0 引　言

振动控制技术一直是船用设备环境适应性领域的重点研究对象，根据“从振源削减振动传递”准则^[1]，精密设备与振源间安装弹性元件是最为重要的技术手段之一。但随着导航、测量等船用精密设备集成化、敏感度的提升，对低频振动提出了更高的要求^[2-4]，因此，降低低频振动量级、提升全频带减振效果就显得尤为重要。

具有高静刚度、低动刚度的准零刚度系统相比传统减振系统，可以达到大承载能力下具备小动刚度的效果，因此受到了国内外诸多研究人员的广泛关注。最为典型的结构形式是2个倾斜弹簧和1个垂直弹簧并联组合^[5-6]。Carrella等^[7]应用金属螺旋弹簧与永磁铁，组合成一种准零刚度系统。Xu等^[8]应用永磁铁设计出一种具有低动刚度、高静刚度的低频准零刚度隔振器。Huang等^[9]应用金属弹簧和屈曲梁结构，提出了纯结构型准零刚度设计方法。苏攀等^[10]研究了准零刚度系统的工作原理，并设计了低频系统反馈控制方案。以上方法的负刚度机构多为机械弹簧或永久磁力弹簧，具有刚度小、不可调、正刚度和负刚度叠加困难等缺陷，现阶段未见将电磁弹簧与碟型硅氟橡胶相结合的报道。

本文应用电磁弹簧提供大负刚度力，并将其与碟型硅氟橡胶弹簧的正刚度力直接线性数值叠加，消除低频振动放大现象，实现减振器的零动刚度效果，提高船用精密设备的振动环境水平。

1 准零刚度隔振器机理分析 1.1 准零刚度隔振器力学模型

基于准零刚度原理，以碟型硅氟橡胶提供正刚度，电磁弹簧提供负刚度，并联组合形成一种适用于船用精密设备减振的准零刚度隔振器，其结构如图1(a)所示。电磁弹簧由线圈和铁芯组成，2个相同的电磁弹簧在动芯两侧对称放置，且顶端有圆法兰直线轴承作为导向。等效简化减振器力学模型，如图1(b)所示。

电磁铁间距为 $ L $ ，动芯运动范围为 $ h $ ，动芯初始位置在 $ O $ 点，在被隔振设备重力作用下，动芯将处于平衡位置。动芯运动时，由2个电磁弹簧磁力差提供负刚度。当动铁芯从 $ O $ 点向下运动 $ x $ 位移时，根据麦克斯韦电磁吸力计算原理，电磁弹簧的磁力差为：

$ {f}_{m} =\frac{{\mu }_{0} · {N}^{2} · A·{i}^{2}}{2} · \left[\frac{1}{{\left(0.5 \times \left(L-h\right) + x \right)}^{2}} - \frac{1}{{\left(0.5 \times \left(L + h\right) - x\right)}^{2}}\right]\text{。} $

(1)

式中： $ {\mu _0} $ 为空气磁导率； $ N $ 为电磁弹簧的线圈匝数； $ A $ 为动铁芯与电磁弹簧对应的磁极面积； $ i $ 为线圈电流。动芯所受系统力可表示如下：

$ f = kx + \frac{{\mu }_{0} · {N}^{2} · A · {i}^{2}}{2} · \left[\frac{1}{{\left(0.5 \times \left(L - h\right) + x\right)}^{2}} - \frac{1}{{\left(0.5 \times \left(L + h\right) - x\right)}^{2}}\right]\text{。} $

(2)

式中， $ k $ 为碟型弹簧刚度。在此基础上，引入无量纲参数 $ \mathop f\limits^ \wedge = {f/{kh}} $ ， $ \mathop x\limits^ \wedge = {x / h} $ ， $ \eta =\left(k{h}^{3}\right)/\left({\mu }_{0}·{N}^{2}·A\right) $ ， $\mathop i\limits^ \wedge = {i / {\sqrt \eta }}$ ， $ \alpha = {L/ h} $ ，可得：

$ \mathop f\limits^ \wedge = \mathop x\limits^ \wedge + \dfrac{{{{\left( {\mathop i\limits^ \wedge } \right)}^2}}}{2}\left[ {\dfrac{1}{{{{\left( {0.5 \times \left( {\alpha - 1} \right) + \mathop x\limits^ \wedge } \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {0.5 \times \left( {\alpha + 1} \right) - \mathop x\limits^ \wedge } \right)}^2}}}} \right] \text{，}$

(3)

对上式求导，可得系统无量纲刚度为：

$ \mathop K\limits^ \wedge = 1 - \frac{{{{\left( {\mathop i\limits^ \wedge } \right)}^2}}}{4}\left[ {{{\left( {0.5 \times \left( {\alpha - 1} \right) + \mathop x\limits^ \wedge } \right)}^{ - \frac{3}{2}}} + {{\left( {0.5\left( {\alpha + 1} \right) \times - \mathop x\limits^ \wedge } \right)}^{ - \frac{3}{2}}}} \right] \text{，}$

(4)

令 $ \mathop K\limits^ \wedge = 0 $ ， $ \mathop x\limits^ \wedge = 0.5 $ ，可得在平衡位置，系统达到准零刚度效果时的无量纲电流大小为：

$ {\mathop I\limits^ \wedge _{qzs}} = {\left( {\dfrac{{{\alpha ^3}}}{2}} \right)^{0.25}} \text{。}$

(5)

假定 $ \alpha = 1.2 $ ，可得到无量纲电流不同时，系统无量纲力、无量纲刚度与动铁芯位移的关系如图2所示。

由结果可知，电流的增加会使系统的非线性特性增强。在平衡位置处，若电流小于 $ {\mathop I\limits^ \wedge _{qzs}} $ ，则系统表现为正刚度，若电流大于 $ {\mathop I\limits^ \wedge _{qzs}} $ ，则系统表现为负刚度，且电流较大时，电流对无量纲系统力和刚度的影响程度会增加。

为使运算更为简便，可将系统无量纲力进行泰勒展开，令 $ \mathop y\limits^ \wedge = \mathop x\limits^ \wedge - 0.5 $ ，可将式（3）转换为式（6），并与精确解进行对比，得到结果如图3所示。

$ \mathop f\limits^ \wedge = - 7.6\mathop y\limits^ \wedge - 47.8{(\mathop y\limits^ \wedge )^3} \text{。}$

(6)

由图3可知，在平衡位置附近，应用三阶泰勒级数展开的方式与精确解误差很小，在远离平衡位置处，误差较大，因此三阶泰勒展开方式可用来分析平衡位置附近的力学分析。

1.2 准零刚度系统幅频特性

在外界载荷激励的作用下，准零刚度系统力学示意图如图4所示。基于前文泰勒展开结果，系统无量纲动力学方程可表示为：

$ {\left( {\mathop y\limits^ \wedge } \right)^{\prime \prime }} + \xi (\mathop y\limits^ \wedge )' + 7.6\mathop y\limits^ \wedge + 47.8{\left( {\mathop y\limits^ \wedge } \right)^3} = \mathop F\limits^ \wedge \cos (\varOmega \tau )。$

(7)

式中： $ \xi {\text{ = }}{{c{\omega _0}} \mathord{\left/ {\vphantom {{c{\omega _0}} k}} \right. } k} $ ； $ {\omega _0} = \sqrt {{k \mathord{\left/ {\vphantom {k m}} \right. } m}} $ ； $ t = {\omega _0}\tau $ ； $\varOmega = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{\omega _0}}}} \right. } {{\omega _0}}}$ ； $\mathop F\limits^ \wedge = {{{F_h}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{F_h}} {kh}}} \right. } {kh}}$ ； $ c $ 为阻尼系数； $ {F_h} $ 为力幅值。

若振动激励条件为线性时，系统的解可表示为：

$ \mathop y\limits^ \wedge = a\cos (\varOmega \tau ) + b\sin (\varOmega \tau )\text{，} $

(8)

对上式进行求导，得

$ {\left( {\mathop y\limits^ \wedge } \right)^\prime } = - a\varOmega \sin (\varOmega \tau ) + b\varOmega \cos (\varOmega \tau ) \text{，}$

(9)

若振动条件为非线性的，系统的解可表示为：

$ \mathop y\limits^ \wedge = a(\tau )\cos (\varOmega \tau ) + b(\tau )\sin (\varOmega \tau )\text{，} $

(10)

假定非线性条件下的振动速度与线性条件的振动速度形式相同，可得：

$ {\left( {\mathop y\limits^ \wedge } \right)^\prime } = - a(\tau )\varOmega \sin (\varOmega \tau ) + b(\tau )\varOmega \cos (\varOmega \tau ) \text{，}$

(11)

对式（10）求导可得：

$ \begin{aligned}{\left( {\mathop y\limits^ \wedge } \right)^\prime } = &a'(\tau )\cos (\varOmega \tau ) - \varOmega a(\tau )\sin (\varOmega \tau ) + \\ &b'(\tau )\sin (\varOmega \tau ) + \varOmega a(\tau )\cos (\varOmega \tau )\text{，}\end{aligned} $

(12)

由式（11）和式（12）可得：

$ a'(\tau )\cos (\varOmega \tau ) + b'(\tau )\sin (\varOmega \tau ) = 0\text{，} $

(13)

系统解的二阶导可表示为：

$ \begin{aligned}{\left( {\mathop y\limits^ \wedge } \right)^{\prime \prime }} = & - \varOmega a'(\tau )\sin (\varOmega \tau ) - {\varOmega ^2}a(\tau )\cos (\varOmega \tau ) +\\ &\varOmega b'(\tau )\cos (\varOmega \tau ) - {\varOmega ^2}b(\tau )\sin (\varOmega \tau )\text{。}\end{aligned} $

(14)

将式（11）和式（14）代入式（7）可得：

$ \begin{array}{l}\mathrm{cos}(\varOmega \tau )(\xi {a}^{\prime }(\tau )-{\varOmega }^{2}a(\tau )+7.6a(\tau )+\varOmega {b}^{\prime }(\tau )+\xi \varOmega b(\tau )-\stackrel{\wedge }{F})+\\ \mathrm{sin}(\varOmega \tau )·(\xi {b}^{\prime }(\tau )-\varOmega {a}^{\prime }(\tau )- \xi \varOmega a(\tau )-{\varOmega }^{2}b(\tau )+7.6b(\tau ))+\\ 47.8{a}^{3}(\tau ){\mathrm{cos}}^{3}(\varOmega \tau )+143.4{a}^{2}(\tau )b(\tau )\mathrm{sin}(\varOmega \tau ){\mathrm{cos}}^{2}(\varOmega \tau )+ \\ 143.4a(\tau ){b}^{2}(\tau ){\mathrm{sin}}^{2}(\varOmega \tau )\mathrm{cos}(\varOmega \tau )+47.8{b}^{3}(\tau ){\mathrm{sin}}^{3}(\varOmega \tau )=0。\end{array} $

(15)

组合式（13）和式（15）可得：

$ \left\{ {\begin{aligned} a'(\tau ) = & - 143.4{a^2}(\tau )b(\tau )/(8\varOmega ) + 0.5\xi a(\tau ) +\\ &143.4{b^3}(\tau )/(8\varOmega ) - 0.5\varOmega b(\tau ) + 3.8b(\tau )/\varOmega\text{，} \\ b'(\tau ) =& - 143.4a(\tau ){b^2}(\tau )/(8\varOmega ) + 0.5\varOmega a(\tau ) - 3.8a(\tau )/\varOmega -\\ &143.4{a^3}(\tau )/(8\varOmega ) - 0.5\xi b(\tau ) + 0.5{{\mathop F\limits^ \wedge \mathord{\left/ {\vphantom {{\mathop F\limits^ \wedge } \varOmega }} \right. } \varOmega }} \text{。} \end{aligned}} \right. $

(16)

为简化上式，将 $ a(\tau ) $ 和 $ b(\tau ) $ 转化为极坐标形式，令 $ a(\tau ) = r\cos (\theta ) $ ， $ b(\tau ) = r\sin (\theta ) $ ，代入式（16）得

$ \left\{\begin{array}{llll}{r}^{\prime }=(-r\xi \varOmega +\stackrel{\wedge }{F}\mathrm{sin}(\theta ))/(2\varOmega ）\text{，}\\ {\theta }^{\prime }=(-143.4{r}^{3}-30.4r+4r{\varOmega }^{2}+4\stackrel{\wedge }{F}\mathrm{cos}(\theta ))/8r\varOmega \text{。}\end{array}\right. $

(17)

对于平衡点处，令式（17）等于0，根据 $ {\sin ^2}(\theta ) + {\cos ^2}(\theta ) = 1 $ ，可得系统的幅频关系式为：

$ \dfrac{{{r^2}{{(143.4{r^2} - 4{\varOmega ^2} + 30.4)}^2}}}{{16{{(\mathop F\limits^ \wedge )}^2}}} + \dfrac{{{\xi ^2}{r^2}{\varOmega ^2}}}{{{{(\mathop F\limits^ \wedge )}^2}}} = 1\text{。} $

(18)

2 碟型橡胶弹簧力学性能计算 2.1 橡胶公式建模方法验证

橡胶材料在应变较小时可视为弹性材料，因此可应用经验公式法创建其数学模型。该方法考虑到结构形态、约束面积、硬度等问题，能够较为准确地反映橡胶材料的力学特性，并使试验成本有较大程度降低。综合考虑形状、预紧力、材料等因素，本文以式（19）创建橡胶动弹性模量，并与试验对比，以此验证该方法的正确性。

$ \begin{split}{E}_{t}=&{K}_{G}\times {K}_{P}\times {K}_{M}\times {E}_{0}=\dfrac{{A}_{总}}{{A}_{自由}}\times \\ &\left(\dfrac{A+\Delta A}{A}\times \dfrac{h+\Delta h}{h}\right)\times \left({e}^{\dfrac{Hs}{100}}-1\right)\times {e}^{(0.02Hs-0.4)}\text{。}\end{split} $

(19)

式中： $ {K_G} $ 为形状系数； $ {K_P} $ 为压缩影响系数； $ {K_M} $ 为材料影响系数； $ {E_0} $ 为静弹性模量； $ {A}_{总} $ 为橡胶总面积； $ {A}_{自由} $ 为自由面积； $ A $ 为受过盈影响的总截面积； $ \Delta A $ 为受过盈量影响的截面积改变量； $ \Delta h $ 为预紧量； $ h $ 为预紧后的总高度； $ {H_S} $ 为邵氏硬度。橡胶尺寸如图5所示。

材料硬度变化时，基于Abaqus进行固有频率数值计算，并与试验进行对比，结果如表1所示。

由表1结果可知：橡胶硬度在不超过40时，橡胶材料公式建模方法的数值解与试验结果较为相吻合，当橡胶硬度大于50时，该方法误差达到0.157。因此，在硬度低于50时，该方法具精度较高，并可较大程度的降低材料建模工作量。

2.2 碟型橡胶弹簧力-位移关系

碟型橡胶弹簧相比柱形橡胶弹簧，具有更大的运动行程，并且具有更高的稳定性，是工程中常见的结构形式。本文碟型弹簧尺寸和边界条件如图6(a)所示，基于本文橡胶材料公式建模方法，碟型弹簧取不同硬度值时，计算力与位移关系结果如图6（b）所示。

由结果可知，随着橡胶材料硬度的增加，弹簧的弹力有明显提升。对于本文弹簧结构，当位移小于9 mm时，弹簧力与位移呈线性关系，大于9 mm时，为非线性关系，而力学特性为线性的碟型弹簧，更易实现准零刚度效果，因此本文采用硬度为30的碟型橡胶，设定最大位移为8 mm。当压缩4 mm时，弹力为218 N，因此设定单个额定承载为21.8 kg。

3 负刚度电磁力计算和准零刚度的实现 3.1 电磁力计算方法验证

负刚度力的精确计算是准零刚度隔振器成功设计的基础。本文准零刚度隔振器主要部件为轴对称结构，因此在电磁力计算时可转化为1/2截面积的2D问题，如图7（a）所示。该方法可显著减小计算量。为验证该法的正确性，设置上下磁铁半径为60 mm，磁铁间距14 mm，线圈匝数2000，电流0.1A，基于MAXWELL计算电磁力数值解，并与式（1）解析解对比验证，结果如图7（b）所示。

由结果可知，4 mm处为平衡位置，动铁芯在偏离平衡位置±3 mm以内时，数值解与解析解几乎重合，在超过±3 mm时，数值解与解析解具有一定误差。船舶振动条件多为谐响应和随机振动，其振幅均在此范围内，因此该方法精度可靠，适用于隔振器设计时的数值计算。

3.2 隔振器参数对电磁负刚度力影响

磁铁间距、动芯材料、线圈电流等是电磁弹簧的重要参数，本文计算以上3种参数变化时的系统负刚度力，研究不同参数对负刚度力的影响规律。平衡位置处位移为0，计算结果如图8所示。

由图8（a）可知，随着磁铁间距的增大，负刚度力将有较大程度的缩减，因此在保证设备稳定安全的前提下，应尽量减小磁铁间距，以获得最大的负刚度力。本文动铁芯行程为8 mm，因此将磁铁间距设定为14 mm，既可提供较大的负刚度力，又可避免动铁芯与磁铁磕碰。由图8（b）可知，动芯为铁时，负刚度力偏小，但整体趋势为线性，当动铁芯为铝镍钴永磁材料时，负刚度力较大，但在远离平衡位置时呈现明显的非线性，且磁性越强，非线性越显著，不利于准零刚度的实现，因此本文动芯材料为铁。由图8（c）可知，线圈电流的增加会显著提升负刚度力值，且整体呈现为近似线性，因此负刚度力可通过电流进行调节。

3.3 准零刚度的实现与减振效果计算

通过前文分析，得到了正刚度力和负刚度力的趋势均近似线性，因此可直接叠加来实现准零刚度。本文碟型橡胶弹簧材料硬度为30，根据式（1），计算出可抵消正刚度力时的电流值约为1.17 A。根据以上条件，计算橡胶碟型弹簧正刚度力和电磁负刚度力，并将两者数值叠加，得到准零刚度系统的力与位移的关系。在此基础上，通过修改Abaqus脚本文件，将组合力输入系统中进行振动计算，振动条件为0～16 Hz幅值为1 mm，16～60 Hz幅值为1 g，得到结果如图9所示。

由图9（a）结果可知，弹簧正刚度与电磁负刚度叠加后，在平衡位置±3 mm内，组合力较小，在大于3 mm时，组合力最大约为18 N。由图9（b）可知，本文准零刚度隔振器工作时，低频无任何放大现象，在0～3 Hz频段，系统响应略小于激励源，在3～60 Hz频段，减振效果相比传统减振系统有约40 dB的提升，适用于船用精密设备的减振设计。

4 结　语

基于麦克斯韦电磁原理研究了准零刚度时系统的电流值，并推导了系统幅频特性方程。通过对比分析数值结果、试验值、解析解，得到橡胶材料的准确建模方法和隔振器电磁力计算方法。在此基础上，计算橡胶硬度对弹簧弹力的影响，以及磁铁间距、动芯材料、线圈电流值等对负刚度力的影响规律，通过合理组合，得到以下结论：

1）在行程为±4 mm时，碟型弹簧、电磁弹簧产生的刚度力均为近似线性，依据该优势，可直接进行数值叠加，准零刚度更易实现，因此在设计时应让两者均向线性靠近；

2）电磁铁间距对电磁负刚度力影响较大，在保证动铁芯不与磁铁磕碰前提下，减小磁铁间距可提高负刚度力的大小；

3）动芯材料为永磁材料时，可提高负刚度力，但整体力学特性呈现明显的非线性，不利于准零刚度的实现，因此动芯应规避此类材料；

4）本文准零刚度隔振器可达到全频带无振动放大效果，且在大于3 Hz时，相对于传统橡胶减振器，可使减振效果提高约40 dB，适用于船用精密设备的减振设计。