0 引　言

大风浪天气，特别是极端恶劣天气是造成海难事故的重要原因之一。船舶在海上航行时，遭遇大风浪甚至是狂风恶浪是无法避免的。且海上气候复杂多变，人们无法预测航行时是否会遇上恶劣天气。这就要求船舶在设计过程中必须使船舶具有一定的抗抵风浪的能力，保证船舶在任何天气下航行过程中的安全。近年来，船舶兴波阻力计算快速发展，逐步形成了一套成熟的理论，可以通过仿真模拟计算出船舶在航行过程中的摇摆频率^[1−3]。

尤其是借助Rankine源函数，可以将船舶兴波阻力计算应用到对船舶的分析之中，为船舶在不同的风浪条件下选择不同的航向和航行速率，确保船舶在大风浪天气下安全航行。据此，本文将基于Rankine源函数，对船舶兴波阻力进行求解计算。

1 船舶坐标系和定义运动量的描述

在研究船舶在海洋上航行的问题时，通常将船体看作刚体，并对其运动中的6个自由度的运动轨迹进行分析。故而这时，就需要一个优良的参照体系。为了能准确表达这个参照体系，常常运用以下3个直角坐标系研究船舶运动^[4-5]。

1.1 空间坐标系o₀x₀y₀z₀

空间坐标系是地球上的直角坐标系，不会随任何事物的改变而改变。 ${{o}}_{0}{{x}}_{0}{{y}}_{0}$ 是与静水面重合的平面， ${{o}}_{0}{{z}}_{0}$ 是垂直于水平面铅直向上的轴。该坐标系可以精准简洁地描述海浪的入射波频率。

1.2 运动坐标系GXGYGZ

运动坐标系是固定在船上的直角坐标系，会随着船舶的摇晃而发生改变。以船舶重心G为原点，GX是平行于基面，位于中线面内，指向船首的方向为正方向。GY和GZ分别与GX轴相互垂直，GY一般以型宽向左为正方向，GZ一般以指向船顶为正方向。一般可以把GX，GY和GZ三个轴视作船舶的惯性轴，船舶的任何运动都可以以这3个轴做分解。

1.3 平动坐标系oxyz

平动坐标系是一个移动速度与船速V相同，并且与船舶共同运动的直角坐标系，其原点位于海平面上。船舶任何的移动都可以沿ox，oy和oz轴分解，也可以用船舶重心在平动坐标系下的水平和旋转运动描述船舶的运动。

2 船舶兴波阻力运动方程的构建 2.1 纵摇、垂荡耦合运动方程

船舶在海浪中航行时，会受到风浪影响而产生运动。考虑到垂荡的运动情况由纵向位移、纵向位移速度及纵向位移加速度体现，得出了相对位置的等效波面方程为：

${\zeta ^*} = {e^{ - k{T_m}}}{\zeta _A}\cos (kx\cos \beta - ky\sin \beta + {\omega _e}t) \text{，}$

由此得出切片所受的流体静力函数如下：

$F_{1}^{\prime}=-2 \rho g b\left(z-X \theta-\zeta^{*}\right) \text{，}$

而兴波阻力为：

$F_{2}^{\prime}=-N_{H}\left(\bar{z}-X \bar{\theta}+V \theta-\zeta^{*}\right) \text{，}$

沿船长可得垂荡力及纵摇力矩：

$\begin{array}{l} F_{z}=\int_{L}\left(F_{1}^{\prime}+F_{2}^{\prime}+F_{3}^{\prime}\right){\rm{ d}} X，\\ M_{\theta}=\int_{L} X\left(F_{1}^{\prime}+F_{2}^{\prime}+F_{3}^{\prime}\right) {\rm{d}} X 。\end{array}$

根据f=kma可得船体垂荡及纵摇方程：

$\begin{array}{l} \frac{D}{g} z=F_{z} ，\\ I_{y \bar{\theta}}=M_{\theta}。\end{array}$

2.2 横摇运动方程

船体在波浪的影响下，围绕x轴的往复摇晃运动称为横摇，依据经典f=kma理论，得出了船舶平衡条件下的函数方程：

$-I_{x x \bar{\varphi}}^{\prime}-2 N \bar{\varphi}-D h \varphi+D h a_{m}=0 \text{，}$

据此可得方程：

$I_{x x \bar{\varphi}}^{\prime}+2 N \dot{\varphi}+D h \varphi=D h a_{m 0} \sin \omega t \text{，}$

将上述方程每一项都除以 $I^\prime$ _XX，并且用新符号表示：

$\begin{array}{l} 2 v=\frac{2 N}{I_{x x}^{\prime}} ，\\ \omega_{\varphi}^{2}=\frac{D h}{I_{x x}^{\prime}}。\end{array}$

得出横摇方程：

$\bar{\varphi}+2 v \bar{\varphi}+\omega_{\varphi}^{2} \varphi=a_{m 0} \omega_{\varphi}^{2} \sin \omega t \text{。}$

3 基于Rankine源函数的船舶兴波阻力计算 3.1 波浪设置

首先，是设置波浪数量和方向。本文选用等分船体和360°方向的波浪进行模拟仿真，每45°设置1个浪向，共7个浪向，海况表如表1所示。不同的频率对船体会产生不同的影响，如果波浪的频率与船舶的固有频率相同，这时的船体响应将会激增，这种现象称为共振。此时的波浪的频率成为船舶的共振频率，设置的平均波高1.863 m，最小频率0.1691 Hz，最大频率5.623 Hz，平均波浪周期7.9 s。

最后，借助软件通过自定义频率的范围和频率总数，即可得到计算需要的波浪，需要注意最大频率不能超出网格的划分频率。

假设船舶的兴波阻力函数为 $\psi (t)$ ，该函数为平方可积函数，同时满足 $\psi (t) \in {L^2}\left( R \right)$ 。

对上述的函数 $\psi (t)$ 进行傅里叶变换，得到 $\mathop {\hat{\psi}} \limits (\omega )$ 满足如下的条件：

${C_\psi } = \int_R {\frac{{{{\left| {\mathop{\hat{ \psi}} \limits (\omega )} \right|}^2}}}{{\left| \omega \right|}}} {\rm{d}}\omega < \infty \text{。}$

此刻，可以认为 $\psi (t)$ 满足作为Rankine源函数的条件。然后对上式同步进行伸缩和平移变换，可以得到整个阻力计算模型的基函数为：

${\psi _{a,b}}(t) = \frac{1}{{\sqrt {\left| a \right|} }}\psi \left(\frac{{t - b}}{a}\right)，a,b \in R；a \ne 0 \text{。}$

式中：a为整个阻力描述系统的伸缩因子；参数b为阻力传递的平移因子。

同时，上述的阻力计算模型还需要与函数 $f(t) \in {L^2}(R)$ 进行联合变换，其小波变换函数可以表示为：

${W_f}(a,b) = \left\langle {f,{\psi _{a,b}}} \right\rangle = {\left| a \right|^{ - 1/2}}\int\limits_R {f(t) {\psi \left(\frac{{t - b}}{a}\right)} } {\rm{d}}t \text{。}$

上述的多种变换形式都满足积分变换定理。

为了达到更高的模型精度，本文采用连续小波变换函数对船舶兴波阻力中的线形分量进行更加精确的变换，采用小波变换可以满足如下性质：

首先是线性不变性，当系统存在一个或者多个分量的参数时，小波变换可以同步处理多个参数，以满足系统的实时性要求；其次是线性系统的平移不变性。若 $f(t)$ 等效为 ${W_f}(a,b)$ ，则 $f(t - \tau )$ 的线性小波变换为：

${W_f}(a,b - \tau ) \text{，}$

且

$\frac{1}{{\sqrt c }}{W_f}(ca,cb) c > 0 \text{。}$

3.2 不同风浪条件下的耐波性结果分析

在0°，45°，90°，135°和180°的高风浪向下，耐波性分析船舶摇摆幅度如图1所示，低风浪向下耐波性分析船舶摇摆幅度如图2所示。对整个船舶的兴波阻力进行系统性的优化后，由于90°条件与45°条件下较为相似，故未对90°高风浪条件进行分析，无90°高风浪向下的耐波性分析如图3所示。

3.3 横摇结果分析

在0°，45°和135°浪向下，进行油船的横摇响应幅值对比。

不同浪向下横摇幅值曲线如图4所示。可以发现，遭遇频率趋于0时，各个浪向下的横摇响应幅值趋近于0 °/m的固定值。当遭遇频率增大时，各个浪向下的横摇响应幅值逐渐增加。遭遇频率增大至25 Hz附近时，各浪向下的横摇响应速度达到峰值，且峰值大小相差比较大。其中135°浪向下的横摇响应幅值最大，说明船舶在行驶过程中，135°浪向的波浪对船舶横摇稳定影响最大。随着遭遇频率的增大，各个浪向下的横摇响应开始降低，并趋近于0°/m。

因为油船的固有频率与波浪频率相同时，横摇响应最大。即该油船的横摇共振频率在25 Hz附近，在实际航行时应避免航行海域波浪频率包含共振频率。

各个浪向下的横摇共振频率和对应横摇响应幅值如表2所示。

3.4 纵摇结果分析

在0°，45°和135°浪向下，对油船的纵摇响应幅值进行对比。不同浪向下纵摇幅值曲线如图5所示。

可以发现，当遭遇频率趋于0时，油船的船纵摇响应幅值趋于0°/m的固定值。随着遭遇频率的逐渐增大，纵摇响应也逐渐增大，直到达到一个峰值。到达峰值后，随着遭遇频率的增大，纵摇响应幅值开始减小。但随着遭遇频率增大到一定程度后，纵摇响应幅值又会开始增大，并达到第二个较小的峰值。其中，135°浪向下的纵摇响应幅值最大。与横摇响应幅值曲线不同的是，在不同浪向下，油船的共振频率并不相同，其中135°浪向下的共振频率最大。实际航行时应避免航行海域波浪频率包含共振频率。

各个浪向的纵摇共振频率和对应纵摇响应幅值如表3所示。

4 结　语

本文通过模拟海浪数据，对船舶航行中的波浪进行设置，并基于Rankine源函数对特定环境下的船舶兴波阻力进行计算求解，验证了该船舶在设置海域的海况下，其航行拥有较好的横摇、纵摇、垂荡性能，以及较好的耐波性。由此验证了该函数对于船舶兴波阻力计算的可行性。