0 引　言

优化设计思想很早就有学者提出，早在20世纪60年代，优化设计方法就被一些学者应用于机械、飞机制造、船舶工业等领域。1986年，Moe等^[1-2]阐述了关于运输船甲板的优化计算方法，并第一次在船舶结构领域应用了数学规划理论。这项研究成果标志着船舶结构设计进入了优化思想阶段^[3-4]。随着半个世纪的发展，针对舱口形状等局部结构的尺寸优化和拓扑设计已经较为成熟^[5-6]。Michael^[7]对船体的早期阶段设计优化进行了研究，表明在早期阶段考虑船体的优化可最高节约15%的建造成本。2012年，Ling Cao^[8]提出了一种新型拓扑优化算法，并成功应用于船体的横梁剖面。几何优化的基本思想是以材料分布作为优化变量，基于优化对象设定约束条件，然后通过特定算法，找到最优的分布方案^[9-10]。目前，在连续假设基础上兴起的拓扑优化理论被广泛应用于航天工程、机械制造、汽车工业等领域，也被少量应用于船舶行业^[11-13]。但是，关于船舶构件拓扑与尺寸优化分析的实际应用非常少。

Masafumi 等^[6]研究了发动机振动下的船甲板拓扑优化问题，采用多尺度优化策略分析结构的振动控制，结果表明通过对船体甲板的拓扑形状进行优化，噪声平均可以减少8%。SÖĞÜT等^[14] 对船体的拓扑设计与能耗进行研究，结果表明优良的拓扑形状在正常航行状态下可节约5.7%的能耗。孙志军^[15]提出了一种基于拓扑优化技术进行船舶机舱发电机的抗振加固研究，结果表明在减少1.2 t重量的情况下，振动效应减少约6%。钦伦洋^[16]应用变密度法拓扑优化理论，采用Ansys Workbench对设计区域进行优化计算，并研究了船舶结构的轻量化问题，结果表明在不降低结构强度前提下，船体舱壁的结构用材料最高可减少到原来的50%。张会新^[17]利用拓扑优化方法对船体的振动特性、声学性能进行评估，结果表明在不改变声学约束的情况下，船体振动性能改善有限，但是优化后的重量可减少16%。吴贝尼^[18]以船体横剖面为研究对象，研究了多种插值函数的效能，并编程实现了拓扑优化。结果表明，G-BESO方法最为有效，效能最高。

本文在大型集装箱船设计初始时假定中横剖面为矩形板壳结构，然后计算其优化结果。探讨结构形状以及拓扑优化方法在船舶领域中的应用前景，并根据实际工程需要及限制条件，给出了优化模型和优化对象的具体拓扑形状。

1 船体板架结构力学分析模型

某大型箱船结构构件主要包括外甲板、纵骨和横舱壁以及相关附属结构。大型箱船船体外围尺寸和主要设计尺寸如表1所示。

本计算采用的箱船坐标系统定义如下：船长为X轴，方向为船行进方向相反；型深方向为Z轴，正方向与重力方向相反；甲板船宽方向为Y轴，正方向由右手坐标系决定。计算模型选取则综合考虑了计算量与简化模型精度的平衡。在实际计算时，在X方向选取了6个舱段长度，6个舱段可以充分隔离中横隔剖面边界效应的影响。而在船宽方向选取5个纵骨间距，这样优化结果基本上与边界效应无关。计算几何模型尺寸为：标准纵骨之间距离为0.75 m；标准舱室间距为4.5 m；纵骨腹板厚为12.5 mm；外甲板厚度为17 mm而横舱壁厚为12.5 m。在甲板层，纵骨面板厚度为36 mm，大肘板厚度为12 mm而小肘板厚8 mm，扶强材厚10 mm，某超大型箱船横隔舱布置如图1所示。

计算箱船用材料为普通钢，其力学特性参数如表2所示。在计算中采用弹性方法进行计算，不考虑材料的塑性性能。

2 重量目标下船体板架尺寸和形状 2.1 变密度优化方法

将优化对象的密度设定为设计变量，并将其值限定在[0,1]之间。其中：0表明材料为空；1表明材料为真实保留。同时，将材料本身的物理属性与单元密度之间按某种函数关系相联系。这样，把真实结构的拓扑优化问题转化为材料密度分布的数学问题。具体公式如下：

$ \begin{split} \rho=&\left[\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}, \cdots, \rho_{n}\right]^{{\rm{T}}}, \rho_{\min } \leqslant \rho_{i} \leqslant 1.0 ，\\& { Mimimize }\left(\rho_{i} \cdot s_{i}\right)，\\& {\rm{subject}}\; {\rm{to}}:\sigma_{i}<\sigma_{s}。\end{split}$

(1)

式中： $\ \rho_{i} $ 为单元相对密度，取值在[0,1]之间。当 $ \ \rho_{i} $ =0时，结构刚度容易出现奇异问题而导致无法求解。一般地，取 $ \ \rho_{i} $ = $\ \rho_{\min }>0 $ 近似当作0来处理， $\ \rho_{{\min }} $ 可取0.01。当 $ \ \rho_{i} $ = $ \ \rho_{{\min }} $ 时，表明此时材料单元可删除；当 $\ \rho_{i} $ =1.0时，表明此时单元必须保留；当 $ 0<\rho_{i}<1 $ 时，单元的存留需另行判断。

由上述计算过程可知，在优化结束后，单元密度为0或1最好，为了实现这种目的，在变密度法引入了罚函数，即在迭代计算中对单元密度乘以常罚函数，使单元密度趋向于0或1。如图2所示，惩罚因子为2时，迭代次数与材料密度分布关系图。实际上，这种函数是在迭代时使得中间密度向0与1状态两侧靠近，迭代次数越多，处于中间值（ $ 0<\rho_{i}<1 $ ）的密度单元则越少，从而拓扑优化模型则越接近于0～1状态。

约束条件方面，在弹性设计分析时，一般取在满足结构刚度的条件下，使所有的单元应力值满足 $ \sigma_{i}<\sigma_{s} $ ， $ \sigma_{s} $ 为材料允许应力，即船体所有位置应力均不超过材料的设计强度值。

2.2 结构计算模型

本计算的目标是确保满足应力约束条件下（结构最大应力不超过材料屈服强度）使得结构重量最小，从而实现最优化的经济效益。位移和载荷边界条件如下：

1）载荷工况

板架结构所承受的外荷载主要包括结构自重、水体浮力以及弯矩。由于船舶上建部分在有限元模型中没有体现，因此以荷载的形式加载到横隔板上部；船轴方向的总纵弯曲取200 kN·m，分别加载到横隔板上；水压力取水线在20 m位置，加载图3所示。

2）边界条件

船体在水中漂浮时重力与水浮力平衡，实际上没有固定约束。为了在有限元中能够进行分析（为约束刚体位移），采取了“弱弹簧”技术进行处理，弹簧刚度取1E-6 N/m。在实际计算中，读取弱弹簧的反作用力，取实际作用力的1/1000以下作为依据。

船舶设计经济化是最自然的目标，即使船体结构质量最小为优化目标函数。本计算采用Ansys Workbench软件进行拓扑优化计算。单元尺寸取0.3 m，四边形网格为主，共有116 134个结点，122 426个网格。网格质量分布如图4所示。可以看出，网格质量较好，有限元计算结果可信。优化分析采用如下约束条件进行计算：①结构的最大等效应力不大于材料的屈服强度，即结构应力不大于215 MPa；②中横隔板的几何形状约束，确保优化后横隔板几何形状对称，即中横隔板符合生产和施工工艺的要求。

3 优化过程

在开始优化过程之前，首先对箱船结构进行静力分析，这样对船体结构的力学状态有初步了解，同时也可对优化结果有初步预判。

3.1 静力分析

在优化计算前，首先对板架结构进行静力分析，其典型等效应力如图5所示。可以看出，结构大部分区域的等效应力值均小于203 MPa。此外，应力最大值出现在中横剖面下部左下、与右下位置，中间部分应力较小。由此可见，中间部分结构所用材料并没有得到充分利用，有较大的减重潜力。可看出，约束条件为满足强度条件时，可有更好的空间材料分布。利用 Ansys Workbench Topology 模块对构件进行拓扑优化分析。

3.2 迭代过程

结构经过优化后，变密度法过程最大密度一直在1.0，但是最小密度则由1.0趋向于0，迭代过程如图6所示。经过大约10个迭代，最小密度约为0.1，然后随着迭代的深入，最小密度缓慢趋向于0。实际上，本文提供的案例在20个迭代之后就已经可以获得较为满意的结果，在一般情况下，结果是否可以接受取决于模型的复杂程度。

3.3 优化结果

最终优化结果如图7所示。可以看出，绝大部分密度是1.0，在密度小于0.4的材料单元，软件自动把它去除。根据拓扑优化结果，图中横隔板与原来面积相比减少约18%。另外，为了加工方面，两侧小块去除的部分一般仍然保留。

3.4 优化后受力结果

对优化后的构型进行静力分析，边界条件与荷载条件与优化之前相同。图8为优化后区域的等效应力云图。可知，构型最大应力为206 MPa，与优化前的应力相比较，只增加了约1.5%，优化效果非常显著。

4 结　语

本文采用变密度优化算法，对某大型箱船横隔板进行了结构拓扑优化，得出最终的拓扑优化结果。研究结果表明，在指定应力强度的约束条件（最大应力不超过材料强度）以及结构质量最小的目标函数下，船舶横隔板板架拓扑结构在优化后质量可减小18%，而最大应力却只增加了1.5%。说明本文的变密度拓扑优化方法可以为船舶设计提供优化依据。本文的研究结果也可为类似结构件的设计提供方法借鉴。