0 引　言

声呐浮标（下文简称浮标）是航空反潜的主要搜潜装备，具有使用方便、搜索效率高、隐蔽性好等特点。航空反潜时，通过空投声呐浮标，依据水下目标在海洋环境条件下的特征，对目标进行搜索、识别、定位和跟踪，并为攻潜武器的使用提供目标指示。浮标使用时，一般通过固定翼飞机或直升机快速投放到指定海域，浮标布放的效率，除飞行平台因素影响外，主要取决于浮标投放成活率和落水区域的准确性。研究浮标空中运动轨迹，可以准确地了解浮标空投条件，有效控制浮标入水速度及入水角度，提高浮标投放成活率。同时，有利于掌握浮标空中运动时间和投放时机，及时、准确地将浮标布放到目标海域。目前，国内关于浮标空中运动轨迹的研究较少，有必要开展相关工作，为浮标的高效使用提供理论支撑^[1-3]。

1 模型建立 1.1 浮标空投过程

浮标高空投放时，浮标的空中运动轨迹如图1所示，浮标质点类似平抛运动，主要分3个阶段。

阶段Ι是浮标离机自由飞行阶段。浮标的质心并不在几何中心，而在远离安装减速伞的一端，浮标空投时，安装减速伞的一端先离机，浮标离机后，在重力和空气动力的作用下，浮标运动分为水平方向运动、竖直方向运动和绕质心转动。浮标在转动过程中，开伞装置先分离伞包，再从伞包中依次抽出伞绳和伞衣。当浮标转动到近似水平时，减速伞被从伞包中完全拉出。

阶段Π是浮标开伞充气变速阶段。浮标减速伞选用十字形伞，十字形伞具有制造简单，充气快，稳定性好等特点。当浮标转动过水平位置时，减速伞快速充气，并在极短时间（约几十毫秒）内充满。在减速伞和空气动力作用下，浮标调整姿态，并改变速度，直至达到稳定速度。

阶段Ш是浮标稳定下落阶段。在该阶段，受气象条件影响，浮标系统偶尔会有扰动，但很快恢复到稳定状态，保持近似铅垂姿态，匀速下落入水。

1.2 模型假设

为了便于工程研究，对浮标系统模型进行简化假设^[4-6]：

1）将浮标系统看成由标体和减速伞2个刚体组成，两者之间靠铰链连接，通过铰链传递力而不传递力矩，认为减速伞的迎面阻力方向与连接点的速度方向一致；

2）浮标的标体为圆柱体，结构上成轴对称性，空气沿柱体母线的流动是对称的，不考虑粘性的影响，升力为零，只考虑阻力影响。

3）不考虑系统的气动附加质量，伞在充气过程中，引起的系统减速忽略不计，按“无限质量”充气考虑。

1.3 坐标系定义

根据基本假设，定义浮标运动坐标系^[7-8]。

1）地面坐标系

地面坐标系 $ Axyz $ 是惯性坐标系，与地球表面固定连接，坐标系原点 $ A $ 点选取在浮标离机瞬间质心所在的位置，该位置为浮标投放时的基准点，固定在空中； $ Ax $ 轴是浮标运动轨迹所在的铅垂面与水平面交线，指向目标为正； $ Ay $ 轴在铅垂面内，向上为正； $ Az $ 轴垂直于 $ Axy $ ，方向按照右手直角坐标系定义。

2）标体坐标系

标体坐标系 $ O{x}_{1}{y}_{1}{z}_{1} $ 是动坐标系，与浮标固定连接，原点 $ O $ 取在浮标质心上； $ O{x}_{1} $ 轴与浮标纵轴重合，指向浮标运动的方向； $ O{y}_{1} $ 轴位于纵向对称面内与 $ O{x}_{1} $ 轴垂直，指向上为正； $ O{z}_{1} $ 轴垂直于 $ O{x}_{1}{y}_{1} $ ，方向按照右手直角坐标系定义。浮标纵轴（ $ O{x}_{1} $ ）与水平面（ $ Axz $ ）间的夹角定义为浮标俯仰角 $ \gamma $ 。

3）轨迹坐标系

轨迹坐标系 $ O{x}_{2}{y}_{2}{z}_{2} $ 是动坐标系，与浮标固定连接，原点 $ O $ 取在浮标质心上； $ O{x}_{2} $ 与浮标质心的速度矢量 $ V $ 重合； $ O{y}_{2} $ 轴位于包含速度矢量 $ V $ 的铅垂面内垂直于 $ O{x}_{2} $ 轴，指向上为正； $ O{z}_{2} $ 轴垂直于 $ O{x}_{2}{y}_{2} $ ，方向按照右手直角坐标系定义。速度矢量 $ V $ 与水平面（ $ Axz $ ）间的夹角定义为浮标倾角 $ \theta $ ；浮标质心的速度矢量 $ V $ 在浮标纵向对称面内投影与浮标纵轴（ $ O{x}_{1} $ ）间的夹角定义为浮标攻角 $ \alpha $ 。

2 运动过程 2.1 浮标离机自由飞行阶段

浮标离机后先是自由飞行，在铅垂面内进行研究，浮标结构相对于纵向平面 $ O{x}_{1}{y}_{1} $ 对称，该纵向对称面与浮标飞行铅垂面重合。取浮标离机瞬间质心的位置为地面坐标系的原点，与轨迹坐标系的原点 $ O $ 重合，沿飞机飞行水平方向为 $ x $ 轴正向，过原点竖直向上方向为 $ y $ 轴正向。

如图2所示，浮标在自由飞行过程中，浮标的重力为 $ mg $ ，铅垂向下；空气阻力 $ R $ ，方向始终与速度矢量方向相反，空气阻力中心与浮标质心不重合。

浮标轨迹坐标系 $ O{x}_{2}{y}_{2}{z}_{2} $ 相对于地面坐标系既有位移运动，又有转动运动。在轨迹坐标系内，浮标质心有沿轨迹切向（ $ O{x}_{2} $ 轴）上的加速度，沿轨迹法线（ $ O{y}_{2} $ 轴）上的加速度 $ \mathrm{。} $

在浮标的标体坐标系 $ O{x}_{1}{y}_{1}{z}_{1} $ 中，研究浮标绕其质心的转动，标体坐标系相对于地面坐标系的转动角速度用 $ \omega $ 表示；标体所受外力对质心的力矩为 $ M $ 。

浮标运动过程中动力学方程、转动过程的角度变化与位移变化联立^[9-10]，得到方程组（1）。

$ \left\{\begin{array}{l} m\dfrac{{\rm{d}}V}{{\rm{d}}t}=-mg{\rm{sin}}\theta -R \text{，}\\ \dfrac{{\rm{d}}x}{{\rm{d}}t}=V\mathit{{\rm{cos}}}\theta\text{，} \\ \dfrac{{\rm{d}}y}{{\rm{d}}t}=V\mathit{{\rm{sin}}}\theta \text{，}\\ mV\dfrac{{\rm{d}}\theta }{{\rm{d}}t}=-mg{\rm{cos}}\theta\text{，} \\ \dfrac{{\rm{d}}\gamma }{{\rm{d}}t}=\omega \text{，}\\ I\dfrac{{\rm{d}}\omega }{{\rm{d}}t}=M \text{。} \end{array}\right. $

(1)

2.2 浮标充气变速阶段

减速伞开伞充气过程是结构动力学与流体动力学耦合在一起的过程^[11]，理论研究相当复杂，从工程实际出发，可以进行简化假设。浮标在离机自由飞行后期，伞衣已经开始从伞包中抽出，但此时，伞绳还没有完全拉直，伞衣与标体之间速度接近，可以认为伞衣暂时没有充气。当浮标绕质心旋转过水平位置后，标体与伞衣之间出现明显速度差，伞衣瞬间拉直，快速完成充气。伞充气时间与拉直速度成反比，伞越大，充满时间越长，减速伞充满时间的一般经验公式^[12-13]如下式：

$ {t}_{m}=\frac{k{D}_{0}}{{v}_{L}} \text{。}$

(2)

式中： $ {v}_{L} $ 为降落伞拉直速度； $ {D}_{0} $ 为伞衣名义直径； $ k $ 为实测数据推算的经验系数。

按照“无限质量”充气的假设，充气过程对系统速度的影响可以忽略，充气时间 $ {t}_{m} $ 内，浮标速度不变。经过自由飞行和开伞充气，浮标开始绕质心从水平位置顺时针旋转，浮标受力示意图如图3所示，将标体和减速伞看作2个刚体，减速伞对标体只传递力，减速伞的迎面阻力方向与连接点的速度方向一致，同时，忽略减速伞的升力。

减速伞的速度方向与标体轴线成 $ \beta $ 角，减速伞迎面阻力传递到连接点为 $ F $ ，浮标运动过程中动力学方程、转动过程的角度变化、位移变化和关系等式联立，得到方程组如下：

$ \left\{\begin{array}{l} m\dfrac{{\rm{d}}V}{{\rm{d}}t}=-mg{\rm{sin}}\theta -F{\rm{cos}}\left(\beta -\alpha \right)-R \text{，}\\ mV\dfrac{{\rm{d}}\theta }{{\rm{d}}t}=-mg{\rm{cos}}\theta +F{\rm{sin}}\left(\beta -\alpha \right)\text{，}\\ \dfrac{{\rm{d}}x}{{\rm{d}}t}=V\mathit{{\rm{cos}}}\theta \text{，}\\ \dfrac{{\rm{d}}y}{{\rm{d}}t}=V\mathit{{\rm{sin}}}\theta \text{，} \\ \dfrac{{\rm{d}}\gamma }{{\rm{d}}t}=\omega \text{，}\\ I\dfrac{{\rm{d}}\omega }{{\rm{d}}t}=M-F\Delta L{\rm{sin}}\beta \text{，}\\ \alpha =\gamma -\theta \text{，}\\ {V}_{T}=\sqrt{{\left(V{\rm{cos}}\alpha \right)}^{2}+{\left(V{\rm{sin}}\alpha +\omega \Delta L\right)}^{2}} \text{，}\\ \beta =\mathit{arctan}\left(\dfrac{V{\rm{sin}}\alpha +\omega \Delta L}{V{\rm{cos}}\alpha }\right)\text{，}\\ F=0.5\rho {C}_{p}{S}_{p}{{V}_{T}}^{2}\text{，}\\ R=0.5\rho {C}_{B}{S}_{B}{V}^{2}\text{，}\\ M=0.5\rho SL{m}_{z}{V}^{2} \text{。}\end{array}\right. $

(3)

式中： $ \rho $ 为空气密度； $ mg $ 为浮标的重力； $ I $ 为浮标绕质心的转动惯量； $ \Delta L $ 为质心到连接点的距离； $ {V}_{T} $ 为连接点的速度； $ {C}_{p}{S}_{p} $ 为减速伞的阻力特征面积； $ {C}_{B}{S}_{B} $ 为标体的阻力特征面积； $ S $ 为标体的截面面积； $ L $ 为标体长度； $ {m}_{z} $ 为标体的俯仰力矩系数。

2.3 浮标稳定下落阶段

要保证浮标的成活率，浮标从高空安全下落到海面是必须的。为了减少浮标入水过载，尽量选择较小的稳定下落速度，这样就要增大减速伞的阻力特征面积，就会增加浮标留空时间，影响浮标着水点的准确性和作战效率。经过研判，设定浮标稳定下落时的速度为 $ {V}_{e} $ ，浮标稳定下落的平衡条件如下式：

$ mg=0.5\rho {V}_{e}^{2}({C}_{B}{S}_{B}+{C}_{p}{S}_{p}) \text{。}$

(4)

按照平衡条件设计减速伞，并通过风洞试验验证减速伞的阻力特征参数。同时，在风洞试验中测量浮标随攻角变化的阻力系数和俯仰力矩系数等气动参数，并将有限的数据拟合成相关参数的曲线表达式，以便代入到联立方程组中进行仿真分析。

3 仿真分析

根据上述建立的浮标空投模型，对某型浮标的空中运动轨迹进行仿真分析^[14-15]。浮标质量10 $ {\rm{kg}} $ ，离机瞬间质心水平速度 $ {u}_{0} $ 为150 $ {\rm{m/s}} $ ，竖直速度 $ {e}_{0} $ 为10 m/s，在离机自由飞行阶段，代入相关参数，对方程组（1）进行数值分析，从浮标的俯仰角变化曲线（见图4）可以看出，当浮标离机经过 $ {t}_{1} $ （0.253 $ {\rm{s}} $ ）时，浮标的纵轴从竖直位置旋转到接近水平位置。

当浮标经过时间 $ {t}_{1} $ ，速度变化曲线如图5所示。在 $ {t}_{1} $ 时刻，速度为 $ {v}_{1} $ （139.3 $ {\rm{m/s}} $ ），水平速度分量为 $ {u}_{1} $ （138.8 $ {\rm{m/s}} $ ），竖直速度分量为 $ {e}_{1} $ （11.9 m/s）。

经过时间 $ {t}_{1} $ ，浮标的水平位移为 $ {x}_{1} $ ，竖直位移为 $ {y}_{1} $ ，浮标运动轨迹变化曲线如图6所示。

根据浮标稳定下落的平衡条件，设计某一型减速伞，其名义直径 $ {D}_{0} $ ，按照减速伞充满气体的一般经验公式得到充满时间 $ {t}_{2} $ （0.047 $ {\rm{s}} $ ）。可以看出减速伞充满的时间极短，故忽略充气过程中对系统的影响。

经过时间（ $ {t}_{1}+{t}_{2} $ ），浮标水平位移 $ {x}_{2} $ ：

$ {x}_{2}=36.89+0.047{u}_{1}=43.4 $ m；

经过时间（ $ {t}_{1}+{t}_{2} $ ），浮标竖直位移 $ {y}_{2} $ ：

$ {y}_{2}=-2.144-0.047{e}_{1}=-2.7 $ m。

经过时间（ $ {t}_{1}+{t}_{2} $ ），浮标开始变速调整姿态运动，根据式（3）进行仿真分析，浮标的速度变化曲线如图7所示。经过时间 $ {t}_{3} $ （15.6 $ {\rm{s}} $ ），浮标的速度达到稳定下落速度 $ {V}_{e} $ （29 $ {\rm{m/s}} $ ），扰动变化小于0.1 $ {\rm{m/s}} $ 。

在变速下落阶段，随着姿态调整，浮标的俯仰角变化曲线如图8所示。在减速初始阶段，俯仰角出现小幅波动，经过时间 $ {t}_{3} $ ，浮标的俯仰角达到稳定，角度是−89.39°，接近铅垂方向。

在变速下落阶段，随着浮标速度变化，浮标的弹道角也在不断改变，图9为浮标弹道角变化曲线。在 $ {t}_{3} $ 时刻，浮标的弹道角−89.4°，与浮标的俯仰角相当，说明此时，浮标的速度矢量已经与浮标的纵轴（ $ O{x}_{1} $ 轴）重合，浮标开始沿竖直方向下落。

浮标从离机到稳定下落，在这段时间（ $ {t}_{1}+{t}_{2}+ {t}_{3} $ ）内，浮标运动轨迹如图10所示。浮标水平位移达到257 m后不再改变，竖直位移随着时间继续增加。

4 结　语

从浮标的俯仰角变化曲线来看，浮标离机后先经历了第1次姿态调整，在极短时间内由竖直状态旋转到水平位置，快速完成开伞充气，然后在空气动力和减速伞的作用下再次调整姿态，并减速至稳定速度下落至海面。浮标在足够高度时投放，最终一定会达到稳定状态，水平位移不再增加，落水位置被控制在固定的区域，竖直位移随时间匀速变化。从仿真结果来看，当减速伞选定后，投放平台高度大于395 m，水平速度150 $ {\rm{m/s}} $ ，浮标以10 $ {\rm{m/s}} $ 竖直向下投放离机时，不考虑气象条件的影响，浮标在离机16 s后达到稳定速度29 $ {\rm{m/s}} $ ，沿竖直方向入水，着水点在半径257 m的圆内。本文仿真分析中选取的数值有经验值，也有风洞试验测量值，不可能完全反映浮标各种条件下的气动特性，与实际工况会存在一定误差。但是，研究方法可以反映浮标在特定条件下的空中运动情况。可以在本文研究基础上，进一步增加更多随机因素，分类列出不同投放条件下浮标空中运动轨迹变化曲线，形成浮标的空投射表，通过查询空投射表，有效指导浮标高空投放。