0 引　言

船舶航行过程下沉量主要与以下2个因素相关：

1）船底相对海水的流动速度

大型船舶在海水中航行时，船首将海水推开并从船首的两侧向后流向船尾，海水的流动过程中船首位置的液体流速快、压力小，船尾的液体流速慢，压力大。液态在船底的相对流动速度导致船舶首尾压力出现差距，大型船舶整体为了保持平衡就需要一定的下沉量^[1]。

2）纵倾运动

船舶受海浪、海风和自身动力系统载荷的影响，船体会发生纵倾运动，纵倾运动导致的下沉量主要是船首和船尾下沉量。

船舶航行下沉量是设计过程中必须要考虑的因素，相对于深水下的船舶航行下沉量，浅水区域的下沉量具有以下不同的特征：

1）海水流动方向不同

在深水区域，船舶底部的液体流动具有在三维空间内流动的特点，船首处液体的方向是向后和向下，船尾处的液体流动方向是向后和向上。而浅水区域中受限于船底与海底的距离影响，船舶首尾部分水的流动只能向两侧，是一种二维平面式的流动，这种液体流动方式又称为浅水效应。

2）下沉量不同

受浅水效应的影响，船舶在浅水中的下沉量会比深水区域的下沉量更大，且船体的纵倾运动幅度更大，运动更明显。

船舶在浅水航行时的下沉量会降低船体的操纵性能，且下沉量叠加船体的吃水，使船舶擦底和搁浅的风险明显提高，因此有必要针对船舶浅水区域的航行下沉量进行深入研究^[2]。

本文进行浅水区域船舶航行下的下沉量数值计算，通过建立船体下沉量数学模型和流体动力学方程，结合CFD流体力学分析技术进行了下沉量的准确计算。

因此，船舶航行下沉量的计算精度对估计安全航行所需富余水深有着极其重要的影响。

1 船舶浅水区域航行的下沉量数学模型搭建

首先建立船舶下沉量数学模型如图1所示。

在进行基于CFD计算流体力学的船舶下沉量计算时，采用的控制方程包括流体的连续性方程、动量方程和能量方程^[3]，忽略船体与液体之间的能量交换，建立CFD控制方程如下式：

$ \begin{gathered} \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}} + \frac{{\partial w}}{{\partial z}} = 0, \\ \rho \frac{{{\rm{D}}u}}{{{\rm{D}}t}} = \rho {f_x} - \frac{{\partial p}}{{\partial x}} + \mu {\nabla ^2}u, \\ \rho \frac{{{\rm{D}}v}}{{{\rm{D}}t}} = \rho {f_y} - \frac{{\partial p}}{{\partial y}} + \mu {\nabla ^2}v, \\ \rho \frac{{{\rm{D}}w}}{{{\rm{D}}t}} = \rho {f_z} - \frac{{\partial p}}{{\partial z}} + \mu {\nabla ^2}wn 。\\ \end{gathered} $

式中： $ u,v,w $ 均为流体在3个坐标轴方向的分速度； $ p $ 为压力； $ {f_x},{f_y},{f_z} $ 均为单位液体的体积力在3个坐标轴方向的分力； $\ \mu$ 为粘度系数； $ \nabla $ 为笛卡尔向量算子。

湍流模型用下式表示：

$ \begin{gathered} \rho \overline {u_i^\prime u_j^\prime } = {\mu _t}\left( {\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}} + \frac{{\partial {u_j}}}{{\partial {x_i}}}} \right) - \frac{2}{3}\left( {\rho k + {\mu _t}\frac{{\partial {u_k}}}{{\partial {x_k}}}} \right){\delta _{ij}}，\\ k = \frac{1}{2}\overline {u_i^\prime u_j^\prime }。\\ \end{gathered} $

式中： $ {\mu _t} $ 为湍流粘度，k为湍流动能， $ u_i^\prime /u_j^\prime $ 为速度分量， $ {\delta _{ij}} $ 为kornecker参量^[3]。

船舶下沉量计算是一种流固耦合计算，流体的雷诺应力方程为：

$ - \rho \left( {{{u'}_i}} \right) = {\mu _1}\left( {\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_i}}} + \frac{{\partial {u_j}}}{{\partial {x_j}}}} \right) - \frac{1}{3}\left( {{\rho _{}}k + {\mu _1}\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_i}}}} \right){\sigma _0} 。$

式中： $ {\mu _1} $ 和 $ k $ 关系为：

$ {\mu _1} = {H_0}\frac{k}{\varepsilon }。$

式中， $ {H_0} $ 和 $ \varepsilon $ 分别为雷诺方程的调节因子，由初始流体速度和压力决定。

2 基于CFD的浅水区船舶航行下沉量数值计算 2.1 船舶航行下沉量数值计算流程

本文使用计算流体力学CFD技术进行船舶航行下沉量的计算，具体计算流程如图2所示。

首先，建立船舶下沉过程的下沉作用力和纵倾力矩如下式：

$ \begin{gathered} F = \frac{1}{2}P{V^2}{\left( {\frac{L}{2}} \right)^2}{C_p}，\\ M = \frac{1}{2}P{V^2}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}{{\text{C}}_q}。\\ \end{gathered} $

式中： $ {C_q} = - \iint_s {{C_p}}{d_0} $ ； $ P $ 为压力； $ V $ 为航行速度， $ {d_0} $ 为重心到船首的距离。

假定船舶模型相对于重心对称，船舶首尾的下沉量 $ {S_\varphi } $ ，初始的船舶纵倾角度为 $ {\varphi _0} $ ，船舶首尾与水平线的夹角为 $ \theta $ ，建立船舶下沉量模型为：

$ {S_\varphi } = \frac{d}{{\sin \theta }}\left[ {\sin \left( {{\varphi _0} + \Delta \varphi + \theta } \right) - \sin \left( {{\varphi _0} + \theta } \right)} \right] 。$

对于大型船舶，船舶首尾与水平线的夹角 $ \theta $ 可以忽略，得到下沉量模型为：

$ {S_\varphi } = \frac{L}{2}\left[ {\sin \left( {{\varphi _0} + \Delta \varphi } \right) - \sin \left( {{\varphi _0}} \right)} \right] 。$

2.2 定义船舶航行下沉量数值计算的边界条件

计算船舶浅水区域航行下沉量时选用的船舶模型为Wigley船模，主要原因在于：1）Wigley船模的结构简单，在建有限元模型时能够快速划分网格和单元，提高运算精度；2）Wigley船相关的水池试验数据较多，能够为下沉量计算提供较多的数据参考。

Wigley船模表面的型值点方程如下：

$ y = \frac{B}{2}\left[ {1 - {{\left( {\frac{{2X}}{L}} \right)}^2}} \right]\left[ {1 - {{\left( {\frac{Z}{T}} \right)}^2}} \right] 。$

式中： $ L $ 为船长；B为船宽； $ T $ 为吃水量。

基于CFD的船舶航行下沉量计算中，流体与船舶耦合系统的边界条件是流体计算的初始值，将船舶在海水中的流固耦合界面划分如图3所示。

将船舶-海水-空气流固耦合空间划分为外域、顶部、底部、空气交界面、海水交界面等^[4]。

在求解过程中需要定义的边界条件包括：

1）入口边界条件

给定船舶的航行速度、阻力系数、海水的初始压力等，Wigley船模的阻力系数^[4]如下式：

$ {C_0} = \frac{{{R_0}}}{{0.5\rho {v_m}^2{s_m}}} 。$

式中： $ {R_0} $ 为舰船所受总阻力； $ {v_m} $ 为初始速度； $ {s_m} $ 为Wigley船模的湿表面积。

2）出口边界条件

定义流固耦合口空间的流体出口速度和压力等参数。

3）壁面边界条件

定义海水为非粘性流体，船舶下沉量计算过程不考虑滑移。

4）对称面边界条件

对称面边界条件是指求解空间的对称性，对于简化计算过程，提高计算效率有重要意义。在求解Wigley船下沉量计算时，对称面的流体运动速度设置为0，整个流体求解空间关于该面对称。

2.3 定义船舶航行下沉量数值计算的计算域

在CFD数值计算软件中，计算域的定义为有限元模型的建立过程。在定义船舶下沉量数值计算的有限元模型时，长度方向取2.8倍的船舶长度，宽度方向选取10倍船宽，计算域入口边界距船首位置1倍船长，出口边界距离船尾0.8倍船长。

计算域的有限元网格越靠近船舶固体边界越密，网格尺寸越小。图4为定义的船舶航行下沉量数值模拟计算域。

计算域的网格增长因子 $ {\xi _1} $ 为：

$ {\xi _1} = \frac{{0.07}}{{{{\left( {{{\rm{lg}}Re} - 3} \right)}^2}}} 。$

式中，Re为雷诺系数。

2.4 船舶航行下沉量数值计算

本文使用的CFD计算软件为Fluent，Wigley船模的基本参数如表1所示。

Wigley船模的吃水平均深度为7.5 m，浅水区域的水深定义为10 m，船底海水的流动速度随船宽方向的分布曲线如图5所示。

Wigley船模的平均吃水增量如下式：

$ \Delta d = \frac{{D - {\raise0.7ex\hbox{$F$} \mathord{\left/ {\vphantom {F g}}\right.} \lower0.7ex\hbox{$g$}}}}{{100TPC}} \text{，} $

式中：D为排水量；F为浮力；TPC为船舶每厘米的吃水吨数。

在CFD计算软件Fluent中仿真得到浅水区域下沉量与船舶吃水增量的关系如图6所示。

3 结　语

浅水区域船舶下沉量的研究有助于改善船舶的航行安全性，防止船舶在浅水中擦底或搁浅，进而造成严重的事故。本文从CFD的基础理论出发，结合CFD软件进行了船舶浅水区域下沉量的计算与仿真，详述了建模和求解过程。