0 引　言

颗粒阻尼技术原理，是一种利用填充于结构体内部空腔或附属结构中微小颗粒之间的摩擦和冲击作用来消耗振动能量的被动减振技术，具有耐久好、稳定性和可靠性高、对温度变化不敏感等优点。颗粒阻尼器是一个强非线性系统，颗粒体间的碰撞与摩擦以及颗体与主体结构间的耦合作用非常复杂，因此国内外学者提出了一些简化的数值模拟方法，比如多相流理论^[1]、回归模型法^[2]、分数导数理论^[3]、恢复力曲面法^[4]、功率输入法^[5]和神经网络法^[6]等。虽然这些简化模型和实验研究已经取得了很大的成果，但这些毕竟是基于现象的方法，其结论很难推广到除实验之外的其他情况。近年来，离散元法已被广泛用于研究颗粒流问题，由于该方法可模拟颗粒-颗粒，颗粒-内壁之间的相互作用，因此可以更合理地分析颗粒阻尼器的性能。

本文基于离散单元法，将颗粒间的接触模型用振动运动方程进行模拟，研究了颗粒阻尼器在简谐振动条件下的颗粒耗能特性，分析了简谐振动的幅值、频率及填充率对颗粒体损耗功率的影响。

1 颗粒介质细观模型

将颗粒体之间的碰撞用振动运动方程描述，则法向上的运动方程为：

$ {m^*}{{\rm{d}}^2}{\delta _n}/{\rm{d}}{t^2} + {c_n}{\rm{d}}{\delta _n}/{\rm{d}}t + {k_n}{\delta _n} = {F_N}。$

(1)

在切向方向上有可能发生切向滑动或滚动，运动方程表示如下：

$ {m^*}\frac{{{\rm{d}}^2}{\delta _t}}{{\rm{d}}{t^2}} +\frac{ {c_t}{\rm{d}}{\delta _t}}{{\rm{d}}t} + {k_t}{\delta _t} = {F_T}，$

(2)

$ {I^*}\frac{{{\rm{d}}^2}\theta }{{\rm{d}}{t^2}} + \left(\frac{{c_t}{\rm{d}}{\delta _t}}{{\rm{d}}t} + {k_t}{\delta _t}\right)s = M 。$

(3)

式中： $ {m^*} $ 和 $ {I^*} $ 分别表示颗粒 $ i和\text{j} $ 的等效质量和等效转动惯量， ${\delta _n}$ 和 ${\delta _t}$ 分别为颗粒的法向和切向重叠量， ${F_N}$ 和 ${F_T}$ 分别为颗粒所受外力的法向分量和切向分量， $M$ 为颗粒所受的外力矩， $s$ 和 $\theta $ 分别为旋转半径和颗粒自身的旋转角度， ${k_n}$ 和 ${k_t}$ 分别为法向及切向弹性系数， ${c_n}$ 和 ${c_t}$ 分别为法向及切向阻尼系数。

根据Hertz接触理论计算法向接触力 ${F_n}$ ^[7]，并且颗粒在切向上的滑动满足库伦摩擦定律^[8]，采用Tsuji^[9]提出的非线性粘性阻尼计算法向阻尼系数 ${c_n}$ 与切向阻尼系数 ${c_t}$ 根据Mindlin的增量叠加法计算切向力 ${F_t}$ ^[10]，滚动摩擦通过在接触表面施加一个力矩来考虑。

颗粒运动过程中任意颗粒 $i$ 的运动方程可表示为：

$ \left. \begin{gathered} {m_i}{{\ddot \delta }_i} = \sum F \\ {I_i}{{\ddot \theta }_i} = \sum M \\ \end{gathered} \right\} ，$

(4)

利用欧拉法对式（4）两边同时积分，则可得下一时间步长颗粒的速度表达式：

$ \left. \begin{gathered} {({{\dot \delta }_i})_N} = {({{\dot \delta }_i})_{N - 1}} + {\left[\sum {F/{m_i}} \right]_N}{\Delta _t} \\ {({{\dot \theta }_i})_N} = {({{\dot \theta }_i})_{N - 1}} + {\left[\sum {M/{I_i}} \right]_N}{\Delta _t} \\ \end{gathered} \right\}，$

(5)

式中： ${\Delta _t}$ 为时间步长，N对应时间t。

对式（5）两边再次积分，即可得到颗粒的位移表达式：

$ \left. \begin{gathered} {({\delta _i})_{N + 1}} = {({\delta _i})_N} + {({{\dot \delta }_i})_N}{\Delta _t} \\ {({\theta _i})_{N + 1}} = {({\theta _i})_N} + {({{\dot \theta }_i})_N}{\Delta _t} \\ \end{gathered} \right\}。$

(6)

根据上述计算过程可以在每个时间步更新颗粒的位置，再根据颗粒的位置来计算颗粒之间的作用力，不断重复该计算过程，则可实时跟踪每个颗粒的运动情况。

在颗粒接触过程中，法向上的阻尼力耗能为：

$ {E_{nLos}} = \sum\limits_{i = 1}^{IC} {( - {c_n}{{\dot \delta }_{in}} \cdot {{\dot \delta }_{in}}\Delta t)}。$

(7)

式中： $IC$ 为颗粒系统在某时刻的接触对个数， ${\dot \delta _{in}}$ 为第 $i$ 个接触对的相对速度在法向上的分量。

在颗粒接触的切线方向，切向上的阻尼力耗能为：

$ {E_{tLos1}} = \sum\limits_{i = 1}^{IC} {( - {c_t}{{\dot \delta }_{it}} \cdot {{\dot \delta }_{it}}\Delta t)}。$

(8)

颗粒的切向滑动与颗粒的滚动同时受颗粒之间摩擦力的影响，由滑动模型可以建立颗粒的切向滑动与滚动的极限判断条件^[11]：

$ {F_t} = \mu {k_n}{\delta _n}{{\rm{sgn}}} [{k_t}({\delta _t} + {\rm{d}}\theta /2)]。$

(9)

式中： $\mu $ 为颗粒的摩擦系数， ${{\rm{sgn}}} $ 为符号函数

若 ${k_t}({\delta _t} + {\rm{d}}\theta /2) < 0$ ，则颗粒发生滑动，其耗能为：

$ {E_{tLos2}} = \sum\limits_{i = 1}^{IC} {( - {\mu _t}{F_{ti}} \cdot {{\dot \delta }_{it}}\Delta t)}。$

(10)

若 $ {k_t}({\delta _t} + {\rm{d}}\theta /2) \geqslant 0 $ ，则颗粒发生滚动，其耗能为：

$ {E_{tLos3}} = \sum\limits_{i = 1}^{IC} {( - {\mu _r}R{F_{ti}} \cdot {{\dot \theta }_i}\Delta t)}。$

(11)

式中： $ {\dot \delta _{it}} $ 为第 $i$ 个接触对的相对速度在切向上的分量， $ {\dot \theta _{it}} $ 为相对角速度， ${\mu _t}$ 和 ${\mu _r}$ 分别为滑动摩擦系数与滚动摩擦系数， ${F_{ti}}$ 为第 $i$ 个接触对的切向力。

阻尼器在一个振动周期中，颗粒在2个方向上耗能之和即为颗粒的损耗功率：

$ P = \sum {{E_{nLos}} + } \sum {{E_{tLos}}}。$

(12)

2 颗粒阻尼的耗能特性

振动的容器与其中的颗粒体之间构成了一个耦合封闭的动力学系统，鉴于颗粒耦合运动系统的复杂性，忽略颗粒冲击对结构运动的影响，在此基础上研究阻尼器简谐振动的频率、幅值以及填充率对颗粒耗能特性的影响规律。计算时间取阻尼器自振周期的75倍以消除瞬态振动的影响，并取后25个周期的平均损耗功率作为衡量耗能效果的最终指标^[12]。

算例模型如图2所示，阻尼器尺寸36 mm×75 mm，材料为铝，密度 $2\;700\;{\rm{kg}}/{{\rm{m}}^3}$ ，剪切模量 $2.654 \times {10^{10}}\;{\rm{Pa}}$ ，泊松比0.3，颗粒材料为铁，直径2 mm，密度 $7\;858\;{\rm{kg}}/{{\rm{m}}^3}$ ，剪切模量 $8.14 \times {10^{10}}\;{\rm{Pa}}$ ，泊松比0.29，颗粒与颗粒(或容器壁)的静摩擦系数均为0.2，滚动摩擦系数均为0.01，颗粒与颗粒间的恢复系数0.68，颗粒与容器壁碰撞恢复系数0.65，时间步长 $2.1 \times {10^{ - 7}}\;{\rm{s}}$ 。

2.1 填充率对颗粒阻尼耗能效果的影响

5种不同填充率（50%，60%，70%，80%和90%）对颗粒阻尼器等效阻尼比的影响试验已经开展^[13]，研究发现当颗粒填充率为90%时，颗粒阻尼器表现出较好的阻尼性能，针对90%以上的颗粒阻尼器的阻尼性能还未开展。本文选定测试填充率的变化区间为90%～100%，阻尼器简谐振动的频率50 Hz，幅值1 mm。

图3为颗粒损耗功率随填充率的变化曲线。随着填充率的增加，损耗功率有先增大后减小的趋势，当填充率约为96%时，损耗功率达到最大值。由图4可以看出，随着填充率的增加，在一个振动周期中颗粒间的总碰撞次数表现为小幅度的上下波动，而平均切向力和平均法向力与损耗功率有着几乎相同的变化趋势，当填充率约为96%时，两者同时达到最大值，此时内部颗粒的碰撞最激烈。当填充率较低时，顶部颗粒层仅受重力作用向下运动，随着填充率的增加，颗粒层与容器之间的空隙会逐渐变小，在阻尼器简谐振动的过程中能够与容器顶部接触的颗粒数量逐渐增多，由容器顶部给颗粒系统施加向下的冲击力，将振动能量输入颗粒系统，因此颗粒系统的碰撞程度会增加，而当容器内填充满颗粒时，在运动的过程中颗粒处于集聚态，犹如一块质量做整体运动，因此损耗功率会降低。

2.2 位移幅值对颗粒阻尼耗能效果的影响

图5表示阻尼器简谐振动频率50 Hz，颗粒填充率90%时，损耗功率与位移幅值的关系曲线。当振幅在临界点之前（<0.1 mm），颗粒的损耗功率几乎为0，临界点之后，损耗功率随着振动位移幅值的增大而增大。

在竖直振动的容器中颗粒床的运动受约化加速度的影响（ $\varGamma = A{\omega ^2}/g,\;\;\omega = 2\text{π} f$ ，其中 $\varGamma ，A，f$ 分别为约化加速度、容器的振幅以及频率）， $\varGamma < 1$ 时，颗粒堆积在一起呈现固态特征同容器一起参与振动^[14]，此时容器底平面对颗粒层的脉冲冲击以平面弹性纵波形式在颗粒层中传播，损耗能量极小，继续增大约化加速度，颗粒体在容器内呈现对流状态，此时颗粒间的摩擦与非弹性碰撞损耗大量能量。当 $A = 0.1\;{\rm{mm}}$ ， $\varGamma = 1$ ，恰好对应图中的临界点，与上述理论相符。由图6可知，当振幅位于临界点之前，在一个振动周期中颗粒间的总碰撞次数极小，而随着振动位移幅值的增大，碰撞次数与碰撞程度随之上升，损耗功率也因此上升。

2.3 频率对颗粒阻尼耗能效果的影响

图7表示阻尼器简谐振动幅值1 mm，颗粒填充率90%时，损耗功率与振动频率的关系曲线。随着振动频率的升高损耗功率呈现先上升后下将的趋势，当振动频率约为300 Hz时，损耗功率达到最大值。由图8可以看出，随着振动频率的升高，在一个振动周期中颗粒间的总碰撞次数呈指数衰减并且趋于稳定，平均切向力与平均法向力的值有着先增大后减小的趋势，此时颗粒的碰撞最充分，一个振动周期内的总碰撞次数与碰撞平均程度共同决定了颗粒的耗能能力，并在振动频率约为300 Hz处达到最大值。颗粒阻尼器的损耗功率对振动频率的变化较为敏感，通过合理设计其减振频带可以将颗粒阻尼器的效果发挥到最大。

3 结　语

本文基于离散元法建立圆柱形颗粒阻尼的仿真模型，研究垂直振动边界条件驱动下由颗粒体产生的损耗功率。结果表明，颗粒的填充率、简谐振动的频率与幅值均会影响着颗粒阻尼器的损耗功率。针对具体的振动水平，发现在高填充率范围内存在一个填充率的最优值。当简谐振动的频率固定时，只有当简谐振动的幅值超过某个临界点后，颗粒阻尼器才体现出耗能能力，并且损耗功率随着位移幅值的增大而增大。损耗功率对频率的变化较为敏感，在100～400 Hz的频带范围内具有较强的耗能能力，在实际应用场景中应根据结构体的振动特点来合理设计其减振频带，将颗粒阻尼器的效果发挥到最大。