误差如图4所示。可见信号功率越低（即信噪比越低），校正效果越明显。

将频率 $ f $ (MHz)从3942 MHz逐步增加至4048 MHz，步进2 MHz，其余仿真条件不变，校正的效果如图5和图6所示。可以看出，校正前，子信道边界处测频误差较大，通过校正可以明显地降低均值和均方根误差，尤其在子信道边界处。

4 结　语

针对50%数据重叠的STFT信道化接收机，子信道单延迟自相关积累后，其相位受噪声数据相关性的影响，出现偏差，导致测频误差的问题，提出一种校正方法。该方法推导出部分重叠的噪声数据自相关后的均值，并且能够利用噪声功率对相位测量值进行校正，从而提高相位测量精度和频率测量精度，尤其在低信噪比情况下和子信道边界处，校正效果显著，仿真实验验证了该方法的有效性。对于单个子信道，仅增加了一次加法运算，计算复杂度很小，为以后工程化应用提供了一种可行性参考。