0 引　言

UUV在水下搜索的军事行动中具有非常广泛的应用，凭借低成本、高隐蔽等特性，可以在敏感区域或危险区域执行反潜跟踪、区域警戒、反水雷等任务，与潜艇及反潜水面舰艇等有人兵力密切配合，提升水下体系作战能力^[1-2]。

当前UUV水下搜索问题的研究，大多基于相对成熟的潜艇搜索模型展开，尚未有针对UUV特性而专门建立的搜索模型^[3]。从平台搭载的传感器来看，UUV与潜艇均依赖声呐水下搜索，但考虑平台性能和尺度差异，潜艇等大型平台能源及空间相对充沛，可以于不同位置配置多套声呐，进而可以将平台的探测范围等效为一个以声呐作用距离为半径的圆，即可认为潜艇是全向搜索的。而UUV由于能源及传感器布置空间相对有限，通常于特定位置搭载相对较少的声呐，若仍将其等效为全向搜索，忽略探测扇面角的影响，则显然不满足UUV的实际情况，从而对其搜索能力的计算产生影响。综合调查REMUS，Bluefin，Hugin等系列典型UUV的声呐载荷，根据搜索探测用声呐布置位置的不同，大体可以分为首部声呐和舷侧声呐，且两类声呐的探测扇面关于UUV轴线纵对称^[4-5]。布置位置的差异及扇面角的不同显然使UUV的探测范围也随之变化，因此有必要综合考虑相关因素，建立适于UUV特性的搜索模型，从而便于更好地开展UUV水下搜索问题的研究。

1 UUV随机搜索中的数学模型

随机搜索是一种典型搜索方式，也是分析其他类型搜索问题的重要依据。如图1所示，随机搜索指的是搜索者和目标在一定区域内可能采取任意航向的搜索过程^[6-7]。这种搜索过程通常适用于已知目标存在于某一区域、但其具体运动路径未知的搜索问题。

基于搜索论的相关结论，随机搜索总的发现概率为：

$ P\left( t \right) = 1 - \exp \left( { - \frac{{VWt}}{A}} \right)。$

(1)

式中： $ V $ 为相对运动的速度； $ W $ 为搜扫宽度； $ A $ 为搜索区域的面积。在UUV搜索中使用该模型时，易存在的问题是假定传感器全向作用，即简单的将 $ W $ 等效为传感器作用距离的2倍，但考虑到声呐布置位置和扇面角的实际影响，这种假设显然难以成立，因此有必要针对不同情况进行分析。

1.1 相对搜索速度的确定

在随机搜索中，令UUV航速为 $ U $ ，目标航速为 $ V $ ，考虑搜索者 $ {\varphi _m} $ 和目标航向 $ {\varphi _t} $ 均符合 $ \left[ {0,2\pi } \right) $ 的均匀分布，令二者的航向差为 $ \Delta \varphi $ ，则

$ \begin{split} F\left( {\Delta \varphi } \right) =& P\left( {{\varphi _m} - {\varphi _t} \leqslant \Delta \varphi } \right) =\\ &\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{{\left( {2{\text{π}} + \Delta \varphi } \right)}^2}}}{{8{{\text{π}} ^2}}}}，&{\Delta \varphi \in \left( { - 2{\text{π}} ,0} \right)}，\\ {1 - \dfrac{{{{\left( {2{\text{π}} - \Delta \varphi } \right)}^2}}}{{8{{\text{π}} ^2}}}}，&{\Delta \varphi \in \left[ {0,2{\text{π}} } \right)} 。\end{array}} \right. \end{split} $

(2)

取微分后有

$ f\left( {\Delta \varphi } \right) = F'\left( {\Delta \varphi } \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{2{\text{π}} + \Delta \varphi }}{{4{{\text{π}} ^2}}}}，&{\Delta \varphi \in \left( { - 2{\text{π}} ,0} \right)}，\\ {\dfrac{{2{\text{π}} - \Delta \varphi }}{{4{{\text{π}} ^2}}}}，&{\Delta \varphi \in \left[ {0,2{\text{π}} } \right)} 。\end{array}} \right. $

(3)

显然 $ f\left( {\Delta \varphi } \right) $ 是关于 $ \Delta \varphi = 0 $ 对称的，考虑到 $ \Delta \varphi $ 的定义，显然有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {f\left( {\Delta \varphi } \right) = \dfrac{1}{{2{\text{π}} }}}&{\Delta \varphi \in \left[ {0,2{\text{π}} } \right)}。\end{array} $

(4)

式（4）表明 $ \Delta \varphi $ 也是符合均匀分布的，因此相对运动速度 $ {V_s} $ 在 $ \left[ {0,2\pi } \right) $ 内的均值可表示为：

$ \begin{split}{\overline{V}}_{s}=&{\displaystyle{\int _{0}^{{2{\text{π}} }}}f\left(\Delta \phi \right)\sqrt{{U}^{2}+{V}^{2}-2UV\mathrm{cos}\Delta \phi }{\rm{d}}\Delta \phi }=\\ &\dfrac{\sqrt{{U}^{2}+{V}^{2}}}{{\text{π}} }\displaystyle\int_{0}^{\text{π}} \sqrt{1-\dfrac{2UV}{{U}^{2}+{V}^{2}}\left[2{\mathrm{cos}}^{2}\dfrac{\Delta \phi }{2}-1\right]}{\rm{d}}\Delta \phi =\\ &\dfrac{2\left(U+V\right)}{{\text{π}} }{\displaystyle\int_{-\tfrac{{\text{π}} }{2}}^{0} \sqrt{1-\dfrac{4UV}{{\left(U+V\right)}^{2}}{\mathrm{sin}}^{2}\alpha }{\rm{d}}\alpha } =\\ &\dfrac{2\left(U+V\right)}{{\text{π}} }{E}_{\mathrm{II}}\left(\dfrac{4UV}{{\left(U+V\right)}^{2}}\right)。\end{split} $

(5)

式中： $\alpha {\text{ = }}\dfrac{{\Delta \varphi - {\text{π}} }}{2}$ ； $ {E}_{\mathrm{II}} $ 表示第二类完全椭圆积分。

1.2 搜扫宽度的确定

前文已证 $ \Delta \varphi $ 为均匀分布，图2为以 $ U $ 为 $ y $ 轴建立坐标系，令 $ V $ 的方向为 $ \varphi $ ， $ {V_s} $ 的方向为 $ \ \beta $ ，令 $ k = U/V $ 。

考虑对称性，仅讨论 $ \varphi \in \left[ {0,\pi } \right) $ 。当 $ k > 1 $ 即 $ U > V $ 时，显然 $ \ \beta $ 始终指向 $ y < 0 $ 区域，此时

$ \begin{split} {F_1}(\beta ) =& P\left\{ {\arctan \frac{{\sin \varphi }}{{\cos \varphi - k}} \leqslant \beta } \right\} =\\ &\frac{{\arccos \left( {{K_2} - {K_1}} \right) - \arccos \left( {{K_2} + {K_1}} \right)}}{\text{π} } 。\end{split} $

(6)

式中： $ {K_1} = \sqrt {{{\cos }^2}\beta \left( {{k^2}{{\cos }^2}\beta - {k^2} + 1} \right)} $ ； $ {K_2} = k - k{\cos ^2}\beta $ ； $\ \beta \in \left( {\arccos \dfrac{{ - \sqrt {{k^2} - 1} }}{k},\text{π} } \right)$ 。

当 $ k = 1 $ 即 $ U = V $ 时，此时 $ {V_s} $ 相当于割以 $ U $ 为半径的圆的弦，进而有 $\ \beta = \dfrac{{{\text{π}} + \varphi }}{2}$ ，因此有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{F_2}\left( \beta \right) = \dfrac{{2\beta - {\text{π}} }}{{\text{π}} }}，&{\beta \in \left[ {\dfrac{{\text{π}} }{2},{\text{π}} } \right)} ，\end{array} $

(7)

当 $ k > 1 $ 即 $ U < V $ 时，此时 $\ \beta $ 在 $ \left[ {0,\pi } \right) $ 内分布，因此有

$ {F_3}\left( \beta \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\arccos \left( {{K_2} + {K_1}} \right)}}{{\text{π}} }}，&{\beta \in \left[ {0,\dfrac{{\text{π}} }{2}} \right)} ，\\ {\dfrac{{\arccos \left( {{K_2} - {K_1}} \right)}}{{\text{π}} }}，&{\beta \in \left[ {\dfrac{{\text{π}} }{2},{\text{π}} } \right)} 。\end{array}} \right. $

(8)

对上述分布函数 $ F\left( \beta \right) $ 取微分后可确定 $ k $ 取值不同情况下 $ \beta $ 的概率密度函数，也可用于离散化求取某一范围内相对运动方向的分布概率，从而可确定平均搜扫宽度的值。

1.2.1 仅配置首部声呐时搜扫宽度的确定

根据文献[8]，搜扫宽度基于横向距离的积分确定，而横向距离指的是在距离最近点处搜索者和目标之间的距离。由此，当仅配置首部声呐时，如图3所示。令声呐作用距离为 $ R $ ，声呐扇面角为 $ \theta $ 。显然， $ W $ 等于搜索扇面沿 $ \ \beta $ 方向投影的长度，且受 $ \ \beta $ 和 $ \theta $ 取值影响。

若 $\theta \leqslant {{\text{π}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text{π}} 2}} \right. } 2}$ ，则当 $ \ \beta \in \left[ {0,{\theta \mathord{\left/ {\vphantom {\theta 2}} \right. } 2}} \right] $ 时， $ W $ 等于弦 $ AB $ 构成线段沿 $\ \beta $ 方向的投影长度，因此

$ {W_1} = 2R\sin \frac{\theta }{2}\cos \beta，$

(9)

当 $\ \beta \in \left[ {{\theta \mathord{\left/ {\vphantom {\theta 2}} \right. } 2},{{\left( {{\text{π}} - \theta } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{\text{π}} - \theta } \right)} 2}} \right. } 2}} \right]$ 时， $ W $ 等于线段 $ AO $ 沿 $ \ \beta $ 方向的投影长度，因此

$ {W_2} = R\sin \left( {\beta + \frac{\theta }{2}} \right) ，$

(10)

当 $\ \beta \in \left[ {{{\left( {{\text{π}} - \theta } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{\text{π}} - \theta } \right)} 2}} \right. } 2},{{\left( {{\text{π}} + \theta } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{\text{π}} + \theta } \right)} 2}} \right. } 2}} \right]$ 时， $ W $ 等于探测扇面的作用距离，即

$ {W_3} = R，$

(11)

当 $\ \beta \in \left[ {{{\left( {{\text{π}} + \theta } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{\text{π}} + \theta } \right)} 2}} \right. } 2},{\text{π}} - {\theta \mathord{\left/ {\vphantom {\theta 2}} \right. } 2}} \right]$ 时， $ W $ 等于线段 $ OB $ 沿 $\ \beta $ 方向的投影长度，因此

$ {W_4} = R\sin \left( {\beta - \frac{\theta }{2}} \right)。$

(12)

当 $\ \beta \in \left[ {{\text{π}} - {\theta \mathord{\left/ {\vphantom {\theta 2}} \right. } 2},{\text{π}} } \right)$ 时， $ W $ 等于弦 $ AB $ 构成线段沿 $\ \beta $ 方向的投影长度，因此

$ {W_5} = 2R\sin \frac{\theta }{2}\cos \left( {{\text{π}} - \beta } \right)。$

(13)

同理，若 $\theta > \dfrac{{\text{π}} }{2}$ ，则当 $\ \beta \in \left[ {0,{{\left( {{\text{π}} - \theta } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{\text{π}} - \theta } \right)} 2}} \right. } 2}} \right]$ 时， $ W $ 等于弦 $ AB $ 构成线段沿 $\ \beta $ 方向的投影长度，即

$ {W'_1} = {W_1}，$

(14)

当 $\ \beta \in \left[ {{{\left( {\pi - \theta } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {\pi - \theta } \right)} 2}} \right. } 2},{\theta \mathord{\left/ {\vphantom {\theta 2}} \right. } 2}} \right] $ 时， $ W $ 等于线段 $ OB $ 沿 $\ \beta $ 方向的投影长度与扇面半径的和，因此

$ {W'_2} = R + R\sin \left( {\frac{\theta }{2} - \beta } \right) 。$

(15)

当 $\ \beta \in \left[ {{\theta \mathord{\left/ {\vphantom {\theta 2}} \right. } 2},{\text{π}} - {\theta \mathord{\left/ {\vphantom {\theta 2}} \right. } 2}} \right]$ 时， $ W $ 等于探测扇面的作用距离，即

$ {W'_3} = {W_3}，$

(16)

当 $\ \beta \in \left[ {{\text{π}} - {\theta \mathord{\left/ {\vphantom {\theta 2}} \right. } 2},{{\left( {\theta + {\text{π}} } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {\theta + {\text{π}} } \right)} 2}} \right. } 2}} \right]$ 时， $ W $ 等于线段 $ AO $ 沿 $ \ \beta $ 方向的投影长度与扇面半径的和，因此

$ {W'_4} = R - R\sin \left( {\frac{\theta }{2} + \beta } \right)。$

(17)

当 $\ \beta \in \left[ {{{\left( {\theta + {\text{π}} } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {\theta + {\text{π}} } \right)} 2}} \right. } 2},{\text{π}} } \right)$ 时， $ W $ 等于弦 $ AB $ 沿 $\ \beta $ 方向的投影长度，即

$ {W'_5} = {W_5}。$

(18)

1.2.2 仅配置舷侧声呐时搜扫宽度的确定

如图4所示，当仅配置舷侧声呐时，搜扫宽度确定方法相同。

当 $ \ \beta \in \left[ {0,{\theta \mathord{\left/ {\vphantom {\theta 2}} \right. } 2}} \right] $ 时， $ W $ 显然为两扇面探测半径的和，即

$ {W_1} = 2R，$

(19)

当 $\ \beta \in \left[ {{\theta \mathord{\left/ {\vphantom {\theta 2}} \right. } 2},{{\text{π}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text{π}} 2}} \right. } 2}} \right]$ 时， $ W $ 即为线段 $ BD $ 沿 $ \ \beta $ 方向的投影长度，因此

$ {W_2} = 2R\sin \left( {\frac{{\text{π}} }{2} + \frac{\theta }{2} - \beta } \right) ，$

(20)

当 $\ \beta \in \left[ {{{\text{π}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text{π}} 2}} \right. } 2},{\text{π}} - {\theta \mathord{\left/ {\vphantom {\theta 2}} \right. } 2}} \right]$ 时， $ W $ 等于线段 $ AC $ 沿 $\ \beta $ 方向的投影长度，因此

$ {W_3} = 2R\sin \left( {\beta + \frac{\theta }{2} - \frac{{\text{π}} }{2}} \right) ，$

(21)

当 $\ \beta \in \left[ {{\text{π}} - {\theta \mathord{\left/ {\vphantom {\theta 2}} \right. } 2},{\text{π}} } \right)$ 时，搜扫宽度显然为两扇面探测半径的和，即

$ {W_4} = 2R，$

(22)

综合式（6）～式（22），搜扫宽度 $ W $ 的均值可表示为：

$ \bar W = \int {F'\left( \beta \right)W\left( {\beta ,\theta } \right)} {\rm{d}}\beta。$

(23)

其中， $ W\left( {\beta ,\theta } \right) $ 表示搜扫宽度关于 $ \ \beta $ 和 $ \theta $ 的分段函数。

2 仿真验证 2.1 巡逻线搜索问题的仿真验证

巡逻线搜索指的是搜索者垂直于目标可能航向所进行的线式搜索。这种搜索方式通常是在目标可能航向较为确定的情况下，为以最大概率发现目标而采用^[9]。本质上看，这种方式不属于随机搜索，因为目标航向已知从而不再满足均匀分布的条件，但前文所建立的搜索模型经适当变形后仍可用于求解该类问题。

在巡逻线搜索中，显然 $ V $ 和 $ U $ 的方向垂直，从而显然满足 $\ \beta > {{\text{π}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text{π}} 2}} \right. } 2}$ 。此时，如图5所示，UUV发现目标的概率可表示为 $ W $ 沿 $\ \beta $ 方向在巡逻线内投影 $ {L_s} $ 的平均长度与 $ L $ 的比值，即

$ P\left( \beta \right) = \frac{1}{{{L^2}}}\left[ {\frac{{W\left( \beta \right)L}}{{\sin \beta }} - \frac{{{W^2}\left( \beta \right)}}{{2{{\sin }^2}\beta }} - K\left( {\beta ,\theta } \right)} \right]。$

(24)

式中：当 $\ \beta \in \left( {{{3{\text{π}} }/ 4},{\text{π}} } \right)$ 时， $K\left( {\beta ,\theta } \right) = \dfrac{{\sin \left( {\beta + \dfrac{\theta }{2}} \right)\sin \left( {\beta - \dfrac{\theta }{2}} \right)}}{{{{\sin }^2}\beta }}{R^2}$ ；当 $\theta \geqslant \dfrac{{\text{π}} }{2}$ 且 $\ \beta \in \left( {\dfrac{{2{\text{π}} - \theta }}{2},\dfrac{{3{\text{π}} }}{4}} \right)$ 时， $K\left( {\beta ,\theta } \right) = \dfrac{{\sin \left( {\beta + \dfrac{\theta }{2}} \right)}}{{{{\sin }^2}\beta }}{R^2}$ ；其他情况下 $ K\left( {\beta ,\theta } \right) = 0 $ 。

设计仿真试验，UUV以首部声呐进行巡逻线搜索， $L = 10\;{\rm{n\; mile}}$ ， $ U = 10\;{\text{kn}} $ ， $ R = 2\;{\rm{n\; mile}} $ 。考虑 $ \theta $ 分别取 ${{\text{π}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text{π}} 3}} \right. } 3}$ 和 ${{2{\text{π}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{2{\text{π}} } 3}} \right. } 3}$ ， $ V $ 分别取 $ 6\;{\text{kn}} $ ， $ 10\;{\text{kn}} $ 和 $ 20\;{\text{kn}} $ ，目标进入UUV探测扇面即判断为搜索到目标，则根据式（24），发现目标的理论值如表1所示。表中“全向模型”指的是基于潜艇搜索模型而计算的UUV发现概率。采用蒙特卡罗法进行仿真，仿真结果如图6及图7所示。

可以看出，随着仿真次数的增加，仿真计算给出的发现概率较快的收敛于基于式（24）给出的理论概率，且可以看出，若采用将搜扫宽度等效为传感器作用距离两倍的全向搜索模型，则发现概率的计算将有较大误差，从而验证了前文建立的模型在巡逻线搜索问题中的有效性与准确性。

2.2 随机搜索问题的仿真验证

设计仿真试验，令UUV和目标在一宽为 $ 10\;{\rm{n\;mile}} $ ，长为 $ 20\;{\rm{n\;mile}} $ 的区域内随机运动。考虑 $ U = 10\;{\text{kn}} $ ， $ R = 1\;{\rm{n\;mile}} $ ， $ V = 15\;{\text{kn}} $ ，考虑 $\; \theta $ 分别取 ${{\text{π}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text{π}} 3}} \right. } 3}$ 和 ${{2{\text{π}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{2{\text{π}} } 3}} \right. } 3}$ ，目标进入UUV探测扇面即被发现。采用蒙特卡罗方法进行仿真，仿真结果如图8及图9所示。

由图8可以看出，相较于以2倍传感器作用距离为搜扫宽度的全向模型，基于式（1）、式（5）和式（23）等给出的模型更接近于仿真试验的结果，从而验证了模型在随机搜索中的有效性和准确性。

图9表明2种模型较为接近，结合式（20）和式（21）可以看出：

$ \Delta P = \left( {{e^{\frac{{\left( {2R - W} \right)Vt}}{A}}} - 1} \right){e^{\frac{{ - 2RVt}}{A}}}。$

(25)

进而表明，当 $ \theta $ 取值越小（即 $ W $ 取值越小）、搜索范围 $ A $ 越小时，2种模型之间的差异也就越大，即采用原有的全向搜索模型确定发现概率时误差也就越大，反之两种模型则较为接近。此外，针对图8中模型理论值略高于仿真值的问题，经研究发现，在考虑探测扇面、搜索区域边界等问题约束后，在不破坏随机性的条件下，无论采取何种运动方式，都无法令UUV的探测扇面始终处于搜索区域内^[10-11]。如图10所示，当UUV在区域边界附近运动时，部分探测扇面将位于搜索范围外，从而导致有效的探测范围变小，进而降低发现概率，而式（1）所给出的模型，本质上是对 $ n $ 次独立试验的重复，即

$ P\left( t \right) = 1 - {\left( {1 - \frac{{VWt}}{{nA}}} \right)^n}。$

(26)

每次独立试验时均要求探测扇面完全位于搜索区域内，而这只有当 $ A $ 无限大时才能满足，即基于式（1）所确定的发现概率为随机搜索的理论上限。

3 结　语

针对当前UUV采用潜艇搜索模型从而导致搜索效率存在误差的问题，以搜索论的相关概念为基础进行研究，对相对运动速度及不同扇面角和态势下的搜扫宽度进行计算与分析，区分首部声呐和舷侧声呐2种典型配置方案，建立非全向传感器作用下水下平台的搜索模型。仿真结果与模型理论计算值吻合较好，验证了模型对水下搜索问题研究的可靠性与准确性。