0 引　言

近年来，随着无人驾驶技术在船舶上的应用，无人艇逐渐进入了人们的视野，发展迅速。由于现阶段无人艇设计的体型较小，推进轴系布置困难，而且无人艇在航行中可能会受到强烈的冲击作用，冲击作用会引起艇体的剧烈震动，从而影响推进系统的正常运转。因此，无人艇推进系统的平稳运行对无人艇生命力和战斗力有着非常重要的影响。对于一些独特的无人艇艇体结构，艇电动机输出中心线与螺旋桨轴中心线之间存在高低差，这时候，轴系间需要通过具有一定倾角的万向节联接，而由于其角度变化过程中必然会导致传动系统不均匀传动，在航行时这种不均匀的传动会对无人艇推进系统的平稳运行产生影响。

针对推进系统轴线夹角变化对系统振动特性的影响，Birkett等^[1]对万向节轴线夹角引起的推进系统扭转振动进行了研究，给出了关于扭振的计算方法。Essi T M 和Coutinho L F^[2-3]针对传动轴过长问题，提出若在推进系统上加设中间支承，可降低系统发生共振的可能性。董良雄^[4]研究了冲击激励作用下推进系统的振动特性，计算了多工况下的轴系冲击振幅，进而对船舶转速进行了合理的设计。夏林灰^[5]利用单万向节的结构原理对推进系统进行了运动学分析，并进行了运动仿真。赵广^[6]针对船舶动力装置中的转子-联轴器-轴承-隔振器系统，对系统的动力学特性进行了研究。

从有关万向节的研究成果中可以发现，万向节传动装置在传递转速转矩的过程中，只要万向节主、从动轴轴线夹角存在，从动轴转速转矩会产生波动，同时会产生附加弯矩等，轴线夹角对推进系统振动特性有何影响，目前还未形成明确的结论^[7]。而且，有关文献在对舰船推进系统振动进行研究时，几乎都将系统弯曲振动和扭转振动分别进行研究，而实际情况两者是耦合的^[8]。因此，本文在模型简化的基础上，建立十字轴万向节运动学模型，分析轴线夹角对万向节运动学特性的影响，其次建立双十字轴万向节弯-扭振动模型，研究不同扭转刚度下弯-扭振动对传动轴输出转速的的影响规律。

1 传动系统在无人艇上的应用

采用万向节传动装置的无人艇电力推进系统主要由电机、推力轴、推力轴承、中间轴、中间轴承、尾轴、螺旋桨等组成，推进系统在无人艇上的布置方式如图1所示。单十字轴式万向节主要由主动轴叉、十字轴、从动轴叉等组成，如图2所示。在万向传动装置中，单十字轴式万向节主动轴叉连接主动轴，从动轴叉连接从动轴。由于万向节主、从动轴轴线之间的相对位置不断变化，所以一般采用可伸缩的十字轴万向传动轴。

2 十字轴万向节运动学分析 2.1 单十字轴万向节运动学分析

如图1所示，单十字轴万向节用来连接轴线相交的两轴，实现角度变化的同时并传递动力。对万向节进行运动学分析时，可先建立其运动学坐标系。以十字轴中心点O作为坐标原点建立坐标系，使Y轴和 $ {Q}_{1} $ 轴的轴线相重合， $ {Q}_{1} $ 轴和 $ {Q}_{3} $ 轴位于YOZ平面上，如图3所示。图3（a）中，主动轴 $ {Q}_{1} $ 和从动轴 $ {Q}_{3} $ 分别绕着各自的轴心线作旋转运动，十字轴 $ {Q}_{2} $ 与主、从动轴轴线相交于点O，主动轴 $ {Q}_{1} $ 和从动轴 $ {Q}_{3} $ 所夹锐角为r，当主动轴 $ {Q}_{1} $ 旋转角位移 $ \alpha $ 时，从动轴 $ {Q}_{3} $ 旋转角位移为 $\,\beta$ ，此时十字轴 $ {Q}_{2} $ 位于图3(a)中的虚线位置；图3（b）表示十字轴的受力情况， $ {{T}}_{1} $ ， $ { {T}}_{2} $ 分别表示主动轴 $ {Q}_{1} $ ，从动轴 $ {Q}_{3} $ 对十字轴的扭矩， $ {{M}}_{1} $ 和 $ {{M}}_{2} $ 分别表示十字轴反作用在主动轴叉平面上以及从动轴叉平面上的弯矩^[9]。

如图3（a）所示，十字轴经过旋转后，在坐标系中的位置可用向量 $ \overrightarrow{{O}{a}} $ 和 $ \overrightarrow{{O}{b}} $ 表示为：

$ \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{Oa}=\left(\mu \mathrm{cos}\alpha \right)i+\left(\mu \sin\alpha \right)k，\\ \overrightarrow{Ob}=\left(-\mu \sin \beta \right)i+\left(\mu \mathrm{cos}\beta \sin r\right)j+\left(\mu \mathrm{cos}\beta \mathrm{cos} {r}\right)k。\end{array}\right. $

(1)

式中： $\,\mu$ 为十字轴的半径， $ i $ ， $ j $ ， $ k $ 为X，Y，Z方向的单位向量。

由于向量 $ \overrightarrow{{O}{a}} $ 和 $ \overrightarrow{{O}{b}} $ 相互垂直，可得：

$ -\mathrm{cos}\alpha \sin\beta +\sin\alpha \mathrm{cos}\beta \mathrm{cos}{r}=0，$

(2)

由式（2）可得：

$ \mathrm{tan}\alpha =\mathrm{cos} {r}\mathrm{tan}\beta，$

(3)

当主动轴旋转 $ {{\text{π}} } $ /2后，从动轴同样旋转了 $ {{\text{π}} } $ /2，由式（3）可得：

$ \mathrm{tan}\beta =\mathrm{cos}{r}\mathrm{tan}\alpha 。$

(4)

式（4）两边同时对时间求导得：

$ \dot{\beta }=\frac{\mathrm{d}\beta }{\mathrm{d}{t}}=\mathrm{arctan}{\left(\mathrm{cos}r\mathrm{tan}\alpha \right)}'=\frac{\mathrm{cos}{r}}{1-{(\sin r\cdot \cos\alpha )}^{2}}\cdot\dot{\alpha } ，$

(5)

由式（5）可得从动轴加速度表达式为：

$ {\dot{\beta }'} = \frac{-{\left(\sin r\right)}^{2} \cdot \cos r \cdot \sin\left(2\alpha \right)}{{(1 - {(\sin r \cdot \cos\alpha )}^{2})}^{2}} \cdot {\dot{\alpha }}^{2} + \frac{\mathrm{cos}{r}}{1 - {(\sin r\cdot \cos\alpha )}^{2}}\cdot{\dot{\alpha}'} 。$

(6)

将式（5）和式（6）应用Matlab编程分析，可计算得到主、从动轴角速度、加速度的变化关系，如图4所示。设定主动轴角速度 $ {\dot{\theta }}_{1} $ =3 600 rad/min，万向节轴线夹角分别为r=3°，r=5°和r=8°，使主动轴 $ {Q}_{1} $ 旋转2.5周，分别输出主动轴与从动轴变化关系图。

图4表示在十字轴万向节传动过程中，主、从动轴不同夹角下，从动轴角速度以及角加速度随主动轴转角的变化情况，以主动轴旋转2.5周为观察周期，其波动特征具体体现在：当两轴夹角存在，主动轴以恒定角速度 $ {\dot{\theta }}_{1} $ 转动时，主、从动轴的角速度以及角加速度并不时时相等，角速度变化范围为60±0.6 rad/s，这反映了十字轴万向节不等速的运动特征，也是造成推进系统振动的主要原因。而当两轴夹角增大时，从动轴角速度、角加速度波动剧烈，这说明当夹角过大时，角加速度会极大，从而造成推进系统剧烈振动。

2.2 多万向节运动学分析

实际无人艇传动结构中，为了减小单十字轴万向节的转速转矩波动，可采用双十字轴万向节，即用2个单十字轴万向节将主动轴、中间轴和从动轴连接起来，如图5所示。图中， $ {{r}}_{1} $ 与 $ {{r}}_{2} $ 分别为主、从动轴轴线的夹角，此时，从动轴角位移为 $ \gamma $ 。

根据式（5），万向节1旋转至 $ {\varphi }_{1}=60 $ °， $ {\varphi }_{1}= 120 $ °位置时，从动轴角速度 $\,\dot{\beta }$ 与 $ \dot{\alpha } $ 关系可表示为：

$ \frac{\dot{\beta }}{\dot{\alpha }}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{{r}}_{1}}{1-{\sin}^{2}{{r}}_{1}{\cos}^{2}(\alpha +{\text{π}} /3)}，$

(7)

$ \frac{\dot{\beta }}{\dot{\alpha }}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{{r}}_{1}}{1-{\sin}^{2}{{r}}_{1}{\cos}^{2}(\alpha +2{\text{π}} /3)}。$

(8)

同样地，万向节2旋转至 $ {\varphi }_{2} $ 位置时，从动轴角速度 $ \dot{\gamma } $ 与 $\,\dot{\beta }$ 的关系为：

$ \frac{\dot{\gamma }}{\dot{\beta }}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{{r}}_{2}}{1-{\sin}^{2}{{r}}_{2}{\cos}^{2}(\beta +{\varphi }_{2})}，$

(9)

当两万向节不存在相位角差时（ $ {\varphi }_{1}={\varphi }_{2} $ ），此时从动轴转速波动为：

$ \frac{\dot{\gamma }}{\dot{\alpha }}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{{r}}_{1}}{1-{\sin}^{2}{{r}}_{1}{\cos}^{2}(\alpha +{\varphi }_{1})}\cdot\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{{r}}_{2}}{1-{\sin}^{2}{{r}}_{2}{\cos}^{2}(\beta +{\varphi }_{2})}。$

(10)

对于整个推进系统，设万向节k（k=1,2,3）的转速波动为v_k，则有：

$ {{v}}_{{k}}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{{r}}_{{k}}}{1-{\sin}^{2}{{r}}_{{k}}{\cos}^{2}({\sigma }_{{k}}+{\varphi }_{{k}})} 。$

(11)

式中： ${{r}}_{{k}}$ 为万向节k的轴线夹角； ${\sigma }_{{k}}$ 为轴k的转角； ${\varphi }_{{k}}$ 为万向节k的相位角。

根据式（7）和式（8），可得到万向节1旋转至 $ 0 $ °， $ 60 $ °以及 $ 120 $ °位置时从动轴转速曲线，如图6所示。

观察图6可以发现，当万向节1旋转至 $ 0 $ °， $ 60 $ °以及 $ 120 $ °位置时，从动轴转速出现不同程度的波动，说明从动轴转速波动的大小受万向节相位角的影响。将万向节1旋转至 $ 0 $ °位置，由式（2）～式（10）可知，轴线夹角 $ {{r}}_{1} $ 与 $ {{r}}_{2} $ 不变时，若两万向节相位角确定，则从动轴转速波动的大小也随之确定，而当两万向节相位角差90°时，若 $ {{r}}_{1} $ 与 $ {{r}}_{2} $ 相等，则两万向节的波动相互抵消，此时从动轴的转速波动最小。

2.3 十字轴对主、从动轴叉附加弯矩的影响

如图3（b）所示，根据主动轴 $ {Q}_{1} $ 、从动轴 $ {Q}_{3} $ 对十字轴的转矩 ${{T}}_{1}$ ， $ {{T}}_{2} $ 的矢量方向可以发现，若不考虑附加力耦矩，则两转矩的矢量方向并不相同。因此，必定存在附加弯矩，使得矢量反向封闭形成平衡状态^[10]。设作用在万向节主动轴叉、从动轴叉平面上的2个附加弯矩分别为 $ {{M}}_{1} $ 和 $ {{M}}_{2} $ ，附加弯矩 $ {{M}}_{1} $ 和 $ {{M}}_{2} $ 影响着传动轴的弯曲振动和十字轴的受力情况，而单十字轴万向节在 $ {{T}}_{1} $ ， $ {{T}}_{2} $ ， $ {{M}}_{1} $ ， $ {{M}}_{2} $ 四力耦矩作用下达到平衡，将合力矩沿着X，Y，Z三个方向展开，可得到如下关系式：

$ \left\{\begin{aligned} & M_{2}\cos \beta -M_{1}\sin \alpha =0，\\ & M_{1}\cos \alpha +M_{2}\sin \beta \cos r+T_{2}\sin r=0，\\ & -T_{1}-M_{2}\sin \beta \sin r+T_{2}\cos r=0。\end{aligned}\right. $

(12)

由式（4）、式（12）可得：

$ \left\{\begin{aligned} & M_{1}=-\cos\alpha \tan r{\cdot{T}}_{1}，\\ & M _{2}=-\dfrac{{\left(\sin \alpha \right)}^{2}\sin r}{\sin \beta }\cdot{{T}}_{1}，\\ & T_{2}=\dfrac{1-{(\sin r\cdot \cos\alpha )}^{2}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{r}}\cdot{{T}}_{1}。\end{aligned}\right. $

(13)

由式（13）可知，附加弯矩 $ {{M}}_{1} $ 和 $ {{M}}_{2} $ 受轴线夹角r与主动轴转角 $ \alpha $ 的影响。当轴线夹角不变，主动轴转角 $ \alpha =0 $ 或 $ \alpha ={\text{π}} $ 时，附加弯矩 $ {{M}}_{2}\mathrm{最}\mathrm{小} $ ，此时作用在主动轴叉平面上的附加弯矩 $ {{M}}_{1} $ 和从动轴 $ {Q}_{3} $ 对十字轴的扭矩 $ {{T}}_{2} $ 达到最大，单十字轴万向节在 $ {{T}}_{1} $ ， $ {{T}}_{2} $ ， $ {{M}}_{1} $ 三力耦矩作用下处于平衡状态。为进一步分析附加弯矩与轴线夹角的变化规律，将式（4）、（12）、（13）应用Matlab编程分析，设定输入转矩为800 N·m,可以计算得到，随着主动轴的持续转动， $ {{M}}_{1} $ ， $ {{M}}_{2} $ 与轴线夹角r的变化关系，如图7所示。

由图7可知，当主、从动轴夹角存在，主动轴转矩一定时，附加弯矩 $ {{M}}_{1} $ ， $ {{M}}_{2} $ 存在波动。随着主动轴的持续转动，轴线夹角r越大，附加弯矩 $ {{M}}_{1} $ ， $ {{M}}_{2} $ 变化幅值也越大，推进系统的弯曲振动也越明显，而当附加弯矩过大时，会引起十字轴万向节部分及轴管的弯曲变形，从而造成系统的弯曲振动。同时附加弯矩所引起的振动通过中间支承传递到艇体，进而引起无人艇艇体的振动。

3 十字轴万向节的弯-扭振动响应计算

在附加弯矩作用下，十字轴万向节发生弯曲，当传动系统处于高速转动状态时，系统的动平衡被破坏，可能导致十字轴万向节产生弯曲振动，而且从动轴转动时快时慢也会导致万向节产生扭转振动，这些振动相互耦合作用，形成叠加振动，导致万向节振动加剧，进而影响推进系统的稳定性^[11]。以双十字轴万向节为研究对象，建立如图8所示万向节简化当量模型。

根据图8所示当量模型，利用拉格朗日方程建立双十字轴万向节弯-扭运动微分方程组：

$ \left\{ \begin{aligned} &{J}_{1}\ddot{{\theta }_{1}}+ {C}_{1}({\dot{\theta }}_{1}-{\dot{\theta }}_{2} )+ {K}_{1}( {\theta }_{1}-{\theta }_{2})= {G}_{1}，\\ &{J}_{2}\ddot{{\theta }_{2}}+ {C}_{1}({\dot{\theta }}_{2}-{\dot{\theta }}_{1} )+ {K}_{1}( {\theta }_{2}-{\theta }_{1})= {-G}_{2}，\\ &{J}_{3}\ddot{{\theta }_{3}}+{C}_{2} ({\dot{\theta }}_{3}-{\dot{\theta }}_{4}) +{K}_{2}( {\theta }_{3}-{\theta }_{4})={G}_{3}，\\ &{J}_{4}\ddot{{\theta }_{4}}+{C}_{2}({\dot{\theta }}_{4}-{\dot{\theta }}_{3}) +{K}_{2}({\theta }_{4}-{\theta }_{3})={-G}_{4}，\\ &{J}_{5}\ddot{{\theta }_{5}}+{C}_{3}({\dot{\theta }}_{5}-{\dot{\theta }}_{6}) +{K}_{3}({\theta }_{5}-{\theta }_{6})={G}_{5}，\\ &{J}_{6}\ddot{{\theta }_{6}}+{C}_{3}({\dot{\theta }}_{6}-{\dot{\theta }}_{5}) +{K}_{3}({\theta }_{6}-{\theta }_{5})={-G}_{6}\\ &{{m}}\ddot{y}+{C}_{1}\dot{y}+{K}_{4}{y}={{F}}_{{y}}\text{，}{{m}}\ddot{z}+{C}_{1}\dot{z}+{K}_{4}{{z}}= {{F}}_{{z}}。\end{aligned}\right. $

(14)

式中： $ {{J}}_{1} $ ， $ {{J}}_{2} $ ， $ {{J}}_{3} $ ， $ {{J}}_{4} $ ， $ {{J}}_{5} $ ， $ {{J}}_{6} $ 分别为万向节各部件绕其轴线的转动惯量； $ {{K}}_{1} $ ， $ {{K}}_{2} $ ， $ {{K}}_{3} $ 分别为主动轴，中间轴以及从动轴轴段的扭转刚度； $ {{C}}_{1} $ ， $ {{C}}_{2} $ ， $ {{C}}_{3} $ 分别为阻尼系数； $ {{G}}_{1} $ ， $ {{G}}_{2} $ ， $ {{G}}_{3}{，}{{G}}_{4} $ ， $ {{G}}_{5} $ ， $ {{G}}_{6} $ 分别为转矩； $ {m} $ 为主动轴支承处的质量； $ {{F}}_{{y}} $ ， $ {{F}}_{{z}} $ 为支承处 $ {y}{，}{z} $ 向载荷； $ {{C}}_{4} $ ， $ {{K}}_{4} $ 分别为主动轴支承处阻尼和弹簧刚度，双十字轴万向节当量参数如表1所示。

根据建立的双十字轴万向节弯-扭运动微分方程组，在Matlab软件中编写程序计算，可得到不同扭转刚度下万向节的弯-扭振动响应曲线如图9和图10所示。

图9为主动轴支承处y和z向的转速时域响应以及频域响应图。观察图9（a）和图9（c）可以看出，原扭转刚度值下，y和z方向的转速分别在−4.8～4 mm和−9～8 mm范围内波动，波动幅度分别为0.8 mm和1 mm，而扭转刚度取小值时，转速波动幅值有所减小，而且z方向转速响应要高于y方向，说明弯振对主动轴支承处z方向转速影响较大。图9（b）和图9（d）是在图9（a）和图9（c）的基础上通过FFT变换得到的主动轴转速频谱图，在0～20 Hz的低频段区域，均出现了2个较为明显的峰值，而频率超过20 Hz时，频谱曲线变化趋于平缓，说明弯振对主动轴支承处的影响主要集中在0～20 Hz的低频段区域，且对z方向的影响要高于y方向。

观察图10（a）可以发现，在扭转刚度不变时，从动轴输出转速在179~181 rad/s范围内波动，波动幅度为2 rad/s，考虑改变万向节轴段扭转刚度，即刚度取小值时可以看出，转速波动的幅值有所减小。图10（b）是在图10（a）的基础上通过FFT变换得到的从动轴转速频谱图，在0~1000 Hz的频段区域，出现了2个较为明显的峰值，其主峰值对应的横坐标分别为616.7 Hz和449.67 Hz，而当频率超过1000 Hz时，频谱曲线变化趋于平缓，说明扭振对转速的影响主要集中在0~1000 Hz的频段区域。通过以上分析可知，适当减小万向节轴段扭转刚度可以有效降低从动轴输出转速的波动幅值，使万向节传递稳定的转速到螺旋桨。

4 结　语

针对采用万向节传动装置的无人艇推进系统，分析轴线夹角对万向节运动学特性的影响，建立双十字轴万向节简化当量模型，对系统的弯-扭振动响应进行了计算，主要得到以下结论：

1）传动系统轴线夹角调节过程中，万向节从动轴角速度、角加速度以及附加弯矩随主动轴转角变化曲线呈正弦波动规律，其响应随轴线夹角的增大而增强，而且附加弯矩越大，传动系统的弯曲振动也越明显；

2）万向节相位角影响着从动轴转速波动的大小，将万向节1旋转至 $ {\varphi }_{1}=0 $ °位置，两万向节相位角差为 $ {\text{π}} /2 $ 时，若轴线夹角相等，则两万向节的波动相互抵消，此时双十字轴万向节从动轴的转速波动最小；

3）传动系统弯曲振动对万向节主动轴支承处z方向转速响应要高于y方向，而扭转振动对主动轴输出转速的影响受万向节轴段扭转刚度的影响，适当减小扭转刚度可以有效降低万向节输出转速的波动幅值。