0 引　言

起重船属于海上起重设备，在海洋石油平台安装、港建水工作业、造船工程、桥梁工程、水下打捞等工程中具有广泛用途，因此对于大型起重船而言，方形系数较大且船宽B与吃水T之比都会超出常规船舶规范B/T≤2.5，L/B>5的规定，具有其特殊性，故在作业时会受到周围环境载荷不同程度的影响。为了降低海上作业风险并提高安全性，中外众多学者展开了多方面的研究。王言英等^[1]根据线形波理论和三维源汇分布方法，提出了浮体在波浪中运动的水动力系数、波浪载荷以及运动相应的计算方法。Li^[2]、谢永和等^[3]和刘日明等^[4]提出了数值积分方法，用来计算有限水深的格林函数及其导数。杨鹏等^[5]利用改进的Gauss-Laguerre积分法，提出一种可精确计算有限水深格林函数及其偏导数的方法，用于评估浮体运动和波浪载荷。Ding等^[6]引入矢量后基于常系数罚函数法提出了船舶在规则波中漂浮的新方程。Chen^[7]利用波浪模型SWAN研究了波浪的传播和波浪流之间的相互作用，以及对船舶航行的影响。陈剑文等^[8]基于三维势流理论，以浮式栈桥为研究对象，计算在规则波入射时的水动力参数，以及在波浪作用下浮式栈桥的运动响应，但对于大型浮式起重船的相关研究较少。

本文结合势流理论和波浪的辐射/绕射理论，对3600 t起重船进行动态响应水动力系数的计算，并在危险工况下对起重船的不同航速进行研究，为大吨位起重船的航行作业提供参考依据。

1 数值计算理论

对于存在浮动刚体的流场，其速度势可以分为三部分：

$ \varPhi (x,y,z,t) = {\varPhi _\omega } + {\varPhi _d} + {\varPhi _r}。$

(1)

式中：

1） ${\varPhi _\omega }$ 为波浪未经船体扰动的入射势（艾里波），即

$ {\varPhi _\omega }(x,y,z,t) = - i\frac{{Ag}}{\omega }\frac{{\cosh k(z + h)}}{{\cosh kh}}{e^{ik(x\cos \beta + y\sin \beta )}}。$

(2)

式中， $\beta $ 为相对 $Ox$ 轴的入射角。

2） ${\varPhi _d}$ 为波浪穿过船体后所产生的绕射势，需满足船体上的滑移条件：

$ \nabla {\varPhi }_{d}\cdot n=-\nabla {\varPhi }_{\omega }\cdot n 。$

(3)

式中， $n$ 为船体上的法向量。

3） ${\varPhi _r}$ 为由船体运动所产生的辐射势：

$ {\varPhi _r} = \sum\limits_{j = 1}^6 { - i\omega {x_j}} {\varPhi _{{R_j}}}。$

(4)

式中， ${x_j}$ 为结构运动第 $j$ 个分量。

势流是指流体中速度场，是标量函数（即速度势）梯度的流。该理论通常会设定速度势存在并满足Laplace方程和4类边界条件:自由面条件、海底条件、物体湿表面条件和辐射条件（无穷远处边界条件）。

根据Laplace方程以及边界条件可以确定出速度势，再按伯努利公式计算物体湿表面上的压力。这是目前最常用的计算浮体湿表面上波浪力的方法。

在势流理论^[9]中，通常引入如下基本假设：

1）假设流体是不可压缩的理想流体，其表面张力效应可忽略不计；

2）运动是无旋的，即存在速度势 $\varPhi (x,y,z,t)$ ，根据梯度 $\nabla \varPhi (x,y,z,t)$ 得出流体质点的速度矢量。

需要满足的边界条件（见图1）有

Laplace方程：

$ \frac{{{\partial ^2}\varPhi }}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\varPhi }}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\varPhi }}{{\partial {z^2}}} = 0。$

(5)

自由表面条件：

$ \frac{{{\partial ^2}\varPhi }}{{\partial {t^2}}} + g\frac{{\partial \varPhi }}{{\partial z}} = 0\;(z = 0)。$

(6)

海底边界条件：

$ \frac{{\partial \varPhi }}{{\partial z}} = 0\;(z = - h)。$

(7)

物体湿表面条件：

$ \frac{{\partial \varPhi }}{{\partial n}} = \sum\limits_{j = 1}^6 {{v_j}{f_j}(x,y,z)}。$

(8)

辐射条件：

$ \mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \sqrt R \left(\frac{{\partial \varPhi }}{{\partial R}} - ik\varPhi \right) = 0（0航速条件）。$

(9)

当流场受到外界的干扰后，在其自由表面上出现波动现象，并且这种波动逐渐向外传播至远方。方程(9)为辐射条件，式中 $R$ 为离开扰动源的水平距离，当向外传播的是平面波时，传播过程中波幅保持不变；当向外传播的是柱面波时，则波幅在远处将以 $1/\sqrt R $ 的速率递减。

在波浪场中浮体所受作用力由入射势、绕射势和辐射势三部分组成^[10]，求得式(1)中的速度势，则物体湿表面的压力分布可以利用线性化的伯努利方程得到，即

$ p = - \rho gz - \rho \frac{{\partial \Phi }}{{\partial t}} = - \rho gz - \rho \left(\frac{{\partial {\Phi _\omega }}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {\Phi _d}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {\Phi _r}}}{{\partial t}}\right)。$

(10)

进一步得出作用在浮体上的波浪力和波浪力矩为：

$ {{{\boldsymbol{F}}}} = \iint\limits_S { - pn}{\rm{d}}s，$

(11)

$ {{\boldsymbol{M}}} = \iint\limits_S { - p(r \times n)}{\rm{d}}s。$

(12)

引入 $n = ({n_1},{n_2},{n_3})$ ， $r \times n = ({n_4},{n_5},{n_6})$ ，则波浪力和波浪力矩可写为：

$ {F_j}(t) = \rho \iint\limits_S {\left(gz + \frac{{\partial {\Phi _\omega }}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {\Phi _d}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {\Phi _r}}}{{\partial t}}\right)}{n_j}{\rm{d}}s,j = 1, \cdots ,6 。$

(13)

即

$ \begin{split}{F_j}(t) =& \iint\limits_S { - p{n_j}}{\rm{d}}s=\\ &\rho g\iint\limits_S {z{n_j}}{\rm{d}}s - \rho {Re} \left\{ {\sum\limits_{j = 1}^6 {i\omega {\zeta _j}{e^{ - i\omega t}}\iint\limits_S {{\phi _j}{n_j}{\rm{d}}s}} } \right\} -\\ &\rho {Re} \left\{ {i\omega {e^{ - i\omega t}}\iint\limits_S {({\phi _\omega } + {\phi _d})}{n_j}{\rm{d}}s} \right\}。\\[-15pt]\end{split}$

(14)

式中，3个积分式分别表示为浮体振荡所产生的静水力分量、辐射分量以及线性波激力。

其中第二积分式可以得出附加质量和阻尼系数，即

$\begin{split} {f_{ij}} =& \left\{ \begin{array}{ll} - i\omega \rho \displaystyle\iint\limits_S {{n_i}{\phi _j}{\rm{d}}s}& i = 1,2,3 \\ - i\omega \rho \displaystyle\iint\limits_S {{{(r \times n)}_i}{\phi _j}{\rm{d}}s} & i = 4,5,6 \end{array} \right. = \\ &- \rho \iint\limits_S {\frac{{\partial {\phi _i}}}{{\partial n}}{\phi _j}{\rm{d}}s}。\end{split} $

(15)

式中： ${f_{ij}}$ 为浮体结构在自由度 $j$ 上的单位位移引起的自由度 $i$ 上的力，可表述为：

$ {f_{ij}} = - {\omega ^2}M_{ij}^a - i\omega {C_{ij}} 。$

(16)

式中： $M_{ij}^a,{C_{ij}}$ 分别为附加质量和辐射阻尼系数，为6×6的矩阵，主要与浮体形状、振动频率函数以及海水深度有关。

$ M_{ij}^a = \rho {{\rm{Re}}} \left\{ {\iint\limits_S {\frac{{\partial {\phi _i}}}{{\partial n}}}{\phi _j}{\rm{d}}s} \right\} ，$

(17)

$ {C_{ij}} = \rho {\text{lm}}\left\{ {\iint\limits_S {\frac{{\partial {\phi _i}}}{{\partial n}}}{\phi _j}{\rm{d}}s} \right\}。$

(18)

2 计算模型

本文采用的模型是3600 t起重船，根据表1参数建立船体的三维模型并划分网格，如图2所示。

在数值计算过程当中，必须保证1个波长的长度至少要覆盖7个最大单元尺寸，若网格数量太少可能导致计算结果不收敛，而数量太多可能导致效率低，计算时间冗长。因此在划分网格过程中需要以计算最大频率设定网格尺寸。

3 入射波的设置

选取的波浪入射角范围为0°～180°，（其中0°为随浪，180°为迎浪），波幅为1 m，根据划分的网格设置频率的范围为0.1～2.0 rad/s，入射角 $\theta $ 如图3所示。

4 数值模拟结果与分析 4.1 不同海底深度对起重船附加质量和阻尼的影响

在DAT文件中分别设置6种不同的海水深度（20 m，25 m，30 m，40 m，60 m，100 m），计算结果如图4～图15所示。

由图4～图6可知，对于线位移（纵荡、横荡和垂荡）的3个附加质量，垂荡方向的最大，纵荡方向的最小，并且随着频率的逐渐增大，垂荡方向不同于纵荡和横荡，整个阶段没有峰值，在0.1～0.75 rad/s区域内快速下降，当进入高频范围内，附加质量值几乎趋于稳定，与起重船质量的比值约为2～3。

由图7～图9可知，对于角位移（横摇、纵摇和首摇）的3个附加质量，在纵摇方向最大，在横摇方向最小，并且在低频范围内都有峰值出现。

当处于低频范围时，附加质量会随海水深度的减小而增大，且随着水深差值越来越大，其附加质量的差值越来越小。但在高频范围内，附加质量值几乎不随深度变化而变化，趋于稳定。

与附加质量的值类似，对于线位移（纵荡、横荡和垂荡）的3个辐射阻尼，垂荡值大于横荡值大于纵荡值；对于角位移（横摇、纵摇和首摇）的3个辐射阻尼，纵摇值大于首摇值大于横摇值，并且在整个过程中都有峰值出现。

当在低频范围内，辐射阻尼会随水深的减小而增大，并且增速较快。在频率达到0.75～1.25 rad/s范围内，6个自由度的辐射阻尼值均出现了峰值；当在高频范围内，6个自由度的辐射阻尼值下降，并且几乎不受海水深度的变化而变化。

4.2 航速对起重船的运动响应分析

在规则波作用下，船体的频域运动响应方程为：

$ [M(s) + M(a)]\ddot X + C\dot X + K(s)X = F 。$

(19)

式中： $M(s)$ 为船体结构本身质量矩阵； $M(a)$ 为船体水动力附加质量矩阵； $C$ 为船体线性阻尼矩阵； $K(s)$ 为船体总刚度矩阵； $F$ 为作用在船体上单位波幅的波浪力矢量； $X$ 为单位波幅运动响应（RAOs）。

在规则波中，通常会将运动响应 $ X $ 和波浪力 $ F $ 分别改写为 $ X={X}_{0}{e}^{-i\omega t} $ 和 $F = {F_0}{e^{ - i\omega t}}$ ，代入式(19)得：

$\begin{split} [M(s) + &M(a)]({X_0}{e^{ - i\omega t}})'' + C({X_0}{e^{ - i\omega t}})' + \\ &K(s)({X_0}{e^{ - i\omega t}}) = {F_0}{e^{ - i\omega t}}。\end{split}$

(20)

引入

$ H = {\left\{ {K(s) - [M(s) + M(a)]{\omega ^2} - iC\omega } \right\}^{ - 1}} ，$

(21)

可得：

$ {X_0} = H{F_0} 。$

(22)

式中： $\omega $ 为入射规则波的频率； $H$ 为转换方程，它是将输入的波浪力与输出响应之间进行相互转换。

在Aqwa-Line计算中，通常以船体的重心为基础，根据船体重心处以及船体上任意坐标到重心的位置矢量，可得出船体任一点的RAOs，即

$ {X_p} = T \cdot {X_g}。$

(23)

式中： $ {X}_{g} $ 为船体重心位置处的RAOs； $ T $ 为浮体重心RAOs与该点处RAOs之间的转换矩阵。

根据文献[11]得知，横向海流载荷对起重船的冲击力较大（见图16），故将给定不同的航速（0.5 m/s，1.0 m/s，2.0 m/s），调用Aqwa-Line模块对起重船进行了运动响应分析(RAOs)，计算结果如图17～图22所示。

可以看出，横向流速对横摇影响最大，在频率介于0.75 ～1.0 rad/s之间出现了峰值，而对横荡的影响次之，并且随着频率的增大，横荡响应值逐渐减小。

相比之下，在横向海流载荷下不同航速对船体产生的影响不是很明显，横荡和首摇的运动幅值随频率的增加快速下降到最小值，而其他4个自由度的运动幅值在整个阶段都出现了峰值。当处于低频范围内，六自由度的运动幅值随着航速的增加而增大，但在高频范围内纵荡最为特殊，出现了二次峰值，随着航速增加，纵荡运动幅值反而减小。

可知，在横向海流载荷作用下，不同航速对船体本身影响较小，在频率介于0.75～1.0 rad/s之间时，横向海流载荷对起重船影响最大，在工作中尽量避免。

5 结　语

本文利用Aqwa水动力分析软件研究了起重船在海流载荷作用下的运动响应问题，给出了不同海水深度下的附加质量、辐射阻尼变化曲线图，并且分析了横向海流载荷下的不同航速对起重船的影响。结果表明：

1）假设流体运动是无旋的，在规则波作用下船体上会产生流的分离，进而出现与流体粘性性质有关的阻力，故在计算过程中以8%的临界阻尼作为粘性阻尼修正量，使得计算结果较为接近真实情况。

2）除了入射波频率以及B/T以外，海水深度也是影响附加质量和辐射阻尼的重要因素，尤其在低频区域内更加显著，随着海水深度的增大起重船的附加质量和辐射阻尼反而减小。

3）起重船在横向海流载荷下工作时，对横摇的影响最大，尤其频率介于0.75 ～1.0 rad/s之间最危险。并且不同航速对起重船的动态稳定性略有影响，随着航速的增加而增大。因此在起重船航行作业时，应低速且尽量避开危险频率区间。