0 引　言

精密机械系统在装配组装过程中，零件的加工误差和装配误差不断累积，势必会影响精密机械系统的性能指标。如何系统量化分析零部件的加工误差与装配误差对整个多体系统的精度影响，对整个系统的可靠性起着关键作用^[1]。针对该问题，国内外学者进行了大量研究。吕程等^[2]以装配结合平面为研究对象，分析了多种公差耦合情况下零件间装配结合面误差建模和公差优化设计问题。杨强等^[3]应用差分法分析了并联机构位置误差对主要设计变量的灵敏度的影响。赵强等^[4]用矩阵微分法推导了位姿误差和原始误差之间的关系式，给出了按灵敏度的比例对原始误差进行综合优化的方法。唐水龙等^[5]针对配合面尺寸公差与平面度公差构建虚拟配合面进行了误差耦合分析。范晋伟等^[6]提出了一种基于多体系统运动学理论的机床误差灵敏度分析新方法，提出了矩阵微分法的灵敏度分析模型。

雷弹发射箱脱插机构是雷弹贮运发射箱的重要组成部分，完成发控专用电缆与箱、雷之间的连接与导通，用于雷弹和反潜武器系统之间信号传输，并在雷弹发射时，确保雷箱之间的电连接器可靠快速地自动分离，为雷弹正常出箱提供发射通道，是保证雷弹正常发射的重要组件。由于脱插机构既要保证发射箱与雷之间精准对接和发射时可靠快速的自动分离，又不干涉到正在出箱的雷弹，因此对脱插机构与雷弹之间的相对位置精度要求极高，对脱插机构各零部件的加工精度以及装配精度提出了较高的要求。本文以某型雷弹贮运发射箱脱插机构为研究对象，建立脱插机构多体系统的误差传递模型，并对影响其精度的因素进行灵敏度分析，进而确定关键误差来源，为整个系统的误差优化分析提供可靠的理论支撑。

1 多体系统几何误差传递模型 1.1 误差描述

任何多体系统都由若干个零件装配而成，组成多体系统的零部件在加工和装配的过程中不可避免都存在一定的误差。整个多体系统随着一个个零件的装配，零件本身的加工误差和装配过程中产生的装配误差，将会出现误差不断叠加和增大现象，进而对整个多体系统的工作性能产生较大影响，因此控制多体系统几何误差叠加对多体系统性能起着至关重要的作用。

为了便于分析多体系统的几何误差叠加，需要建立多体系统的几何误差传递模型，通常将零件的加工误差和装配误差用向量 $[ {\Delta \alpha }\quad {\Delta \beta }\quad {\Delta \gamma } \quad {\Delta x}\quad {\Delta y}\quad {\Delta z} ]$ 表示，其中 $\Delta x$ ， $\Delta y$ ， $\Delta z$ 表示在右手直角坐标系 $ Oxyz $ 各方向上的线位移误差， $\Delta \alpha $ ， $\Delta \beta $ ， $\Delta \gamma $ 表示角位移误差^[7]。

现将两个相互配合的零件设为A和B，分别在其相互配合的理想几何表面中心建立右手坐标系， $o{x_A}{y_A}{z_A}$ 和 $o{x_B}{y_B}{z_B}$ ，相对于理想几何表面的实际几何表面建立坐标系分别为 $o{x_A}'{y_A}'{z_A}'$ ’和 $o{x_B}'{y_B}'{z_B}'$ ^[8-9]。

其中坐标系 $o{x_A}'{y_A}'{z_A}'$ 相对于 $o{x_A}{y_A}{z_A}$ ，存在3个角位移误差 $\Delta \alpha $ ， $\Delta \beta $ ， $\Delta \gamma $ 和3个线位移误差 $\Delta x$ ， $\Delta y$ ， $\Delta z$ 。2个坐标系的齐次变换矩阵为：

$ \begin{split} T =& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {\cos \Delta \alpha } & { - \sin \Delta \alpha } & 0 \\ 0 & {\sin \Delta \alpha } & {\cos \Delta \alpha } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \Delta \beta }&0&{\sin \Delta \beta }&0 \\ 0&1&0&0 \\ { - \sin \Delta \beta }&0&{\cos \Delta \beta }&0 \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]\times\\ &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \Delta \gamma }&{ - \sin \Delta \gamma }&0&0 \\ {\sin \Delta \gamma }&{\cos \Delta \gamma }&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&{\Delta x} \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]\times\\ &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&{\Delta y} \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&{\Delta z} \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]= \\ &\left[ \begin{array}{*{20}{c}} {\cos \Delta \beta \cos \Delta \gamma } \\ {\cos \Delta \alpha \sin \Delta \gamma + \sin \Delta \alpha \sin \Delta \beta \cos \Delta \gamma }\\ {\sin \Delta \alpha \sin \Delta \gamma - \cos \Delta \alpha \sin \Delta \beta \cos \Delta \gamma }\\ 0 \end{array}\right.\\ &\left. \begin{array}{*{20}{c}} { - \cos \Delta \beta \sin \Delta \gamma } \\ {\cos \Delta \alpha \cos \Delta \gamma - \sin \Delta \alpha \sin \Delta \beta \sin \Delta }\\ {\sin \Delta \alpha \cos \Delta \gamma + \cos \Delta \alpha \sin \Delta \beta \sin \Delta \gamma }\\ 0\end{array} \right.\\ &\left. \begin{array}{*{20}{c}} {\sin \Delta \beta }&{\Delta x} \\ { - \sin \Delta \alpha \cos \Delta \beta }&{\Delta y} \\ {\cos \Delta \alpha \cos \Delta \beta }&{\Delta z} \\ 0&1 \end{array} \right]。\\[-30pt] \end{split} $

(1)

由于精密系统的各个误差数值很小，令式（1）中 $ \cos \Delta \alpha \approx 1 $ ， $ \cos \Delta \beta \approx 1 $ ， $ \cos \Delta \gamma \approx 1 $ ， $ \sin \Delta \alpha \approx \Delta \alpha $ ， $ \sin \Delta \beta \approx \Delta \beta $ ， $ \sin \Delta \gamma \approx \Delta \gamma $ ，同时忽略高阶小量，则齐次变换矩阵可表示为：

$ T \approx \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - \Delta \gamma }&{\Delta \beta }&{\Delta x} \\ {\Delta \gamma }&1&{ - \Delta \alpha }&{\Delta y} \\ { - \Delta \beta }&{\Delta \alpha }&1&{\Delta z} \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right] 。$

(2)

坐标系 $ o{x_A}{y_A}{z_A} $ 中的向量 $a = {\left[ {ax}\quad {ay}\quad {az}\quad 1 \right]^T}$ 在坐标系 $ o{x_A}'{y_A}'{z_A}' $ 可表示为：

$ p{a'} = T \cdot pa 。$

为了便于区分不同零件间的变换矩阵，令

$ {T_A} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - \Delta {\gamma _A}}&{\Delta {\beta _A}}&{\Delta {x_A}} \\ {\Delta {\gamma _A}}&1&{ - \Delta {\alpha _A}}&{\Delta {y_A}} \\ { - \Delta {\beta _A}}&{\Delta {\alpha _A}}&1&{\Delta {z_A}} \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]。$

(3)

同理可得， $ o{x_B}{y_B}{z_B} $ 相对于 $ o{x_B}'{y_B}'{z_B}' $ 齐次变换矩阵为 $ {T_B} $ ， $ o{x_A}{y_A}{z_A} $ 相对于 $ o{x_B}{y_B}{z_B} $ 齐次变换矩阵为 $ T_A^B $ ， $ o{x_A}'{y_A}'{z_A}' $ 相对于 $ o{x_B}'{y_B}'{z_B}' $ 齐次变换矩阵为 $ T_{{A'}}^{{B'}} $ ，根据坐标变换关系，并且忽略高阶小量，可得理想面A相对于理想面B的坐标变换矩阵为：

$ T_A^B = {T_A} \cdot T_{{A'}}^{{B'}} \cdot {T_B} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - \Delta \gamma _A^B}&{\Delta \beta _A^B}&{\Delta x_A^B} \\ {\Delta \gamma _A^B}&1&{ - \Delta \alpha _A^B}&{\Delta y_A^B} \\ { - \Delta \beta _A^B}&{\Delta \alpha _A^B}&1&{\Delta z_A^B} \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]。$

(4)

坐标系 $ o{x_B}{y_B}{z_B} $ 上的向量 $pb$ 在坐标系 $ o{x_A}{y_A}{z_A} $ 中可表示为：

$ pa = T_A^B \cdot pb = {T_A} \cdot T_{{A'}}^{{B'}} \cdot {T_B} \cdot pb 。$

(5)

1.2 脱插机构多体系统坐标系定义和变换

发射箱脱插机构的多体系统简化结构如图2所示。脱插机构与雷弹对接时，只有脱插机构内部机构在运动，因此在进行误差分析时，可将脱插机构基座与发射箱考虑为一个整体，并在脱插机构基座上建立以雷弹发射方向为x轴，以脱插机构对接方向为z轴建立基本坐标系 $ o - xyz $ ，将脱插机构下连杆座定义为刚体1；脱插机构平动杆视为刚体2；脱插机构上连杆座视为刚体3；电插头视为刚体4，可以建立脱插机构对应的多体系统拓图如图3所示。

令 ${T_{{U_1}}}$ ， ${T_{{U_{12}}}}$ ， ${T_{{U_{23}}}}$ ， ${T_{{U_{34}}}}$ 分别看作为脱插机构连杆座（刚体1）相对于脱插机构基座及刚体1与刚体2、刚体2与刚体3、刚体3与刚体4对应的理想配合面，坐标齐次变换矩阵分别为 ${T_{{U_1}}}$ ， ${T_{{U_{12}}}}$ ， ${T_{{U_{23}}}}$ ， ${T_{{U_{34}}}}$ ；由脱插机构各个零件的几何尺寸确定各个零件自身2个理想配合面的相对位置关系，用 ${T_1}$ ， ${T_2}$ ， ${T_3}$ 和 ${T_4}$ 分别表示刚体1、刚体2、刚体3和刚体4自身2个理想配合面的坐标齐次变换矩阵。

因此，刚体4中的任意一向量 ${m_4} = \left[ {mx}\;\;\; {my}\;\;\; {mz}\;\;\; 1 \right]^{\rm{T}}$ 在基本坐标系 $ o - xyz $ 中可表示为：

$ m = {T_{{U_0}}} \cdot {T_1} \cdot {T_{{U_{12}}}} \cdot {T_2} \cdot {T_{{U_{23}}}} \cdot {T_3} \cdot {T_{{U_{34}}}} \cdot {T_4} \cdot {m_4}。$

(6)

假设整个脱插机构各个配合面之间不存在加工误差和装配误差，则向量 ${m_4}$ 在基本坐标系 $ o - xyz $ 中可表示为：

$ m = {T_1} \cdot {T_2} \cdot {T_3} \cdot {T_4} \cdot {m_4} 。$

(7)

向量 ${m_4}$ 的总体误差矢量可以表示为：

$ \begin{split} \Delta m =& {T_{{U_0}}} \cdot {T_1} \cdot {T_{{U_{12}}}} \cdot {T_2} \cdot {T_{{U_{23}}}} \cdot {T_3} \cdot {T_{{U_{34}}}} \cdot {T_4} \cdot {m_4}- \\ & {T_1} \cdot {T_2} \cdot {T_3} \cdot {T_4} \cdot m =\\ &({T_{{U_0}}} \cdot {T_1} \cdot {T_{{U_{12}}}} \cdot {T_2} \cdot {T_{{U_{23}}}} \cdot {T_3} \cdot {T_{{U_{34}}}} \cdot {T_4}-\\ &{T_1} \cdot {T_2} \cdot {T_3} \cdot {T_4}) \cdot m = {T_{{U_{04}}}} \cdot m 。\end{split} $

(8)

${T_{{U_{04}}}}$ 为脱插机构组装后的总体误差坐标齐次变换矩阵，可表示为：

$ {T_{{U_{04}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - \Delta \gamma _0^4}&{\Delta \beta _0^4}&{\Delta x_0^4} \\ {\Delta \gamma 4}&1&{ - \Delta \alpha _0^4}&{\Delta y_0^4} \\ { - \Delta \beta _0^4}&{\Delta \alpha _0^4}&1&{\Delta z_0^4} \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right] 。$

(9)

1.3 脱插机构灵敏度分析模型

假设X为脱插机构装配后的总体误差矢量， $\Delta {x_X}$ ， $\Delta {y_X}$ ， $\Delta {z_X}$ ， $\Delta {\alpha _X}$ ， $\Delta {\beta _X}$ ， $\Delta {\gamma _X}$ 分别为函数X的6个误差分量，因此可得

$ X = f({U_1},{U_2} \cdots \cdots {U_k})，$

(10)

$ {U_k} = [\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {x_k}}&{\Delta {y_k}}&{\Delta {z_k}}&{\Delta {\alpha _k}} &{\Delta {\beta _k}}&{\Delta {\gamma _k}} \end{array}] 。$

(11)

其中，X为系统的空间误差矢量， ${U_k}$ 为误差矢量。

根据一阶灵敏度函数的定义，假设函数 $F\left( x \right)$ 可导，则 $F\left( x \right)$ 的一阶灵敏度可表示为：

$ E = \frac{{\partial F\left( x \right)}}{{\partial x}} 。$

(12)

由脱插机构误差传递模型可知，X是 $ {U_k} $ 各个误差变量的连续可微函数，因此可得脱插机构的误差灵敏度分析模型为：

$ \Delta X = \frac{{\partial f}}{{\partial {U_k}}}\Delta {U_k} = {E_k}\Delta {U_k}。$

(13)

式中： ${E_k} = {{\partial f} / {\partial {U_k}}}$ 为对应变量的灵敏度系数，因此，可以计算求出每一个误差分量对系统总装误差的灵敏度系数，即 ${E_k} = {{\partial f} /{\partial {U_k}}}$ 为误差灵敏度系数矩阵：

$ E = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial {f_1}}}{{\partial {U_1}}}}&{\dfrac{{\partial {f_1}}}{{\partial {U_2}}}}& \cdots & \cdots & \cdots &{\dfrac{{\partial {f_1}}}{{\partial {U_k}}}} \\ {\dfrac{{\partial {f_2}}}{{\partial {U_1}}}}&{\dfrac{{\partial {f_2}}}{{\partial {U_2}}}}& \cdots & \cdots & \cdots &{\dfrac{{\partial {f_2}}}{{\partial {U_k}}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {\dfrac{{\partial {f_6}}}{{\partial {U_1}}}}&{\dfrac{{\partial {f_6}}}{{\partial {U_2}}}}& \cdots & \cdots & \cdots &{\dfrac{{\partial {f_6}}}{{\partial {U_k}}}} \end{array}} \right]，$

(14)

$ {E_k} = \dfrac{{\partial {f_l}}}{{\partial {U_k}}} = \left[ {\dfrac{{\partial {f_l}}}{{\partial \Delta {x_k}}}}\;\;{\dfrac{{\partial {f_l}}}{{\partial \Delta {y_k}}}}\;\; {\dfrac{{\partial {f_l}}}{{\partial \Delta {z_k}}}}\;\; {\dfrac{{\partial {f_l}}}{{\partial \Delta {\alpha _k}}}}\;\; {\dfrac{{\partial {f_l}}}{{\partial \Delta {\beta _k}}}}\;\;{\dfrac{{\partial {f_l}}}{{\partial \Delta {\gamma _k}}}} \right] 。$

(15)

根据式（11）可以快速的计算各误差的灵敏度系数。同时为了快速的找到关键误差，对各个灵敏系数，进行了归一化处理可得^[10]：

$ {C_k} = \left| {{E_k}} \right|{{} \mathord{\left/ {\vphantom {{} {\sum {\left| {{E_k}} \right|} }}} \right. } {\sum {\left| {{E_k}} \right|} }} 。$

(16)

式中： $ {C_k} $ 代表误差 $ {U_k} $ 各误差分量的灵敏度系数，而全部灵敏度系数之和为1。

2 脱插机构总体误差分析 2.1 误差矢量计算

首先，测量脱插机构各关键零部件配合面的多个点尺寸，经计算拟合分析，再通过式（4）计算得出各配合面的相对误差矢量如表1所示。

将表1中的数据代入式（8）和式（9），经计算可得脱插机构总体相对误差矢量如表2所示。

表2中脱插机构总体相对误差矢量在3个方向的线位移误差分别为：1.9208 mm，0.5041 mm和−0.7568 mm，3个方向的角位移误差分别为：−0.0065，0.0341和0.0062。

通过对脱插机构多个对接失败的案例进行统计分析发现，造成脱插机构对接失败的主要因素为脱插机构的电插头，在z轴方向和x轴方向上误差过大。当误差为正时，会使电插头上升到最高位置尚不能完全插入雷弹电插座中；当误差过小时会使电插头还没有旋转至竖直对接位置时，电插头的导向销已和雷弹上电插座干涉，以致因插座的阻挡不能继续执行对接操作，导致对接失败。因此，为了减少计算量主要关注误差分量在x轴、y轴和z轴方向上的灵敏度系数。根据式（15）求得脱插机构各误差分量分别在x，y，z方向上灵敏度系数，并根据式（16）进行归一化处理，并取灵敏度系数最大的3项，可得表3。

2.2 关键因素确定

考虑脱插机构对接失败的主要原因可能来自于x轴方向和z轴方向的误差，根据表3中的各误差灵敏度系数可知，影响脱插机构x轴方向和z轴方向的误差的主要影响因素为 $\Delta {\beta _1}$ ， $\Delta {\beta _{12}}$ 和 $\Delta {\beta _{23}}$ ，即将脱插机构下连杆座和脱插机构基座之间沿y轴方向的转动误差；下连杆座和平动杆之间沿y轴方向的转动误差；平动杆和上连杆座之间沿y轴方向的转动误差。因此考虑针对上述3项误差提出改进方案，进而提高脱插机构的对接成功率。

3 措施制定及试验验证 3.1 措施制定

针对计算分析的结果，根据分析出的原因，通过提高脱插机构下连杆座和脱插机构基座之间、下连杆座和平动杆之间、平动杆和上连杆座之间配合面沿x轴方向的平面度要求（即降低沿y轴方向的转动误差）以及装配间隙的均匀性，进而降低 $\Delta {\beta _1}$ ， $\Delta {\beta _{12}}$ 和 $\Delta {\beta _{23}}$ 的数值从而降低x轴方向和z轴方向的误差，将 $\Delta {\beta _1}$ ， $\Delta {\beta _{12}}$ 和 $\Delta {\beta _{23}}$ 进行调整，如表4所示。

对脱差机构各配合面优化后，计算系统整体误差矢量，同时测量实际误差并与优化前的误差矢量进行对比，如表5所示。

3.2 试验验证

在试验现场，将优化设计并检验合格后的脱插机构安装到发射箱中，将模拟雷弹推入发射箱中，用固弹机构锁定。操作脱插机构，使平动杆带动电插头到待插状态，测量电插头前导向销中心到雷上插座导向孔中心在z轴方向上的偏差为0.5 mm，沿x轴方向上的偏差为0.8 mm，沿y轴方向上的偏差为0.5 mm，如图4所示。

操作脱插机构使电插头升起，成功插入雷体插座中。用万用表对发射箱箱壁外侧的插座和模拟雷上插座的导通情况进行检测，所有芯线均导通正常。操作固弹机构解锁模拟雷后，用手推动模拟雷向前运动，脱插机构电插头和雷上插座成功分离，并被脱插机构内锁定-解锁机构锁定。重复操作以上步骤100次，其中，100次插接功能都顺利完成，在对接成功的100次操作中随机抽取几根芯线检测，也均导通正常。对接成功率为100%，对比优化前85%的成功率有了较大提高，进一步验证了措施的有效性。

4 结　语

针对发射箱脱插机构与雷弹对接成功率较低容易失败的问题，本文通过建立发射箱脱插机构的误差传递模型，对脱插机构进行灵敏度分析，确定影响脱插机构对接精度的关键误差来源，为整个系统的误差优化分析提供理论支撑，从而提出针对性的改进措施并加以实施。最后通过试验验证了误差分析的有效性以及改进措施的正确性，最终解决了脱插机构对接成功率低的问题。