0 引　言

当前，随着降噪技术的发展，以及水下目标声反射强度的不断降低^[1-2]，使得水下目标定位的难度逐渐增加，单基地水下目标定位的精度不能满足其定位需求，为此可以联合多个测量平台组成多基地声呐定位系统，增加对目标的观测数据，实现联合定位。多基地声呐系统可分为^[3-4]：一发多收型（T-Rⁿ型）、多发一收型（Tⁿ-R型）和多发多收型（T-Rⁿ型），其中T-Rⁿ型相比于另外2种具有结构简单、成本低，隐蔽性好的优点，因此研究T-Rⁿ型多基地声呐系统更具有应用前景。在多个平台进行联合定位时，各个平台在接收观测信息后，不同平台产生的误差不一样，并且存在不知道其误差统计特性的情况，因此针对不同条件，为达到最优的定位误差，需要使用不同的线性优化算法。为此分析T-Rⁿ型多基地声呐系统的定位算法，能够为未来的多平台联合定位提供参考，具有实际应用前景。本文主要对T-Rⁿ型多基地声呐系统基于到达时间差定位（TDOA）信息进行水下目标定位的算法以及由此产生的定位误差进行研究，为此建立基于TDOA信息的多基地声呐系统的定位模型，分析系统中不同误差的具体表达式，推导在未知误差和已知误差条件下的最优线性算法，并给出不同算法定位误差的计算公式，最后利用仿真对理论结果进行验证和分析。

1 建立定位模型

在多基地声呐定位系统中，接收站声呐的作用距离通常要远高于定位目标的深度^[5]，针对深度可通过测量其俯仰角确定，因此为简化问题只考虑二维空间的定位。由于是一发多收的定位系统，以发射站为原点建立基于TDOA信息的T-Rⁿ型多基地声呐系统定位模型几何图如图1所示。

1.1 定位模型定义

在T-Rⁿ型多基地声呐系统中，由1个发射站和n个接收站组成，发射站为发声声源，通常用T表示，其坐标为 $({x_T},{y_T})$ ；接收站是接收从发射站发射的声源信号经由目标反射后的信号并将其转化为接收信息的装置，通常用R表示，其中有多个接收站时接收站分别用 ${R_i}$ 表示，坐标为 $({x_i},{y_i})$ ；假设理想状态下第i个接收站的接收信息为从发射站发射的声波经由目标反射接收的时延信息 ${t_i}$ ，根据时延信息 ${t_i}$ 可以计算出发射站到目标的距离 ${r_T}$ 和第i个接收站到目标距离 ${r_i}$ 的和，需要定位的目标用符号S表示，其坐标为 $({x_S},{y_S})$ 。

1.2 基于TDOA的定位模型

建立基于TDOA信息的T-Rⁿ型多基地声呐系统目标定位方程，假设有N个测量时延信息的接收站 ${R_i}\left( {i \in 1,2, \ldots ,N} \right)$ ，声速用c表示，可以得到定位方程为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \sqrt {{{({x_1} - {x_S})}^2} + {{({y_1} - {y_S})}^2}} + \\ \sqrt {{{({x_T} - {x_S})}^2} + {{({y_T} - {y_S})}^2}} = c{t_1}，\\ \end{gathered} \\ \vdots \\ \begin{gathered} \sqrt {{{({x_N} - {x_S})}^2} + {{({y_N} - {y_S})}^2}} + \\ \sqrt {{{({x_T} - {x_S})}^2} + {{({y_T} - {y_S})}^2}} = c{t_N}。\\ \end{gathered} \end{array}} \right.$

(1)

在实际定位过程中，其发射站、接收站的站址和接收时间都可能产生误差，因此需要对上述理想条件的定位方程作变换，因此作如下假设：

1）发射站及接收站站址误差分为X轴误差和Y轴误差；

2）所有误差均为先验信息，且为均值为0方差已知的相互独立的误差；

3）在通过时延信息计算距离时，声速保持不变。

通过以上假设，可以将上述理想定位方程化为带误差的定位方程：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \sqrt {{{({x_1} + \Delta {x_1} - {x_S})}^2} + {{({y_1} + \Delta {y_1} - {y_S})}^2}} + \\ \sqrt {{{({x_T} + \Delta {x_T} - {x_S})}^2} + {{({y_T} + \Delta {y_T} - {y_S})}^2}}= \\ c({{\tilde t}_1} - \Delta {t_1})，\\ \end{gathered} \\ \vdots \\ \begin{gathered} \sqrt {{{({x_N} + \Delta {x_N} - {x_S})}^2} + {{({y_N} + \Delta {y_N} - {y_S})}^2}} + \\ \sqrt {{{({x_T} + \Delta {x_T} - {x_S})}^2} + {{({y_T} + \Delta {y_T} - {y_S})}^2}} = \\ c({{\tilde t}_N} - \Delta {t_N})。\\ \end{gathered} \end{array}} \right.$

(2)

其中， $({x_i},{y_i})(i \in 1,2, \ldots ,N)$ 表示接收站 ${R_i}$ 的真实坐标， $(\Delta {x_i},\Delta {y_i})$ 表示接收站 ${R_i}$ 的站址误差， $({x_T},{y_T})$ 表示发射站 $T$ 的真实坐标， $(\Delta {x_T},\Delta {y_T})$ 表示发射站 $T$ 的站址误差， ${\tilde t_i}$ 表示发射站到接收站 ${R_i}$ 的实际观测时间， $\Delta {t_i}$ 表示其时间误差。

由于在实际中各项误差很小，因此可以忽略其中二次项的误差，同时为计算方便，将发射站定为坐标原点，即有 $({x_T},{y_T})$ 为(0,0)，将上式进行线性化简，可以得到线性方程组如下：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} ({x_1} - {x_T}){x_S} + ({y_1} - {y_T}){y_S} - c{{\tilde t}_1}{r_{ST}} + {w_1} = \\ {{\left[ {r_1^2 - r_T^2 - {{(c{{\tilde t}_1})}^2}} \right]} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left[ {r_1^2 - r_T^2 - {{(c{{\tilde t}_1})}^2}} \right]} 2}} \right. } 2}，\\ \end{gathered} \\ \vdots \\ \begin{gathered} ({x_N} - {x_T}){x_S} + ({y_N} - {y_T}){y_S} - c{{\tilde t}_N}{r_{ST}} + {w_N} = \\ {{\left[ {r_N^2 - r_T^2 - {{(c{{\tilde t}_N})}^2}} \right]} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left[ {r_N^2 - r_T^2 - {{(c{{\tilde t}_N})}^2}} \right]} 2}} \right. } 2} 。\\ \end{gathered} \end{array}} \right.$

(3)

其中： ${r_{ST}} = \sqrt {{{({x_S} - {x_T})}^2} + {{({y_S} - {y_T})}^2}}$ 为目标到发射站的距离，由于在方程组中每个方程中都保持不变，因此将其作为一个自变量； ${r_i} = \sqrt {x_i^2 + y_i^2}$ 表示接收站 ${R_i}$ 到原点的距离， ${r_T} = \sqrt {x_T^2 + y_T^2}$ 表示发射站 $T$ 的到原点的距离； ${w_i}$ 为每个线性方程中的误差，分别由接收时间信息误差、接收站站址误差和发射站的站址误差造成。分别给出3个误差具体表达式：

1）观测时间误差

由于声源在水中传播时会有环境噪声和衰减^[6]，从而导致接收到的观测时间与实际观测时间有误差，用 ${w_{i\_\Delta t}}$ 表示观测时间为 ${\tilde t_i}$ 的接收时间误差，由式（3）可得：

${w_{i\_\Delta t}} = ({r_{ST}} - c{\tilde t_i})\Delta t。$

(4)

2）接收站的站址误差

在多基地定位系统中，接收站所在的平台可能为水下固定节点、水中UUV或是水面船只调放的接收装置，其在水中位置不像在陆地或空中做到位置实时精确，同时不同平台其产生的误差也各不相同，用 ${w_{i\_R}}$ 表示接收站 ${R_i}$ 的站址误差，由式（3）可得：

${w_{i\_R}} = ({x_S} - {x_i})\Delta {x_i} + ({y_S} - {y_i})\Delta {y_i}，$

(5)

其中方程组中的每个 $\Delta {x_i}$ 和 $\Delta {y_i}$ $\left( {i \in 1,2, \ldots ,N} \right)$ 相互独立不相关，但在同一个接收站中 $\Delta {x_i}$ 和 $\Delta {y_i}$ 有相同大小的方差。

3）发射站址误差

发射站同接收站一样存在站址误差，用 ${w_T}$ 表示发射站 $T$ 的站址误差，由式（3）可得：

${w_{i\_T}} = \left({x_i} - {x_T} + \frac{{{x_S}c\tilde t}}{{{r_{ST}}}}\right)\Delta {x_T} + \left({y_i} - {y_T} + \frac{{{y_S}c\tilde t}}{{{r_{ST}}}}\right)\Delta {y_T}，$

(6)

其中， $\Delta {x_T}$ 和 $\Delta {y_T}$ 为独立同分布的误差，有相同的方差。

由此每个接收方程中的误差可以表示为：

${w_i} = {w_{i\_\Delta t}} + {w_{i\_R}} + {w_T}，$

(7)

将上述三元一次方程组化为矩阵形式：

$AX + W = G。$

(8)

其中： ${\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} - {x_T}}&{{y_1} - {y_T}}&{ - c{{\tilde t}_1}} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ {{x_N} - {x_T}}&{{y_N} - {y_T}}&{ - c{{\tilde t}_N}} \end{array}} \right]$ ，为系数矩阵； ${\boldsymbol{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_S}} \\ {{y_S}} \\ {{r_{ST}}} \end{array}} \right]$ ，为需要求解的自变量矩阵； ${\boldsymbol{W}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_1}} \\ \vdots \\ {{w_N}} \end{array}} \right]$ ，为误差矩阵； ${\boldsymbol{G}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{r_1^2 - r_T^2 - {{(c{{\tilde t}_1})}^2}}}{2}} \\ \vdots \\ {\frac{{r_N^2 - r_T^2 - {{(c{{\tilde t}_N})}^2}}}{2}} \end{array}} \right]$ ，为观测矩阵。

上式即为基于TDOA信息的多基地T-Rⁿ型多基地声呐系统目标定位模型。

2 定位算法及误差分析

针对上述模型，要求解出目标的坐标，可分为线性方法和非线性方法。仅分析线性算法，其主要有3种，分别为最小线性二乘法（LLS）、加权最小线性二乘法(WLLS)和两步加权最小线性二乘法(2-WLLS)，其定位精度也是逐渐提高。目标的定位误差主要是以定位精度的几何解释（GDOP）^[7]表示，其可以作为衡量定位算法好坏的一个指标。

2.1 最小二乘法

上述模型为线性矩阵，为求出目标的坐标，当只知道误差矩阵均值为零的随机分布，而其方差未知时，为求出无偏估计，则最小二乘法的解 ${{\boldsymbol{X}}_{LLS}}$ 需满足该方程组的残差平方和最小，即有：

$\begin{array}{*{20}{c}} {\min }&{{\varepsilon _{LLS}} = {{({\boldsymbol{A}}{{\boldsymbol{X}}_{LLS}} - {\boldsymbol{G}})}^{\rm{T}}}({\boldsymbol{A}}{{\boldsymbol{X}}_{LLS}} - {\boldsymbol{G}})} ，\end{array}$

(9)

据此可以求出 ${X_{LLS}}$ 的表达式为：

${{\boldsymbol{X}}_{{\boldsymbol{LLS}}}} = {({{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{A}})^{ - 1}}{{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{G}}，$

(10)

为分析该算法的定位精度好坏，可以用GDOP作为指标，其定义为：

$GDOP = \sqrt {E\left[ {{{({x_S} - {{\tilde x}_S})}^2} + {{({y_S} - {{\tilde y}_S})}^2}} \right]} ，$

(11)

其中， $({x_S},{y_S})$ 为目标真实坐标点， $({\tilde x_S},{\tilde y_S})$ 为算法估计点，为求出最小二乘法的 $GDO{P_{LLS}}$ 的值，可以将上述模型的两边同时乘一个 ${({{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{A}})^{ - 1}}{{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}$ ，则有：

${\boldsymbol{X}} - {({{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{A}})^{ - 1}}{\boldsymbol{AG}} = \left[ {{{({{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{A}})}^{ - 1}}{\boldsymbol{AW}}} \right]，$

(12)

代入上述根据最小二乘法得到的定位结果，即有：

${\boldsymbol{X}} - {{\boldsymbol{X}}_{LLS}} = \left[ {{{({{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{A}})}^{ - 1}}{\boldsymbol{AW}}} \right]，$

(13)

根据上式，可以看出 ${{\boldsymbol{X}}_{LLS}}$ 为无偏估计，并有：

$\begin{gathered} E\left[ {({\boldsymbol{X}} - {{\boldsymbol{X}}_{LLS}}){{({\boldsymbol{X}} - {{\boldsymbol{X}}_{LLS}})}^{\rm{T}}}} \right] = \\ {({{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{A}})^{ - 1}}{\boldsymbol{A}} \cdot E({{\boldsymbol{W}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{W}}) \cdot {{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{({{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{A}})^{ - 1}} ，\\ \end{gathered}$

(14)

设 ${{\boldsymbol{P}}_{LLS}} = E\left[ {({\boldsymbol{X}} - {{\boldsymbol{X}}_{LLS}}){{({\boldsymbol{X}} - {{\boldsymbol{X}}_{LLS}})}^{\rm{T}}}} \right]$ ，则 ${\boldsymbol{P}}$ 为一个2×2的矩阵，其对角线上的第1、第2个元素分别为：

$\left\{\begin{gathered} {P_{LLS,11}} = E\left[ {{{({x_S} - {x_{S\_LLS}})}^2}} \right]，\\ {P_{LLS,22}} = E\left[ {{{({y_S} - {y_{S\_LLS}})}^2}} \right]。\\ \end{gathered}\right.$

(15)

所以有最小二乘法的GDOP为：

$GDO{P_{LLS}} = \sqrt {{P_{LLS,11}} + {P_{LLS,22}}}。$

(16)

2.2 加权最小二乘法

由于上面的最小二乘法是在误差矩阵未知其方差时的最优线性解，而当已知误差矩阵的方差时，则可以将其利用起来构建加权最小二乘法，则加权最小二乘法的解 ${X_{WLLS}}$ 需满足该方程组加权后的残差平方和最小，即有：

$\begin{array}{*{20}{c}} {\min }&{{\varepsilon _{WLLS}} = } {{{({\boldsymbol{A}}{{\boldsymbol{X}}_{WLLS}} - {\boldsymbol{G}})}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{K}}({\boldsymbol{A}}{{\boldsymbol{X}}_{WLLS}} - {\boldsymbol{G}})} ，\end{array}$

(17)

其中，K为误差权值矩阵，根据参考文献[8]有:

${\boldsymbol{K}} = {\left[ {E({{\boldsymbol{W}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{W}})} \right]^{ - 1}}，$

(18)

据此可以求出 ${{\boldsymbol{X}}_{WLLS}}$ 的表达式为：

${{\boldsymbol{X}}_{WLLS}} = {({{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{KA}})^{ - 1}}{{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{KG}} ，$

(19)

利用同样的方式在定位模型的两边乘以 ${({{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{KA}})^{ - 1}} {{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{K}}$ 后代入 ${\boldsymbol{K}} = {\left[ {E({{\boldsymbol{W}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{W}})} \right]^{ - 1}}$ ，可以算出加权最小二乘法的GDOP为：

$GDO{P_{WLLS}} = \sqrt {{P_{WLLS,11}} + {P_{WLLS,22}}} 。$

(20)

其中， ${{\boldsymbol{P}}_{WLLS}} = {({{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{KA}})^{ - 1}}$ ， ${P}_{WLLS,11}和{P}_{WLLS,22}$ 分别为 ${{\boldsymbol{P}}_{WLLS}}$ 矩阵对角线上的第1个和第2个元素。由于加权最小二乘法相比于最小二乘法，多用到了误差矩阵的方差信息，因此当误差矩阵中每个元素的方差不相等时，其加权最小二乘法优于最小二乘法；当误差矩阵中每个元素的方差相同时，则2个算法的结果相同。若误差矩阵的方差相等，根据误差计算公式可以看出，其不仅与初始的误差有关，还与目标位置有关。因此总体来说，加权最小二乘法要优于最小二乘法。

2.3 两步加权最小二乘法

在加权最小二乘法求出的自变量 ${{\boldsymbol{X}}_{WLLS}}$ 为3×1的矩阵，其中不仅包括了目标的横纵坐标，同时还包括目标到发射站距离的信息。为充分利用模型中的信息进行求解，可以在求得 ${{\boldsymbol{X}}_{WLLS}}$ 的基础上，将求得的 ${x_{S\_WLLS}},{y_{S\_WLLS}},{r_{ST\_WLLS}}$ 作为新的观测信息，进一步构造线性方程组，求出更为精确的定位目标。为此可以构造如下线性方程组：

${{\boldsymbol{A}}_2}{{\boldsymbol{X}}_2} + {{\boldsymbol{W}}_2} = {{\boldsymbol{G}}_2}。$

(21)

其中： ${{\boldsymbol{A}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&0 \\ 0&1 \\ 1&1 \end{array}} \right]$ ，为系数矩阵； ${{\boldsymbol{X}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x_S^2} \\ {y_S^2} \end{array}} \right]$ ，为自变量矩阵； ${{\boldsymbol{W}}_2}$ 为误差矩阵； ${{\boldsymbol{G}}_2} = \left[ \begin{gathered} x_{S\_WLLS}^2 \\ y_{S\_WLLS}^2 \\ r_{ST\_WLLS}^2 \\ \end{gathered} \right]$ ，为观测矩阵为将上述线性方程组求加权最小二乘法，设误差权值矩阵为 ${{\boldsymbol{K}}_2}$ ，有

$\begin{gathered} {{\boldsymbol{W}}_2} \approx {\rm{diag}}(2{x_{S\_WLLS}},2{y_{S\_WLLS}},2{r_{ST\_WLLS}}) \times \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{S\_WLLS}} - {x_S}} \\ {{y_{S\_WLLS}} - {y_S}} \\ {{r_{ST\_WLLS}} - \sqrt {x_S^2 + y_S^2 + z_S^2} } \end{array}} \right]，\\ \end{gathered}$

(22)

${{\boldsymbol{K}}_2} = {\left[ \begin{gathered} {\rm{diag}}(2{x_{S\_WLLS}},2{y_{S\_WLLS}},2{r_{ST\_WLLS}}) \cdot \\ {({{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{KA}})^{ - 1}} \cdot \\ {\rm{diag}}(2{x_{S\_WLLS}},2{y_{S\_WLLS}},2{r_{ST\_WLLS}}) \\ \end{gathered} \right]^{ - 1}}。$

(23)

据此可以求出两步加权最小二乘法的定位结果为：

$\left\{ \begin{gathered} {{{\boldsymbol{\tilde X}}}_{2 - WLLS}} = \sqrt {{{({\boldsymbol{A}}_2^{\rm{T}}{{\boldsymbol{K}}_2}{{\boldsymbol{A}}_2})}^{ - 1}}{\boldsymbol{A}}_2^{\rm{T}}{{\boldsymbol{K}}_2}{{\boldsymbol{G}}_2}}，\\ {x_{2 - WLLS}} = {\rm{sign}}({x_{WLLS}})\sqrt {{{{\boldsymbol{\tilde X}}}_{2 - WLLS}}(1)} ，\\ {y_{2 - WLLS}} = {\rm{sign}}({y_{WLLS}})\sqrt {{{{\boldsymbol{\tilde X}}}_{2 - WLLS}}(2)} 。\\ \end{gathered} \right.$

(24)

其中， ${{\boldsymbol{\tilde X}}_{2 - WLLS}}$ 表示第二个线性方程组的加权最小二乘法解。

为求解两步加权最小二乘法的GDOP，在第2个线性方程组的两边乘以 ${({\boldsymbol{A}}_2^{\rm{T}}{{\boldsymbol{K}}_2}{{\boldsymbol{A}}_2})^{ - 1}}{\boldsymbol{A}}_2^{\rm{T}}{{\boldsymbol{K}}_2}{{\boldsymbol{G}}_2}$ 后联立 ${{\boldsymbol{K}}_2} = {\left[ {E({\boldsymbol{W}}_2^{\rm{T}}{{\boldsymbol{W}}_2})} \right]^{ - 1}}$ 可以得到两步加权最小二乘法的GDOP为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\boldsymbol{H}} = {\rm{diag}}(2{x_{S\_2 - WLLS}},2{y_{S\_2 - WLLS}},2{z_{S\_2 - WLLS}})}，\\ {GDO{P_{2 - WLLS}} = \sqrt {tr\left[ {{{({{\boldsymbol{H}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{A}}_2^{\rm{T}}{\boldsymbol{K}}{{\boldsymbol{A}}_2}{\boldsymbol{H}})}^{ - 1}}} \right]} } 。\end{array}} \right.$

(25)

其中， $tr( \bullet )$ 表示求矩阵的迹。

分析可知，两步加权最小二乘法是在加权最小二乘法的基础上利用了自变量矩阵中的目标到发射站的距离信息，因此其性能也要优于加权最小二乘法。

2.4 影响算法优劣因素的分析

通过分析利用信息的角度，得出了在未知误差分布时，线性二乘法为最优线性算法，在已知误差分布时，两步加权最小二乘法为最优算法。定义平均 $\overline {GDOP}$ 为在定位区域内的平均误差值，以此为指标衡量算法的优劣，表达式为：

$\overline {GDOP} = {{\sum\limits_{({x_i},{y_i}) \in S}^M {GDOP({x_i},{y_i})} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sum\limits_{({x_i},{y_i}) \in S}^M {GDOP({x_i},{y_i})} } M}} \right. } M}。$

(26)

其中：S为系统的定位区域；M为在定位区域内定位目标数目。

由于每个线性方程中的误差不同，同时根据前面对误差表达式的推导可以看出，在每个线性方程中的误差不仅与系统产生的误差有关，还与目标与发射站和接收站的距离有关，其距离越远，误差也越大，因此导致线性方程组中的误差分布不均匀，为衡量不均匀度，定义误差的平均值 $\overline w$ 和不均匀度 $\eta$ 为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\overline w = {{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{w_i}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{w_i}} } N}} \right. } N}}，\\ {\eta = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{{(1 - {{{w_i}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{w_i}} {\overline w }}} \right. } {\overline w }})}^2}} } 。\end{array}} \right.$

(27)

通过对3个算法 $\overline {GDOP}$ 的分析，可以看出主要因素包括以下3个部分：线性方程中 ${w_i}$ 的大小、线性方程中 ${w_i}$ 的不均匀度和接收站的数量。其中 ${w_i}$ 越大，则3个算法中的 $\overline {GDOP}$ 越大；随着接收站的数量增加，接收到的信息也越多，使得3个算法中的 $\overline {GDOP}$ 也越小；最小二乘法的不均匀度 ${\eta _{LLS}}$ 越大则其 ${\overline {GDOP} _{LLS}}$ 越大，而针对另外2种算法由于利用了误差信息进行加权，所以受到的影响较小。为验证理论分析结果，进行仿真分析。

3 仿真分析

为比较3种算法的优劣，以3个算法的 $\overline {GDOP}$ 为指标进行分析。参数设置：定位目标范围X轴方向为 $\pm 10\;{\rm{km}}$ ，Y轴方向为 $\pm 10\;{\rm{km}}$ ，Z轴方向为 $\pm 200\;{\rm{m}}$ ；发射站坐标 $(0\;{\rm{km}},0\;{\rm{km}})$ ，设置4个接收站，坐标分别为 $(2000\;{\rm{km}},0\;{\rm{km}})$ ， $(2000\;{\rm{km}},0\;{\rm{km}})$ ， $(0\;{\rm{km}},2000\;{\rm{km}})$ 和 $(0\;{\rm{km}},2000\;{\rm{km}})$ ，声速设为1500 m/s，定位结果为在所选范围内随机取5000个点的 $\overline {GDOP}$ 值。分析3种误差的大小和不均匀度对算法的影响，以及不同站址数对算法的影响。

3.1 观测时间误差对算法影响

为分析观测时间误差对算法的影响，将4个接收站接收的观测时间误差分别设为：0.8 ms，3 ms，6 ms和9 ms并逐渐增加，图2为不同观测时间误差下3种算法的 $\overline {GDOP}$ 比较结果。

可以看出：随着观测时间误差的增加，3种算法的 $\overline {GDOP}$ 近似成线性增加；最小二乘法的 $\overline {GDOP}$ 最大，两步加权最小二乘法 $\overline {GDOP}$ 最小，且相比于前2种算法有明显减少。

3.2 接收站站址误差对算法影响

为与前面的观测时间误差比较，将每个接收站的站址误差设为和观测时间误差一致，分析接收站站址误差对算法的影响。将4个接收站的站址误差分别设为：1.2 m，4.5 m，9 m和13.5 m并逐渐增加，图3为不同接收站站址误差下3种算法 $\overline {GDOP}$ 的比较结果。

可以看出：随着接收站站址误差的增加，3种算法的 $\overline {GDOP}$ 近似成线性增加；最小二乘法的 $\overline {GDOP}$ 最大，两步加权最小二乘法 $\overline {GDOP}$ 最小，且相比于前面2种算法有明显减少。比较图2和图3可以看出，接收站的站址误差相比于观测时间误差对3种定位算法的 $\overline {GDOP}$ 影响较小。

3.3 发射站站址误差对算法影响

为与前面的观测时间误差和接收站站址误差比较，分析发射站站址误差对算法的影响。将发射站的站址误差设为7.05m并逐渐增加。由于在T-Rⁿ型多基地声呐系统中发射站只有一个，当误差仅为发射站站址误差时其 $E({{\boldsymbol{W}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{W}})$ 为奇异矩阵，从而导致权值误差矩阵 $K$ 无法计算，解决方法是在 $E({{\boldsymbol{W}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{W}})$ 的基础上加一个单位矩阵，据此得到不同发射站的站址误差下3种算法平均GDOP值的比较结果，如图4所示。

可以看出：随着发射站站址误差的增加，3种算法的 $\overline {GDOP}$ 也增加；最小二乘法的 $\overline {GDOP}$ 最大，加权最小二乘法和两步加权最小二乘法相比于最小二乘法有明显的减少，且两步加权最小二乘法 $\overline {GDOP}$ 最小。比较图2～图4可以看出，发射站的站址误差相比于前面2种误差对3种定位算法的 $\overline {GDOP}$ 影响最小；3种算法在这3种误差下都是两步加权最小二乘法的 $\overline {GDOP}$ 最小，最小二乘法的 $\overline {GDOP}$ 最大，验证了前面理论分析结果。

3.4 误差不均匀度对算法影响

根据仿真研究可以看出，观测时间误差对定位算法的影响最大，因此为分析误差不均匀对3种算法 $\overline {GDOP}$ 的影响时，以观测时间误差为变量进行研究，保持观测时间误差的平均值 $\overline w$ 为5 ms不变，设置6组误差不均匀度不同的情况进行仿真，其具体参数设置如表1所示。

据此，得到3种算法的 $\overline {GDOP}$ 随误差不均匀度变化图如图5所示。可以看出，随着误差不均匀度的增加，最小二乘法和加权最小二乘法的 $\overline {GDOP}$ 也增加，而两步加权最小二乘法的 $\overline {GDOP}$ 随之减少。分析原因，两步加权最小二乘法的能够很好消除误差间的差距，同时由于随着误差不均匀度的增加，线性方程中的最小误差也越小，从而在利用两步最小二乘法时能够得到更精确的结果。

4 结　语

本文建立T-Rⁿ型多基地声呐的定位几何模型，在基于TDOA时间信息进行定位时，分析模型中存在的3种误差的计算公式，并根据模型分别推导了在未知误差信息和已知误差的条件下的最优线性算法以及相应的 $\overline {GDOP}$ 表达式。以 $\overline {GDOP}$ 为指标，两步加权最小二乘法的定位效果最好。利用Matlab进行数值仿真，比较模型中3种误差对线性算法的影响。从仿真结果看，观测时间误差对定位精度影响最大；线性方程组中误差不均匀度对最小二乘法的影响最大，同时两步最小二乘法随误差不均匀的增加而减少。研究成果可为T-Rⁿ型多基地声呐系统的总体设计、站址配置和误差分析提供理论支撑，为T-Rⁿ型多基地声呐系统基于方位角、TOA等信息进行定位时提供分析思路，同时可为后续Tⁿ-Rⁿ型多基地声呐系统的研究奠定基础。由于水下环境的复杂性以及在未来的联合定位探测中，多基地系统的误差信息并未是完全已知或完全未知的，因此下一步将研究已知部分误差信息的多基地系统定位误差问题。