0 引　言

为了加强国防建设，知己知彼，分析对方的海军装备并对己方相关设备进行改进，显得尤为急迫且重要^[1-3]。美军近年来在海军新装备上取得了突破性进展，其中的“忠诚僚机”是由美国空军研究实验室在2015年提出的实验项目，可以提供高效、灵活的编队自主控制系统，尽早实现多型号协同编队飞行，旨在确保其可以在复杂对抗环境中占有先机。本文从材料学、声学以及流体力学等跨领域角度入手展开分析，对舰载无人机的外形更新升级带来一定的参考价值^[4-6]。

1 基于参数化设计临界折射纵波分析

如图1所示，超声波一般具有速射、传播、反射、波形转换等特性，所以当超声波从一种介质以一定角度倾斜射入另一介质中时，会发生超声波的反射、折射现象，甚至波形也可能会产生变化。

其中入射纵波与法线之间的夹角为入射角，记为α_L。这些反射角、折射角以及入射角与声波的波速之间满足snell定律：

$ \frac{{\sin {\alpha _L}}}{{{C_{L1}}}} = \frac{{\sin \alpha _L^{'}}}{{{C_{L1}}}} = \frac{{\sin \alpha _T^{'}}}{{{C_{T1}}}} = \frac{{\sin {\beta _L}}}{{{C_{L2}}}} = \frac{{\sin {\beta _T}}}{{{C_{T2}}}}。$

式中：C_L1和C_T1分别为介质Ⅰ中纵波的波速和横波的波速，C_L2和C_T2分别为介质Ⅱ中纵波的波速和横波的波速。

当入射纵波以某一角度从介质Ⅰ射入介质Ⅱ中使得折射角β_L等于90°，则称此时的入射角为第一临界角，此时的折射纵波会沿着介质在一定深度内进行传播，称该纵波为临界折射纵波，第一临界角可通过2个介质中的纵波波速求得：

$ {\alpha _L} = {\sin ^{ - 1}}\left(\frac{{C{}_{L1}}}{{C{}_{L2}}}\right)。$

2 基于参数化设计的性能测试 2.1 测试思路

本次设计是以Matlab为基础改变材料的参数研究舰载无人机的特性，按照5个步骤展开。

步骤1　根据Mason等效电路推导出来的解析式：

$ {K_{{s}}} = - \frac{{{{{n}}^2}}}{{{C_0}}} 。$

式中：K_s为弹簧软化系数，n为机电转换比，C₀为单位电容。

步骤2　根据Spring-mass模型推导出解析式：

$ {Z_{{m}}} = - {{j}} \times 2L\frac{{8L3\left( {T + P} \right) + 12{{{a}}^2}T\left( {1 - {\sigma ^2}} \right)}}{{3{{{a}}^4}\left( {1 - {\sigma ^2}} \right)\varpi }} + j\varpi 2\rho L 。$

可以得出：

$ {C_Z} = - \frac{{3{{a}^4}\left( {1 - {\sigma ^2}} \right)}}{{16{L^3}\left( {T + P} \right) + 12{{a}^2}T\left( {1 - {\sigma ^2}} \right)}} \text{，} $

$ {L_Z} = 2\rho L。$

式中： $Z_m$ 为薄膜抗阻， ${a} $ 为薄膜半径，ρ为薄膜密度，L为薄膜厚度，T为拉应力， ${\sigma } $ 为Y泊松比，C_z为等效电容，L_z为等效电感。

步骤3　计算吸合电压：

$ {V_{{{pi}}}} = \sqrt {\frac{{8{{g}}_{\text{0}}^{\text{3}}{{k}}}}{{27A{{{\varepsilon }}_{\text{0}}}}}} \text{。} $

式中：V_pi为吸合电压，A为电容的等效面积， $ {{g}}_{0} $ 为初始间隙，k为弹簧系数。

步骤4　得出谐振频率：

$ {\omega _0} = \frac{{2.95L}}{{{{{a}}^2}}}\sqrt {\frac{E}{{{\rho _P}\left( {1 - {\sigma ^2}} \right)}}} = \sqrt {\frac{{{{{k}}_{eq}}}}{{{{{m}}_{eq}}}}} \text{。} $

式中：w₀为谐振频率，L为薄膜厚度， ${a}$ 为薄膜半径，E为杨氏模量，ρ_P为薄膜密度， ${\sigma }$ 为泊松比， ${{k}}_{{e}{q}}$ 为弹簧系数， ${{m}}_{{e}{q}}$ 为等效质量。

步骤5　基于以上公式结果，使用Matlab软件，改变低应力氮化硅薄膜的舰载无人机的参数包括薄膜半径、厚度、空腔厚度、绝缘层厚度等，研究比较对CMUT的工作频率、吸合电压的影响。对同一参数的不同数值得到的结果进行比较，可以使舰载无人机达到性能最优化。

2.2 参数计算

在本次关于舰载无人机的外形设计上，为了可以提升其飞行性能，特采取了超声成像系统对其相关数据加以搜集，旨在提升其指向性。因此在关于舰载无人机阵列间距和声波的波长上，得出如下公式：

$ {{d}} \leqslant \frac{\lambda }{{1 + {\text{sin}}\left( {{\theta _{\text{s}}}} \right)}} \text{。} $

与此同时，为了更好地消除噪声对于舰载无人机的影响，对其进行优化，得出最大偏转角度：

$ {{dex}} \leqslant \frac{\lambda }{{1 + {\text{sin}}\left( {{\theta _{\text{s}}}} \right)}} \times \frac{{N - 1}}{N} \text{，} $

$ {\left( {{\theta _{\text{s}}}} \right)_{{\text{max}}}} = {\text{arcsin}}\left( {\frac{\lambda }{{{d}}} \times \frac{{N - 1}}{N} - 1} \right) \text{。} $

由此可见，适时增加阵元数目，除了可以减小主瓣宽度外，还可以抑制旁瓣能量对舰载无人机的影响。最终，假设距离为y=l0、20、30、40 cm时，进行信号的发射和接收，对其发射性能进行测试，设偏置电压为V_dc=20 V，交流电压频率为f=[100 kHz, 1000 kHz]，信号重复个数为5个。CMUT与标准舰载无人机之间的距离L=20 cm，对其信号质量进行测试，得出如表1所示的相关参数。

2.3 建立风速预测模型

借助风速预测，对舰载无人机外形进行测试，本文选取的是支持向量机（SVM）结合K-means聚类算法的混合模型。其中支持向量机是由非线性公式y(x)=f(xi)+ei给出，估计模型如下式：

$ y(x) = {w_t}\phi ({x_i}) + b + {e_i} \text{。} $

为了缩小误差，对重量向量函数w和偏差项b进行优化，得到：

$ {\text{min}}_{{w}\text{，}{b}\text{，}{e}}J（{w}\text{，}{e}）=1/2{w}_{t}w+v1/2{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{e}^{2}i} \text{，} $

其等式约束为：

$ {{{y}}_{{i}}} = {{{w}}_{{t}}}\psi \left( {{{{x}}_{{i}}}} \right) + {{b}} + {{{e}}_{{i}}} {，} $

在满足上式条件后，将拉格朗日乘数赋予，得到：

$ L\left( {w,b,e,a} \right) = J\left( {w,e} \right) - \sum\limits_{i = 1}^N {{\alpha _i}\left( {{w_t}\phi \left( {{x_i}} \right) + b + {e_i} - {y_i}} \right)} \text{。} $

经公式变换，消去w和e_i，进行线性化得到：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ y \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {yT} \\ {\varpi + 1/\gamma } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} b \\ a \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {{1_\vartheta }} \end{array}} \right] \text{。} $

基于以上结果，建立预测模型，并对整个训练数据进行刻画。为了让本次研究的参数更具参考性，将搜集的结果进行平均值处理。风速预测偏差量与X参数的相关性如图2所示。

3 基于参数化设计的姿态解析算法 3.1 开展姿态解算的意义

按照相关计算公式，对现有舰载无人机的相关数据进行搜集比对，并在现有较成熟的姿态解算算法中，围绕舰载无人机的角速度和加速度进行姿态算法分析，并对其磁力计加以矫正，以起到随时纠正的目的。

在本次研究中采用成本低廉的mems传感器。由于其噪声大，容易暴露，因此在材料上对其加以改进，对外界的磁场、重力、时间等参数进行充分考量，并将这些数据与材料学加以融合，由此提升舰载无人机的飞控姿态。

3.2 欧拉角和四元数分析

欧拉角公式广泛应用于多个独立角参数的处理。在航姿中把它们称作俯仰角、翻腾角和偏航角。人体坐标系与地理坐标系之间的夹角是飞机的姿态角，也称为欧拉角。

四元数在航姿中的意义为一个向量（x,y,z）绕角度θ旋转。故而，在关于方向余弦矩阵中，也将沿用前文思路，继续采取表示物体的姿态，得出载体坐标系转换到地理坐标系：

$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{11}}}&{{C_{12}}}&{{C_{13}}} \\ {{C_{21}}}&{{C_{22}}}&{{C_{23}}} \\ {{C_{31}}}&{{C_{32}}}&{{C_{33}}} \end{array}} \right|T*\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ b \\ c \end{array}} \right| \text{。} $

其中，向量（a,b,c）可以为3轴加速度数据。

3.3 Mahony互补滤波

向量积的定义：

$ {\text{a}} \times {\text{b}} = \left| {\text{a}} \right|\left| {\text{b}} \right|\cdot {\text{sin}}\theta \text{。} $

在这里θ为两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°）

将a向量与b向量做叉积，得到e向量（误差向量）：

$ ex = (ay \cdot vz - az\cdot vy)\text{，} $

$ ey = (az \cdot vx - ax \cdot vz)\text{，} $

$ ez = (ax \cdot vy - ay \cdot vx)\text{。} $

通过四元数微分方程（角速度与四元数的关系），将补偿修正过的角速度数据（g向量）转换成四元数，并将四元数归一化。

4 舰载无人机外形的数学模型构建

经前文分析可知，舰载无人机的运动模拟中，声波、风速都会导致舰载无人机相对距离、径向速度、角度等信息的变化以及多普勒频率的变化。故而在平移变换参数上，选取其平移变换矩阵方程为：

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_n}} \\ {{Y_n}} \\ {{Z_n}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_0}} \\ {{Y_0}} \\ {{Z_0}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_{0n}}} \\ {{Y_{0n}}} \\ {{Z_{0n}}} \end{array}} \right) \text{。} $

在旋转变换上，舰载无人机的中心保持在Z轴不动，OXY旋转，其旋转矩阵：

$ {T_2}\left( \alpha \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{cos}}\alpha }&{{\text{sin}}\alpha }&0 \\ { - {\text{sin}}\alpha }&{{\text{cos}}\alpha }&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right) \text{。} $

保持X轴不动，OYZ轴按照逆时针旋转，旋转的矩阵：

$ {T_x}\left( \beta \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\text{0}}&0 \\ 0&{{\text{cos}}\beta }&{\sin \beta } \\ 0&{{{ - }}\sin \beta }&{{\text{cos}}\beta } \end{array}} \right) \text{。} $

保持Y轴不动，OXZ轴按照逆时针旋转，旋转的矩阵：

$ {T_y}\left( \gamma \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{cos}}\gamma }&{\text{0}}&{{{ - }}\sin \gamma } \\ 0&1&0 \\ {\sin \gamma }&0&{{\text{cos}}\gamma } \end{array}} \right) \text{。} $

最终基于以上参数，计算出不同坐标系之间的旋转变换。

基于以上计算，可以得到翼展4 m，机身长2.8 m，整个机身空重只有4.5 kg的无人机模型。无人机速度误差曲线与航行距离之间的关系曲线如图3所示。整体趋向于流线型，降低了风的阻力，也降低了造价，总体机身以塑料、复合材料为主要材料，也有小部分为金属巩固。

5 结　语

为了提升舰载无人机的作战效能，增强其隐蔽性、生存性以及战术性，进而在理论上提升其攻击性及侦察功能。本文重点分析了舰载无人机的数学模型，着重对其气动外形的设计进行优化，从而可以获得更好的无人机外形，进一步提高其各方面的作战性能。