0 引　言

在过去的几十年间，欠驱动水面船舶在海洋工程领域发挥了重要作用，如海洋运输、海洋勘探、海上救援和海图绘制^[1]。在这些应用中，欠驱动船舶的航迹控制对于完成任务的质量与效率至关重要^[2]。此外，航迹控制问题是欠驱动船舶实现自主控制需要解决的基本问题，因此得到了国内外学者的广泛关注^[3]。航迹控制作为典型的欠驱动船舶运动控制问题，具体是通过控制律的设计使船舶沿期望航迹运动。船舶航行过程中一般考虑纵荡、横荡及首摇3个自由度的运动，且各自由度之间存在非线性耦合。此外，船舶操纵条件，船舶运动特性与所面对的海洋环境扰动均存在不确定性。这些非线性与不确定性因素都给船舶航迹控制带来了严峻的挑战^[4]。因此，研究欠驱动船舶的航迹控制具有重要意义。

任何水面船舶都会受到模型不确定性、未知参数、风、波浪、载荷和洋流变化引起的内外干扰的影响^[5]。因此，在船舶运动控制中需要设计高可靠性控制系统。沈智鹏等^[6]针对三自由度船舶航迹跟踪控制问题，考虑环境扰动信息未知，设计了一种带非线性观测器的动态面自适应输出反馈控制方法。该方法利用模型坐标变换设计非线性观测器估计船舶速度，采用自适应律估计海洋环境干扰界值，避免了参数漂移。李世正等^[7]研究了船舶航迹控制方法，基于神经网络算法实现航迹跟踪控制，并进行了Matlab仿真验证。Xu等^[8]针对非线性船舶轨迹跟踪控制问题，基于Backstepping和Lyapunov稳定性理论，设计了虚拟控制变量和Lyapunov函数。提出一种非线性轨迹跟踪控制算法，并基于该算法和LOS制导律，设计了一种非线性轨迹跟踪控制器。Liu等^[9]考虑执行器饱和度和状态约束等问题设计了滑模控制器，有效提升了系统鲁棒性。Wang等^[10]针对船舶易受风等干扰影响航向偏差的问题，提出一种模糊自适应迭代滑模控制方法。通过将估计功能引入模糊控制方案，在线估计和调整设计参数，可以提升控制速度，有效地消除了抖振现象。

以上研究都是基于船舶模型的控制器设计方法，相比于其他控制对象，船舶建模工作尤其复杂，精准的模型信息带来精确的控制效果，但船舶是一种强非线性、强耦合性的控制对象，对这类模型复杂、模型参数不确定的系统，精确的模型信息难以获得。实际研究中需要通过缩比模型进行大量水池试验，工作量繁重，且模型的准确性难以保证。此外，由于环境变化、船体生长附着物等情况导致船舶模型信息失效，基于模型的控制方法将不再适用。另一方面，无模型自适应控制是一种在线的数据驱动控制方法，其主要思想是，在每个工作点处，任何一般非线性系统都可以被等效为一个动态线性化数据模型。然后，利用系统输入输出数据估计伪雅克比参数。MFAC已经在很多领域得到应用，如过程控制^[11-12]、能量控制^[13]等。因此，研究一种不需要任何模型信息的船舶航迹控制方法具有重要意义。

1 船舶三自由度运动数学模型

船舶在海上航行时应考虑沿 $ x,y,z $ 三个方向的平移运动，绕 $ x,y,z $ 坐标轴的转动6种运动状态。传统的机理建模法利用牛顿刚体力学的动量原理及动量矩原理，分别对应3个方向的平移及转动。在实际应用中，由于船舶的运动状态不会快速改变，因此只考虑纵荡、横荡及首摇3个自由度的运动。典型的MMG分离模型如下所示^[14]：

$ \begin{split} & m(\dot u - rv) = {X_H} + {X_P} + {X_R} + {X_W}，\\ & m(\dot v + ru) = {Y_H} + {Y_P} + {Y_R} + {Y_W} ，\\ & {I_{ZZ}}\dot r = {N_H} + {N_P} + {N_R} + {N_W} 。\end{split} $

(1)

其中： $ m $ 为船舶质量； $ u,v,r $ 为船舶对地运动速度在船体随动坐标系内的投影； $ u $ 为沿 $ x $ 轴方向的运动； $ v $ 为沿 $ y $ 轴方向的运动； $ r $ 为绕 $ z $ 轴方向的旋转角速度。等式右端为裸船受力、桨力、舵力及风浪引起的干扰力。从式(1)可以看出MMG模型水动力分析复杂，此外很多参数都是由经验公式或近似计算得到，结果存在一定的误差。

2 视线导航法设计

欠驱动船舶的执行机构只提供了前向推力和转首力矩，对于侧向移动无法控制。对于此类控制对象，采用视线导航法可以实现精准的航迹控制。通过前视向量及前视点的设定，将船舶路径控制中的位置控制转化为航向控制^[15]。

2.1 直线视线导航法

在进行直线段航迹控制时，首先设置起始点 $ P（k-1） $ ，终止点 $ P（k） $ 。当船舶沿直线运动到下一点时终止点变为 $ P（k+1） $ ，以中间点 $ P（k） $ 为圆心 $ R $ 为半径做一圆形，船舶即在此圆内转向，之后 $ P（k） $ 变为新的起始点， $ P（k+1） $ 变为新的终止点，以此类推即可完成对期望航迹的控制。

在大地坐标系下，首先确定当前时刻船舶的位置为 $ ({x_t},{y_t}) $ 、首向为 $ \psi (t) $ ，初始期望航迹与正北方向的夹角为 $ {\beta _i} $ ，船舶的横向位置误差大小是 $ \varepsilon (t) $ ，船舶当前位置与此段航迹终点的连线与当前航迹的夹角是 $ \delta (t) $ ，当前位置与终点的距离是 $ d(t) $ 。在定义好位置关系后，通过合理的选择前视向量 $ \Delta $ ，即可实现精准的航迹跟踪。直线视线导航法示意图如图1所示。

通过几何关系分析可以得到：

$ {\beta _i} = {\rm{arctan}}(({y_k} - {y_{k - 1}})/({x_k} - {x_{k - 1}})) ，$

(2)

$ \delta (t) = {\beta _i} - {\rm{arctan}}(({y_k} - {y_t})/({x_k} - {x_t})) ，$

(3)

$ d(t) = \sqrt {{{({x_k} - {x_t})}^2} + {{({y_k} - {y_t})}^2}} ，$

(4)

$ \varepsilon (t) = d(t){\text{sin}}(\delta (t)) 。$

(5)

当船舶距离目标点较远时 $\varepsilon (t) > \Delta$ ，此时前视向量与期望路径不会相交，选择 $ \alpha (t) $ 为 $ \pi /2 $ ，因此有：

$ \alpha (t) = \left\{ \begin{gathered} {\text{arcsin}}(\varepsilon (t)/\Delta ),{\text{ }}\left| {\varepsilon (t)} \right| \leqslant \Delta ，\\ \text{π} /2 \cdot {\text{sign}}(\varepsilon (t)),{\text{ }}\left| {\varepsilon (t)} \right| > \Delta 。\\ \end{gathered} \right. $

(6)

2.2 圆弧视线导航法

$ {P_0}({x_0},{y_0}) $ 为圆弧圆心， $ R $ 为圆弧半径，船舶重心与 $ {P_0} $ 间的连线与圆弧交于点 $ {P_k}({x_k},{y_k}) $ ，而船舶位于 $ ({x_t},{y_t}) $ ，当前时刻船首向为 $ {{\Psi }}(t) $ ，航迹控制横向误差为 $ \varepsilon (t) $ ，期望首向为 $ {{{\Psi }}_d}(t) $ ，同直线追踪类似，通过前视向量的选择确定前视点，圆弧航迹控制示意图如图2所示。

通过几何分析可得：

$ {\beta _i} = \arctan (({y_0} - {y_t})/({x_0} - {x_t})) ，$

(7)

$ \varepsilon (t) = \sqrt {{{({x_0} - {x_t})}^2} + {{({y_0} - {y_t})}^2}} - R ，$

(8)

$ {{\varPsi }_d} = {\beta _i} - \alpha (t)。$

(9)

3 控制算法设计 3.1 基于系统I/O数据的紧格式动态线性化

传统的动态线性化方法基本都是从数学角度进行分析，采用任意的线性、非线性函数动态线性化方法。这些线性化方法有的对模型精度要求很高，有的会在不同程度上忽略非线性函数在线性化过程中对控制器设计或系统分析的影响。

对于一般的多输入多输出离散时间非线性系统可以描述如下：

$ \begin{split} q(k + 1) = &f(q(k),q(k - 1),{\mkern 1mu} \cdots ,{\mkern 1mu} q(k - {n_q}),{\mkern 1mu} u(k), \\ &u(k - 1),{\mkern 1mu} \cdots ,{\mkern 1mu} u(k - {n_u}))。\end{split} $

(10)

其中： $ u(k) \in R,q(k) \in R $ 分别代表 $ k $ 时刻系统的输入和输出； $ {n}_{q}，{n}_{u} $ 是2个未知的正整数； $ f( \cdots ) $ 是未知的非线性函数。

假设1　除有限时间点外， $ f( \cdots ) $ 关于第 $ ({n_q} + 2) $ 个变量的偏导数是连续的。

假设2　除有限时间点外，系统（3）满足广义李普希兹条件，即对任意 $ {k_1} \ne {k_2},{k_2} \geqslant 0 $ 和 $ u({k_1}) \ne u({k_2}) $ 有

$ \left| {q({k_1} + 1) - q({k_2} + 1)} \right| \leqslant b\left| {u({k_1}) - u({k_2})} \right| 。$

(11)

其中 $ q({k_i} + 1) = f(q({k_i}),\; \cdots q({k_i} - {n_q}),\;u({k_i}),\; \cdots u({k_i} - {n_u})) $ ， $i = 1,2,\;b > 0$ 是一个常数。

从实际角度出发，上述对控制对象的假设是合理的。假设1是对控制系统中一般非线性系统的常见约束。假设2从能量角度解释为系统有界输入对应有界输出。

定理1　对满足假设1与假设2的非线性系统式(10)当 $ \left| {\Delta u(k)} \right| \ne 0 $ 时，一定存在一个伪偏导数（pseudo partial derivative，PPD）的时变参数 $ {\phi _c}(k) \in R $ ，使得式(10)可转化为如下紧格式动态线性化（compact form dynamic linearization, CFDL）数据模型：

$ \Delta q(k + 1) = {\phi _c}(k)\Delta u(k) ，$

(12)

并且在所有的时刻k, $ {\phi _c}(k) $ 是有界的。

由定理1可知，当非线性系统式（10）满足假设1与假设2，并且对于所有时刻k有 $ \Delta u(k) \ne 0 $ 时，其CFDL数据模型可表示为

$ q(k + 1) = q(k) + {\phi _c}(k)\Delta u(k) 。$

(13)

其中， $ {\phi _c}(k) \in R $ 为系统式（10）的PPD。

3.2 伪偏导数估计算法

考虑如下估计准则函数：

$ \begin{split} J({\phi _c}(k)) = &{\left| {q(k) - q(k - 1) - {\phi _c}(k)\Delta u(k - 1)} \right|^2} + \\ &\mu {\left| {{\phi _c}(k) - {{\hat \phi }_c}(k - 1)} \right|^2} ，\end{split} $

(14)

其中， $\mu > 0$ 是权重因子。极小化准则函数(14)，则有PPD的估计算法如下：

$ \begin{split} {{\hat \phi }_c}(k) = &{{\hat \phi }_c}(k - 1) + \\ &\frac{{\eta \Delta u(k - 1)}}{{\mu + \Delta u{{(k - 1)}^2}}}(\Delta q(k) - {{\hat \phi }_c}(k - 1)\Delta u(k - 1)) 。\end{split} $

(15)

其中， $ \eta \in (0,1] $ 是加入的步长因子，目的是使算法具有更强的灵活性和一般性， $ {\hat \phi _c}(k) $ 为PPD $ {\phi _c}(k) $ 的估计值。

3.3 控制器设计

考虑如下控制输入准则函数

$ J(u(k)) = {\left\| {{q^*}(k + 1) - q(k + 1)} \right\|^2} + \lambda {\left\| {u(k) - u(k - 1)} \right\|^2} ，$

(16)

其中 $\lambda > 0$ 是权重因子，用来惩罚控制输入量的过大变化， $ {q^*}(k + 1) $ 为期望的输出信号。将式（13）代入准则函数(16)中，对 $ u(k) $ 求导并令其等于0，得到控制器为：

$ u(k) = u(k - 1) + \frac{{\rho {\phi _c}(k)}}{{\lambda + {{\left| {{\phi _c}(k)} \right|}^2}}}({q^*}(k + 1) - q(k)) ，$

(17)

其中， $ \rho \in (0,1] $ 是步长因子，它的作用是使算法更具有一般性。

以上是一般形式的基于CFDL的MFAC方法，直接用于船舶航迹控制存在误差收敛速度慢、控制误差大且不断波动的问题，因此引入PD控制可以得到改进的无模型自适应PD控制算法为：

$ \begin{split} u(k) = &u(k - 1) + \frac{{\rho {\phi _c}(k)}}{{\lambda + {{\left| {{\phi _c}(k)} \right|}^2}}}({k_p}({q^*}(k + 1) - q(k))+ \\ & {k_d}(\Delta {q^*}(k + 1) - \Delta q(k)))。\end{split} $

(18)

其中： $ {k_p},{k_d} $ 为控制器改进后引进的控制参数即为PD控制器中的比例项与微分项。

4 仿真结果分析

通过计算机仿真来验证本文所提控制系统的有效性，仿真软件采用Matlab R2017b，PC机处理器为Intel Corei3-7100，3.9 GHz处理器，操作系统为Windows7旗舰版。

由于PID控制方法在工业制造中具有广泛的应用，原理简单、实用性强且不需要任何模型信息。因此，为验证本文所提无模型控制方法的有效性，将不需要任何模型信息的船舶无模型控制方法增量式PID控制加入对比研究。

仿真中控制船舶跟踪圆形轨迹为圆心位于 $ (0,500) $ 处半径为500 m的圆弧，初始点为 $ (0,0) $ 。设计控制器参数为： $ \eta = 0.000\; 1，\varepsilon = {10^{ - 4}} $ ， $ \lambda = 0.002$ ， $ \mu = 0.4，\rho = 0.5$ ， $ {k_p} = 30，{k_d} = 10 $ 。仿真结果如图3所示。

从图3可以看出，2种控制方法都可以实现轨迹跟踪控制，但是PID的控制效果较差，在整个跟踪过程中存在明显误差，相比之下无模型自适应PD控制几乎与参考轨迹相重合，控制精度更高，证明了本文所提控制算法无模型自适应PD控制的有效性。为进一步分析控制效果，绘制三自由度航迹控制响应曲线如图4所示。

从图4可以看出，在3个控制自由度上，无模型自适应PD控制的效果都明显好于PID，此外PID控制误差存在波动现象，收敛速度较慢。

为定量分析算法的控制性能，定义控制器的性能评价指标：绝对误差积分(integral absolute error, IAE)，其中 $ T $ 是系统运行时间。

$ \begin{split} & IA{E_{xy}}[m] = \int_0^T {(\left| {{e_x}} \right| + \left| {{e_y}} \right|)} {\rm{d}}t ，\\ & IA{E_\varphi }[rad] = \int_0^T {\left| {{e_\varphi }} \right|} {\rm{d}}t。\end{split} $

(19)

从表1可以看出，在整个航迹控制过程中，无论是xy方向的误差累积，还是 $ \varphi $ 方向的误差累积，本文所提出的无模型自适应PD控制方法均优于PID控制。

5 结　语

本文研究欠驱动船舶在模型信息无法获取情况下的航迹控制问题，基于紧格式动态线性化方法进行无模型自适应控制器设计。针对一般形式的无模型自适应控制器在船舶航迹控制中存在的误差收敛速度慢、控制精度低的问题，设计了改进的无模型自适应PD控制方法。为了验证本文所提控制方法的有效性将传统的无模型控制方法增量式PID加入对比研究，仿真结果表明，相比于增量式PID控制方法，本文所设计的MFAC-PD具有更高的控制精度，且调参简单使用方便。