0 引　言

海水作为良导体，对高频电磁信号具有强烈屏蔽作用，而低频信号不易被吸收，信号强度一定的情况下，频率越低，衰减越慢，传播距离越远，因此可以利用极低频电磁信号（本文为0.1~300 Hz范围内）进行深水通信^[1]。

卓贤军等^[2]对海水中极低频信号传播过程中所受影响因素进行了研究，认为接收端得到的电、磁信号与海水本身电阻率、深度以及海底的海床地质条件有关。本文从极化模式的角度出发，推导出TE和TM极化模式下的极低频电磁波在海水中的传播公式，利用有限元算法，研究2种极化模式下极低频电磁波在不同深度的衰减特性。

1 两种极化模式公式推导

海水介质的电阻率一般为0.25 $\Omega \cdot {\rm{m}}$ ，根据极低频所处频段范围，估算出位移电流与传导电流的最大比值 $\omega \varepsilon /\sigma \approx \rho /2T \times {10^{ - 10}} = 4 \times {10^{ - 9}}$ ，因此在海水介质中可以忽略位移电流对场分布的影响，即此时研究的是似稳电磁场问题^[3]，于是，谐变场的Maxwell方程组表示为：

$\nabla \times \vec E = i\omega \mu \vec H,$

(1)

$\nabla \times \vec H = \sigma \vec E,$

(2)

$\nabla ·\overrightarrow{E}=0,$

(3)

$\nabla ·\overrightarrow{H}=0。$

(4)

在笛卡尔坐标系中，令z轴垂直向下，x和y轴在地表水平面内，可以把式（1）写为：

$\frac{{\partial {E_z}}}{{\partial y}}\; - \frac{{\partial {E_y}}}{{\partial z}} = i\omega \mu {H_x},$

(5)

$\frac{{\partial {E_x}}}{{\partial z}}\; - \frac{{\partial {E_z}}}{{\partial x}} = i\omega \mu {H_y},$

(6)

$\frac{{\partial {E_y}}}{{\partial x}}\; - \frac{{\partial {E_x}}}{{\partial y}} = i\omega \mu {H_z}。$

(7)

把式（2）写为：

$\frac{{\partial {H_z}}}{{\partial y}}\; - \frac{{\partial {H_y}}}{{\partial z}} = \sigma {E_x},$

(8)

$\frac{{\partial {H_x}}}{{\partial z}}\; - \frac{{\partial {H_z}}}{{\partial x}} = \sigma {E_y},$

(9)

$\frac{{\partial {H_y}}}{{\partial x}}\; - \frac{{\partial {H_x}}}{{\partial y}} = \sigma {E_z}。$

(10)

当极低频电磁波通过“地-电离层”空腔中进行传导^[4]，抵达近海海面时可以将其近似看作平面电磁波垂直入射到海面，将海水简单近似为均匀各向同性介质，此时其电磁场在水平方向上是均匀的，可得:

$\frac{{\partial {E_z}}}{{\partial x}} = \frac{{\partial {E_z}}}{{\partial y}} = 0\text{，}\frac{{\partial {H_z}}}{{\partial x}} = \frac{{\partial {H_z}}}{{\partial y}} = 0,$

(11)

此时将式（11）代入式（5）~式（10），可以得到：

$- \frac{{\partial {E_y}}}{{\partial z}} = i\omega \mu {H_x},$

(12)

$\frac{{\partial {E_x}}}{{\partial z}}\; = i\omega \mu {H_y},$

(13)

${H_z} = 0,$

(14)

$- \frac{{\partial {H_y}}}{{\partial z}} = \sigma {E_x},$

(15)

$\frac{{\partial {H_x}}}{{\partial z}}\; = \sigma {E_y},$

(16)

${E_z} = 0。$

(17)

从式（12）~式（17）可以看出， ${E_x}$ 只和 ${H_y}$ 有关， ${E_y}$ 只和 ${H_x}$ 有关，且两者均沿着z轴传播。假设真空中电磁波波前与x轴平行，在y和z坐标平面内考虑问题，这时的电磁波可以解耦为电场仅有水平分量的极化模式横电（TE）波型和磁场仅有水平分量的极化模式横磁（TM）波型，同时，可以看出2种波型中电场和磁场没有垂向分量。

TE极化模式（ ${E_x}$ - ${H_y}$ ）：

$\frac{{\partial {E_x}}}{{\partial z}} = i\omega \mu {H_y},$

(18)

$- \frac{{\partial {H_y}}}{{\partial z}} = \sigma {E_x},$

(19)

$\frac{{\partial {E_x}^2}}{{\partial {z^2}}} - {k^2}{E_x} = 0\;\;\;\;\;\;{\rm{or}}\;\;\;\;\;\;\frac{{\partial {H_y}^2}}{{\partial {z^2}}} - {k^2}{H_y} = 0,$

(20)

TM极化模式（ ${E_y}$ - ${H_x}$ ）：

$\frac{{\partial {H_x}}}{{\partial z}} = \sigma {E_y},$

(21)

$- \frac{{\partial {E_y}}}{{\partial z}} = i\omega \mu {H_x},$

(22)

$\frac{{\partial {H_x}^2}}{{\partial {z^2}}} - {k^2}{H_x} = 0\;\;\;\;\;\;{\rm{or}}\;\;\;\;\;\;\frac{{\partial {E_y}^2}}{{\partial {z^2}}} - {k^2}{E_y} = 0。$

(23)

式中： $k = \sqrt { - i\omega \mu \sigma }$ ， $\sigma$ 为电导率， $\omega$ 为角频率， $\mu$ 为介质磁导率。而在一维层状介质中，z方向上的电导率 $\sigma (z)$ 是变化的，如图1所示。

2 有限元数值算法 2.1 TE模式

首先以TE模式为例，给定的电场 ${E_x}$ 所满足的微分方程为：

$\frac{{\partial {E_x}^2}}{{\partial {z^2}}} - i\omega \mu \sigma (z){E_x} = 0。$

(24)

电场所满足的边界条件为：

1）在上边界AB处假设 ${E_x}\left| {_{AB}} \right. = 1$ 。

2）下边界CD以下为均质岩石，电磁波在CD以下将按照负指数衰减，即 ${E_x} = {E_x}_0{e^{ - az}}$ 。式中： ${E_x}_0$ 为常数； $a = \sqrt { - i\omega \mu {\sigma _{{z_N}}}}$ ，对 $u$ 求导 $\dfrac{{\partial {E_x}}}{{\partial z}} = - k{E_x}$ ，因为在CD处有 $\dfrac{\partial }{{\partial z}} = \dfrac{\partial }{{\partial n}}$ ，所以CD处的边界条件为： $\dfrac{{\partial {E_x}}}{{\partial z}} + k{E_x} = 0$ 。

该边值问题所对应的变分问题为：

$F({E_x}) = \int_{z1}^{zN} {\left[ {{{\left( {\frac{{\partial {E_x}}}{{\partial z}}} \right)}^2} - i\omega \mu \sigma {{\left( {{E_x}} \right)}^2}} \right]} {\rm{d}}z + a{E_x}^2|{z_N},$

(25)

$\delta F（{E}_{x}）=0。$

(26)

采用有限元方法进行计算，首先应将区域剖分为若干网格，在网格内电导率必须是连续的。在保证计算精度的前提下，采用三次插值。最终，计算出节点处的电场值^[5-6]。

2.2 TM模式

磁场 ${H_x}$ 满足的微分方程如下式：

$\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{1}{\sigma (z)}\frac{\partial {H}_{x}}{\partial z}\right)+i\omega \mu {H}_{x}=0。$

(27)

不管海水介质电性如何分布，空气中的 ${H_x}$ 近似为常量，其上边界条件可取海面AB的 ${H_x}\left| {_{AB}} \right. = 1$ ，下边界CD的边界条件同TE极化模式。

3 模型仿真计算 3.1 TE和TM模式仿真计算

本文的主要研究内容为海水中极低频电磁波的衰减，因此构建为3层模型，第1层为海水层，水深400 m，电阻率0.25 $\Omega \cdot {\rm{m}}$ 第2层为低阻岩石层，厚度200 m，电阻率为50 $\Omega \cdot {\rm{m}}$ ，第3层之下为半空间的均质高阻岩层，电阻率为2 000 $\Omega \cdot {\rm{m}}$ 。

根据前文的公式及边界条件，经过有限元算法代码实现，得到TE和TM模式下，4 Hz，17 Hz，88 Hz和178 Hz的电、磁场随深度的衰减情况，其中E_x0代表海面处的水平电场值，E_x代表某一深度处的水平电场值，H_y0代表海面处的水平磁场值，H_y代表某一深度处的水平电场值，如图2和图3所示。

1）从TE和TM模式均可以看出，极低频水平电场和磁场在海水中的衰减特征均表现为频率越高，衰减越快，同时海水中磁场衰减快，电场相对衰减慢。

2）水平电场分量 ${E_x}$ 和 ${E_y}$ 、水平磁场分量 ${H_x}$ 和 ${H_y}$ ，两者在TE模式或TM模式下均有相同的衰减特征：衰减曲线走势一致、幅度一致。

3.2 电阻率和厚度对衰减特征的影响

极低频电磁波在海水中传播，海底的海床地质条件也会影响到电磁波在海水中的传播特性^[7-9]。为进一步研究TE和TM极化模式下海底介质电阻率值变化对海水中极低频电磁波衰减造成的影响，为此以0.5 Hz为例，改变海底岩石电阻率值和厚度值，如表1所示。再据此参数表进行仿真计算，得到0.5 Hz时水平电场分量和水平磁场分量随深度的的衰减特征，如图4所示。

由图4和图5可以看出：1）当模型参数发生变化时，TE和TM模式的极低频电、磁场衰减特征几乎相同；2）从TE和TM模式的水平电场和磁场分量计算结果均看出，模型1和模型3的计算结果一样，在图上出现曲线重合的现象。说明海水下低阻岩石的厚度增加对电场、磁场的衰减几乎无影响；3）模型2计算的结果相比较模型1和模型3发现，当低阻岩层电阻率增大时，电场衰减速度变慢，而磁场衰减速度变快；4）频率降低，变为0.5 Hz时，电场衰减速度变慢的现象更加明显，而磁场这一现象并不明显。

4 结　语

通过对TE和TM模式的极低频电磁波传播过程对比分析发现：

1）在海水中2种模式下的水平电场分量和磁场分量衰减特性基本一致，说明极化模式对极低频电磁波的传播几乎无影响；

2）仿真结果表明，当信号频率越低时，电场和磁场分量衰减速度越慢，这和电磁波传播特征完全一致；

3）当频率在0.5 Hz时，磁场衰减速度明显快于电场，同时当海底岩石电阻率值越大，电场衰减速度变慢，而磁场衰减速度变快。因此在实际布设中可以尝试考虑利用磁力梯度仪开展水平磁场分量在垂向上的信号采集工作。