0 引　言

潜射弹道导弹通常采用平台式惯性导航系统，其初始对准的方式与捷联式惯性导航系统不同，通常采用先平台调平再方位对准的方式进行。当前，传递对准技术研究主要针对捷联式惯性导航系统，对于平台式惯性导航系统的传递对准算法研究较少。

与航空运载平台相比，潜艇机动能力有限，速度、位置和姿态等运动参数的变化率较小。受海流和风浪等因素的影响，艇体可能存在较大变形角^[1,2]，从而影响传递对准精度。针对潜艇航行时运动参数变化速率慢、变化范围小的特点^[3]，分析传递对准模型，研究适用于潜射弹道导弹传递对准匹配算法，并结合潜艇航行试验数据，分析有利于进行传递对准的运动方式，为潜射弹道导弹传递对准技术的发展提供参考。

1 传递对准模型

在潜射弹道导弹中，初始对准通过水平调整（简称调平）和方位对准来实现。惯性平台的方位对准是指在惯性平台调平后，将惯性测量坐标系O_nX_n轴向发射坐标系的O_gX_g轴的对准过程。在进行瞄准时主、子惯导之间存在失准角。主、子惯导对载体运动参数测量的输出值就会存在差值，这些差值能不同程度地反映出失准角的大小，从而可利用这些差值估计主、子惯导之间的失准角。

在进行平台方位对准时，需先确定射击方位OX_g和平台坐标系OX_ps方位之间的夹角 $ \delta $ ，设子惯导平台OX_pm轴与主惯导平台OX_pm的失准角为 $ \gamma $ ，如图1所示。

可得关系式

$ \delta = {A_g} - \gamma。$

(1)

从而只要求得子惯导与主惯导之间的失准角 $ \gamma $ ，即可实现导弹方位对准。当主、子惯导存在一定的方位失准角时，主、子惯导上输出的速度及姿态信息等都会出现偏差。失准角估计的精度主要与系统的可观测度有关，而可观测度主要与匹配方式和载体的机动方式有关。需充分考虑潜艇运动特点和艇上环境条件，合理选择匹配方式，并操纵潜艇进行有效的机动，即可使失准角的估计达到一定的精度。

1.1 系统的状态变量

由于平台式惯性导航系统采用实际物理平台，加速度计输入轴与平台坐标系轴线平行，速度误差信息反映了两平台失准角，因此可采用速度匹配折方式；载体的姿态角由框架轴上的姿态角传感器输出，无法直接提供载体角速度，因而在传递对准过程中可采用姿态角匹配的方式。

1）速度误差

主惯性与子惯导的速度误差模型可表示为：

$ \delta \dot v = {{\boldsymbol{\phi}} _ {\boldsymbol{\times}} }\dot W_s^s + (2\omega _{ie}^n + \omega _{en}^n) \times \delta v 。$

(2)

式中： $ \delta v = {[\delta {v_x},\delta {v_y},\delta {v_z}]^{\text{T}}} $ 为速度误差； $ \phi = {[{\phi _x},{\phi _y},{\phi _z}]^{\text{T}}} $ 为子惯导平台失准角； ${{\boldsymbol{\phi}} _ {\boldsymbol{\times }}}$ 为子惯导失准角对应的反对称矩阵。

2）框架角误差

设主惯导框架坐标系与子惯导框架坐标系间的转换矩阵为 ${\boldsymbol{C}}_{\boldsymbol{m}}^{\boldsymbol{s}}$ ，载体运动角速度为 $ {\omega _z} = [{\omega _{zx}},{\omega _{zy}},{\omega _{zz}}] $ ，可得主惯导与子惯导之间框架角输出的误差为：

$ \delta u = {{\boldsymbol{\phi}} _ {\boldsymbol{\times}} }{\omega _z} + \left( {I - {\boldsymbol{C}}_{\boldsymbol{m}}^{\boldsymbol{s}}} \right){\omega _z} 。$

(3)

1.2 传递对准匹配模型

1）速度匹配方程

主惯性输出的速度信息为 $ {v_m} = {[{v_{mx}},{v_{my}},{v_{mz}}]^{\text{T}}} $ ，子惯导输出的速度为 $ {v_s} = {[{v_{sx}},{v_{sy}},{v_{sz}}]^{\text{T}}} $ ，则速度匹配方程为：

$ \delta v = {v_s} - {v_m} + {\varepsilon _v}。$

(4)

式中， $ {\varepsilon _v} = {[{\varepsilon _{vx}},{\varepsilon _{vy}},{\varepsilon _{vz}}]^{\text{T}}} $ 为速度测量噪声。

2）框架角匹配方程

主惯导测得的框架角为 $ {u_m} = {[{u_{mx}},{u_{my}},{u_{mz}}]^{\text{T}}} $ ，子惯导测得的框架角为 $ {u_s} = {[{u_{sx}},{u_{sy}},{u_{sz}}]^{\text{T}}} $ ，则框架角匹配方程可表示为：

$ \delta u = {u_s} - C_m^s{v_m} + {\varepsilon _u} 。$

(5)

式中， $ {\varepsilon _u} = {[{\varepsilon _{ux}},{\varepsilon _{uy}},{\varepsilon _{uz}}]^{\text{T}}} $ 为框架角测量噪声。

由于潜艇在水下机动能力有限，结合速度匹配、姿态匹配的方法，采用速度+框架角的匹配方式，传递对准算法的状态量为：

$ X = [\delta v,\delta u,\phi ,{\varepsilon _v},{\varepsilon _u}]。$

(6)

在传递对准过程中采用速度+框架角匹配模型^[4-6]。系统状态方程为：

$ \dot X = FX + w 。$

(7)

采用“速度+框架角匹配”的传递对准方案，是用主惯导和子惯导的输出速度和框架角之差作为观测量。

$ \delta z = {[\delta {v_x},\delta {v_y},\delta {v_z},\delta {u_x},\delta {u_y},\delta {u_z}]^{\rm{T}}}，$

(8)

由此得到的量测方程为：

$ z = HX + \delta z。$

(9)

2 传递对准匹配算法 2.1 滤波算法分析

平方根滤波一方面可减小对计算机字长的要求，从而提高滤波的精度；另一方面可时刻保证 $ {\boldsymbol{P}}_{k-1}^{+} $ 的对称正定性，从而提高滤波的稳定性。H_∞滤波具有较好的鲁棒性，但由于H_∞滤波器对于干扰没有做任何假设，它必须适合于所有可能的干扰情况，因而其结果过于保守^[4]。

为了适应潜艇航行过程中运动参数变化率小的情形，在设计传递对准滤波器的设计时，希望滤波器同时具有平方根滤波和H_∞滤波的优点，即：滤波算法具有较好的鲁棒性；滤波算法能够尽快收敛，减少滤波时间；能够给出最优的状态估计，提高状态估计的精度。为此本文提出一种平方根/H_∞混合滤波方法。

在平方根滤波中，状态更新方程为^[7-9]：

$ \hat X_{k + 1\_2}^{} = {F_k}{\hat X_{k\_2}} + {F_k}{K_{k\_2}}({Z_k} - {H_k}\hat X_{k\_2}^{})。$

(10)

在H_∞滤波中，状态更新方程为^[10]：

$ \hat X_{k + 1\_\infty }^{} = {F_k}{\hat X_{k\_\infty }} + {F_k}{K_{k\_\infty }}({Z_k} - {H_k}\hat X_{k\_\infty }^{})。$

(11)

2种滤波算法的状态更新方程在此形式上相同，本质区别在于增益矩阵的计算方式及每次测量更新得到的值不同。

在平方根滤波的增益矩阵为：

$ K_{k\_2}^{} = a{S_k}\phi 。$

(12)

在H_∞滤波的增益矩阵为：

$ {K_{k\_\infty }} = {P_k}{\left[ {I - \theta {{\bar S}_k}{P_k} + H_k^{\text{T}}R_k^{ - 1}{H_k}{P_k}} \right]^{ - 1}}H_k^{\text{T}}R_k^{ - 1}。$

(13)

同时，与增益矩阵相对应的估计均方误差也不相同。在平方根滤波中估计均方误差为 $ P_{k\_2}^{} $ ，而在H_∞滤波中估计均方误差为 $ P_{k\_\infty }^{} $ 。对于 $ P_{k\_2}^{} $ 和 $ P_{k\_\infty }^{} $ 而言均为对称正定矩阵，可用矩阵的迹来表征其滤波的精度。

2.2 平方根/H_∞混合滤波器

设平方根滤波器估计均方误差的迹为 $ {tr} ({P_{k\_2}}) $ ，H_∞滤波的估计均方误差的迹为 $ {tr} ({P_{k\_\infty }}) $ 。为了更好地融合平方根滤波和H_∞滤波的优点，构造一种平方根/H_∞混合滤波器。在平方根/H_∞混合滤波器中构造如下增益矩阵：

$\begin{aligned} & {K_{k\_2/\infty }} = \\ & \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{tr{p_2}}}{{tr{p_\infty } + tr{p_2}}}{K_{k\_2}} + \dfrac{{tr{p_\infty }}}{{tr{p_\infty } + tr{p_2}}}{K_{k\_\infty }}}，\\{tr{p_\infty } \leqslant tr{p_2}} ，\\ {\dfrac{1}{{1 + tr{p_2} - tr{{p'}_2}}}{K_{k\_2}} + \dfrac{{tr{p_2} - tr{{p'}_2}}}{{1 + tr{p_2} - tr{{p'}_2}}}{K_{k\_\infty }}}，\\{tr{p_\infty } > tr{p_2}}。\end{array}} \right. \end{aligned}$

(14)

式中： $ tr{p_2} = \displaystyle\sum\limits_{i = 0}^3 {{tr} \left( {{P_{k - i\_2}}} \right)} $ 为平方根滤波中 $ k $ 、 $ k - 1 $ 、 $ k - 2 $ 、 $ k - 3 $ 时刻估计均方误差的迹之和； $tr{p'_2} = \displaystyle\sum\limits_{i = 4}^7 {{tr} \left( {{P_{k - i\_2}}} \right)}$ 为平方根滤波中 $ k - 4 $ 、 $ k - 5 $ 、 $ k - 6 $ 、 $ k - 7 $ 时刻估计均方误差的迹之和； $ tr{p_\infty } = \displaystyle\sum\limits_{i = 0}^3 {{tr} \left( {{P_{k - i\_\infty }}} \right)} $ 为H_∞滤波中 $ k $ 、 $ k - 1 $ 、 $ k - 2 $ 、 $ k - 3 $ 时刻估计均方误差的迹之和。

将得到的增益矩阵分别代入平方根滤波器和H_∞滤波中，并将其作为该滤波器的增益矩阵。从而可以得到一个修正后的平方根滤波器和一个修正后的H_∞滤波器，状态更新方程分别为：

$ \hat X_{k + 1\_2}^{} = {F_k}{\hat X_{k\_2}} + {F_k}{K_{k\_2/\infty }}({Z_k} - {H_k}\hat X_{k\_2}^{})，$

(15)

$ \hat X_{k + 1\_\infty }^{} = {F_k}{\hat X_{k\_\infty }} + {F_k}{K_{k\_2/\infty }}({Z_k} - {H_k}\hat X_{k\_\infty }^{})。$

(16)

在平方根/H_∞混合滤波器中，分别修正了平方根滤波器和H_∞滤波器中的状态估计值，但没有改变各自的估计均方误差等其他参数的值。因而平方根滤波器和H_∞滤波器中仍保留了各自信息，这保证了平方根滤波器和H_∞滤波器各自的性能。

3 潜艇机动方式 3.1 变速直航运动

变速直航运动可分为加速运动和减速运动，主要限制因素包括潜艇动力性能、海水阻力以及潜艇惯性等。为传递对准滤波算法提供的数据类型主要是速度。潜艇水下航行，考虑到隐蔽性因素和舵效和操艇安全问题，潜艇航速通常控制在某一区间内。在传递对准过程中，速度变化率的大小对于滤波估计的效果有明显影响。

在该变速直航运动中，经过500 s的加速，航行速度由2.65 m/s提高到3.03 m/s；航向角179.72°～180.43°变化区间为；横摇角变化区间为−0.34°～0.22°；纵摇角变化区间为−0.09°～0.57°。如图2和图3所示。

3.2 C形机动

转舵旋回时，艇体和舵力矩、流向螺旋桨的水流等条件发生改变，致使螺旋桨的推力发生变化，从而引起艇的航速变化。另一方面，艇在C形机动时，航向的变化会直接引起东向速度和北向速度的大范围变化。

在该C形机动中，航行速度变化区间为1.98～3.47 m/s；航向角由79.35°转至259.10°；横摇角变化区间为−0.04°～1.81°；纵摇角变化区间为−0.20°～0.69°。如图4和图5所示。

3.3 S形机动

S形机动可看成是由2个旋回方向相反的C形机动构成的。S形机动与C形机动的区别在于，潜艇在改变舵角的过程中侧向速度和横倾角会改变符号，对于提高系统的可观测性具有重要意义。

在该S形机动中，航行速度变化区间为2.10～5.16 m/s；航向角由328.40°转至143.18°再转至308.71°；横摇角变化区间为−9.22°～14.46°；纵摇角变化区间为−2.10°～2.27°。如图6和图7所示。

4 潜艇机动对传递对准的影响分析 4.1 变速直航运动时的传递对准

潜艇进行变速直航运动时，在500 s的时间内，航速由6 kn变化到11.6 kn。速度变化为传递对准提供了观测量。

通过仿真计算发现，采用变速直航运动时，采用平方根滤波算法、H_∞滤波算法和平方根/H_∞混合滤波算法进行传递对准，均未得到完全收敛的方位失准角估计结果，如图8所示。

4.2 C形机动时的传递对准

潜艇进行C形运动时，在400 s的时间内，航速变化范围为8.3～9.7 kn；航向变化量为278.4°。在机动过程中速度和航向的变化为传递对准提供了观测量。

通过仿真计算发现，采用C形机动时，采用平方根滤波算法时，在332 s方位失准角估计值收敛，方位失准角估计误差平均为−0.3′；采用H_∞滤波算法时，在214 s方位失准角估计值收敛，方位失准角估计误差平均为−0.8′；采用平方根/H_∞混合滤波算法时，在183 s方位失准角估计值收敛，方位失准角估计误差平均为−0.3′，如图9所示。

4.3 S形机动时的传递对准

潜艇进行S形运动时，在300 s的时间内，航速变化范围为8.2～9.3 kn；航向变化量为134.7°。在机动过程中速度和航向的变化为传递对准提供了观测量。

通过仿真计算发现，采用S形机动时，采用平方根滤波算法时，在165 s方位失准角估计值收敛，方位失准角估计误差平均为−0.4′，在237 s后，方位失准角估计值进一步稳定，误差平均−0.3′；采用H_∞滤波算法时，在145 s方位失准角估计值收敛，方位失准角估计误差平均为−0.6′，在250 s后，方位失准角估计误差平均值进一步减少为0.4′。采用平方根/H_∞混合滤波算法时，在159 s方位失准角估计值收敛，方位失准角估计误差平均为−0.3′，在255 s后，角估计误差平均值进一步减少为0.2′。

5 结　语

通过仿真分析，基于平方根/H_∞混合滤波的传递对准算法，其收敛速度优于平方根滤波算法，传递对准数度优于H_∞滤波算法，算法的鲁棒性和估计精度均优于平方根滤波算法和H_∞滤波算法。

采用变速直航机动方式进行对准时，算法收敛速度较慢，方位失准角较大；采用C形机动方式进行对准时，算法收敛速度中等，方位失准角估计比较准确；采用S形机动方式进行对准时，算法收敛速度较快，方位失准角估计比较准确。因此，为了提高传递对准的速度和精度应尽可能采用S形机动方式进行传递对准。