0 引　言

轴是传递动力的重要部件，工程中的机械动力90%以上是依靠轴系传递的。在航空发动机、舰船推进装置、汽轮发电机组等动力系统中，转速的提升与临界转速数目的增加，使得轴系的振动与稳定性成为转子动力学关注的问题，研究的最终目的是控制以轴为核心的机械系统的转动，确保机器设备的平稳运行^[1-2]。

经典的轴系振动理论将转子划分为刚性转子和柔性转子，并且对于柔性转子给出了系统可以自动对中的明确结论^[1]。由于转动引起的惯性力与转速的平方成正比，因而质量偏心即不平衡惯性力引起的强迫振动就成为轴系振动治理的重要途经，其主要方法是在静平衡的基础上，对于轴系以及其上的转子进行动平衡。

事实上轴系振动的影响因素很多，且带来诸多问题。近20余年里人们一直研究转子的油膜与碰撞等振动问题^[3-5]，不仅仅呈现复杂的非线性振动特性，而且在振动激励上超出了强迫振动的范畴，尤其是轴系的不对中产生的振动，将呈现包括参数激励和自激振动的多种激励耦合作用结果，并且在某些偏斜（中心线偏移或角度偏斜）情况下，产生轴系的初始运行时期振动幅值小、后续运行阶段振动幅度增高，但是可靠性下降的情形^[6-8]。从振动机理上可以看到，轴系的耦合非线性振动不属于动平衡技术可以解决的范畴，因而在施加动平衡技术之前，必须滤掉其他非惯性力因素导致的振动成分，或者通过系统部件的设计、调节措施，尽可能控制非惯性力之外的耦合激励作用下的振动响应，最终为动平衡过程提供干净的振动测试数据，才能达到通过动平衡最终控制振动的目的^{[2, 9]}。偏斜隐藏在转子系统中，有时会被误认作轴系的不平衡，因为在有些情况下，偏斜轴系的振动幅值通过校准反倒降低。但轴系的偏斜不能靠动平衡消除。故控制轴的振动需要研究偏斜情况下轴系的振动规律。

机器的健康监控或其中的故障诊断是研究轴系非线性振动的另一个目的。通过提取振动信号中的故障特征，可以判别机器运行状态，所以需要有针对性地建立轴系的动力学模型，分析掌握动力学特性和振动特征^[10-11]。

在转子动力学的研究工作中，相对于其他因素的非线性振动，偏斜轴系的振动研究并不充分，主要有工作模型和有限的振动特征仿真方面。其原因是，偏斜轴系振动比较复杂，最好的振动控制方式是在机器组装环节中实施详细严格的校正措施^[2,12-13]。

周奇郑等^[14]研究了在加速状态下偏角不对中轴系的横向振动特性，建立并分析油膜、碰摩因素作用下的动力学方程，指出加速度使共振特性更加复杂。韩捷等^[15]研究了联轴器在偏斜情况下的倍频特性，发现了不对中的弯曲振动特征依赖于不对中的类型。李明^[16]基于谐波平衡法分析了不对中与不平衡转子系统的动力学特性，发现不平衡与不对中振动频率不仅相似，还会相互耦合产生新的频率。安学利等^[17]考虑了偏斜与不平衡因素，分析了偏斜转子系统的动力学行为，研究了偏斜量、转速、支撑刚度等对系统的影响。付波等^[18]分别研究了偏斜量、不平衡量、阻尼系数等对立式水轮发电机组转子系统的影响。Xu M.等^[19]研究了不对中对转子系统倍频特性的影响。

基于上述研究，本文建立偏斜轴系在不平衡、油膜、碰摩耦合影响下的动力学模型，研究其振动机理，分析偏斜因素对动平衡的影响。

1 基本假设

图1为由电机、滑动轴承、螺旋桨、联轴器等组成的推进轴系。其中， ${O_1}$ 和 ${O_2}$ 为主动轴与从动轴的轴心。轴系存在不对中时，轴系平行不对中量为 $\delta$ ，偏角不对中量为 $\alpha$ 。2根转轴由弹性联轴器连接，将轴段视为无质量的具有相同横截面的弹性轴。忽视转子的陀螺效应，假设其为刚性转子，只研究轴系的横向振动。

1.1 偏角不对中受力

假设电机输出扭矩为 $T$ ，且电机转速恒定，当轴系存在偏角不对中时，转轴因偏角不对中受力如图2所示。

图中， $\alpha$ 为主动轴与从动轴的夹角， ${\theta _M}$ 为主动轴转过的角度， ${\theta _M} = \omega t$ 。将 $T$ 沿坐标轴分解， ${T_x}$ 为从动轴转动所需要的扭矩， ${T_y}$ 和 ${T_z}$ 为在从动轴处的弯矩，该力矩会引起从动轴的径向振动。可知力矩分量之间的关系为：

${T_y} = T\sin \alpha \cos {\theta _M}，$

(1)

${T_z} = T\sin \alpha \sin {\theta _M} 。$

(2)

不考虑从动轴的圆盘转子的安装偏斜，沿 ${T_x}$ ， ${T_y}$ ， ${T_z}$ 建立 $x$ ， $y$ ， $z$ 轴，将其作为惯性主轴，转子仅绕 $x$ 轴转动，可根据欧拉方程，将 ${T_x}$ 表示为：

${T_x} = {I_R}{\dot \omega _R}。$

(3)

式中： ${I_R}$ 为转子的极转动惯量； ${\omega _R}$ 为转子角速度。假设 ${\theta _R}$ 为从动轴转过的角度，它与 ${\theta _M}$ 的关系为， $\tan {\theta _M} = \tan {\theta _R}\cos \alpha$ ，将其对时间 $t$ 求导可得 ${\omega _R}$ 与电机角速度 $\omega$ 关系为：

${\omega _R}/\omega = C/(1 + D\cos 2{\theta _M})。$

(4)

其中： $C = 4\cos \alpha /(3 + \cos 2\alpha )$ ； $D = (1 - \cos \alpha )/(3 + \cos 2\alpha )$ 。

将式（4）对时间 $t$ 求导可得：

${\dot \omega _R} = 2{\omega ^2}CD\sin (2{\theta _M})/{(1 + D\cos (2{\theta _M}))^2}。$

(5)

由图2可得：

$T = {T_x}/\cos \alpha 。$

(6)

将式（3）、式（5）、式（6）代入式（1）和式（2）可得：

${F_{ny}} = {T_y}，$

(7)

${F_{nz}} = {T_z} 。$

(8)

1.2 平行不对中受力

${O_1}$ 和 ${O_2}$ 的间距为平行不对中距离 $\delta$ 。取联轴器上一点 $M$ ，则联轴器因平行不对中受力如图3所示。

取 $M{O_2}$ 上一点 $N$ ，使得 $MN = M{O_1}$ ， $\delta$ 足够小，则 ${O_1}N$ 可视为垂直于 $M{O_2}$ ，则联轴器的总变形量为 ${\rm{N}}{{\rm{O}}_2} = \delta \cos {\theta _R}$ ，半联轴器的变形量可近似为 ${\rm{N}}{{\rm{O}}_2}/2$ 。假设 ${\rm{N}}{{\rm{O}}_2}$ 方向的刚度为 ${k_a}$ ，则半联轴器所受的平行不对中力为：

${F_m} = {k_a}\delta \cos {\theta _R}/2。$

(9)

由式（5）可知：

${\theta _R} = C\omega t/(1 + D) + {\dot \omega _R}{t^2}/2。$

(10)

${F_m}$ 在 $y'$ 和 $z'$ 方向上的分量为：

${F_{my}} = {k_a}\delta /4 + {k_a}\delta \cos (2{\theta _R})/4 ，$

(11)

${F_{mz}} = {k_a}\delta \sin (2{\theta _R})/4 。$

(12)

1.3 不平衡力

假设圆盘存在偏心 $r$ ，设 ${m_2}$ 为圆盘质量，由于偏斜的影响，转子存在周期性的角加速度。如图4所示，其所受不平衡力 ${F_e}$ 在法向与切向的分量为。

${F_{en}} = {m_2}r\omega _R^2 ，$

(13)

${F_{e\tau }} = {m_2}r{\dot \omega _R} ，$

(14)

将其投影到 $y'$ 和 $z'$ 轴，可得：

${F_{ey}} = {F_{en}}\cos {\theta _R} + {F_{e\tau }}\sin {\theta _R}，$

(15)

${F_{ez}} = {F_{en}}\sin {\theta _R} - {F_{e\tau }}\cos {\theta _R}。$

(16)

1.4 油膜力

滑动轴承采用修正后的短圆柱瓦轴承油膜力解析模型^[13]，即Capone油膜力模型。

$V(y,z,\alpha ) = \frac{{2 + (z\cos \alpha - y\sin \alpha )G(y,z,\alpha )}}{{1 - {y^2} - {z^2}}} ，$

(17)

$S(y,z,\alpha ) = \frac{{y\cos \alpha + z\sin \alpha }}{{1 - {{(y\cos \alpha + z\sin \alpha )}^2}}}，$

(18)

$G(y,z,\alpha ) = \frac{2}{{{{(1 - {y^2} - {z^2})}^{\frac{1}{2}}}}} \left[\frac{{\text{π}} }{2} + \arctan \frac{{z\cos \alpha - y\sin \alpha }}{{{{(1 - {y^2} - {z^2})}^{\frac{1}{2}}}}}\right] ，$

(19)

$\alpha = \arctan \frac{{z + 2\dot y}}{{y - 2\dot z}} - \frac{{\text{π}} }{2}sign\frac{{z + 2\dot y}}{{y - 2\dot z}} - \frac{{\text{π}} }{2}sign(z + 2\dot y) ，$

(20)

$\sigma = \mu {\omega _R}RL{\left(\frac{R}{{{c_z}}}\right)^2}{\left(\frac{L}{{2R}}\right)^2}。$

(21)

其中： $\mu$ 为油黏度； $L$ 为轴承长度； $R$ 为轴承半径； ${c_z}$ 为滑动轴承轴承间隙。

油膜力在 $y'$ 和 $z'$ 的分量为：

$\begin{split} {f_{\mu y}} =& \frac{{{{[{{(y - 2\dot z)}^2} + {{(z + 2\dot y)}^2}]}^{\frac{1}{2}}}}}{{1 - {y^2} - {z^2}}}(3yV(y,z,\alpha ) - \\ & \sin \alpha G(y,z,\alpha ) - 2\cos \alpha S(y,z,\alpha )) ，\end{split}$

(22)

$\begin{split} {f_{\mu y}} =& \frac{{{{[{{(y - 2\dot z)}^2} + {{(z + 2\dot y)}^2}]}^{\frac{1}{2}}}}}{{1 - {y^2} - {z^2}}}(3zV(y,z,\alpha )+ \\ & \cos \alpha G(y,z,\alpha ) - 2\sin \alpha S(y,z,\alpha )) 。\end{split}$

(23)

1.5 碰摩力

轴系偏斜产生 的弯矩使轴颈更容易与轴瓦发生碰摩，轴心径向位移 ${z_e}$ 大于等于动静件间隙 ${c_k}$ 时，发生径向碰摩，碰摩力可表示为：

${F_{fn}} = {k_c}\left( {{z_e} - {c_k}} \right)，$

(24)

${F_{f\tau }} = (f + b{v^n}){F_{fn}} 。$

(25)

其中： ${k_c}$ 为定子径向刚度； $v = \sqrt {\dot y_{}^2 + \dot z_{}^2}$ 为轴颈与轴瓦的相对滑动速度； ${z_e} = \sqrt {{y^2} + {z^2}}$ 为轴心的径向位移。将其投影到 $y'$ 和 $z'$ 轴，可得：

${F_{fy}} = - {F_{fn}}\cos {\theta _R} + {F_{f\tau }}\sin {\theta _R} ，$

(26)

${F_{fz}} = - {F_{fn}}\sin {\theta _R} - {F_{f\tau }}\cos {\theta _R}。$

(27)

2 动力学模型分析

将从动轴分离研究，其受力如图5所示。

图中： ${m_1}$ 为左端轴颈与半联轴器的等效质量， ${y_1}$ 和 ${z_1}$ 为其横向振动位移； ${m_2}$ 为转盘等效质量， ${y_2}$ 和 ${z_2}$ 为其横向振动位移。将转轴的刚度、阻尼力、不平衡力、轴承的非稳态油膜力、碰摩力等效到圆盘处，半联轴器的刚度、阻尼力、不对中力等效到轴颈处。则其振动方程可以表示为：

$\left\{ \begin{gathered} {m_1}{{\ddot y}_1} + {D_1}{{\dot y}_1} + {K_1}({y_1} - {y_2}) = {F_{ny}} + {F_{my}}，\\ {m_1}{{\ddot z}_1} + {D_1}{{\dot z}_1} + {K_1}({z_1} - {z_2}) = {F_{nz}} + {F_{mz}} - {m_1}g，\\ {m_2}{{\ddot y}_2} + {D_2}{{\dot y}_2} + {K_2}({y_2} - {y_1}) = {F_{ey}} + {f_{\mu y}} + {F_{fy}}，\\ {m_2}{{\ddot z}_2} + {D_2}{{\dot z}_2} + {K_2}({z_2} - {z_1}) = {F_{ez}} + {f_{\mu z}} + {F_{fz}} - {m_2}g。\\ \end{gathered} \right.$

(28)

由式（28）可以看出油膜力 ${f_\mu }$ 与碰摩力 ${F_f}$ 等振动分量会生成参数激励，不能靠动平衡解决。且偏角不对中量影响从动轴的角加速度，从而影响偏心惯性力。因为动平衡依靠不平衡惯性力进行校正，故偏角不对中在动平衡前需要消除。平行不对中虽不影响偏心惯性力，其力的形式也为强迫振动，但平行不对中力与转速的平方不成正比，不同于惯性力，不能靠动平衡解决。

3 动力学特性与振动特性分析

为发现与识别偏斜轴系的振动特征，采用龙格-库塔法对微分方程组进行求解。取转子参数m₁=1 kg，m₂=2 kg，D₁=D₂=100 N·s/m，K₁=K₂=7×10⁵ N/m，I_R=0.02 kg·m²，c_k=0.001，c_z=2×10⁻⁶，b=0.001，n=2，f=0.06，k_c=1×10⁷，k_a=4×10⁵，µ=0.052，R=0.0205，L=0.003。

3.1 偏角不对中量对系统响应的影响

当只考虑偏斜因素中的偏角不对中时，通过仿真计算得到包含耦合非线性因素的系统响应，图6～图8为偏角不对中量 $\alpha$ 在转速为300 rad/s时，分别取 $\alpha = {0.5^ \circ }$ ， $\alpha = {1.5^ \circ }$ ， $\alpha = {2.5^ \circ }$ 后等效圆盘处的频谱图。

对比分析图6～图8可知，在转子系统同时存在不平衡、油膜、碰摩非线性因素时，随着偏角不对中量的增大，1倍频、2倍频基本保持不变，3倍频略有升高，但出现了4倍频、6倍频等新的高频成分，且这些高频成分随着偏角不对中的程度增大而升高。

3.2 平行不对中量对系统响应的影响

当只考虑偏斜因素中的平行不对中时，图9～图11为平行不对中量 $\delta$ 在转速为300 rad/s时分别取 $\delta = 0.001\;{\rm{m}}$ ， $\delta = 0.002\;{\rm{m}}$ ， $\delta = 0.003\;{\rm{m}}$ 后等效圆盘处的频谱图。

对比分析图9～图11可知，随着平行不对中量的增大，1倍频基本保持不变，3倍频逐渐升高，同时出现了4倍频、5倍频等新的倍频。

3.3 不平衡量对系统响应的影响

为在仿真角度分析处于多种非线性耦合因素下，偏斜因素是否对动平衡有干扰，剔除偏斜因素后，将不平衡量作为变量。分别取 $r = 0.004\;{\rm{m}}$ ， $r = 0.01\;{\rm{m}}$ ， $\delta = 0.016\;{\rm{m}}$ ，绘制等效圆盘处的频谱图。

观察图12～图14可知，在非线性因素耦合下，改变不平衡的量主要会影响3倍频与4倍频，同样偏斜也会影响这些倍频，证明偏斜会对动平衡产生影响。

3.4 系统非线性运动分岔分析

取偏角不对中量 $\alpha = {2.5^ \circ }$ ，图15和图16分别为平行不对中量为 $\delta = 0.01\;{\rm{m}}$ ， $\delta = 0.1\;{\rm{m}}$ 时等效圆盘处位移 ${y_2}$ 随转速 $\omega$ 的分岔图。

可以看出，在转速区间[50，300 rad/s] ，系统为周期运动。在转速200 rad/s处，振幅发生突变，大小接近于0，此时系统并未发生碰摩，且低速不会发生油膜振荡，可以判断出是偏角不对中使振幅发生突变。以上分析可以得出，在耦合条件下，提高转速或者提升平行不对中量有时会降低振幅，但不能认定其为偏斜的减振效果，更不能在此状态下进行动平衡，因为继续提高转速会使系统进入概周期振动与混沌振动等复杂振动。

为继续探究偏角不对中对系统的影响，在平行不对中量 $\delta = 0.01\;{\rm{m}}$ 的基础上，降低偏角不对中量 $\alpha = {0.5^ \circ }$ ，绘制分岔图如图17所示。可以看出，在转速200 rad/s处的振幅突变消失，证明偏角不对中使振幅发生突变。在转速区间[100 rad/s，360 rad/s]处。振幅随转速逐渐降低，并且对比图15和图17同样可以看出，在耦合条件下，提升偏角不对中量有时会降低振幅。

4 结　语

1）在耦合因素下，除了基频外，改变不平衡量也会影响3倍频与4倍频，这与改变偏斜量所影响的倍频相似，所以不对中对动平衡的控制有影响。

2）在低转速范围内，提高转速或者提升偏斜量有时会降低系统振幅，但继续提高转速会使系统进入混沌振动。