0 引　言

柴油机凭借其性能优良在现代舰船动力装置中得到广泛应用，目前广泛使用的柴油机调速器是基于PID 控制算法构建的。文献[1]研究模糊自适应PID控制算法调节柴油机转速，在调速实时性方面得到了提升；文献[2]基于改进粒子群算法对PID控制器进行优化，减小了超调量，缩短了调节时间；文献[3] 建立径向基神经网络PID（RBF-PID）调速系统改善柴油机调速系统，在超调量与波动比方面都有很大的改善。目前对柴油机调速问题的主流研究方向是针对PID控制器的控制性能的优化与改进，对模型的不确定性与控制过程抗干扰性方面的研究较少，而外部干扰存在不确定性，常常导致系统运行效果达不到设计时预期的性能，甚至无法保证系统稳定性。鲁棒控制理论因其全面考虑系统模型参数不确定性和外部扰动不确定性因素，为开发控制器提供了更加可靠的理论基础，成为工业控制研究的热点，在精度控制和改善系统抗干扰性方面有着广泛的应用。文献[4] 针对航天惯性制导测试过程中单轴转台控制问题引入鲁棒控制算法，抗干扰性能优于传统PID 控制器，系统稳定性有了明显改善；文献[5]将鲁棒控制算法用于四旋翼飞行器姿态控制，稳定性有了很大的提升，并且在响应速度和姿态准确度方面有了改进；文献[6]将鲁棒控制理论应用于柔性机械手臂的控制领域，在控制精度尤其是抵抗外部干扰方面有了重大的改进；文献[7]应用鲁棒控制理论于重型商用车自动循迹控制方面，显著提升轨迹跟踪精度。

随着线性矩阵不等式（LMI）及凸优化等数学理论的发展，尤其是Matlab软件中LMI工具箱的推出，为鲁棒控制问题的分析与求解提供更加便捷的数学工具。

本文借助Matlab/Simulink仿真环境及PA-6型柴油机非线性机理模型，定量分析模型二次稳定性。建立 $ {H}_{\infty } $ 控制系统模型并求解LMI得到控制律，通过仿真实验考察控制器调速效果。

1 系统建模与不确定性分析

柴油机本体与喷油泵所构成的系统是典型的非线性系统，根据PA-6型柴油机技术资料建立了非线性机理模型，如图1所示。

柴油机模型稳定运转后，选取系统稳态工作点，对其进行局部线性化建模，得到系统状态空间表达式：

$ \left\{\begin{aligned}&\dot{x}={\boldsymbol{A}}x+{\boldsymbol{B}}u，\\ &y={\boldsymbol{C}}x。\end{aligned}\right. $

(1)

式中： $ x $ 为状态变量； $ u $ 为控制变量。系数矩阵 $ {\boldsymbol{A}} $ ， $ {\boldsymbol{B }}$ 和 $ {\boldsymbol{C}} $ 为：

$ \begin{array}{c}{\boldsymbol{A}}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-0.0093& 0.0102\\ 0& -2\end{array}& \begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 100\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}& \begin{array}{cc}-10& -100\\ 1& 0\end{array}\end{array}\right]，\\{\boldsymbol{ B}}=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cc}0& -0.0011\\ 0& 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\end{array}\right]，\\ {\boldsymbol{C}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\end{array}\right]。\end{array}$

(2)

显然，通过近似和简化得到的系统模型与实际系统存在偏差，即模型的不确定性，为确保系统不会因模型不确定性而影响其稳定性，在设计控制器前需进一步对不确定系统进行鲁棒稳定性分析。

由于系统主要受到摩擦力影响，经分析，摩擦力矩与柴油机转速间存在近似线性关系：

$ {M}_{f}={k}_{f}{N}_{d}。$

(3)

式中： $ {M}_{f} $ 为摩擦力矩； $ {k}_{f} $ 为比例系数； $ {N}_{d} $ 为柴油机转速。

式(3)表明，在柴油机运转时，摩擦力矩会随柴油机转速而变化，使得柴油机从某一稳态向另一稳态过渡过程中，系统系数矩阵会产生变化，也因此带来了系统模型的不确定性。

以上不确定性系统可表示为：

$ \stackrel{~}{G}={G}_{0}+\mathrm{\Delta }\left(\delta \right)。$

(4)

式中： $ \stackrel{~}{G} $ 为实际不确定系统； $ {G}_{0} $ 为名义系统， $ \mathrm{\Delta }\left(\delta \right) $ 为系统不确定量。系统状态空间表达式可改写为：

$ \left\{ \begin{aligned} &\dot{x}={\boldsymbol{A}}\left(\delta \right)x+{\boldsymbol{B}}u，\\ &y={\boldsymbol{C}}x。\end{aligned}\right. $

(5)

$ A\left(\delta \right) $ 可写为如下形式：

$ A\left(\delta \right)={A}_{0}+\mathrm{\Delta }\left(\delta \right)。$

(6)

对额定转速下所有稳态工作点进行线性化，得到式中误差矩阵 $ \mathrm{\Delta }\left(\delta \right) $ ，其中 $ \mathrm{\Delta }(\delta {)}_{12}=1.4e-04 $ ，其余元素为 $ 0 $ 。

由二次稳定性定义可知，若存在对称正定矩阵 ${\boldsymbol{ P}} $ ，使得对所有不确定参数 $ \delta \in \mathrm{\Delta } $ ，均有矩阵不等式

$ {{\boldsymbol{A}}}^{{\rm{T}}}\left(\delta \right){\boldsymbol{P}}+{\boldsymbol{P}}A\left(\delta \right) < 0 $

(7)

成立，则系统为二次稳定的。

借助Matlab中LMI工具箱的quadstab函数进行分析，求取对称正定矩阵 $ {\boldsymbol{P}} $ 和使得不等式(7)成立的最小系数 $ t $ ，结果为：

$ {\boldsymbol{P}}=\left[\begin{array}{cccc} 0.0779& -0.0001& -0.0001& 0.0013\\ -0.0001& 0.4456&0.5825& 1.8752\\ -0.0001& 0.5825&2.3692& 11.2293\\ 0.0013& 1.8752& 11.2293& 120.6625\end{array}\right]。$

(8)

此时， $ t=-0.0053 < 0 $ 。

结果表明，系统 $ \stackrel{~}{G} $ 是二次稳定的，同时满足鲁棒稳定的条件。

2 柴油机状态观测器的构建

鲁棒控制是建立在状态反馈控制的控制理论，其本质是通过优化算法得到增益 $ K $ ，使得 $ u=Kx $ ，因而构成闭环反馈系统，以达到控制的目的 。但是本文的研究对象柴油机的内部状态变量在实际控制中只有转速参数可通过直接测量获取，其他状态量均不可直接观测 ，为这类对象设计状态反馈控制器时，需构建状态观测器重构状态向量。

柴油机状态观测器结构如图2所示。

状态重构本质是对系统状态向量进行估计的过程，所以系统状态完全能观测是系统状态可重构的前提条件。通过观测器结构图可得：

$ \dot{\widehat{x}}={\boldsymbol{A}}\widehat{x}+{\boldsymbol{B}}u+{\boldsymbol{E}}(y-\widehat{y})。$

(9)

式中： $ \widehat{x} $ 为重构状态量， $ \widehat{y} $ 为估计输出。系统输出 $ y={\boldsymbol{C}}x $ ，式(9)可写为：

$ \dot{\widehat{x}}{\boldsymbol{=A}}\widehat{x}+{\boldsymbol{B}}u+{\boldsymbol{EC}}(x-\widehat{x})，$

(10)

则

$ \dot{\widehat{x}}-\dot{x}={\boldsymbol{A}}\widehat{x}+{\boldsymbol{B}}u+{\boldsymbol{EC}}\left(x-\widehat{x}\right)-\left({\boldsymbol{A}}x-{\boldsymbol{B}}u\right) ，$

(11)

$ (\dot{\widehat{x}}-\dot{x})=({\boldsymbol{A}}-{\boldsymbol{EC}})(\widehat{x}-x)。$

(12)

从式(12)可以看出，重构状态向量与原系统状态向量之差构成微分方程，其解形式为：

$ \widehat{x}-x=\Delta x\left(t\right)={e}^{\left({\boldsymbol{A}}-{\boldsymbol{EC}}\right)\left(t-{t}_{0}\right)}\Delta x\left({t}_{0}\right)，$

(13)

若 $ ({\boldsymbol{A}}-{\boldsymbol{EC}}) $ 所有特征值均有负实部时，则有

$ \underset{t\to \infty }{\rm{lim}}\Delta x\left(t\right)=\underset{t\to \infty }{\rm{lim}}{e}^{({\boldsymbol{A}}-{\boldsymbol{EC}})(t-{t}_{0})}\Delta x\left({t}_{0}\right)=0，$

(14)

从而

$ \underset{t\to \infty }{\rm{lim}}(\widehat{x}-x)=0，$

(15)

即当 $ t\to \infty $ 时，重构状态向量 $ \widehat{x} $ 不断逼近系统状态向量 $ x $ ，最终可由 $ \widehat{x} $ 近似替代状态向量 $ x $ ，即完成状态向量的重构。

加入状态观测器后，系统(1)可改写为：

$ \left\{\begin{aligned} &\dot{\widehat{x}}=({\boldsymbol{A}}-{\boldsymbol{EC}})\widehat{x}+{\boldsymbol{B}}u+Ey，\\ &\widehat{y}={\boldsymbol{C}}\widehat{x}。\end{aligned}\right. $

(16)

此时，控制输入为：

$ u=K\widehat{x} 。$

(17)

$ ({\boldsymbol{A}}-{\boldsymbol{EC}}) $ 特征值等于 $ ({{\boldsymbol{A}}}^{{\rm{T}}}-{{\boldsymbol{C}}}^{{\rm{T}}}{{\boldsymbol{E}}}^{{\rm{T}}}) $ 的特征值，所以观测器中 $ ({\boldsymbol{A}}-{\boldsymbol{EC}}) $ 特征值配置问题等价于对偶系统极点配置问题，故可通过极点配置法将 $ ({\boldsymbol{A}}-{\boldsymbol{EC}}) $ 的特征值配置于复平面左半部。为使 $ \Delta x\left(t\right) $ 迅速收敛，利用极点配置法将 $ ({{\boldsymbol{A}}}^{{\rm{T}}}-{{\boldsymbol{C}}}^{{\rm{T}}}{{\boldsymbol{E}}}^{{\rm{T}}}) $ 的4个极点配置到 $ -5\pm 15i,     -15\pm 5i $ ，计算得到矩阵：

$ {\boldsymbol{E}}={\left[\begin{array}{cccc}27.991& 33592& -7323.9& 2929.6\end{array}\right]}^{{\rm{T}}} 。$

(18)

3 系统跟踪控制策略

作为舰船推进主动力装置的柴油机，其调速控制是典型的系统跟踪控制，令系统输出 $ y $ 与设定转速 $ r $ 间的误差为：

$ e\left(t\right)=r-y\left(t\right)，$

(19)

误差 $ e\left(t\right) $ 的积分：

$ q\left(t\right)=\int e\left(\tau \right){\rm{d}}\tau =\int [r-y(\tau \left)\right]{\rm{d}}\tau，$

(20)

求导数后有：

$ \dot{q}\left(t\right)=e\left(t\right)=r-y\left(t\right)=-{\boldsymbol{C}}x+r。$

(21)

将重构的状态向量 $ \widehat{x} $ 与误差积分 $ q $ 组合，构成新的状态向量，即构成系统跟踪控制结构。重新构建后的系统表达式为：

$ \left\{\begin{aligned} &\dot{\widehat{x}}=({\boldsymbol{A}}-{\boldsymbol{EC}})\widehat{x}+{\boldsymbol{B}}u+{\boldsymbol{E}}y，\\ &\dot{q}=-{\boldsymbol{C}}x+r\approx -{\boldsymbol{C}}\widehat{x}+r，\\ &\widehat{y}={\boldsymbol{C}}\widehat{x}。\end{aligned}\right. $

(22)

对各系数矩阵进行增广处理：

$ \left\{\begin{array}{c}\widetilde{{\boldsymbol{A}}}=\left[\begin{array}{cc}{\boldsymbol{A}}-{\boldsymbol{EC}}& 0\\ -{\boldsymbol{C}}& 0\end{array}\right]，\\ \widetilde{{\boldsymbol{B}}}=\left[\begin{array}{c}{\boldsymbol{B}}\\ 0\end{array}\right]，\\ \widetilde{{\boldsymbol{C}}}=\left[\begin{array}{cc}{\boldsymbol{C}}& 0\end{array}\right]。\end{array}\right. $

(23)

则系统的状态空间形式为：

$ \left \{ \begin{aligned} &\left[ \begin{array}{c}\dot{\widehat{x}}\\ \dot{q}\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{cc}{\boldsymbol{A}}-{\boldsymbol{EC}} 0\\ -{\boldsymbol{C}} 0\end{array} \right]\left[ \begin{array}{c}\widehat{x}\\ q\end{array} \right]+\left[ \begin{array}{c}{\boldsymbol{B}}\\ 0\end{array} \right]u+\left[ \begin{array}{c}{\boldsymbol{E}}y\\ r\end{array} \right]，\\ &\;\widehat{y}=\left[ \begin{array}{cc}{\boldsymbol{C}} 0\end{array} \right]\left[ \begin{array}{c}\widehat{x}\\ q\end{array} \right]。\end{aligned} \right. $

(24)

同时，控制律 $ K $ 应扩充为：

$ \stackrel{~}{K}=\left[\begin{array}{cc}{K}_{1}& {K}_{2}\end{array}\right]，$

(25)

控制输入 $ u $ 即为：

$ u=\stackrel{~}{K}\left[\begin{array}{c}\widehat{x}\\ q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{K}_{1}& {K}_{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{x}\\ q\end{array}\right]={K}_{1}\widehat{x}+{K}_{2}q。$

(26)

则控制系统结构框图如图3所示。

跟踪控制系统构建完成，进而设计鲁棒控制律 $ \stackrel{~}{K} $ 。

4 柴油机转速 $ {H}_{\infty } $ 控制器设计

设计鲁棒 $ {H}_{\infty } $ 控制器需将系统结构调整为如图4所示的系统广义双端子模型。

图中 $ P $ 表示被控系统， $ K $ 为反馈控制律，其内部由柴油机状态观测器、跟踪控制器和状态反馈增益共同构成。 $ w $ 为外部扰动输入，外部扰动往往不确定但能量有限，柴油机转速控制系统中，外部扰动设定为主机运转过程中，来自负载的强烈不确定扰动； $ z $ 为被控输出，是系统理想状态下的输出情况。由此广义双端子系统状态空间描述为：

$ \left\{\begin{aligned} &\dot{x}=Ax+{B}_{1}w+{B}_{2}u，\\ &z={C}_{1}x+{D}_{11}w+{D}_{12}u，\\ &y={C}_{2}x+{D}_{21}w+{D}_{22}u。\end{aligned}\right. $

(27)

4.1 $ {H}_{\infty } $ 控制律设计原理

对于任意扰动 $ w $ ，闭环系统具有扰动抑制性能，即

$ {\int }_{0}^{\infty }\left({\sum }_{1}^{n}{q}_{i}{x}_{i}^{2}+\rho {u}^{2}\right){\rm{d}}t < {\int }_{0}^{\infty }{w}^{2}{\rm{d}}t 。$

(28)

式中， $ {q}_{i} \geqslant 0 $ 与 $ \rho > 0 $ 均为加权系数。

若理想被控输出对扰动 $ w $ 完全抑制，则 $ z $ 可写为：

$ z={C}_{1}x+{D}_{12}u ，$

(29)

同时令：

$ \left\{ \begin{aligned} &{C}_{1}=\left[\begin{array}{c}{\rm{diag}}\left(sqrt\right(q\left)\right)\\ {0}_{1\times m}\end{array}\right]，\\ &{D}_{12}=\left[\begin{array}{c}{0}_{n\times 1}\\ \sqrt{\rho }\end{array}\right]。\end{aligned}\right. $

(30)

其中， $ m $ 和 $ n $ 为相应维度。

设计控制器 $ u=Kx $ ，使得闭环系统内部稳定，且从扰动输入 $ w $ 到被控输出 $ z $ 的闭环传递函数 $ {T}_{wz} $ 的 $ {H}_{\infty } $ 范数小于1，即

$ {‖{T}_{wz}\left(s\right)‖}_{\infty } < 1，$

(31)

满足上述2个条件的控制器 $ K $ 称为系统(27)的一个 $ {H}_{\infty } $ 控制器。

显然，通过关系式(31)计算得到的控制器并不唯一。进一步将控制输入 $ u=Kx $ 代入系统(27)，得到闭环系统：

$ \left\{ \begin{aligned} &\dot{x}=(A+{B}_{2}K)x+{B}_{1}w，\\ &z={(C}_{1}+{D}_{12}K)x+{D}_{11}w。\end{aligned}\right. $

(32)

同时限定闭环传递函数 $ {T}_{wz} $ 的 $ {H}_{\infty } $ 范数小于某个常数 $ \gamma $ ，即

$ {‖{T}_{wz}\left(s\right)‖}_{\infty } < \gamma，$

(33)

化简得：

$ {‖{T}_{wz}\left(s\right)‖}_{\infty }={‖{(C}_{1}+{D}_{12}K){[sI-(A+{B}_{2}K\left)\right]}^{-1}{B}_{1}+{D}_{11}‖}_{\infty } < \gamma ，$

(34)

求解式(34)，得系统(27)的 $ \gamma $ -次优 $ {H}_{\infty } $ 控制器 $ K $ 。

控制器 $ K $ 可由定理1求得。

定理1 　对系统(27)，存在一个状态反馈 $ {H}_{\infty } $ 控制器，当且仅当存在一个正定矩阵 $ X $ 和矩阵 $ W $ ，使得式(35)成立。

$ \left[\begin{array}{ccc}AX+{B}_{2}W+{\left(AX+{B}_{2}W\right)}^{{\rm{T}}}& {B}_{1}& {({C}_{1}X+{D}_{12}W)}^{{\rm{T}}}\\ {B}_{1}^{{\rm{T}}}& -I& {D}_{11}^{{\rm{T}}}\\ {C}_{1}X+{D}_{12}W& {D}_{11}& -{\gamma }^{2}I\end{array}\right] < 0 。$

(35)

进而可行解 $ {X}^{*} $ 及 $ {W}^{*} $ ，则系统 $ \gamma $ -次优 $ {H}_{\infty } $ 控制器为：

$ K={W}^{*}{\left({X}^{*}\right)}^{-1}。$

(36)

通过定理1得到线性矩阵不等式(35)，使设计 $ \gamma $ -次优 $ {H}_{\infty } $ 控制器问题转化为求解LMI问题，可借助Matlab中LMI工具箱快速求解。

4.2 利用LMI工具箱求解

将重构的参数矩阵代入系统(27)，设加权参数 $ q= \left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}9& 0\end{array}& 0& \begin{array}{cc}0& 0.04\end{array}\end{array}\right] $ ， $\ \rho =1 $ ， $ \gamma =0.01 $ 。使用LMI工具箱建立线性矩阵不等式，求解得出 $ {H}_{\infty } $ 控制器为：

$ \stackrel{~}{K}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}-0.7505& 0\end{array}& 0& \begin{array}{cc}0& 0.2\end{array}\end{array}\right]。$

(37)

5 仿真实验

借助Matlab/Simulink仿真平台进行实验，编写M-File计算控制律。构建柴油机调速系统，如图5所示。

仿真实验分为3个部分，考察控制器在阶跃信号、柴油机空载运转、带载运转时转速调节情况。

5.1 阶跃响应

设定转速为 $ 400\; {\rm{r}}/{\rm{min}} $ ，调速过程如图6所示。

响应曲线揭示2种调速器均可使柴油机转速稳定在设定转速，PID控制器超调明显，调节时间约为50 s，而 $ {H}_{\infty } $ 控制器无超调量，调节时间短，控制精度高。

5.2 柴油机空载运转

调速曲线如图7所示。

两控制器在连续调速过程中均能够使柴油机运行平稳，表现出良好的控制性能。PID控制器运行时存在微小超调量。

5.3 柴油机带载运转

设定当柴油机稳定运行后，模拟舰船实际航行，给柴油机加额定负载，同时附加强烈的随机扰动。负载扭矩如图8所示。带负载状况下连续调速曲线如图9所示。

可以看出，当系统带负载的瞬间，PID调速器出现明显波动，且经过较长调节时间后稳定。 $ {H}_{\infty } $ 控制器始终运行平稳带载瞬间出现较小波动且迅速恢复设置转速，之后的调速过程对负载干扰有很强的抑制作用。

6 结　语

$ {H}_{\infty } $ 控制理论兼顾模型本身和外在扰动的不确定性，既对由于控制对象模型精度不足产生的性能影响进行了弥补，又对来自系统外部的干扰进行了有效抑制。通过仿真实验可以看出， $ {H}_{\infty } $ 控制器可有效增强系统鲁棒性，系统调速性能也有了较大提高。通过求解LMI方法设计 $ {H}_{\infty } $ 控制器对解决非线性系统控制问题，高复杂、强干扰环境下控制问题，以及对精度要求较高的控制问题提供了解决方案。