0 引　言

舰炮伺服系统是舰炮武器系统的重要组成部分，其主要作用是根据系统指令控制电机转速，从而实现对舰炮位置的控制，同时伺服系统的低速稳定性直接影响武器系统的跟踪射击精度。舰炮在以较低的速度运动时，非线性摩擦力会导致伺服系统出现速度爬行等问题^[1-2]。为了消除摩擦力的不良影响，弥补传统控制策略的不足，提高伺服系统的低速稳定性，有必要对摩擦现象和系统控制策略进行研究。

摩擦模型分为静态和动态摩擦模型，静态模型结构简单、易于工程实现，但不能满足高精度伺服系统的需要^[3-4]。LuGre摩擦模型能够准确地描述摩擦过程中各种复杂的动静态特性，但其不能反映内、外部条件变化带来的影响^[5-6]。由于舰炮伺服系统的运动部件处于舱室外，环境温度变化范围大，且随着时间积累存在一定的机械磨损和润滑状态变化，由此可以看出舰炮伺服系统的摩擦力矩是一个非线性、时变的物理量，需要对原有摩擦模型进行改进才能建立一个相对准确的摩擦模型。

自抗扰控制技术不依赖系统准确的数学模型，同时又把现代控制理论中状态观测的思想引入其中，对系统内外部扰动进行观测、补偿，具有较强的鲁棒性。目前，自抗扰控制技术在舰炮伺服控制领域已经有一些研究应用，并取得了较好的控制效果。但自抗扰控制器参数整定复杂，不利用工程应用^[7-8]。线性自抗扰控制控制参数少、实现简单，但还没有针对变摩擦负载下舰炮伺服系统线性自抗扰控制策略的相关应用研究。

本文首先对某型舰炮伺服系统进行分析和建模，并基于LuGer模型和舰炮伺服系统的摩擦力特点，引入摩擦系数来表达摩擦力的变化趋势，然后设计一种模型参考线性自抗扰控制器（MLADRC），并引入前馈补偿组成复合控制器以提高控制精度，最后对系统进行了仿真验证。

1 舰炮伺服系统设计 1.1 伺服系统组成及原理

舰炮伺服系统主要由控制器、驱动器、位置反馈器件、伺服电机、减速机和负载组成，其组成框图如图1所示。为保证伺服系统的自主可控，各部件均选用国产基础产品完成设计。

舰炮伺服系统采用经典的三闭环控制结构。其中，控制器用于实时接收控制指令，采集舰炮位置信息，经内部运算处理，输出速度指令到驱动器，完成外环位置控制。驱动器接收到速度指令后，采集电机速度、角度和电流信息，采用PI控制算法实现速度环和电流环的闭环控制。

1.2 伺服系统建模

某型舰炮伺服系统中使用的是永磁同步电机，为了便于分析建模，不考虑磁路饱和磁滞损耗，且认为磁场正弦分布，在dq坐标系，定子电流分量i_d=0，从而得到电机的数学模型：

电压方程

$ {u_q} = {R_s}{i_q} + {L_q}\frac{{{\rm{d}}{i_q}}}{{{\rm{d}}t}} + {\omega _r}{\psi _f}，$

(1)

电磁转矩方程

$ {T_e} = \frac{3}{2}p{\psi _f}{i_q} = {K_t}{i_q}，$

(2)

机械运动方程：

$ {T_e} - {T_L} - {T_f} = J\frac{{{\rm{d}}{\omega _m}}}{{{\rm{d}}t}} 。$

(3)

式中： $ {u_q} $ , $ {i_q} $ 分别为q轴电压和电流； $ {R_s} $ 为电枢电阻； $ {L_q} $ 为电枢电感； $ {\omega _m} $ 为转子机械角速度； $ {\omega _r} $ 为转子电角速度； $ {\psi _f} $ 为转子磁链； $ {T_e},{T_L},{T_f} $ 分别为电磁转矩、负载转矩和摩擦转矩。

速度环和电流环的结构框图如图2所示。

电流环闭环传递函数可以简化为：

$ {G_I}(s) = \frac{{1/\alpha }}{{{T_I}s + 1}}，$

(4)

速度环闭环传递函数可以简化为：

$ {G_\omega }(s) = \frac{{1/\beta }}{{{T_I}{T_m}{s^2} + {T_m}s + 1}}。$

(5)

式中： $ \alpha $ , $ \beta $ 分别为电流和速度反馈系数； $ {T_I} $ , $ {T_m} $ 分别为电流环和速度环中的时间常数。

位置环的结构框图如图3所示。

为了更好控制位置环节，需要对速度环进行数学处理。为简化处理可以将速度环等效成一个一阶惯性环节^[9]，速度环传递函数可以简化为：

$ {G_\omega }(s) = \frac{{{K_p}}}{{{T_p}s + 1}}，$

(6)

被控对象的开环传递函数可以简化为：

$ {G_p}(s) = \frac{{{K_p}{K_n}}}{{s({T_p}s + 1)}} 。$

(7)

式中： $ {T_p} $ 为等效速度环节时间常数； $ {K_p} $ 为实际速度与设定速度的比值； $ {K_n} $ 为减速比。

1.3 LuGre摩擦模型

1995年法国学者Canudas对Dahl模型进行了扩展，采用鬓毛模型思想提出了LuGre模型。该模型认为在两摩擦表面之间有随机分布的鬓毛接触，当受到外部切向力时，弹性鬓毛会发生形变，产生相应大小的摩擦力，当鬓毛变形增大时会产生滑动现象^[6,10]，如图4所示。

Lugre摩擦模型的数学表达式为：

$ \frac{{{\rm{d}}z}}{{{\rm{d}}t}} = w - \frac{{\left| w \right|}}{{g(w)}}z，$

(8)

$ {\sigma _0}g(w) = {T_c} + \left( {{T_s} - {T_c}} \right){e^{ - {{\left( {\frac{w}{{{w_s}}}} \right)}^2}}} ，$

(9)

$ {T_f} = {\sigma _0}z + {\sigma _1}\frac{{{\rm{d}}z}}{{{\rm{d}}t}} + {\sigma _2}w 。$

(10)

式中：z为鬓毛的变形量； $ {\sigma _0} $ 为刚性系数； $ {\sigma _1} $ 为阻尼系数； $ {\sigma _2} $ 为粘性摩擦系数； $ {T_s} $ 为最大静摩擦力矩； $ {T_f} $ 为总摩擦力矩； $ {T_c} $ 为库伦摩擦力矩； $ w $ 为相对速度； $ {w_s} $ 为临界速度。

考虑到舰炮伺服系统的环境温度、润滑状态、机械磨损等因素都是随时间变化的，故引入摩擦系数 $ \lambda $ 来近似的表达摩擦力矩的变化趋势，此时修正LuGre模型中的摩擦力矩函数为：

$ {T_f} = \lambda \left( {{\sigma _0}z + {\sigma _1}\frac{{{\rm{d}}z}}{{{\rm{d}}t}} + {\sigma _2}w} \right) ，$

(11)

当伺服系统稳态运行时，鬓毛变形量不变，此时修正LuGre模型为：

$ {T_f} = \lambda \left[ {\left( {{T_c} + \left( {{T_s} - {T_c}} \right){e^{ - {{\left( {\frac{w}{{{w_s}}}} \right)}^2}}}} \right){{\rm{sgn}}} (w) + {\sigma _2}w} \right]。$

(12)

1.4 线性自抗扰控制器设计

得到伺服系统的部分模型信息后，可以将这些信息加入到线性状态观测器（linear extended state observer, LESO）中，以降低LESO的带宽，提高系统的控制效果^[11]。由于单纯的自抗扰控制器会使系统在跟踪快速变化的信号时产生稳态误差，故引入前馈来消除稳态误差，前馈模型参考线性自抗扰控制器结构如图5所示。

由式（7）可知，系统可以简化为二级系统，用微分表示为：

$ \stackrel{··}{y}=-{a}_{1}\stackrel{·}{y}-{a}_{0}y+w+bu 。$

(13)

式中：u和y分别为系统的输入和输出信号；w为未知扰动； $ {a_1} $ 和 $ {a_2} $ 已知。将式（13）改写成：

$ \stackrel{··}{y}=-{a}_{1}\stackrel{·}{y}-{a}_{0}y+w+(b-{b}_{0})u+{b}_{0}u，$

(14)

实际的未知总扰动为：

$ {f'} = w + (b - {b_0})u，$

(15)

未知总扰动与已知对象信息的总和为：

$ f=-{a}_{1}\dot{y}-{a}_{0}y+w+(b-{b}_{0})u。$

(16)

选状态变量 $ {x_1} = y $ ， ${x}_{2}=\dot{y}$ ， $ {x_3} = f $ ，则式（14）可以使用状态空间描述为：

$ \left\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu+E\stackrel{·}{f}，\\ y=Cx。\end{array}\right. $

(17)

式中： $ {\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 0&{ - {a_0}}&{ - {a_1}} \end{array}} \right]$ ， ${\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {{b_0}} \\ { - {a_1}{b_0}} \end{array}} \right]$ ， ${\boldsymbol{E}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}} \right] $ ， ${\boldsymbol{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \end{array}} \right] $ 。

模型辅助线性扩张状态观测器（LESO）为：

$ \left\{\begin{array}{l}\dot{z}=(A-LC)z+[BL]{u}_{c}，\\ {y}_{c}=z。\end{array} \right.$

(18)

式中： $ {\boldsymbol{L}} = {[{L_1}\;\;{L_2}\;\; {L_3}]^{\rm{T}}} $ 为需要设计的观测器增益矩阵， $ {u_c} = {[u\;\;y]^{\rm{T}}} $ 为组合输入， $ {y_c} $ 为输出。

使用极点配置法求出增益矩阵的各状态量：

$ \left\{ \begin{gathered} {L_1} = 3{w_0} - {a_1}，\\ {L_2} = 3{w_0}^2 - 3{a_1}{w_0} - {a_0} + {a_1}^2 ，\\ {L_3} = {w_0}^3 - 3{a_1}{w_0}^2 + 3({a_1}^2 - {a_0}){w_0} + 2{a_0}{a_1} - {a_1}^3。\\ \end{gathered} \right. $

(19)

式中， $ {\omega _0} $ 为观测器带宽。

因为状态观测器可以实时估计并补偿内外部扰动，所以可以省去传统PID控制中为了消除静差的积分器，故线性状态误差反馈控制率（linear state error feedback, LSEF）可以进一步简化为PD组合。

$ {u_0} = {k_p}\left( {r - {z_1}} \right) - {k_d}{z_2}，$

(20)

根据线性自抗扰的参数整定方法^[12]，确定比例和微分系数：

$ {k_p} = {\omega _c}^2,{k_d} = 2{\omega _c}。$

(21)

式中： $ {\omega _c} $ 为控制器带宽，且有 $ {\omega _0} \approx (2 \sim 10){\omega _c} $ 。

根据不变性原理，当 $ {F_R}(s) = 1/{G_p}({\text{s}}) $ 时，输出可以完全复现输入，但实际系统中很难实现，本文选用 $ {G_k}\left( s \right) = {a_2}s $ 对系统进行补偿，在仿真中对 $ {a_2} $ 进行参数整定。

2 仿真研究

为验证带前馈的模型参考线性自抗扰控制器性能，搭建舰炮伺服系统仿真模型。设置仿真参数为：永磁同步电机额定转速 $ N = 3\;000\;{\rm{r}}/\min $ ，额定转矩 $ {{\text{T}}_e} = 35\;{\rm{N}}\cdot {\rm{m}} $ ，额定电压 $ U = 560\;{\rm{Vdc}} $ ，定子电阻 $ R = 0.06\;\Omega $ ，交轴、直轴 $ {L_d} = {L_q} = 0.52\;{\text{mH}} $ ，转子转动惯量 $ J = 0.002\;2\;{\text{kg}}\cdot {\text{c}}{{\text{m}}^{\text{2}}} $ ，极对数 $ p = 4 $ ；减速机减速比为280。为了简化处理使用稳态时的LuGre模型，设置参数为 $ {\sigma _2} = 0.02\;{\text{N}} \cdot {\text{m/(}}^\circ /{\rm{s}}{\text{)}} $ ， $ {w_s} = 0.02^\circ /{\rm{s}} $ ，折算到电机轴的力矩 $ {T_c} = 2.4\;{\text{N}} \cdot {\text{m}} $ ， $ {T_s} = 4.9\;{\text{N}} \cdot {\text{m}} $ 。

当方位伺服系统摩擦系数 $ \lambda = 1 $ 时，给定位置正弦信号 $ \theta = \sin 2t $ °。由图6和图7可知，在控制算法参数都调节到最优情况下，使用前馈+PID控制算法时，启动误差为0.023°，且当速度过零点时出现轻微爬行现象。使用前馈+MLADRC控制算法时，启动误差仅为0.006°，无爬行现象。

当方位伺服系统摩擦系数 $ \lambda = 6 $ 时，给定位置正弦信号 $ \theta = \sin 2t $ °。由图8和图9可知，使用前馈+PID控制算法时，启动误差为0.03°，当速度过零点时出现明显的爬行现象，使用前馈+MLADRC控制算法时，启动误差仅为0.007°，且无爬行现象。

3 结　语

在舰炮伺服系统中，非线性、时变摩擦力严重影响系统的动静态性能，需要设计对应的补偿策略消除其干扰。首先对舰炮伺服系统进行数学分析，并利用改进的LuGre 摩擦模型对非线性、时变摩擦力进行了描述；然后提出一种基于前馈补偿和模型参考线性自抗扰控制的复合控制器，最后通过仿真实验与传统的前馈PID控制器进行对比。结果表明，在不同的摩擦系数下新设计的复合控制器可以有效避免爬行等低速不稳定现象，同时启动误差相比前馈PID控制也大幅减小70%以上，可有效提高系统的控制精度。