0 引　言

无人水下航行器（Unmanned Underwater Vehicle, UUV）作为深海探索强有力的工具，在智能水下检测^[1]、水下清洗^[2]等领域发挥着重要作用。通常，UUV可分为有缆水下航行器（Remote Operated Vehicle, ROV）和自主式水下航行器（Autonomous Underwater Vehicle, AUV）^[3]。前者大多为开架式结构，通过一根脐带缆与母船通信、供能，后者由于没有电缆，需要自带能源在水下工作，其工作时间受到能源的限制，因此需考虑回收、能源补给、通信等问题^[3]。

为了扩展UUV水下作业的能力，大型UUV携带多台小型AUV协同作业正成为一个重要的研究趋势。AUV在完成一定范围内的作业后，自动回收到作为搭载平台的UUV内。因此，AUV的回收控制是实现大型UUV对AUV的搭载和协同作业的关键技术之一。

高剑等^[4]研究了基于航路点的AUV回收控制问题，设计自适应滑模控制器，使得AUV沿着规划的航路点运动到回收器中。然而其仅考虑了固定回收站，且将AUV限制为水平运动。针对AUV移动回收站的回收控制问题，齐贝贝等^[5]设计了一种模型预测控制算法，对AUV添加状态约束、输入约束，基于模型设计预测控制器实现了AUV水平面内的回坞控制。针对AUV的回收路径控制，潘伟等^[6]通过将AUV的运动模型解耦，简化为水平模型、垂直模型，并分别设计模糊滑模、S面控制器，并对其进行了试验仿真验证。Ye等^[7]设计了基于视觉的AUV对接系统。其在对接站上安装LED灯，于AUV头部搭载双目摄像头，通过视觉定位方法完成了对AUV的引导。其设计的控制器通过模糊算法自适应调整，水池试验验证其对接成功率大于80%。

上述方法大多都仅考虑AUV的水平回收控制，亦或者回收站静止的情况，但在实际情况中，回收站通常是运动的，且与AUV不在同一个水平面上。因此本文在UUV运动的情况下，基于模型和反步法，设计一种三维运动跟踪控制，解决AUV的回收控制问题。与上述大多数路径跟踪问题不同，本文考虑的是AUV三维轨迹跟踪与母平台运动条件下的回收问题，所设计的控制器无需对AUV模型解耦。可用于解决超大型UUV在运动条件下对AUV的回收问题。

1 运动建模

在讨论AUV的运动学问题之前，为方便描述，建立固定坐标系 $ E - XYZ $ 和随体坐标系 $ B - xyz $ ，如图1所示。

考虑欠驱动AUV运动学模型如下：

$ \dot {\boldsymbol{\eta}} = {\boldsymbol{J}}({\boldsymbol{\eta}} ){\boldsymbol{\upsilon}}，$

(1)

$ {\boldsymbol{J}}({\boldsymbol{\eta}} ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{J}}_1}}&{\boldsymbol{O}} \\ {\boldsymbol{O}}&{{{\boldsymbol{J}}_2}} \end{array}} \right],{\dot {\boldsymbol{J}}_1} = {{\boldsymbol{J}}_1}{\boldsymbol{\upsilon}} _2^*,{\boldsymbol{\upsilon}} _2^* = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - r}&q \\ r&0&{ - p} \\ { - q}&p&0 \end{array}} \right] 。$

(2)

其中： ${\boldsymbol{\eta}} = [{{\boldsymbol{\eta}} _1};{{\boldsymbol{\eta}} _2}]$ , ${{\boldsymbol{\eta}} _1} = {[ X\; Y\; Z ]^{\rm{T}}}$ ， ${{\boldsymbol{\eta}} _2} = {\left[ \phi \;\theta \; \psi \right]^{\rm{T}}}$ 分别表示固定坐标系下的位置、欧拉角； $ v = [{\upsilon _1};{\upsilon _2}] $ , ${{\boldsymbol{\upsilon}} _1} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} u& v& w \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ ， ${{\boldsymbol{\upsilon}} _2} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} p& q& r \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ 分别为AUV在随体坐标系下的线速度、角速度； ${\boldsymbol{J}}({\boldsymbol{\eta}} )$ 表示由随体坐标系到固定坐标系的转换矩阵。考虑欠驱动AUV动力学模型如下：

$ {\boldsymbol{M}}\dot {\boldsymbol{v}} + {\boldsymbol{C}}({\boldsymbol{v}}){\boldsymbol{v}} + {\boldsymbol{D}}({\boldsymbol{v}}){\boldsymbol{v}} + {\boldsymbol{G}}({\boldsymbol{\eta}} ) + {{\boldsymbol{\tau}} _d} = {\boldsymbol{\tau}} 。$

(3)

其中： $ {\boldsymbol{M}} $ 为包括附加惯性力的质量矩阵； ${\boldsymbol{C}}({\boldsymbol{v}})$ 为科氏力矩阵； ${\boldsymbol{D}}({\boldsymbol{v}})$ 为水动力矩阵； ${\boldsymbol{G}}({\boldsymbol{\eta}} )$ 为重力、浮力和重力力矩、浮力力矩； $ {Z_B} $ 为浮心高度； $ G $ 为重力； ${{\boldsymbol{\tau}} _d}$ 为外界干扰； ${\boldsymbol{\tau}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _1}}& 0& 0& 0& {{\tau _5}}& {{\tau _6}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ 为控制力、力矩。上述矩阵的表达式具体请参考文献[8]。

2 回收策略

UUV搭载了水声定位装置、惯导、声学多普勒速度仪（DVL），考虑在其背部配备一个回收笼，上面安装LED灯阵列。AUV上搭载了水声定位装置、惯导、水下摄像头、DVL。水声定位装置、视觉定位可测得AUV相对于UUV的位置信息，视觉和惯导加DVL可获得AUV相对于UUV的欧拉角、速度以及角速度。假设UUV始终在水平面内作直线运动，速度恒定，考虑如下回收场景：

在即将开始进行回收工作时，以UUV竖直方向上海平面上的固定点为 $ E $ 点建立坐标系，如图2所示。其中， $ E - X $ 指向UUV前进的方向； $ E - Z $ 竖直向下； $ E - Y $ 与它们垂直；其余的定义类似于第1节中的定义。在该坐标系中，记AUV的位置为 ${{\boldsymbol{\eta}} _1} = {[\begin{array}{*{20}{c}} X\;Y\;Z \end{array}]^{\rm{T}}}$ ，UUV回收笼的位置为 ${{\boldsymbol{\eta}} _s} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_s}}\;{{y_s}}\;{{z_s}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ ，水声、视觉所返回的值为 ${{\boldsymbol{\eta}} _1} - {{\boldsymbol{\eta}} _s}$ 。记AUV的欧拉角为 ${{\boldsymbol{\eta}} _2} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \phi \;\theta \;\psi \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ ，可由惯导、视觉测得。由上述各定义以及分析可知，本文最终的控制目标是使 ${{\boldsymbol{\eta}} _1} - {{\boldsymbol{\eta}} _s}$ 逐渐收敛到0。

考虑到水声定位不够精确但应用范围广，而视觉定位精确却范围受限，本文提出如下的回收策略：

1)初对齐

首先定义期望目标点 ${{\boldsymbol{\eta}} _d} = {{\boldsymbol{\eta}} _s} - {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} d\;0\;0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ ，其中 $ d $ 为大于0的常数。根据上述定义可知， ${{\boldsymbol{\eta}} _d}$ 始终位于UUV后方并保持距离 $ d $ ，通常使 $ d $ 位于视觉算法的工作范围内。通过控制算法使得 ${{\boldsymbol{\eta}} _1} - {{\boldsymbol{\eta}} _d}$ 收敛到0，从而使AUV跟随UUV作直线运动并保持距离 $ d $ 。此时，AUV与UUV运动于同一条直线上，等待视觉算法成功定位后，进入第2阶段。

2)精确回收

进入精确回收阶段，此时期望目标点转变为 ${{\boldsymbol{\eta}} _d} = {{\boldsymbol{\eta}} _s}$ 。在视觉的精确定位下，控制算法使得 ${{\boldsymbol{\eta}} _1} - {{\boldsymbol{\eta}} _d}$ 收敛到0，完成回收作业。

3 控制器设计

针对欠驱动AUV的控制，基于反步法设计控制器^[8]。设期望轨迹为 ${{\boldsymbol{\eta}} _d}$ ，容许误差为 ${\boldsymbol{\rho}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \rho \;\; 0\;\;0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ ，其中 $ \rho $ 为大于0的常数，通常远小于AUV的长度，则AUV的轨迹跟踪误差为：

$ {{\boldsymbol{\eta }}_{1e}} = {{\boldsymbol{\eta}} _1} - {{\boldsymbol{\eta}} _d} ，$

(4)

$ {{\boldsymbol{e}}_\eta } = {\boldsymbol{J}}_1^{\rm{T}}{{\boldsymbol{\eta}} _{1e}} 。$

(5)

其中， $ {{\boldsymbol{\eta}} _{1e}} $ 和 $ {{\boldsymbol{e}}_\eta } $ 分别为固定坐标系和随体坐标系下的误差。定义：

$ {{\boldsymbol{z}}_1} = {{\boldsymbol{e}}_\eta } - {\boldsymbol{\rho}} ，$

(6)

对 $ {{\boldsymbol{z}}_1} $ 求导，结合式(2)、式(4)～式(6)可得：

$ {\dot {\boldsymbol{z}}_1} = - {\boldsymbol{\upsilon}} _2^*{{\boldsymbol{e}}_\eta } + {\boldsymbol{J}}_1^{\rm{T}}{\dot {\boldsymbol{\eta}} _{1e}} - \dot {\boldsymbol{\rho}}，$

(7)

结合式(5)～式(7)可得：

$ {\dot {\boldsymbol{z}}_1} = - {\boldsymbol{\upsilon}} _2^*{{\boldsymbol{z}}_1} + {\boldsymbol{P}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u}}&q&r \end{array}} \right]^{\rm{T}}} + {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&v&w \end{array}} \right]^{\rm{T}}} - {\boldsymbol{J}}_1^{\rm{T}}{\dot {\boldsymbol{\eta}} _d} - \dot {\boldsymbol{\rho}} 。$

(8)

其中：

$ {\boldsymbol{P}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&0&{ - \rho } \\ 0&\rho &0 \end{array}} \right] 。$

(9)

定义速度误差：

$ {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{v}}} _e} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_e}}&{{q_e}}&{{r_e}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {u - {u_d}}&{q - {q_d}}&{r - {r_d}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} 。$

(10)

设计期望速度：

${\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_d}}&{{q_d}}&{{r_d}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ ，

$ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_d}}&{{q_d}}&{{r_d}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = {{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}( - {\boldsymbol{K}}{{\boldsymbol{z}}_1} - {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&v&w \end{array}} \right]^{\rm{T}}} + {\boldsymbol{J}}_1^{\rm{T}}{\dot {\boldsymbol{\eta}} _d} + \dot {\boldsymbol{\rho}} ) ，$

(11)

则式(8)可化简为：

$ {\dot {\boldsymbol{z}}_1} = - {\boldsymbol{\upsilon}} _2^*{z_1} + {\boldsymbol{P}}{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{v}}} _e} - {\boldsymbol{K}}{{\boldsymbol{z}}_1}。$

(12)

设计李雅普诺夫函数为：

$ {V_1} = \frac{1}{2}{{\boldsymbol{z}}_1}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{z}}_1}，$

(13)

其导数为：

$ {\dot {\boldsymbol{V}}_1} = {{\boldsymbol{z}}_1}^{\rm{T}}(P{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{v}}} _e} - {\boldsymbol{K}}{{\boldsymbol{z}}_1}) 。$

(14)

观察式(14)可知，如果速度误差 $ {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{v}}} _e} $ 为0， $ {\dot {\boldsymbol{V}}_1} < 0 $ ， $ {{\boldsymbol{V}}_1} $ 稳定。因此接下来对速度误差进行分析。

令期望速度为：

$ {{\boldsymbol{v}}_d} = [\begin{array}{*{20}{c}} {{u_d}}&{{\alpha _2}}&{{\alpha _3}}&{{\alpha _4}}&{{q_d}}&{{r_d}} \end{array}]。$

(15)

其中： $ {u_d} $ 、 $ {q_d} $ 、 $ {r_d} $ 由式(15)给出， $ {\alpha _2} $ 、 $ {\alpha _3} $ 、 $ {\alpha _4} $ 为辅助量，无需考虑其具体值。

令

$ {{\boldsymbol{z}}_2} = {\boldsymbol{v}} - {{\boldsymbol{v}}_d} ，$

(16)

设计李雅普诺夫函数为：

$ {V_2} = \frac{1}{2}{{\boldsymbol{z}}_2}^{\rm{T}}{\boldsymbol{M}}{{\boldsymbol{z}}_2}，$

(17)

对其求导可得：

$ {\dot V_2} = {{\boldsymbol{z}}_2}^{\rm{T}}({\boldsymbol{M}}\dot {\boldsymbol{v}} - {\boldsymbol{M}}{\dot {\boldsymbol{v}}_d})。$

(18)

结合式(3)和式(18)可得：

$ {\dot V_2} = {{\boldsymbol{z}}_2}^{\rm{T}}( - {\boldsymbol{C}}({\boldsymbol{v}}){\boldsymbol{v}} - {\boldsymbol{D}}({\boldsymbol{v}}){\boldsymbol{v}} - {\boldsymbol{G}}({\boldsymbol{\eta}} ) - {{\boldsymbol{\tau}} _d} + {\boldsymbol{\tau}} - {\boldsymbol{M}}{\dot {\boldsymbol{v}}_d}) 。$

(19)

令

$ {\boldsymbol{\omega}} = {\boldsymbol{C}}({\boldsymbol{v}}){\boldsymbol{v}} + {\boldsymbol{D}}({\boldsymbol{v}}){\boldsymbol{v}} + {\boldsymbol{G}}({\boldsymbol{\eta}} ) + {{\boldsymbol{\tau }}_d} 。$

(20)

式(20)可化简为：

$ {\dot V_2} = {{\boldsymbol{z}}_2}^{\rm{T}}( - {\boldsymbol{\omega}} + {\boldsymbol{\tau}} - {\boldsymbol{M}}{\dot {\boldsymbol{v}}_d})。$

(21)

设计AUV的输入为：

$ {\tau _i} = {\omega _i} + {M_{ii}}{\dot {\boldsymbol{v}}_{di}} - {c_i}{z_i},i = 1,5,6 。$

(22)

令辅助量 $ \alpha $ 为：

$ {M_{ii}}\dot \alpha = - {\omega _i} + {c_i}{z_i},i = 2,3,4 ，$

(23)

则式(21)可化简为：

$ {\dot V_2} = - {z_2}^{\rm{T}}{\boldsymbol{c}}{{\boldsymbol{z}}_2} 。$

(24)

其中： ${\boldsymbol{c}} = {\rm{diag}}([\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}\;\;{{c_2}}\;\;{{c_3}}\;\;{{c_4}}\;\;{{c_5}}\;\;{{c_6}} \end{array}])$ , $ {c_i} $ 为正常数。

由上述分析可知，当AUV的输入 ${\boldsymbol{\tau}} = {\left[ {{\tau _1}}\;\;0\;\;0\;\;0\;\;{{\tau _5}}\;\;{{\tau _6}} \right]^{\rm{T}}}$ 设计为式(22)时， ${{\boldsymbol{z}}_2}$ 将逐渐收敛至0，由于 ${\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{v}}} _e}$ 为 ${{\boldsymbol{z}}_2}$ 的分量，其也将收敛0，从而保证 ${{\boldsymbol{z}}_1}$ 收敛到0。

为防止输出饱和，对输出进一步处理：

$ {\boldsymbol{\tau}} = 400\frac{{\boldsymbol{\tau}} }{{{{\left\| {\boldsymbol{\tau}} \right\|}_2}}},{\left\| {\boldsymbol{\tau}} \right\|_2} > 400 。$

(25)

该处理降低了误差收敛的速度，对稳定性无影响。

4 仿　真

AUV模型参数来源于文献[8]， $ {K_1} = 2 $ ， $ {K_2} = 10 $ ， $ {K_3} = 10 $ ， $ {c_1} = 10 $ ， $ {c_5} = 4 $ ， $ {c_6} = 4 $ ， $ \rho = 0.2 $ 。UUV的运动速度设置为0.5 m/s, 海流干扰 ${V_{{\rm{current}}}} = 0.5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}$ ，方向沿着 $ X $ 轴的负方向，期望轨迹为（假设视觉算法在120 s生效）：

$ {{\boldsymbol{\eta}} _d} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{[\begin{array}{*{20}{c}} { - 5 + 0.5t}&0&{20}&0&0&0 \end{array}]}^{\rm{T}}},t < 120} ，\\ {{{\boldsymbol{\eta}} _d} = {{[\begin{array}{*{20}{c}} {0.5t}&0&{20}&0&0&0 \end{array}]}^{\rm{T}}},t > 120} 。\end{array}} \right. $

AUV的初始状态为：

$ {\boldsymbol{\eta}} = {[\begin{array}{*{20}{c}} { - 20}&{ - 10}&0&0&0&0 \end{array}]^{\rm{T}}} 。$

仿真时间为150 s，仿真结果如图3～图6所示。

由图3～图6可知，AUV在有着较大初始误差的情况下，跟踪上了作直线运动的UUV。图3给出了AUV的三维轨迹跟踪曲线。AUV首先跟踪上阶段1的期望轨迹，使得AUV与UUV运动于同一条直线上。随后跟踪上阶段2的期望轨迹，完成AUV的回收。图4为期望位置、实际位置的时间曲线，图5为轨迹跟踪误差曲线。可知，位置误差渐进收敛。此外，大约在120 s左右，期望轨迹发生了突变，代表回收过程进入了阶段2，AUV通过大概10 s使误差收敛到0。图6为控制输入，可以看出所设计的控制器较为光滑，易实现。根据上述仿真结果及其分析可知，在考虑了外界海流的情况下，所提出的回收策略、控制器解决了运动回收基站，欠驱动AUV的三维轨迹跟踪回收问题。

5 结　语

本文研究大型UUV在运动条件下的欠驱动AUV三维轨迹跟踪与回收问题。首先对AUV进行建模，建立了AUV的运动学、动力学模型。其次对回收过程进行分析，根据大型UUV、AUV所搭载的传感器的特点，将回收过程分为了2个阶段。基于上述模型和回收策略，通过反步法设计了三维运动控制器，并进行仿真验证。根据结果可知，所设计的回收策略及控制方法可解决搭载平台运动条件下欠驱动AUV的三维跟踪及回收问题。