0 引　言

船舶在螺旋桨推进力和风、浪、流干扰作用下会产生非线性运动，由于非线性运动无法通过导航系统进行预测，因此可能会导致船舶发生偏航、船体碰撞等事故。为了提高船舶在靠岸、系泊过程的安全性，必须要对船舶的非线性运动进行控制。

本文研究非线性船舶模型的运动控制，采用的控制原理为鲁棒神经网络控制算法，从非线性船舶的运动建模、动力系统螺旋桨建模、鲁棒神经网络控制器的原理等方面进行详细的研究。

1 非线性船舶模型的运动建模及边界条件建模

建立非线性船舶运动坐标系如图1所示。

可知，静坐标系O-XYZ的OX方向指向东方，OY指向北方，OZ指向地心。船体坐标系o-xyz固定在船舶上，ox轴方向指向船首，oy指向侧舷，oz指向甲板垂直方向。

建立船舶的运动学模型：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_X} = m\ddot x = m{a_X}} ，\\ {{F_Y} = m\ddot y = m{a_Y}} ，\\ {{F_Z} = m\ddot {\textit{z}} = m{a_Z}} 。\end{array}} \right. $

(1)

式中：m为船舶的质量；a_X，a_Y，a_Z为沿3个坐标轴方向的加速度。

船舶在运动坐标系o-xyz中的位置记为（x₀，y₀，z₀），船舶运动参数的坐标转换公式为：

$ \left\{ {\begin{aligned} &{{{\dot x}_0} = {V_x}\cos \gamma \cos \beta + {V_y}\cos \gamma \sin \beta } ，\\ &{{{\dot y}_0} = {V_x}\sin \gamma \cos \beta + {V_ {\textit{z}}}\cos \gamma \cos \alpha } ，\\ &{{{\dot {\textit{z}}}_0} = - {V_x}\sin \beta + {V_y}\cos \beta \sin \alpha - {V_ {\textit{z}}}\cos \beta } ，\\ &{\dot \alpha = {w_x} + {w_y}\tan \beta \sin \lambda }，\\ &\dot \beta = {w_x}\cos \alpha - {w_ {\textit{z}}}\sin \alpha ，\\ &\dot \gamma = {w_y}\sin \alpha /\cos \beta 。\end{aligned}} \right. $

(2)

式中： $ \alpha $ 为船舶的横摇角度； $ \beta $ 为纵摇角度； $ \gamma $ 为倾角； $ {V_x} $ ， $ {V_y} $ ， $ {V_ {\textit{z}}} $ 分别为船舶沿ox轴，oy轴，oz轴的速度分量； $ {w_x} $ ， $ {w_y} $ ， $ {w_ {\textit{z}}} $ 分别为船舶绕ox轴，oy轴，oz轴的角速度分量。

船舶非线性运动的边界条件包括螺旋桨及船舵作用力、船舶受到的海风作用力和海浪作用力^[1]。

1）海浪作用力

海浪的波形函数为：

$ \xi(t)=\sum_{i=1}^{n} \xi \cos \left(k \psi \pm \omega t+\varepsilon_{i}\right)。$

(3)

式中： $ \psi $ 为海浪波形的幅值， $ w $ 为波形的频率，k为周期内的海浪波数， $ {\varepsilon _i} $ 为波形的相位角。

海浪波形图如图2所示。

海浪的干扰力方程为：

$ F(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {{m} {a_x}\cos \left( {{w_i}t + {\varepsilon _i}} \right) + } \sum\limits_{i = 1}^n {{m} {a_y}\cos \left( {{w_i}t + {\varepsilon _i}} \right)}。$

(4)

式中： $ {a_x} $ ， $ {a_y} $ 分别为沿ox轴，oy轴的加速度。

2）海风作用力

将海风作用力沿3个坐标轴分解，可得模型如下：

$ \left\{ {\begin{aligned} &{{F_{{x_0}}} = \frac{1}{2}\rho {V_x}C{a_x}{A_0}} ，\\ &{{F_{{y_0}}} = \frac{1}{2}\rho {V_y}C{a_y}{A_1}}，\\ &{{F_{{z_0}}} = \frac{1}{2}\rho {V_z}C{a_z}{A_2}} 。\end{aligned}} \right. $

(5)

式中： $ C $ 为海风作用力系数； $ {A_0} $ ， $ {A_1} $ ， $ {A_2} $ 分别为船舶在ox轴、oy轴、oz轴正投影方向的面积。

2 螺旋桨作用力的流体动力学建模

当船舶发生非线性运动时，往往处于欠驱动的状态，这时螺旋桨和船舵作用力达不到额定输出，故在建立螺旋桨和船舵作用力时，采用面元法进行其流体动力学分析。

建立船舶螺旋桨桨叶剖面的坐标系，如图3所示。

假设船舵相对于海水的速度为 $ {v_s} $ ，船舶螺旋桨旋转1周的进程为 $ {h_s} $ ，可知：

$ {h_s} = {v_s} \cdot n 。$

(6)

螺旋桨的进速比^[2]为：

$ {J_0} = \frac{{{v_s}}}{{nD}} 。$

(7)

式中： $ n $ 为螺旋桨的转速， $ D $ 为螺旋桨的直径。

螺旋桨的推进效率为：

$ {\eta _0} = \frac{{{P_V}}}{{{T_L}2{\text{π}} n}} 。$

(8)

式中： $ {P_V} $ 为有功功率， $ {P_V} = {F_L} \cdot {v_s} $ ， $ {F_L} $ 和 $ {T_L} $ 分别为螺旋桨的推力和转矩，计算公式为：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{F_L} = {K_P}\rho {n^2}{D^4}} ，\\ {{T_L} = {K_m}\rho {n^2}{D^5}}。\end{array} $

(9)

式中： $ {K_P} $ 为推力系数， $ {K_m} $ 为转矩系数， $ \rho $ 为海水密度。

3 船舵作用力的流体动力学建模

船舶非线性运动过程需要考虑船体与海水的伴流效应，定义海水的流速为 $ {v_c} $ ，则伴流系数计算为：

$ \xi = 1 - \frac{{{v_s}}}{{{v_c}}}。$

(10)

船舶伴流系数与船舶长度和宽度呈线性关系^[3]，如图4所示。

在求解船舵作用力时，首先建立在该运动速度下的海水基本控制方程，分别如下：

1）连续性方程

$ \frac{{{\rm{d}}{\rho _{}}}}{{{\rm{d}}t}} + {\rho _{}}\Delta \cdot {v_c} = 0 。$

(11)

式中： $ \Delta $ 为拉普拉斯算式。

2）动量方程

$ {\rho _{}}\frac{{{\rm{d}}{v_c}}}{{{\rm{d}}t}} = {\rho _{}}f + \Delta \cdot \sigma。$

(12)

式中： $ f $ 为海水的体积力， $ \sigma $ 为海水的体积域函数。

3）能量方程

$ \rho \frac{{{\rm{d}}E}}{{{\rm{d}}t}} = - \rho \Delta \cdot {v_c} + Q - \Delta q 。$

(13)

式中： $ Q $ 为流体的内能， $ E $ 为海水在该区域内的动能。

4）雷诺方程

$ \left\{ {\begin{aligned} &{\rho \frac{{{\rm{d}}{v_c}}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{\partial \sigma }}{{\partial t}} + \rho f} ，\\ &{\frac{{\rho \partial {v_c}}}{{\partial t}} + \frac{{{\partial ^2}(P)}}{{\partial t}} = \frac{\partial }{{\partial {t^2}}}(\xi \frac{{\partial {v_c}}}{{\partial t}}) - Q}。\end{aligned}} \right. $

(14)

式中： $ P $ 为流体动态压力。

船舵的作用力方程为：

$ \frac{{\partial \left( {\rho {v_c}} \right)}}{{\partial t}} + div\left( {\rho {v_c}} \right) = - \frac{{\partial P}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {F_{\tau x}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {F_{\tau y}}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {F_{\tau z}}}}{{\partial z}} 。$

(15)

式中： $ {F_{\tau x}} $ ， $ {F_{\tau y}} $ ， $ {F_{\tau z}} $ 分别为船舵作用力沿ox轴、oy轴、oz轴方向的切应力。

4 基于鲁棒神经网络的非线性船舶模型控制器设计 4.1 鲁棒神经网络控制技术

神经网络不仅具有非线性变换的特征，而且在复杂系统的并行运算、动态系统的辨识方面具有明显优势。

在建立非线性船舶运动控制器时，采用了一种鲁棒神经网络算法，该算法的拓扑结构如图5所示。

鲁棒神经网络的权值矢量为 $ W_A^{} $ ^[4]，鲁棒神经网络的训练集为 $ {b_k} $ 和 $ {y_k} $ ，神经网络的输出为 $f = W_A^{\rm{T}}b$ ，控制器的输出误差为：

$ e_K^{} = {y_k} - f 。$

(16)

控制器的目标函数为：

$ E = \frac{1}{N}\sum\limits_{K = 1}^N {e_K^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{K = 1}^N {{{\left( {{y_K} - f} \right)}^2}} 。$

(17)

将该式展开可得：

$ \begin{split} E = &\frac{1}{N}\sum\limits_{K = 1}^N {{{\left( {{y_k} - W_A^{\rm{T}}{b_k}} \right)}^2}} = \hfill \\ &\frac{1}{N}\sum\limits_{K = 1}^N {{{\left( {f_k^2 - 2{y_k}b_k^{\rm{T}}{W_A} + W_A^{\rm{T}}{b_k}b_k^{\rm{T}}{W_A}} \right)}^2}} 。\\ \end{split} $

(18)

令 $R = \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{K = 1}^N {{b_k}} b_k^{\rm{T}}$ ， $P = \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{K = 1}^N {{b_k}} b_k^{\rm{T}}$ ，

可得：

$ E = \frac{1}{N}\sum\limits_{K = 1}^N {y_k^2} - 2{P^{\rm{T}}}{W_A} + W_A^{\rm{T}}R{W_A}。$

(19)

将上式作为鲁棒神经网络的显函数^[5]，求导可得：

$ \frac{{\partial E}}{{\partial {W_A}}} = {\left( {\frac{{\partial E}}{{\partial {W_A}}},\frac{{\partial E}}{{\partial {W_{A2}}}},\frac{{\partial E}}{{\partial {W_{A3}}}},\frac{{\partial E}}{{\partial {W_{A4}}}}} \right)^{\rm{T}}} = 2R{W_A} - 2P。$

(20)

令 $\dfrac{{\partial E}}{{\partial {W_A}}} = 0$ ，可得鲁棒神经网络算法的寻优模型为：

$ {W_A}(t + 1) = {W_A}(t) + \Delta {W_A}(t) 。$

寻优误差平方值为：

$ {E_k}(t) = e_k^2(t) = {\left[ {{y_k} - W_A^{\rm{T}}(T){b_k}} \right]^2} 。$

4.2 基于鲁棒神经网络船舶转向控制器设计

结合鲁棒神经网络算法，设计非线性船舶的转向控制器，其原理如图6所示。

定义非线性船舶的航向控制指标为：

$ J = \frac{1}{T}\int_0^{{T}} {\left\{ {{{\left[ {{\psi _r} - \psi } \right]}^2} + \lambda {\delta ^2}} \right\}} {\rm{d}}t。$

(21)

根据鲁棒神经网络推导控制器的输出为：

$ \left\{ {\begin{aligned} &{\delta _r^B = {k_\psi }\left( {{\psi _r} - \hat \psi } \right) + {k_r}\left( {{r_r} - \hat r} \right)} ，\\ &{{\delta _r} = \delta _r^B + \delta _r^F} ，\\ &{{k_\psi } = 1/\sqrt \lambda } ，\\ &{{k_r} = \frac{1}{K}\left[ {\sqrt {\left. {1 + \frac{{2K}}{{\sqrt \lambda }} - 1} \right]} } \right.} 。\end{aligned}} \right. $

(22)

式中： $ \delta _r^B $ 为反馈舵角， $ {k_\psi } $ $ {\psi _r} $ 为控制系统设定的航向， $ \hat \psi $ 为航向估计值， $ {k_r} $ 为比例系数， $ {r_r} $ 为鲁棒系数， $ \hat r $ 为转向角速度值， $ {\delta _r} $ 为航向角， $ \delta _r^F $ 为前馈舵角^[6]， $ \lambda $ 为加权系数， $ K $ 为0.35。

图7为无控制器策略/PID控制/鲁棒神经网络3种控制模式下的船舶航向角变化曲线。

5 结　语

本文针对船舶非线性运动的控制技术进行研究，研究内容包括船舶非线性运动和边界条件的建模、鲁棒神经网络控制技术的原理分析、船舶航向控制器的设计与试验等，有助于提高非线性船舶的运动控制效果。