0 引　言

目前俘能器的主要研究方向包括线性多模态^[1]、自调谐频率^[2]、三次非线性^[3]、双稳态^[4]、三稳态^[5]、多稳态^[6]、相干共振^[7]和非线性相互作用^[8]。

流致振动俘能作为一种新型的清洁可再生能源，成为一个研究热点。流致振动俘能技术主要有风致振动能量和水致振动能量，其中风致振动俘能主要有涡激振动^[9-10]、颤振^[11-13]、驰振^[13-14]、抖振^{[9, 15]}。而水流致振动俘取得了许多有意义的成果^[16-18]。脉动流诱发的振动在海洋工程中广泛存在，具有重要的研究价值。因此，本文设计一个脉动流致振动双稳态俘能器，考察该俘能器在水下脉动流致振动时的性能。

1 采集器模型

如图1所示，该俘能器结构系统由2个倾斜的弹簧、阻尼器和圆柱体组成。电路系统由铜线圈、电阻和磁铁组成。

利用法拉第电磁感应定律，可以推导系统的机电耦合运动方程为：

$\begin{split} & \left( {m + \rho A{C_l}} \right)\ddot X + c\dot X + kX\left( {1 - \frac{L}{{\sqrt {{X^2} + {l^2}} }}} \right) + BI{L_{coil}} = \\ &\rho A{C_m}\dot U + 0.5\rho \left( {U - \dot X} \right)\left| {U - \dot X} \right|D{C_D}，\end{split} $

(1)

$ {L_{ind}}\dot{ \bar I} + R\bar I - B{L_{coil}}\dot X = 0。$

(2)

其中：X为系统的位移； $ \bar I $ 为俘能器的输出电流；m为圆柱体的质量；ρ为流体密度；A为圆柱体的截面面积；c为阻尼系数；k为弹簧的刚度；L为2根倾斜弹簧的原始长度；l为倾斜弹簧固定框架端到2弹簧中心的距离；C_l为粘性流体附加质量系数；C_m为惯性系数；C_D为粘性曳力系数；U=U₀+U₁sin(ΩT)，为脉动流速；U₀为非零均值定常流速；U₁为脉动流的幅值；Ω为脉动流的频率；L_ind为电感；L_coil为铜线圈的长度；B为磁感应强度；R为电阻。

为了简化计算，式(1)和式(2)可以无量纲化为

$ \begin{split} \ddot x +& \varsigma \dot x + x\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {\alpha ^2}} }}} \right) + \lambda I = \beta {u_m}\sin \omega t +\\ & \gamma \left( {{u_0} + {u_m}\sin \omega t - \dot x} \right)\left| {{u_0} + {u_m}\sin \omega t - \dot x} \right| ，\end{split} $

(3)

$ \dot I + \chi I - \kappa \dot x = 0 。$

(4)

其中：

$\begin{split} & x = \frac{X}{L}，I = \frac{{\tilde I}}{L}，t = T{\omega _0}，\zeta = \frac{c}{{\sqrt {k\left( {m + \rho A{C_l}} \right)} }}，{\omega _0} =\\ & \sqrt {\frac{k}{{m + \rho A{C_l}}}} ，u = \frac{U}{{{\omega _0}L}}，\alpha = \frac{l}{L}，\beta = - \frac{{\rho A{C_m}}}{m}，\\&\gamma = \frac{{\rho D{C_D}L}}{{2m}}，\lambda = \frac{{B{L_{coil}}}}{k}，\chi = \frac{R}{{{\omega _0}{L_{ind}}}}，\kappa = \frac{{B{L_{coil}}}}{{{\omega _0}{L_{ind}}}}。\end{split} $

系统的势能为：

$ V\left( x \right) = \frac{1}{2}k{\left( {\sqrt {{x^2} + {l^2}} - L} \right)^2}，$

(5)

对应的恢复力为：

$ F\left( x \right) = kx\left( {1 - \frac{L}{{\sqrt {{x^2} + {l^2}} }}} \right)。$

(6)

系统势能和恢复力变化的曲线图如图2所示。由图2(a)可知，系统的势能在3组不同参数下，具有双势阱特征，且双势阱在势垒的左右两侧对称的分布。由图2(b)可知，系统的恢复力有3个解，即1个零解，2个关于零对称的解，相应的静平衡解见表1。因此，该系统(1)和(2)，具有双稳态的特性。

2 波速远大于速度的小幅振动 2.1 谐波分析

式(3)为非线性微分方程，没有精确解析解。若波浪流速的幅值远大于系统最大速度^[19]，则

$ 0.5\rho \left( {U - \dot X} \right)\left| {U - \dot X} \right|D{C_D} \approx 0.5\rho {U^2}D{C_D} 。$

(7)

同时，当系统做小幅振动时，无理非线性刚度可以在静平衡点展开为多项式非线性形式，忽略三次以上高阶非线性和二次以上激励项，则系统的机电耦合方程可以重新简化为：

$ \ddot x + \varsigma \dot x + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + \lambda I = \beta {u_m}\sin \omega t ，$

(8)

$ \dot I + \chi I - \kappa \dot x = 0 。$

(9)

其中：

$ \begin{split} &{a_1} = 1 + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + {\alpha ^2}} \right)}^3}} }} - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {\alpha ^2}} }}，\\ & {a_2} = \frac{{2x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + {\alpha ^2}} \right)}^3}} }} + x\left( { - \frac{{3{x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + {\alpha ^2}} \right)}^5}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + {\alpha ^2}} \right)}^3}} }}} \right) ，\\& {a_3} = x\left( {\frac{{15{x^3}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + {\alpha ^2}} \right)}^7}} }} - \frac{{9x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + {\alpha ^2}} \right)}^5}} }}} \right) +\\ &\qquad 3\left( { - \frac{{3{x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + {\alpha ^2}} \right)}^5}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + {\alpha ^2}} \right)}^3}} }}} \right)。\\ \end{split} $

假设系统的一阶谐波解为：

$ x = {x_1}\cos \omega t + {x_2}\sin \omega t，$

(10)

代入电路方程，可得解耦后的电流为：

$ I = \frac{{\omega \kappa \left( {\left( {\omega {x_1} + {x_2}\chi } \right)\cos \omega t + \left( {\omega {x_2} - {x_1}\chi } \right)\sin \omega t} \right)}}{{{\omega ^2} + {\chi ^2}}}。$

(11)

把式(8)和式(9)代入式6)，可得一阶谐波解满足如下关系：

$\begin{split} &\frac{1}{4}\left( {4{a_1}{x_1} - 4{\omega ^2}{x_1} + 3{a_3}x_1^3 + 4c\omega y + 3{a_3}{x_1}x_2^2 - 4{u_1}\omega \beta } \right) +\\ & \frac{{\omega \kappa \lambda \left( {\omega {x_1} + {x_2}\chi } \right)}}{{{\omega ^2} + {\chi ^2}}} = 0，\\[-20pt] \end{split}$

(12)

$\begin{aligned} & \frac{1}{4}\left( { - 4c\omega {x_1} + 4{a_1}{x_2} - 4{\omega ^2}{x_2} + 3{a_3}x_1^2{x_2} + 3{a_3}x_2^3} \right) + \\ & \frac{{\omega \kappa \lambda \left( {\omega {x_2} - {x_1}\chi } \right)}}{{{\omega ^2} + {\chi ^2}}} = 0 。\end{aligned}$

(13)

式(10)和式(11)是非线性的代数方程组，没有解析解，可以利用数值方法进行求解计算。

进一步根据式(9)，可以得到输出电流幅值与位移响应幅值的关系为：

$ \left| I \right|{\text{ = }}\frac{{\omega \kappa }}{{\sqrt {{\omega ^2} + {\chi ^2}} }}\left| x \right|\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) ，$

(14)

功率方程：

$ P = {\tilde I^2}R = \frac{{{I^2}}}{{{L^2}}}R{\text{ = }}\frac{{{\omega ^2}{\kappa ^2}{x^2}R}}{{{L^2}\left( {{\omega ^2} + {\chi ^2}} \right)}} 。$

(15)

基于式(10)～式(12)，图3给出为不同激励下系统的幅频响应曲线。其中ζ=0.02，χ=0.016，κ=0.16，λ=0.002，β=-0.209。可知，系统的幅频响应曲线具有向左弯曲的软特性，且随着激励幅值的增加，响应的频率带宽增加，具有宽频的采集特性。

2.2 参数影响

图4为3组不同倾斜角余弦时的响应曲线随着外激励频率的变化趋势。可以看出，随着倾斜角余弦的减小，系统的位移和电量响应增加，且采集频率的带宽也增大。因此，小的倾斜角余弦能同时采集更多的电量和拥有宽频的带宽。

图5给出3组不同频率时，电压和功率s随电阻变化的规律。可以看出，在不同激励频率下，随着电压的增加电阻先极速增加再缓慢增加，功率随着电阻先极速增加再慢慢减小，存在一个最优电阻使得输出的功率最大。

图6～图8为电量参数对输出响应的影响。可知，随着磁感线强度和线圈长度的增加，输出电流响应近似线性的增加，功率呈非线性增加。随着电感的增加，输出电流和功率呈非线性递减。

2.3 线性对比

图9为3组不同倾斜角余弦（α=0.25, 0.5, 0.75）时的幅频响应曲线。其中比较的基准选取位移响应为1，电流响应为0.1。可知，线性系统在共振频率附近有比较大的幅值，但是采集的频率带宽只集中在共振频率附近，而非线性系统具有更宽的采集频率带宽。

3 波速与速度不确定的振动

当波浪流速的幅值与系统速度之间的大小关系不确定时，式(3)和式(4)是含有绝对值的无理非线性微分方程组，系统的近似响应求解困难。采用四阶龙格库塔数值方法，对系统的响应进行求解。

3.1 不同类型的运动响应

图10～图13给出系统在不同频率时的动力学行为（ω= 0. 5, 0.75, 1.0,1.5）。可知，当ω=0.5时，系统存在小幅的周期运动；当ω=0.75时，系统做大幅的周期运动；当ω=1.0时，系统做混沌运动；当ω=1.5时，系统做3倍周期运动。

3.2 参数影响

采用均方根的统计方法，计算系统的输出响应。图14为3组激励幅值下的幅频响应曲线。图15为3组不同倾斜角余弦时的响应曲线随着外激励频率的变化趋势。可以看出，随着激励幅值的增加，除个别频率外，系统的位移和电量响应增加，而倾斜角余弦对系统响应的影响差别不大。

3.3 线性对比

图16 为2组不同幅值（u₁=2.5和u₁=5）时非线性系统和相应线性系统幅频相应曲线的对比。可知，非线性线性系统比相应线性系统在多个频率有更大的响应幅值，具有宽频的采集特性。

4 结　语

本文设计一个水下双稳态俘能器，研究系统在脉动流致振动下的采集性能，进行解析分析和数值计算，得出如下主要结论：

1）在波速远大于速度的小幅振动运动中，通过谐波分析，发现系统的幅频响应曲线具有向左弯曲的软特性。通过与线性系统对比，得到系统具有宽频的采集特性。随着系统电阻的变化，存在一个最优的电阻，使得输出电量的功率最大。

2）在波速与速度不确定的振动中，基于数值计算，发现系统存在小幅周期、大幅周期、混沌和倍周期等复杂的非线性动力学行为，且系统比线性系统有更宽的采集频带。

3）计算和分析结果可以为波浪能宽频发电技术提供一定的理论支撑。