0 引　言

并联机构相比于串联机构具有运动精度高、承载力大等特点，常用于医疗、航空、波浪补偿等领域^[1-3]。海上作业波浪补偿时，船舶通过锚泊定位和动力定位技术可以保持一定的位置，但由于风浪流的影响会不可避免的出现横摇、纵摇和升沉运动，所以一般只需要对船舶这3个自由度进行补偿。本文提出一种两转动一平动的三自由度平台^[4]用于波浪补偿研究，其承载力大、运动空间范围广的优点满足海上波浪补偿的要求。

由于三自由度并联机构种类繁多，其运动学求解方式多样，而且不同的机构运动学特性差异较大，故实际应用时，必须针对不同的具体需要对三自由度并联机构进行运动学特性分析以及合理的设计^[5]。李绍安^[6]和罗文豹^[7]通过上下平台的齐次变换矩阵得到了机构运动学反解，然后直接通过反解方程构建超越方程从而求得正解，而本文基于该新型机构构型的特殊性，找到了一种求解正解的新思路。首先以同样的方法推导出反解，然后基于机构的反解推导出了关于正解的七元二次方程组。最后通过举例计算验证了其正确性，为机构的控制提供了理论基础。该机构的重力平衡缸不仅约束了上平台的运动，更主要承担了上平台的垂向受力，考虑到重力平衡缸不同布置形式会影响到上平台的承载和运动性能，为了确定重力平衡的布置形式且减少机构的成本，本文通过运动学分析得到位姿调节缸的行程和通过李雅可比矩阵得到位姿调节缸的受力，并由此构造优化目标，设置约束条件，利用遗传算法得到了在约束条件下较优的重力平衡缸布置形式。

机构设计时需避免在工作空间内出现奇异形位，本文应用Grassmann线几何工具和旋量理论对机构的奇异形位进行识别和分析，先从两转动一平动三自由度平台的静力平衡条件入手，得到机构的Jacobian矩阵，由此便得到了用于描述Grassmann线几何的6条线矢，然后通过线几何法给出了机构的奇异位形。最后通过数值仿真法遍历机构的工作空间，排除了机构存在奇异的可能性。

1 运动学正反解

机构的正反解是机构运动学分析的基础，在此机构中，3个位姿调节缸的伸缩长度为输入量，动平台的位姿为输出量。机构的正解为已知3个位姿调节缸的伸缩长度，求解动平台的位姿；机构的反解为已知动平台的位姿，求解3个位姿调节缸的伸缩长度。

1.1 机构结构分析

如图1所示，该三自由度机构平台主要组成为：下平台（基座）和上平台（动平台）、3个能实现伸缩运动的位姿调节缸（采用电动缸）、位姿调节缸与上下平台连接用的十字铰链、2个伸缩限位机构（重力平衡缸）、1个直线滑轨，以及2个浮动接头和1个用于储存能量的气囊。通过控制3个位姿调节机构可以使得动平台绕X轴方向和绕Y轴方向的转动，以及实现沿Z轴方向上的平动。3个位姿调节缸和上平台的以及和下平台的3个铰链安装位置均成等腰三角形分布，顶角的方向一致，并且上下2个平台的铰链点构成的等腰三角形相似。

1.2 反　解

首先设下平台铰链构成的等腰三角形的底边长为 ${D_1}$ ，高为 ${H_{\text{1}}}$ ，下平台到上平台的高度为 $h$ ，上平台和下平台的2个等腰三角形的相似比为 $k(0＜k＜1)$ ，即上平台铰链构成的等腰三角形的底边长为 ${D_2}({D_2} = k{D_1})$ ，高为 ${H_2}({H_2} = k{H_1})$ 。

在下平台建立基坐标系 $O - XYZ$ ，上平台建立动坐标系 $O' - X'Y'Z'$ ，如图2所示。分析该并联机构，上平台的运动可由3种运动合成，分别是绕 $X'$ 轴的转动、绕 $Y'$ 轴的转动和沿 $Z'$ 轴的平动，由于上平台伸缩限位球铰和另一个伸缩限位件滑块的限制，上平台相对于下平台的运动可以表示为：

$T = Trans( - k{D_1}/2,0,Z) \cdot Rot({Y'},\beta ) \cdot Rot({X'},\alpha )，$

(1)

$Trans( - k{D_1}/2,0,Z) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&{ - k{D_1}/2} \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&Z \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]，$

(2)

$Rot(X',\alpha ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0 \\ 0&{\cos \alpha }&{ - \sin \alpha }&0 \\ 0&{\sin \alpha }&{\cos \alpha }&0 \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right] ，$

(3)

$Rot(Y',\beta ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \beta }&0&{\sin \beta }&0 \\ 0&1&0&0 \\ { - \sin \beta }&0&{\cos \beta }&0 \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right] 。$

(4)

其中： ${\rm{Trans}}( - k{D_1}/2,0,Z)$ 为动坐标系相对于基坐标系的位置变换矩阵；Z为动平台在 $Z'$ 轴方向上的位移； ${\rm{Rot}} (X',\alpha )$ 为动平台绕 $X'$ 轴旋转角度为 $\alpha$ 时的旋转变换矩阵； ${\rm{Rot}}(Y',\beta )$ 为动平台绕 $Y'$ 轴旋转角度为 $\,\beta$ 时的旋转变换矩阵。

将 ${\rm{Trans}}( - k{D_1}/2,0,Z)$ ， ${\rm{Rot}}(X',\alpha )$ ， ${\rm{Rot}}(Y',\beta )$ 计算式代入式（1），可得：

${\boldsymbol{T}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \beta }&{\sin \alpha \cdot \sin \beta }&{\cos \alpha \cdot \sin \beta }&{ - {{k}}{D_1}/2} \\ 0&{\cos \alpha }&{ - \sin \alpha }&0 \\ { - \sin \beta }&{\sin \alpha \cdot \cos \beta }&{\cos \alpha \cdot \cos \beta }&Z \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]。$

(5)

运动前，3个位姿调节缸的下铰链中心相对于基坐标系的坐标分别为 $({x_{{B_i}}},{y_{{B_i}}},{z_{{B_i}}})$ 。

$({x_{{B_1}}},{y_{{B_1}}},{z_{{B_1}}}) = ( - {D_1}/2, - {H_1}/2,0)，$

(6)

$({x_{{B_2}}},{y_{{B_2}}},{z_{{B_2}}}) = ({D_1}/2, - {H_1}/2,0)，$

(7)

$({x_{{B_3}}},{y_{{B_3}}},{z_{{B_3}}}) = (0,{H_1}/2,0)。$

(8)

上铰链中心相对于动坐标系的坐标分别为 $(0，-k{H}_{1}/ 2,0)$ ， $(k{D_1}, - k{H_1}/2,0)$ ， $(k{D_1}/2,k{H_1}/2,0)$ 。

运动后，设3个位姿调节缸的上铰链中心相对于基坐标系的坐标分别为 $({x_{{A_i}}},{y_{{A_i}}},{z_{{A_i}}})$ ，3个位姿调节缸的长度为 ${L_i}$ ，将各坐标变为其次表达式，得到：

${({x_{{A_1}}},{y_{{A_1}}},{z_{{A_1}}},1)^{\rm{T}}} = T \cdot {(0, - k{H_1}/2,0,1)^{\rm{T}}}，$

(9)

${({x_{{A_2}}},{y_{{A_2}}},{z_{{A_2}}},1)^{\rm{T}}} = T \cdot {(k{D_1}, - k{H_1}/2,0,1)^{\rm{T}}}，$

(10)

${({x_{{A_3}}},{y_{{A_3}}},{z_{{A_3}}},1)^{\rm{T}}} = T \cdot {(k{D_1}/2,k{H_1}/2,0,1)^{\rm{T}}}。$

(11)

根据式 （5）、式（9）、式（10）和式（11）可以求得：

$\begin{split} ({x_{{A_1}}},{y_{{A_1}}},{z_{{A_1}}}) =\;& ( - k{H_1}/2\sin \alpha \cdot \sin \beta - k{D_1}/2,\\ &- k{H_1}/2\cos \alpha , - k{H_1}/2\sin \alpha \cdot \cos \beta +Z) ，\end{split}$

(12)

$\begin{split} ({x_{{A_2}}},{y_{{A_2}}},{z_{{A_2}}}) =\;& (k{D_1}\cos \beta - k{H_1}/2\sin \alpha \cdot \sin \beta - kD/2, \\&- k{H_1}/2\cos \alpha , - k{D_1}\sin \beta -k{H_1}/ 2 \times\\& \sin \alpha \cdot \cos \beta + Z)，\\[-12pt] \end{split}$

(13)

$\begin{split} ({x_{{A_3}}},{y_{{A_3}}},{z_{{A_3}}}) =\;& (k{D_1}/2\cos \beta + k{H_1}/2\sin \alpha \cdot \sin \beta - k{D_1}/2,\\&k{H_1}/2\cos \alpha , - k{D_1}/ 2\mathrm{sin}\beta +\\&k{H}_{1}/2sin\alpha cos\beta +Z)，\\[-12pt] \end{split}$

(14)

3个电动缸的长度为：

${L_1}^2 = {({x_{{A_1}}} - {x_{{B_1}}})^2} + {({y_{{A_1}}} - {y_{{B_1}}})^2} + {({z_{{A_1}}} - {z_{{B_1}}})^2} ，$

(15)

${L_2}^2 = {({x_{{A_2}}} - {x_{{B_2}}})^2} + {({y_{{A_2}}} - {y_{{B_2}}})^2} + {({z_{{A_2}}} - {z_{{B_2}}})^2} ，$

(16)

${L_3}^2 = {({x_{{A_3}}} - {x_{{B_3}}})^2} + {({y_{{A_3}}} - {y_{{B_3}}})^2} + {({z_{{A_3}}} - {z_{{B_3}}})^2}，$

(17)

将式（6）～式（8）、式（12）～（14）代入，可以得到：

$\begin{split} {L}_{1}{}^{2}=\;&{\left(k{H}_{1}/2\mathrm{sin}\alpha \cdot \mathrm{sin}\beta \text+\frac{\left(1-k\right)}{2}{D}_{1}\right)}^{2}+( - k{H_1}/2\cos \alpha +\\& {H_1}/2)^2 + \left( - k{H_1}/2\sin \alpha \cdot \cos \beta + Z\right)^2 ，\\[-12pt] \end{split}$

(18)

$\begin{split} {L}_{2}{}^{2}=\;&{\left(k{D}_{1}\mathrm{cos}\beta -k{H}_{1}/2\mathrm{sin}\alpha \cdot \mathrm{sin}\beta -\frac{\left(1+k\right)}{2}{D}_{1}\right)}^{2}+\\ &{\left( - k{H_1}/2\cos \alpha + {H_1}/2\right)^2} + \left( - k{D_1}\sin \beta - \right.\\&\left. k{H}_{1}/2sin\alpha cos\beta +Z\right)^{2}，\end{split}$

(19)

$\begin{split} {L_3}^2 =\;& {(k{D_1}/2\cos \beta + k{H_1}/2\sin \alpha \cdot \sin \beta - k{D_1}/2)^2} +\\& {(k{H_1}/2\cos \alpha - {H_1}/2)^2} + ( - k{D_1}/2\sin \beta +\\& k{H}_{1}/2sin\alpha cos\beta +Z)^{2}。\end{split}$

(20)

若设 ${L_0}$ 为3个位姿调节缸的初始长度，则 ${L_i} - {L_0}$ 则为3个位姿调节缸的伸缩长度。

1.3 正　解

当给出输入关节的长度 ${L_1}$ ， ${L_2}$ ， ${L_3}$ 时，由给出的关节长度可以确定3个方程组：

${L_1}^2 = {\left({x_{{A_1}}} + \frac{{{D_1}}}{2}\right)^2} + {\left({y_{{A_1}}} + \frac{{{H_1}}}{2}\right)^2} + {z_{{A_1}}}^2 ，$

(21)

${L_2}^2 = {\left({x_{{A_2}}} - \frac{{{D_1}}}{2}\right)^2} + {\left({y_{{A_2}}} + \frac{{{H_1}}}{2}\right)^2} + {z_{{A_2}}}^2，$

(22)

${L_3}^2 = {x_{{A_3}}}^2 + {\left({y_{{A_3}}} - \frac{{{H_1}}}{2}\right)^2} + {z_{{A_3}}}^2 ，$

(23)

再由上平台参数可以确定3个方程组：

${(k{D_1})^2} = {({x_{{A_1}}} - {x_{{A_2}}})^2} + {({y_{{A_1}}} - {y_{{A_2}}})^2} + {({z_{{A_1}}} - {z_{{A_2}}})^2} ，$

(24)

$\begin{split} {\left(k{H_1}\right)^2} =\;& {\left({x_{{A_3}}} - \frac{{{x_{{A_1}}} + {x_{{A_2}}}}}{2}\right)^2} + {\left({y_{{A_3}}} - \frac{{{y_{{A_1}}} + {y_{{A_2}}}}}{2}\right)^2} + \\& {\left({z_{{A_3}}} - \frac{{{z_{{A_1}}} + {z_{{A_2}}}}}{2}\right)^2} ，\end{split}$

(25)

$\begin{split} &\left({x}_{{A}_{3}}-\frac{{x}_{{A}_{1}}+{x}_{{A}_{2}}}{2}\right)\cdot ({x}_{{A}_{1}}-{x}_{{A}_{2}}）+\left({y}_{{A}_{3}}-\frac{{y}_{{A}_{1}}+{y}_{{A}_{2}}}{2}\right)\times\\ &({y}_{{A}_{1}}-{y}_{{A}_{2}})+\left({z}_{{A}_{3}}-\frac{{z}_{{A}_{1}}+{z}_{{A}_{2}}}{2}\right)\cdot ({z}_{{A}_{1}}-{z}_{{A}_{2}})=0 ，\end{split}$

(26)

再观察式（12）～式（14），可以得到：

${y_{{A_1}}} = {y_{{A_2}}} = - {y_{{A_3}}} ，$

(27)

$3{x_{{A_1}}} - {x_{{A_2}}} + 2{x_{{A_3}}} = - 2k{D_1}，$

(28)

$\left\{ \begin{aligned} k{D_1}\cos \beta =\;& {x_{{A_2}}} - {x_{{A_1}}} ，\\ k{D_1}\sin \beta =\;& {z_{{A_1}}} - {z_{{A_2}}} ，\end{aligned} \right.$

(29)

$\left\{ \begin{aligned} & - k{H_1}/2\cos \alpha = {y_{{A_1}}}，\\ & k{H_1}\sin \alpha \cos \beta - k{D_1}/2 \cdot \sin \beta = {z_{{A_3}}} - {z_{{A_1}}}，\end{aligned} \right.$

(30)

$- kH/2\sin \alpha \cdot \cos \beta + Z = {z_{{A_1}}}。$

(31)

将式（27）代入式（21）～式（26）并联合式（28）即可得到关于上平台坐标的七元二次方程组，利用牛顿下山法求解该非线性方程组，然后根据式（29）～式（31）依次求出 $\,\beta ，\alpha ，Z$ 。

令 ${D_1} = 1\;{\rm{m}},\;{H_1} = 1\;{\rm{m}},\;k = 0.5$ ，运算结果如表1所示。

当输入上平台的位姿时，由反解得到3个位姿调节缸的长度，再将得到的3个位姿调节缸的长度作为输入，由正解得出上平台的位姿。由表1可知，机构的运动学正反解相互对照，从而验证了机构正解推导过程的正确性。

2 机构优化设计分析

基于波浪补偿所需要的运动性能指标，以绕 $X'$ 轴运动为横摇运动，以绕 $Y'$ 轴运动为纵摇运动，以沿着 $Z'$ 的平移运动为升沉运动，给出了该三自由度平台的运动性能指标如表2所示。

该机构的重力平衡缸主要承担了上平台的垂向受力，并且约束了上平台的另外3个自由度的运动，影响了机构的运动，这些都直接表现在了位姿调节缸的受力和行程上。为了较好发挥重力承重缸的作用，减少机构成本，本文所分析的机构要注意2个指标，一个是通过布置重力平衡缸的位置来使得电动缸的受力尽可能小，另一个就是在机构的工作空间内使得电动缸的行程尽可能小。

2.1 目标函数

平台的设计变量为 $X[a{\text{ }}b{\text{ }}c]$ 。式中 $a$ 和 $b$ 分别为不带滑块的重力平衡缸的横纵坐标， $c$ 为带滑块的重力平衡缸到不带滑块的重力平衡缸的距离，如图3所示。

以电动缸的受力和行程为优化目标，平台的优化目标函数为：

$f（X）=\frac{1\;000}{{\tau }_{\mathrm{max}}}+\frac{1}{{L}_{\mathrm{max}}} 。$

(32)

式中： ${\tau _{\max }}$ 为3个电动缸所受最大的推拉力，N； ${L_{\max }}$ 为3个电动缸在运动过程中行程最大的缸的数值，m。

推导电动缸的推拉力方程，根据虚功原理可得到：

${F^{\rm{T}}}\delta x = {\tau ^{\rm{T}}}\delta l 。$

(33)

式中： $F$ 为一个作用在动平台上的 $3 \times 1$ 维的力和力矩矢量； $\delta x$ 为动平台的 $3 \times 1$ 维无穷小笛卡尔位移和角度矢量； $\tau$ 为 $3 \times 1$ 维关节力矢量； $\delta l$ 为关节的 $3 \times 1$ 维无穷小笛卡尔位移矢量。

根据雅可比矩阵的定义可得：

$\delta x = {\boldsymbol{J}}\delta l，$

(34)

式中： ${\boldsymbol{J}}$ 为机构的李雅可比矩阵，可由机构的运动学方程得到。

将式（34)代入式（33)可得：

${F^{\rm{T}}}J\delta l = {\tau ^{\rm{T}}}\delta l，$

(35)

式（35）对于所有的 $\delta l$ 都成立，故有：

${F^{\rm{T}}}J = {\tau ^{\rm{T}}}，$

(36)

两边转置即得电动缸的受力：

$\tau = {J^{\rm{T}}}F。$

(37)

2.2 优化结果

令 ${D_1} = 1\;{\rm{m}},\;{H_1} = 1\;{\rm{m}},\;k = 0.5$ ，变量约束条件为 $0 \leqslant a \leqslant 0.5,0 \leqslant b \leqslant 0.5,0 \leqslant a + c \leqslant 0.5$ ，旋转运动约束为 $- 15^\circ \leqslant \alpha \leqslant 15^\circ ,\; - 6^\circ \leqslant \beta \leqslant 6^\circ$ ，升沉运动约束为 $- 0.69\;{\rm{m}} \leqslant Z \leqslant 0.91\;{\rm{m}}$ ，上平台初始高度为0.8 m，上平台质量为100 kg，单个重力平衡缸的承载力为100 kg，有效载荷质量为100 kg，依次布置在上平台四周，偏距为1 m。利用遗传算法^[8]以优化目标函数为目标来求解优秀个体，算法控制参数如下：

初始种群个数为200个，编码长度为10，变异率为0.8，交叉互换概率为0.3，最大迭代次数为50次，得到结果如表3所示。

由表3可知，在该优化目标函数下，不带滑块的重力平衡缸应布置在上平台中间靠左边的位置，而带滑块的重力平衡缸应布置在上平台中间靠右边的位置，由此可见给定的机构形式基本满足该布置要求。

3 奇异性分析 3.1 Grassmann线几何法^[11]

Grassmann为了揭示线簇的几何特性，对线几何进行深入的研究。Grassmann线几何法详尽说明了空间线矢之间的几何关系，并利用线矢之间的关系，得出了不同线簇的秩。根据线簇的秩从1到5分别介绍，如图4所示。

线簇秩为1时，表示空间的一条直线；线簇秩为2时，有2种情况：①空间不相交的2条直线，称为4.2a；②共面且共点的直线束，称为4.2b。线簇秩为3时，有4种情况：①空间交错的3条直线，称为4.3a；②两个平面直线束汇交于它们的交线，称为4.3b；③空间共点线束，称为4.3c；④共面线束，称为4.3d。线簇秩为4时，有4种情况：①4条不同处于一个单叶双曲面的空间交错直线，称为4.4a；②同时与另外两条直线相交的4条直线，称为4.4b；③3个平面线束有一条共公交线，称为4.4c；④包括共点及共面的线束，且汇交点在其平面上，称为4.4d。线簇秩为5时，有2种情况：①一般线性丛，即不与同一条直线相交的空间线性无关的5条直线，称为4.5a；②奇异线性丛，即能与同一条直线相交的所有直线，称为4.5b。

3.2 静力学分析

忽略铰链和滑块的摩擦力， ${F_{O'}}$ 为动平台在 $O'$ 所受到的集中力， ${F_{O'}} = [{F_x},{F_y},{F_z}]$ ，令 ${M_{O'}}$ 为动平台在 $O'$ 点所受到的集中力矩， ${M_{O'}} = [{M_x},{M_y},{M_z}]$ ， ${F_{ai}}$ 和 ${F_{pi}}$ 分别为机构受到的主动力和约束力， $\left( {{F_{O'}},{M_{O'}}} \right)$ 与其相平衡。观察易知， ${F_{ai}}$ 的方向和 ${A_i}{B_i}$ 平行，由于重力承载缸的球铰和滑块限制了上平台沿着 $X'$ 轴、 $Y'$ 轴方向上的平动和绕 $Z'$ 的转动，由约束可知， ${F_{p{\text{1}}}}$ 和 ${F_{p{\text{3}}}}$ 的方向和 $Y'$ 轴平行， ${F_{p{\text{2}}}}$ 的方向和 $X'$ 轴平行，忽略摩擦，则机构受力情况如图5所示。

根据静态受力平衡条件，动平台在 $O'$ 点所受到的力和力矩分别如下^[9-10]：

${F_{O'}} = [{u_1},{u_2},{u_3},{f_1},{f_2},{f_3}]F，$

(38)

${M_{O'}} = [{r_1} \times {u_1},{r_2} \times {u_2},{r_3} \times {u_3},{d_1} \times {f_1},{d_2} \times {f_2},{d_3} \times {f_3}]F。$

(39)

其中： $F = [{F_{a1}},{F_{a2}},{F_{a3}},{F_{p1}},{F_{p2}},{F_{p3}}]$ ， ${r_i} = O'{A_i}$ ， ${u_i} = {B_i}{A_i}$ 。

联立式（38)和式（39)可得：

$Q={{\boldsymbol{J}}_p} \cdot F 。$

(40)

式中： $Q{\text{ = }}\left[ \begin{gathered} {F_{O'}} \\ {M_{o'}} \\ \end{gathered} \right]$ ； ${{\boldsymbol{J}}_p}$ 为该新型并联机构的静力转换矩阵，

${{\boldsymbol{J}}_p} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}^{\rm T}}&{{{({r_1} \times {u_1})}^{\rm T}}} \\ {{u_2}^{\rm T}}&{{{({r_2} \times {u_2})}^{\rm T}}} \\ {{u_3}^{\rm T}}&{{{({r_3} \times {u_3})}^{\rm T}}} \\ {{f_1}^{\rm T}}&{{{({d_1} \times {f_1})}^{\rm T}}} \\ {{f_2}^{\rm T}}&{{{({d_2} \times {f_2})}^{\rm T}}} \\ {{f_3}^{\rm T}}&{{{({d_3} \times {f_3})}^{\rm T}}} \end{array}} \right]^{\rm T}} 。$

(41)

矩阵 ${{\boldsymbol{J}}_p}$ 不仅给出了该机构的奇异形位信息，还给出了用于描述Grassmann线几何的6条直线，即3条沿着主动支链方向的直线 ${u_1}$ ， ${u_2}$ 和 ${u_3}$ ，以及3条沿着约束力方向的直线 ${F_{p{\text{1}}}}$ ， ${F_{p2}}$ 和 ${F_{p3}}$ 。当 ${{\boldsymbol{J}}_p}$ 中的列线性相关时，即秩小于6时，将导致 $Q$ 的不确定变化，机构处于奇异形位。

3.3 奇异形位分析

根据Grassmann线几何理论可以得到该机构的几种奇异位形^[11-13]。

3.3.1 线簇秩为1的奇异位形

当机构的某条支链长度为0，会出现秩为1的奇异位形，这种情况实际中不会出现。

3.3.2 线簇秩为2的奇异位形

考虑3条直线，当满足 $\tan \alpha = \dfrac{{(1 - k){D_1}}}{{{H_1}\sin \beta }}$ ， $\tan \beta = \dfrac{{(1 - k){D_1}}}{{2z}}$ 时， ${u_1}$ 所在直线与 ${F_{p1}}$ ， ${F_{p2}}$ 所在直线共面且共点时，机构发生奇异，如图6(a)所示；当满足 ${D_1}\sin \beta + ({{{H_1}}}/{2})\sin \alpha \cos \beta = z\cos \alpha$ ， $2{D_1}\cos \beta - {H_1}\sin \alpha \sin \beta = (1 + k){D_1}\cos \alpha$ 时， ${u_2}$ 所在直线与 ${F_{p1}}$ 、 ${F_{p2}}$ 所在直线共面且共点时，机构发生奇异，如图6(b)所示；当满足 ${D_1}\cos \beta + {H_1}\sin \alpha \sin \beta = k{D_1}\cos \alpha$ ， ${D_1}\sin \beta -$ ${H_1}\sin \alpha \cos \beta = 2z\cos \alpha$ 时， ${u_1}$ 所在直线与 ${F_{p1}}$ 、 ${F_{p2}}$ 所在直线共面且共点时，机构发生奇异，如图6(c)所示。

3.3.3 线簇秩为3的奇异位形

考虑4条直线，当满足 $\,\beta = 0$ ， $\tan \alpha = \dfrac{{ - 2Z}}{H}$ 时，此时 ${u_3}$ 所在直线与 ${F_{p1}}$ ， ${F_{p2}}$ ， ${F_{p3}}$ 所在直线共面，机构发生奇异，该奇异位形如图7(a)所示。

考虑5条直线，当满足 $\,\beta = 0$ ， $\tan \alpha = \dfrac{{2Z}}{H}$ 时，此时 ${u_1}$ ， ${u_2}$ 所在直线与 ${F_{p1}}$ ， ${F_{p2}}$ ， ${F_{p3}}$ 所在直线共面，机构发生奇异，该奇异位形如图7(b)所示。

由于 ${F_{p1}}$ ， ${F_{p2}}$ 和 ${F_{p3}}$ 所在的3条直线共面且有2条直线平行，故一般条件下机构不存在线簇秩为4和5的奇异位形。

本文所研究的机构在运动空间内皆避开了这几种奇异位形，用代数法验证该机构在运动空间内不存在奇异，即在机构的运动空间内查看静力转换矩阵式（41）是否存在行列式为0的情况。

如图8所示，在工作空间内静力转换矩阵并没有出现行列式为0的情况，故本文所研究的机构在工作空间内不存在奇异位形。

4 结　语

本文提出一种新型三自由度并联机构，基于机构构型，给出了机构的正反解方程，并通过举例计算可以看到机构的正反解能够相互印证。通过电动缸的受力和行程构造优化目标得到机构的重力平衡缸的优化结果，最后通过线几何法对机构的奇异形位进行分析，得到了5种机构处于奇异形位时的位姿，并通过数值方法得出了机构在工作空间内不存在奇异位形的结论，为将来实际设计波浪补偿平台打下基础。