0 引　言

为了提高水下机器人水中作业的时间和效率，布放回收技术是当前研究的热点和关键技术。如中国科学院沈阳自动化研究所研制的“CR-OIA0”型水下机器人，其布放回收主要以水面起吊为主^[1]；苏联科学院海洋研究所研制了一款水下机器人吊臂回收系统，该系统体积小，可通过液压缸驱动吊臂的伸缩，灵活性较强^[2]。不同于较深水域的环境状况，近岸船舶受到岸边波浪、近岸回流等的作用，因此水下机器人布放回收方式会受到一定的限制。双体无人船作为一种新型船舶，其稳定性以及良好的操控性、定位性等方面受到科研人员的关注，同时双体船中间部分为安装通信、定位设备以及安装水下机器人布放回收设备提供了良好的布置空间^[3]。设计了以双体船为载体的水下机器人布放回收系统三维模型，基于三维势流理论，结合 Ansys-AQWA 软件，对风、浪、流荷载的联合作用下双体船的水动力特性进行研究，得出双体船在近岸海况的环境下的运动响应特性。建立双体无人船-水下机器人运动学模型，运用Matlab/Simulink进行运动学分析，计算水下机器人在起吊过程中的摇摆情况。

1 计算原理和方法 1.1 坐标系

为了更好地描述船舶在水中6自由度运动状态，定义船体坐标系如图1所示^[4]。

在坐标系中，定义纵荡、横荡、垂荡分别是沿着 $ X $ 轴、 $ Y $ 轴、 $ Z $ 轴方向的位移；横摇、纵摇、首摇分别是船舶绕着 $ OX $ 轴、 $ OY $ 轴、 $ OZ $ 轴的转动。

1.2 速度势

假设船舶所处流域内的流体为理想流体，即无粘性、分布均匀的、不可压缩、无旋的流体，并且流域内的波浪频幅度非常小^[5]。在这种情况下速度与速度势的关系是：

$ q(x,y,z,t) = {Re} \{ u(x,y,z){e^{ - i\omega t}}\} ，$

(1)

$ F(x,y,z,t) = f(x,y,z){e^{ - i\omega t}} ，$

(2)

式中： $u(x,y,z) = \nabla \phi (x,y,z)$ ， $\omega $ 为波浪频率， $q$ 为速度， $\Phi (x,y,z,t)$ 为不定常的速度势。

速度势函数可以使用的拉普拉斯方程求出，用线性的边界条件代替非线性的自由表面条件，可以求得速度势^[6]：

拉普拉斯方程：

$ {\nabla ^2}\phi (x,y,z) = 0 ，$

(3)

线性化的自由表面：

$ \frac{{\partial \phi _j^R}}{{\partial n}} - \frac{{{\omega ^2}}}{g}\phi _j^R = 0 ，$

(4)

物面条件：

$ {\left. {\frac{{\partial \phi _j^R}}{{\partial n}}} \right|_S} = {n_j}，$

(5)

海底条件：

$ {\left. {\frac{{\partial \phi _j^R}}{{\partial n}}} \right|_{Z = - H}} = 0，$

(6)

无穷远处：

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt R \left( {\frac{{\partial \varPhi }}{{\partial R}} - ik\varPhi } \right) = 0 。$

(7)

式中： $ {\vec n_j} $ 为物体表面外的法向量， $j = 1,2, 3,\cdots ,6$ ； $R = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $ ； $H$ 为水的深度。速度势可以分解为辐射势 ${\varPhi ^R}$ 、入射势 ${\varPhi ^I}$ 和绕射势 ${\varPhi ^D}$ ^[7]。

$ \varPhi (x,y,z,t) = {\varPhi ^I}(x,y,z,t) + {\varPhi ^D}(x,y,z,t) + {\varPhi ^R}(x,y,z,t) ，$

(8)

其中，入射势是入射波对流场的作用，绕射势是船舶对流体扰动的作用，辐射势是船舶运动对流场的作用。

根据波浪理论，入射势 ${\varPhi ^I}$ 可以化成^[8]：

$ {\Phi ^I} = - \frac{{Ag}}{\omega }\frac{{\cosh k(z + h)}}{{\cosh kh}}\exp [ik(x\cos \beta + y\sin \beta )]，$

(9)

式中， $A$ 为波浪幅度； $g$ 为重力加速度； $h$ 为水深； $k$ 为波数； $\beta $ 为波浪方向和坐标系 $X$ 轴之间的夹角。 $z$ 为海洋中到海平面的垂直距离。

辐射势和绕射势也可以根据波浪理论，结合边界条件求得。得出速度势函数之后，可以用伯努利方程算出作用于船体的流体力。

1.3 动力学建模

在对水下机器人进行布放回收作业时，机器人本身是没有动力的，在进行收绳和放绳作业时，可以将其看成一个简单的球摆模型，类似于船用起重机起吊重物，将绞车看成吊点，机器人看作是吊重，其简化模型如图2所示，吊绳的长度为 $ L $ ，吊重的质量为 $ m $ ，定义 $ {o_1} - {x_1}{y_1}{z_1} $ ，表示双体船坐标系， $ {o_2} - {x_2}{y_2}{z_2} $ 表示以绞车为中心的坐标系， $ \alpha $ 表示吊绳与 $ {x_2}{o_2}{z_2} $ 面的夹角，定义为面外角， $ \beta $ 表示吊绳 $ L $ 在面 $ {x_2}{o_2}{z_2} $ 的投影与 $ {z_2} $ 轴的夹角，然后用拉格朗日方程建立动力学模型^[9]。

重物在绞车坐标系的位置坐标为：

$ \begin{aligned} & {x_p} = {x_2} + l\cos \alpha \sin \beta ，\\ & {y_p} = {y_2} + l\sin \alpha ，\\ & {z_p} = {z_2} - l\cos \alpha \cos \beta ，\end{aligned} $

(10)

对式（10）求导，得到吊重的速度：

$ \begin{aligned} & {{\dot x}_p} = {{\dot x}_2} + l\cos \alpha \cos \beta \dot \beta - l\sin \alpha \sin \beta \dot \alpha ，\\ & {{\dot y}_p} = {{\dot y}_2} + l\cos \alpha \dot \alpha ，\\ & {{\dot z}_p} = {{\dot z}_2} + l\cos \beta \sin \alpha \dot \alpha + l\cos \alpha \sin \beta \dot \beta ，\end{aligned} $

(11)

系统的动能 ${{T}}$ 和势能 ${{V}}$ 分别为：

$ \begin{aligned} & T = \frac{1}{2}{m_p}({{\dot x}_p}^2 + {{\dot y}_p}^2 + {{\dot z}_p}^2) ，\\ & V = {m_p}g{z_p}，\end{aligned} $

(12)

式中： $ g $ 为重力加速度常数，取9.8 $ {\text{m}}/{\rm s^2} $ 。

拉格朗日方程为：

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial {{\dot q}_j}}}} \right) - \frac{{\partial T}}{{\partial {{\dot q}_j}}} + \frac{{\partial V}}{{\partial {q_j}}} = 0，$

(13)

式中： $ {q_j} $ 为广义坐标。

联合式（11）～式（13），经过简化后，可以得到水下机器人球摆的动力学模型的数学微分方程：

$ \begin{split} &\;\ddot \alpha = \frac{{ - \cos \beta (g + {{\ddot z}_2})\sin \alpha - \cos \alpha ({{\ddot y}_2} + l{{\dot \beta }^2}\sin \alpha ) + {{\ddot x}_2}\sin \alpha \sin \beta }}{l} ，\\ &\;\ddot \beta = - \frac{{\cos \beta {{\ddot x}_2} - 2l\dot \alpha \dot \beta \sin \alpha + (g + {{\ddot z}_2})\sin \beta }}{{l\cos \alpha }} 。\\[-15pt] \end{split} $

(14)

式中有关球摆的相关参数如表1所示。

2 水动力分析 2.1 双体船介绍及建模

通过Solidworks三维建模软件对双体船进行建模，其中双体船是一种通过中间支架连接两端船体的船型。双体船的排水量主要集中在支架的两侧船体上，在水中的阻力也主要来源于两侧的船体。双体船模型和模型网格划分如图3和图4所示，双体船的主要参数如表2所示。

2.2 频域运动响应

运动响应幅值算子是一项可以精确地描述船舶运动情况的参数，这个参数是海洋波浪到船体本身的一种传递函数^[10]。

$ R(\omega ,\beta ,t) = A{Re} [\left| {\left. {H(\omega ,\beta )} \right|{e^{i(\omega t + \varphi )}}} \right.]，$

(15)

式中： $A$ 为入射波幅值， $ \left| {\left. {H(\omega ,\beta )} \right|} \right. $ 表示RAO。

在描述船舶运动的过程中，横摇、纵摇、垂荡是最重要的一项参数。这是船舶在自然载荷的作用下造成的，也很大程度上和粘性阻尼有关系。三维流势理论是将流体视为理性流体，忽略水的粘性，因此仿真计算的RAOs会比真实值偏大。当考虑粘性阻尼系数，取粘性阻尼系数为一阶阻尼系数的10%，每隔30°设置一次浪向角，可以得出12个不同浪向角下的RAO值。由于双体船为对称结构，因此只选用0°～180°一侧的浪向角，求解结果如图5所示。

图5充分地描述了双体船的频率-浪向角-RAOs之间的关系，因为船舶是对称结构，所以在不同浪向角下的运动响应呈对称分布。可以看出，双体船的运动幅值基本上随着波浪频率的增加而减小。由于双体船质量轻，因此横荡和纵荡在波浪频率较低的时候运动响应比较大，随着频率的增加，运动响应逐渐趋近于0；双体船在的横摇和纵摇0.46 Hz时出现最大值，首摇在0.6 Hz左右出现最大值，这与双体船的结构以及固有周期有关系。

由表3可知，双体船纵荡运动响应随着浪向角的增加呈先减小后增大的趋势；横荡运动响应随着浪向角的增加呈先增加后减小的的趋势；垂荡运动在不同浪向角之间的变化不大。

由表4可知，双体船的横摇运动幅值随着浪向角的增加呈先增加后减少的趋势，当浪向角为90°时横摇角度最大；纵摇运动幅值随着浪向角的增加呈现先减小后增大的趋势，当浪向角为0°和180°时最大。

2.3 时域分析

船舶在水面上航行时，总会受到波浪的作用，而且这种波浪总是不规则的，波浪的流向也是没有方向的。本文采用JONSWAP谱模拟不规则波^[11]。

$ S(\omega ) = \alpha {g^2}{\omega ^{ - 5}}\exp \left[ { - \frac{5}{4}{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _p}}}} \right)}^{ - 4}}} \right]{\gamma ^{\exp \left[ { - 0.5{{\left( {\frac{{\omega - {\omega _p}}}{{\sigma {\omega _p}}}} \right)}^2}} \right]}} 。$

(16)

在海况条件设置中，选取某沿海海况的参数。模拟仿真时设定海况如表5所示。

在时域分析中，分别模拟船体在浪向角为90°和180°时的运动情况，设置计算时长3600 s，考虑到真实环境条件下当风、浪、流相同方向时，船体的运动幅值最大，所以在计算中将风、浪、流载荷设置相同的方向^[12]，求解得出的各个方向的运动幅值的统计数据如表6所示，选取一些运动响应较大的曲线如图6所示。可以看出:

1）双体船的运动响应与弹簧振子的简谐运动类似，曲线整体呈现规律性。双体船在不同方向下的3个运动的响应幅值随着波浪高度的增加而逐渐变大。

2）在不同海况条件下，根据作用在双体船的浪向角不同，最大的运动响应分别是横摇和纵摇。当浪向角为90°时，双体船的横摇运动响应最大，其横摇的运动响应最大可以达9.821°；当浪向角为180°时，双体船的纵摇运动响应最大，最大可达13.429°。

3 布放回收装置动力学分析

在进行船舶运动学仿真时，将船舶运动看作周期和复制给定的正弦运动，分别取绳长 $ l $ 为1 m、1.2 m、1.5 m，收绳速度为0.2 m/s、0.4 m/s、0.7 m/s，双体船在浪向角为90°和180°、波高为0.15 m高度时的横摇、纵摇、首摇的角度，周期为10 s的正弦运动，通过Matlab/Simulink根据公式搭建数学模型，仿真结果如图7和图8所示。

可以看出：

双体船在不同的浪向角作用下，面外角和面内角幅值之间相差很大。当浪向角为90°时，面外角 $\alpha $ 在13°上下浮动，面内角 $ \beta $ 的浮动值约为4°；当浪向角为180°时，面外角远远小于面内角。与实际情况相符。

根据双体船浪向角的不同，面外角和面内角摆动的最大角度变化很大，且周期略大于激励的周期，且在摆动变化的过程中，会伴随着抖动现象出现。

随着收绳速度的增加，横向偏移量的抖动现象减弱，横向偏移量也逐渐减小。随着绳长的改变，横向偏移量的变化范围相差不大。因此要在允许的范围内，选取合适的收绳速度可以有效地减少回收机器人的摇晃幅度。

4 结　语

分析双体船水动力曲线可知，环境载荷的方向性对双体船的运动响应对具有较大的影响，根据不同的波浪方向要及时调整双体船的姿态。回收机器人过程中，机器人的摇晃程度和收绳速度有很大的关系，在允许的范围内，选取合适的收绳速度可以有效地减少机器人的摇晃幅度。本文提出的一种以无人船为载体的水下机器人布放回收系统，提高了自动化程度，减少人工干预，船体具有良好的水动力性能，满足水下机器人布放回收的设计要求。在沿岸海域和浅海水域有很好的应用前景。