0 引　言

多自主式水下航行器在实际工作过程中需要准确依照规划轨迹进行航行^[1]。但其工作环境较为复杂，有较大概率受到外界环境因素影响，由此造成航行器偏离轨迹^[2]。因此，提出一种能够实现多自主式水下航行器轨迹精准跟踪控方法对于水下航行器的应用与研究具有重要意义。

李韶华等^[3]在轨迹跟踪控制研究过程中，采用模型预测控制算法实现轨迹跟踪控制，但该方法在控制过程中存在明显的振动问题。滕建平等^[4]以视线制导法为基础研究轨迹跟踪控制问题，但该方法的跟踪精度受外界环境因素影响显著。针对上述问题，研究多自主式水下航行器轨迹精准跟踪控制方法，为多自主式水下航行器轨迹跟踪控制提供新的研究方向。

1 水下航行器轨迹跟踪控制 1.1 轨迹精准跟踪控制方法架构

基于灰色预测模型的轨迹跟踪控制结果中包含不确定性对多自主式水下航行器航向角的影响，因此在多自主式水下航行器轨迹精准跟踪控制架构内添加灰色预测模型，对航向角进行预测，依照预测结果，利用PID控制器控制多自主式水下航行器的位置、速度与加速度等信息，实现多自主式水下航行轨迹精准跟踪控制。图1为基于灰色预测的轨迹精准跟踪控制模型架构。

1.2 基于灰色预测模型的航向角预测 1.2.1 航向角预测

灰色预测模型主要应用于信息缺乏、数据量较少以及不确定性问题当中，是基于少量已获取信息的分析与生成获取有价值的信息，完成目标行为与规律的准确描述与监控。利用灰色预测实现多自主式水下航行器轨迹精准跟踪^[5]。多自主式水下航行器航向角控制在本质上是一个单输入单输出的系统，利用式(1)能够描述其输入时间序列：

$ \left\{ \begin{gathered} {w^{\left( 0 \right)}}\left( {k,1} \right),{w^{\left( 0 \right)}}\left( {k,2} \right), \cdots ,{w^{\left( 0 \right)}}\left( {k,n} \right),n \geqslant 3，\\ {g^{\left( 0 \right)}}\left( {k,1} \right),{g^{\left( 0 \right)}}\left( {k,2} \right), \cdots ,{g^{\left( 0 \right)}}\left( {k,n} \right),n \geqslant 3。\\ \end{gathered} \right. $

(1)

式中： $ {w^{\left( 0 \right)}} $ 和 $ {g^{\left( 0 \right)}} $ 分别表示输入与输出； $ k $ 和n分别表示时刻和灰色预测模型所需的初始数据量。

基于光滑离散资料列递增指数特征原理，所获取的数列与初始数列相比，具有更为显著的指数递增特性，同时初始数列的随机性所有下降，所以可对初始多自主式水下航行器轨迹数据进行一次累加，由此获取的轨迹数列，公式描述如下：

$ \left\{ \begin{gathered} {w^{\left( 1 \right)}}\left( {k,i} \right) = \sum\limits_{j = 1}^i {{w^{\left( 0 \right)}}\left( {k,j} \right)} ,i = 1,2, \cdots ,n {\text{,}} \\ {g^{\left( 1 \right)}}\left( {k,i} \right) = \sum\limits_{j = 1}^i {{g^{\left( 0 \right)}}\left( {k,j} \right)} ,i = 1,2, \cdots ,n \text{。} \\ \end{gathered} \right. $

(2)

基于一次累加所获取的数据列能够构建多自主式水下航行器航向角GM(1,1)的灰色微分方程，公式为：

$ {g^{\left( 1 \right)}}\left( {k,i} \right) + {a_g}\left( k \right){s^{\left( 1 \right)}}\left( {k,i} \right) = {b_g}\left( k \right) 。$

(3)

式中： ${s^{\left( 1 \right)}}\left( {k,i} \right) = \dfrac{{{g^{\left( 1 \right)}}\left( {k,i} \right) + {g^{\left( 1 \right)}}\left( {k,i - 1} \right)}}{2}$ ，由此能够获取式(3)的白化方程。

$ \frac{{{\rm{d}}{g^{\left( 1 \right)}}\left( t \right)}}{{{\rm{d}}t}} + {a_g}{g^{\left( 1 \right)}}\left( t \right) = {b_g} \text{。} $

(4)

式中： $ {a_g} $ 和 $ {b_g} $ 均为待定参数，前者主要用于控制预测发展态势，后者主要体现数据波动的相关性。

通过最小二乘法能够得到参数估计结果^[6]，依照式(4)能够获取 $ k + 1 $ 时刻下 $ y\left( t \right) $ 的解：

$ g_P^{\left( 1 \right)}\left( {k + 1} \right) = \left[ {{g^{\left( 0 \right)}}\left( {k + 1} \right) - \frac{{{b_g}}}{{{a_g}}}} \right]{e^{ - {a_g}k}} + \frac{{{b_g}}}{{{a_g}}} \text{。}$

(5)

依照式(5)对 $ k + M $ 时刻多自主式水下航行器航向角进行预测，针对累加后的数据实施还原处理，由此获取多自主式水下航行器航向角在 $ k + M $ 时刻的预测结果：

$ g_P^{\left( 0 \right)}\left( {k + M} \right) = \left[ {{g^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) - \frac{{{b_g}}}{{{a_g}}}} \right]{e^{ - {a_g}M}}\left( {1 - {e^{ - {a_g}}}} \right) \text{。} $

(6)

1.2.2 灰色预测模型优化

多项式能够无限趋近任意函数^[7]，所以在回归分析领域中，多项式回归占据核心位置，可有效处理非线性回归问题。 $ {\varepsilon ^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) $ 表示多自主式水下航行器初始航向角 $ {w^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) $ 同预测航向角 $ g_P^{\left( 0 \right)}\left( {k + M} \right) $ 间的残差，由于灰色预测模型GM(1,1)内仅存在一个自变量，因此可构建一元多项式回归模型对 $ {\delta ^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) $ 实施预测，由此优化航向角预测结果，降低残差值，提升灰色预测模型对于多自主式水下航行器航向角的预测精度。具体过程如下：

步骤1　确定灰色预测模型预测多自主式水下航行器航向角的残差序列。

$ {\delta ^{\left( 0 \right)}} = \left\{ {{\delta ^{\left( 0 \right)}}\left( 2 \right),{\delta ^{\left( 0 \right)}}\left( 3 \right), \cdots {\delta ^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)} \right\} 。$

(7)

步骤2　采用拟合工具，基于式(8)所示的一元m次多项式函数对 $ {\delta ^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) $ 进行参数拟合。

$ {\delta ^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) = \sum\limits_{p = 0}^m {{c_p}} \cdot {k^p}。$

(8)

式中， $ {c_p} $ 表示一元多项式系数，将其代入式(9)能够获取修正预测值的一元多项式。

$ {\hat \delta ^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) = \sum\limits_{p = 0}^m {{c_p}} \cdot {k^p} \text{。}$

(9)

步骤3　通过 $ {\hat \delta ^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) $ 补偿 $ {w^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) $ 与 $ g_P^{\left( 0 \right)}\left( {k + M} \right) $ 存在的残差 $ {\delta ^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) $ ，由此实现灰色预测模型的优化，提升灰色预测模型对于多自主式水下航行器航向角的预测精度。

基于上述过程可实现多自主式水下航行器航向角的精准预测，将预测结果代入PID控制器内，通过PID控制器可实现多自主式水下航行器轨迹跟踪。

1.3 基于PID算法的轨迹跟踪控制方法

根据多自主式水下航行器航向角预测结果 $ g_P^{\left( 0 \right)}\left( {k + M} \right) $ 与误差状态向量 $ {\dot \gamma _d} $ ，能够获取航向角控制器，将其扩展至跟踪控制器。 $ {h_v} $ 表示速度向量的控制增益，选择航向角控制率 $ L' $ 为：

$ L' = {\dot V_d} + {h_v}\dot \gamma + {h_p}\gamma \text{,}$

(10)

式中， $ {h_p} $ 表示位置向量的控制增益。

将航向角控制器扩展至PD跟踪控制器。其中， $ {\dot V_d} $ 和 $ \dot \gamma $ 分别表示所需的加速度矢量(包括线速度与角度速度)和位置跟踪误差矢量， $ \gamma $ 表示速度跟踪误差矢量。

$ \gamma $ 可通过下式确定：

$ \gamma = {P_d} - P \text{。}$

(11)

式中， $ {P_d} $ 和 $ P $ 分别表示所需的多自主式水下航行器位置矢量和当前位置矢量。

$ \dot \gamma $ 可通过下式确定：

$ \dot \gamma = {V_d} - V \text{。}$

(12)

式中， $ {V_d} $ 和 $ V $ 分别表示所需的多自主式水下航行器速度矢量与当前速度矢量。

利用式(13)确定加速度误差向量：

$ \ddot \gamma = {\dot V_d} - \dot V \text{。}$

(13)

式中， $ \dot V $ 表示当前加速度矢量。

通过航向角控制率和多自主式水下航行器动力学模型能够确定加速度误差矢量。PID控制器误差方程为

$ \ddot \gamma + {h_v}\dot \gamma + {h_p}\gamma = 0\text{。} $

(14)

式(14)可用于跟踪全部自由度的自主式水下航行器位置、速度与加速度，实现自主式水下航行器轨迹精准跟踪控制。

2 仿真测试

为验证本文所研究的多自主式水下航行器轨迹精准跟踪控制方法的跟踪控制性能，选取某型号的多自主式水下航行器为研究对象，其参数如表1所示。进行仿真，采用本文方法对研究对象进行轨迹跟踪控制测试。

2.1 轨迹跟踪测试

采用本文方法对研究对象轨迹跟踪性能进行测试，测试从直线跟踪与曲线跟踪2个方面进行。直线跟踪过程中设定研究对象轨迹点为(0，110)→(10，110)→(10，20)→(30，20)→(30，130)→(110，130)→(110，20)→(170，20)→(170，80)→(200，80)→(200，20)→(210，20)，所得结果如图2所示。曲线跟踪过程中，研究对象各轨迹点随机生成，本文方法跟踪结果如图3所示。分析可知，无论研究对象依照直线进行运行还是依照曲线进行运行，采用本文方法对研究对象进行轨迹跟踪，所得结果与实际轨迹路线均基本一致，由此说明采用本文方法能够实现研究对象轨迹精准跟踪的目的。

2.2 控制器控制效果

图4为本文方法在研究对象轨迹跟踪过程中的速度控制结果。分析可知，采用本文方法后，研究对象轨迹过程中舵角振动频率与采用本文方法前相比显著降低，由此说明本文方法控制下，研究对象轨迹跟踪具有更好的稳定性。

3 结　语

本文研究多自主式水下航行器轨迹精准跟踪控制方法，通过灰色预测模型与PID控制模型实现多自主式水下航行器轨迹跟踪与控制的目的，并通过实验验证了本文方法的应用性能。在后续研究过程中将主要针对本文方法的可扩展性进行研究，力求将本文方法推广至更广泛的应用领域中。