0 引　言

船舶航向控制作为船舶运动控制领域中最为基础且重要的研究方向，事关船舶航行时的安全问题。20世纪20年代最初的机械自动舵出现，标志着船舶航向控制由人工控制逐渐转向自动控制。对于线性控制器，PID控制器具有形式简洁、设定参数较少、易于调节等优点。Banazadeh等^[1]提出一种基于卡尔曼滤波辨识系统参数的PID自动航向控制器。孙武臣等^[2]针对船舶转向时的横倾特性，在PID控制器中引入了微分项进行补偿，同时根据横倾角度变化设计模糊控制规则，调节PID控制器中的参数。然而，线性控制器所要求的线性状态和参数条件的假设往往难以满足。因此，近些年一些非线性控制器被提出用来克服这类问题。张显库等^[3]提出一种在不改变控制器结构情况下利用正弦函数来调整控制误差的控制方法，提高了控制器性能。Liu^[4]提出一种基于非线性观测器的船舶航向自适应滑模控制器。Zhang等^[5]在Backstepping框架下引入通过航向误差信号传递的反正切非线性函数，简化了设计步骤，提高了控制器性能。王永涛^[6]提出一种融合粒子群优化算法的改进Backstepping方法，设计船舶航向控制器。

由于船舶系统中具有非线性和不确定性，给系统控制器设计带来严峻挑战，引入一种确定的补偿机制应对不确定参数非常困难。对于船舶航向系统，其控制系数的符号是未知的，意味着其控制方向是未知的，传统的反馈控制方法在面对这类问题时具有一定的困难。直到引入Nussbaum函数^[7]，形成一种基于Nussbaum增益的自适应策略才实现对未知控制方向的补偿。针对具有未知控制增益方向和系统参数不确定的船舶航向系统，利用Nussbaum函数应对控制方向未知的问题^[8-9]。相比于上述自适应策略，逻辑切换自适应方法能够处理更加严重的不确定性及干扰^[10-12]。利用基于Lyapunov的逻辑切换机制应对系统中未知的控制方向，实现了对设定航向跟踪误差的广义指数收敛和有限时间收敛^[13-14]。

现有研究大多采用基于时间触发的控制策略，即以固定的时间间隔进行控制信号的更新。这种控制策略会产生冗余的控制行为并且造成执行器的多余损耗，浪费能源。而基于事件触发的控制器仅当预先设定的触发条件触发时才进行控制信号的更新，因此采用基于事件触发的控制策略可以有效降低执行机构的损耗，达到节约能源、提高经济效益的目的。

本文针对船舶航向系统中强非线性和控制方向未知的特性，利用Backstepping方法，融合了逻辑切换机制和事件触发机制，设计了基于事件触发的船舶航向逻辑切换自适应控制算法。此外，引入一种由跟踪误差决定的动态增益应对采样误差对系统性能的影响。该控制算法实现了对设定航向的跟踪误差指数收敛到可调的原点邻域内，降低了控制信号更新频率，同时避免了事件触发控制中违背其意义的奇诺现象（即有限时间内发生无限次更新）。最后，通过仿真结果验证了该控制算法的有效性。

1 系统描述与控制目标 1.1 系统描述

本文的船舶航向控制系统为Norrbin非线性模型：

$ T\ddot \varphi + \dot \varphi + \alpha {\dot \varphi ^3} = K\eta。$

(1)

其中： $\varphi $ 为船舶的实际航向角； $\eta $ 为控制舵信号； $K$ 为增益常数； $T$ 为时间常数； $\alpha $ 为Norrbin系数，其值由螺旋测试得到。在设计过程中假设模型参数 $K$ ， $T$ ， $\alpha $ 均为未知常数。

选择状态变量 ${x_1} = \varphi $ ， ${x_2} = \dot \varphi $ 及控制变量 $u = \eta $ ，则式（1）被转化为状态方程的形式：

$\left\{ \begin{gathered} {{\dot x}_1} = {x_2}，\hfill \\ {{\dot x}_2} = {\theta _0}u + {\theta ^\text{T}}\phi ({x_2})。\hfill \\ \end{gathered} \right. $

(2)

其中： $\theta = {\left[ {{\theta _1},{\theta _2}} \right]^\text T} = {\left[ { - 1/T, - \alpha /T} \right]^\text T}$ 为未知参数向量， $\phi \left( {{x_2}} \right) = {\left[ {{x_2},x_2^3} \right]^\text T}$ ， ${\theta _0} = K/T \ne 0$ 为控制系数。由于 $K$ ， $T$ 未知，控制系数 ${\theta _0}$ 的符号未知。

本文的主要结果建立在如下假设基础之上：

假设1　存在正常数 $ \hat \theta = \max \left\{ {\left| {{\theta _1}} \right|,\left| {{\theta _2}} \right|} \right\} $ 。

假设2　存在正常数 $\theta ''$ ，使得控制系数 ${\theta _0}$ 满足 $\left| {{\theta _0}} \right| \leqslant \theta ''$ 。

1.2 控制目标

针对船舶航向系统（2），在满足假设1和假设2的前提下，设计一个事件触发自适应控制器 $u\left( {x,t,L,d} \right)$ 实现对设定航向 ${\varphi _d}$ 的实际跟踪。其中 $L\left( t \right) = 1,2, \cdots $ 为由逻辑切换机制调整的一列预设严格递增的设计参数， $d\left( t \right)$ 为动态增益。

2 控制器设计

定义一种新的坐标变换 $z = {\left[ {{z_1},{z_2}} \right]^\text T}$ 及光滑函数 ${\alpha _i}\left( \cdot \right) = - {z_i}{\beta _i}$ ：

$ \left\{ \begin{gathered} {z_1} = {x_1} - {\varphi _d}，\hfill \\ {z_2} = {x_2} - {\alpha _1}，\hfill \\ \end{gathered} \right. $

(3)

设计如下事件触发自适应控制器：

$ \begin{split} u(t) =&S\left( {L\left( {{t'_{m,k}}} \right)} \right) \cdot {\alpha _2}\left( {x\left( {{t_k}} \right),d({t_k})} \right) = \\ &- S\left( {L\left( {{{t'}_{m,k}}} \right)} \right){z_2}{\beta _2}\left( {x\left( {{t_k}} \right),d({t_k})} \right),\;t \in \left[ {{t_k},{t_{k + 1}}} \right)，\end{split} $

(4)

$ S\left( {L\left( {{t'_{m,k}}} \right)} \right) = b\left( {L\left( {{t'_{m,k}}} \right) + 1} \right){\left( { - 1} \right)^{L\left( {{t'_{m,k}}} \right)}}，$

(5)

$ \dot d = \max \left\{ {\left| {{x_1} - {\varphi _d}} \right| - \varepsilon ,0} \right\},{\text{ }}d\left( 0 \right) = 1。$

(6)

其中： $S\left( L \right)$ 是由逻辑切换机制调节的函数，用来应对系统中未知的控制增益方向； $b > 0$ 为待给定常数； $\varepsilon $ 为预设的期望跟踪精度； ${t_k}$ 为事件触发时刻； ${t'_{m,k}}$ （ ${t'_j}$ ）为设计参数 $L$ 的切换时刻，且有

$ \left\{ \begin{gathered} {t'_{m,k}} = {t'_m}，\hfill \\ m = \arg \mathop {\max }\limits_j {t'_j} \leqslant {t_k}。\hfill \\ \end{gathered} \right. $

(7)

根据式（4）的定义可以看出，在事件触发控制中，控制信号仅在事件触发时刻 ${t_k}$ 进行更新，而位于2个触发时刻 $\left[ {{t_k},{t_{k + 1}}} \right)$ 区间中的其余时刻则通过零阶保持器保持为定值，即控制器（4）为一个分段常量。

由动态增益的定义式（6）可知， $d\left( t \right)$ 及 $d\left( {{t_k}} \right)$ 是单调递增的。通过使其值变得足够大降低采样误差对系统性能的影响，同时能够保证达到预设的期望跟踪精度。

定义如下事件触发机制，记 ${t_1} = 0$ ：

$\begin{split} &{t}_{k+1}=\mathrm{inf}\left\{t\right|t > {t}_{k},事件1和事件2中至少一个成立，\\ &其中{{t}^{\prime }}_{j}={{t}^{\prime }}_{m,k}\}。\end{split} $

(8)

定义如下事件：

$ \left\{\begin{array}{l}{\bf{事件1}}\;\;\left|u\left(t\right)-S\left(L\left({{t}^{\prime }}_{j}\right)\right){\alpha }_{2}\left(x\left(t\right),d\left(t\right)\right)\right| \geqslant {\delta }_{1}，\\ {\bf{事件2}}\;\;\dfrac{1}{2}{\Vert z(t)\Vert }^{2} > \left(\dfrac{1}{2}{\Vert z({{t}^{\prime }}_{j})\Vert }^{2}-\dfrac{\Theta }{\rho d}+{\delta }_{2}\right){e}^{-\rho \left(t-{{t}^{\prime }}_{j}\right)}+\dfrac{\Theta }{\rho d}。\end{array} \right.$

(9)

其中： ${\delta _1}$ ， ${\delta _2}$ 和 $\rho $ 为提前给定的正常数； $\Theta $ 为非负设计参数。

定义如下逻辑切换机制，记 ${t'_1} = 0$ ：

$ \left\{\begin{array}{l} t'_{j+1}=\mathrm{inf}\left\{t|t > t'_{j},在时刻t\text{，}事件2成立\right\}，\\ L(t'_{j})={L}_{j}。\end{array}\right. $

(10)

其中： ${L_j} = 1,2, \cdots $ ，为提前给定的严格递增的常数序列。

由上述机制可知 $\left\{ {{t'_j}} \right\} \subset \left\{ {{t_k}} \right\}$ ，这表示切换时刻也是控制信号更新时刻，但控制信号更新时刻未必是切换时刻。融合了逻辑切换机制的事件触发机制，确定何时进行控制信号更新和设计参数 $L$ 的切换。事件1是一种事件触发控制中基本的固定阈值策略，直接且仅依赖于控制信号。该事件被定义为当控制信号的变化达到一定程度时触发，这表明当系统状态相对不稳定时，事件会相对频繁地触发；而当系统状态趋于稳定时，事件触发频率会相对降低，这也体现了事件触发机制的重要特征，即控制信号依据系统实际情况进行更新。事件2是用来抵御系统中未知控制方向的逻辑切换机制。可以看到，仅当事件1成立时，控制信号 $u$ 随着系统状态的采样而更新，设计参数 $L$ 保持不变；仅当事件2成立时，设计参数 $L$ 切换到序列中下一个元素，控制信号更新也将同时进行。为便于理论分析，假设当满足事件触发的条件时立刻执行控制信号的更新。同时为进行下文中无奇诺现象发生的讨论，考虑因果关系，令 ${t_k}$ 和 ${t'_j}$ 分别表示控制信号更新时刻和设计参数 $L$ 改变时刻；令 $t_k^ - $ 和 ${t'^ - }_j$ 分别表示相应事件成立的时刻。

注1：由式（7）可知， ${t'_{m,k}}$ 表示设计参数 $L$ 在采样时刻 ${t_k}$ 前最后一次（第 $m$ 次）切换时刻， ${t'_{m,k}}$ 中 $m$ 的值严重依赖于 $k$ ，这意味着 ${t'_{m,k}}$ 仅对特定的数组 $(m,k)$ 存在。由定义知当 $[{t_k},{t_{k + 1}}) \subseteq [{t'_j},{t'_{j + 1}})$ 时， ${t'_{m,k}}$ 存在。

考虑如下Lyapunov函数：

$ V(t) = \dfrac{1}{2}z_1^2 + \dfrac{1}{2}z_2^2，$

(11)

对Lyapunov函数求导得到：

$ \begin{gathered} \frac{{{\text{d}}V}}{{{\text{d}}t}} = {z_1}{z_2} - z_1^2{\beta _1} + {\theta _0}{z_2}u + {\theta _1}{z_2}\left( {{z_2} - {z_1}{\beta _1}} \right)+ \\ {\theta _2}{z_2}{\left( {{z_2} - {z_1}{\beta _1}} \right)^3} - \frac{{{\text{d}}{\alpha _1}}}{{{\text{d}}{x_1}}}{z_2}\left( {{z_2} - {z_1}{\beta _1}} \right) - \frac{{\partial {\alpha _1}}}{{\partial d}}{z_2}\dot d。\hfill \\ \end{gathered} $

(12)

利用假设1和假设2及事件触发机制并结合式（6）有：

$ {z_1}{z_2} \leqslant \frac{1}{2}z_1^2 + \frac{1}{2}z_2^2，$

(13)

$ {z_2}u \leqslant {z_2}{\delta _1} - z_2^2S\left( {L\left( {{{t'}_j}} \right)} \right){\beta _2}\left( {x\left( t \right),d\left( t \right)} \right)，$

(14)

$ {\theta _0}{z_2}u \leqslant \frac{{{{\theta ''}^2}\delta _1^2}}{{2d}} + \frac{d}{2}z_2^2 - \left( {S\left( {L\left( {{{t'}_j}} \right)} \right){\theta _0} - 1} \right)z_2^2{\beta _2} - z_2^2{\beta _2}，$

(15)

$ - \frac{{\partial {\alpha _1}}}{{\partial {x_1}}}{z_2}\left( {{z_2} - {z_1}{\beta _1}} \right) \leqslant \frac{1}{2}z_1^2 + \frac{1}{2}z_2^2 + \frac{1}{2}z_2^2{\left( {\frac{{\partial {\alpha _1}}}{{\partial {x_1}}}} \right)^2}{\left( {1 + {\beta _1}} \right)^2}，$

(16)

$ - \frac{{\partial {\alpha _1}}}{{\partial d}}{z_2}\dot d \leqslant \left| {\frac{{\partial {\alpha _1}}}{{\partial d}}} \right|\left| {{z_2}} \right|\left| {{z_1}} \right| \leqslant \frac{1}{2}z_1^2 + \frac{1}{2}z_2^2{\left( {\frac{{\partial {\alpha _1}}}{{\partial d}}} \right)^2}，$

(17)

$ \begin{gathered} {\theta _1}{z_2}\left( {{z_2} - {z_1}{\beta _1}} \right) + {\theta _2}{z_2}{\left( {{z_2} - {z_1}{\beta _1}} \right)^3} \leqslant \hfill \frac{1}{2}z_2^2 - \\ \frac{1}{2}z_1^2 + \frac{1}{2}z_2^2{{\hat \theta }^2}{\left( {1 + {{\left( {{z_2} - {z_1}{\beta _1}} \right)}^2}} \right)^2}{\left( {1 + {\beta _1}} \right)^2}。\hfill \\ \end{gathered} $

(18)

为便于分析，将 $\dfrac{{{{\theta ''}^2}\delta _1^2}}{2}$ 和 $\hat \theta \left( {1 + {{\left( {{z_2} - {z_1}{\beta _1}} \right)}^2}} \right)$ 分别记为 $\Theta $ 和 $\bar \phi $ 。

将式（13）～式（18）代入式（12）右侧，得到：

$\begin{split}& \frac{\text{d}V}{\text{d}t}\leqslant \left(1-{\beta }_{1}\right){z}_{1}^{2}-\left({\theta }_{0}S-1\right){z}_{2}^{2}{\beta }_{2}+\bigg(\frac{3+d}{2}-{\beta }_{2}+\\ &\frac{1}{2}\left({\overline{\varphi }}^{2}+{\left(\frac{\partial {\alpha }_{1}}{\partial {x}_{1}}\right)}^{2}\right)\times{\left(1+{\beta }_{1}\right)}^{2}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial {\alpha }_{1}}{\partial d}\right)}^{2}\bigg){z}_{2}^{2}+\frac{\Theta }{d}。\end{split}$

(19)

选择：

$ \begin{gathered} {\beta _1} = 1 + \frac{\rho }{2}，\hfill \\ {\beta _2} = \frac{{3 + d + \rho }}{2} + \frac{1}{2}\left( {{{\bar \phi }^2} + {{\left( {\frac{{\partial {\alpha _1}}}{{\partial {x_1}}}} \right)}^2}} \right){\left( {1 + {\beta _1}} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {\frac{{\partial {\alpha _1}}}{{\partial d}}} \right)^2}。\hfill \\ \end{gathered} $

(20)

代入式（19），得到：

$ \frac{{{\text{d}}V}}{{{\text{d}}t}} \leqslant - \rho V - \left( {{\theta _0}S - 1} \right)z_2^2{\beta _2} + \frac{\Theta }{d}。$

(21)

为保证系统的跟踪误差收敛至可调的原点邻域内，需使 $ \left( {{\theta _0}S - 1} \right)z_2^2{\beta _2} > 0 $ 。注意到 $z_2^2{\beta _2} \geqslant 0$ ，则仅需使 $ \left( {{\theta _0}S - 1} \right) > 0 $ 即可。将参数 ${\theta _0}$ 的符号记为 $\theta _0^{(0)}$ ，显然， $\theta _0^{(0)} \in \left\{ { + 1, - 1} \right\}$ ，同样切换函数 $S\left( L \right)$ 的符号要么为正要么为负，记为 ${S^{(1)}}$ 和 ${S^{(2)}}$ 。对于参数 $L$ 和切换函数 $S$ 均从预设的给定函数中选取，且根据逻辑切换机制进行调节。基于上述分析可知，存在一个 $q \in \left\{ {1,2} \right\}$ 使得 ${S^{(q)}} = \theta _0^{(0)}$ 成立。由于 $b(L + 1)$ 严格递增，故总存在一个 $L'$ 使得 $ \left( {{\theta _0}S(L') - 1} \right) > 0 $ 成立。

对于事件触发控制器的采样误差“ $u\left( t \right) - S\left( {L\left( {{{t'}_j}} \right)} \right) {\alpha _2}\left( {x\left( t \right),d\left( t \right)} \right)$ ”，由式（15）可知利用动态增益 $d$ ，在处理采样误差的过程中将其分为了 $\dfrac{\Theta }{d}$ 及 $\dfrac{d}{2}z_2^2$ 两部分。事件触发带来的采样误差包含在第一部分中。因此，只要利用动态增益的单调递增性使其变得足够大就可以将采样误差的不良影响降低到可以接受的程度，从而达到理想的跟踪精度。但同时需保证其有界性来确保控制器的可执行性。

3 系统稳定性分析

对系统在控制器（4）～（6）和逻辑切换事件触发机制（8）～（10）作用下的稳定性进行分析。

首先证明对于系统中的设计参数 $L$ ，其切换次数 $j \leqslant \bar m$ ，即仅发生有限次切换。

取 $\bar m > 0$ ，是一个使 $\left( {{\theta _0}S\left( {L\left( {{t'_{\bar m}}} \right)} \right) - 1} \right) \geqslant 0$ 成立的整数，为最大切换次数。假设 $j$ 未在 $\bar m$ 处停止，当 $j = \bar m$ 时，则式（21）变为：

$ \frac{{{\text{d}}V}}{{{\text{d}}t}} \leqslant - \rho V + \frac{\Theta }{d},t > {t'_{\bar m}}，$

(22)

进而得到：

$\begin{split} V(t) \leqslant &\left( {V\left( {{t'_{\bar m}}} \right) - \frac{\Theta }{{\rho d}}} \right){e^{ - \rho \left( {t - {t'_{\bar m}}} \right)}} + \frac{\Theta }{{\rho d}} \ne\\ &\left( {V\left( {{t'_{\bar m}}} \right) - \frac{\Theta }{{\rho d}} + {\delta _2}} \right){e^{ - \rho \left( {t - {t'_{\bar m}}} \right)}} + \frac{\Theta }{{\rho d}}。\end{split} $

(23)

这意味着在时刻 ${t'_{\bar m}}$ 后无法满足逻辑切换机制（10），这与前文假设矛盾，因此 $j \leqslant \bar m$ 成立。

接下来证明系统的解 $x\left( t \right)$ 存在且在 $\left[ {0, + \infty } \right)$ 上有界。由于在每个切换区间 $\left[ {{t'_j},{t'_{j + 1}}} \right)$ 中，根据式（9），满足 $\dfrac{1}{2}{\left\| {z(t)} \right\|^2} \leqslant \left( {\dfrac{1}{2}{{\left\| {z({t'_j})} \right\|}^2} - \dfrac{\Theta }{{\rho d}} + {\delta _2}} \right){e^{ - \rho \left( {t - {t'_j}} \right)}} + \dfrac{\Theta }{{\rho d}}$ ，故 $z\left( t \right)$ 是一致有界的。对于 $t > {t'_{\bar m}}$ ，有 $\dfrac{1}{2}{\left\| {z(t)} \right\|^2} \leqslant \left( {\dfrac{1}{2}{{\left\| {z({{t'}_{\bar m}})} \right\|}^2} - \dfrac{\Theta }{{\rho d}} + {\delta _2}} \right) {e^{ - \rho \left( {t - {t'_{\bar m}}} \right)}} + \dfrac{\Theta }{{\rho d}}$ ，可以得到 $z\left( t \right)$ 是一致有界的，且没有有限时间逃逸现象发生。由式（3）可迭代得到 $x(t)$ 也是有界的。故系统（2）的解在最大存在区间 $\left[ {0,{T_f}} \right)$ 上存在，且无有限时间逃逸现象发生，即 ${T_f} = + \infty $ 。

为确保控制器的可执行性，证明动态增益 $d\left( t \right)$ 在 $\left[ {0, + \infty } \right)$ 上是有界的。利用反证法，假设 $d\left( t \right)$ 在 $\left[ {0, + \infty } \right)$ 上无界。注意到 $d\left( t \right)$ 的单调递增性，则存在 $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } d\left( t \right) = + \infty $ 。由此可知，存在一个有限时间 ${T_1}$ 使得：

$ d\left( t \right) \geqslant \frac{{2\Theta }}{{{\varepsilon ^2}\rho }},{\text{ }}\forall t > {T_1}，$

(24)

结合式（22），得到：

$ \frac{{\text{d}V}}{{\text{d}t}} \leqslant - \rho V + \frac{{{\varepsilon ^2}\rho }}{2},{\text{ }}\forall t > {T_1}，$

(25)

进而得到：

$ V\left( t \right) \leqslant V\left( {{T_1}} \right){e^{ - \rho \left( {t - {T_1}} \right)}} + \frac{{{\varepsilon ^2}}}{2}\left( {1 - {e^{ - \rho \left( {t - {T_1}} \right)}}} \right)，$

(26)

根据 $V(t)$ 的定义，对于某个充分大的时刻 ${T_2} > {T_1}$

$ \left| {{z_1}} \right| \leqslant \sqrt {2V(t)} \leqslant \varepsilon ,{\text{ }}\forall t > {T_2}，$

(27)

根据式（6）的定义可知， $\dot d\left( t \right) = 0,{\text{ }}\forall t > {T_2}$ ，意味着 $\mathop {\sup }\limits_{t > 0} d\left( t \right) = d\left( {{T_2}} \right) < + \infty $ ，与前文假设矛盾，故 $d\left( t \right)$ 在 $\left[ {0, + \infty } \right)$ 上是有界的。

基于前文分析，有下列不等式成立：

$ \frac{1}{2}{\left\| {z(t)} \right\|^2} \leqslant \left( {\frac{1}{2}{{\left\| {z({t_0})} \right\|}^2} + \bar m{\delta _2}} \right){e^{ - \rho \left( {t - {t_{\bar m}}} \right)}} + \frac{\Theta }{{\rho d}}\left( {1 - {e^{ - \rho \left( {t - {t_{\bar m}}} \right)}}} \right)，$

(28)

所以， $z(t)$ 是有界的且以速率 $\rho $ 指数收敛到一个紧集 $\Omega = \left\{ {z(t)|{{\left\| {z(t)} \right\|}^2} \leqslant \dfrac{{2\Theta }}{{\rho d}}} \right\}$ 。故可知跟踪误差 ${z_1} = {x_1} - {\varphi _d}$ 指数收敛到可调的原点邻域内。

最后证明，对任意切换区间 $[{t'_j},{t'_{j + 1}})$ （如果 ${t'_j}$ 是最后一个切换时刻，则 ${t'_{j + 1}} = {T_f}$ ）有下式成立：

$ \inf \left\{ {{t_{k + 1}} - {t_k}|[{t_k},{t_{k + 1}}) \subseteq [{{t'}_j},{{t'}_{j + 1}})} \right\} > 0，$

(29)

针对任意固定切换区间 $[{t'_j},{t'_{j + 1}})$ 和式（29）中描述的相应区间 $[{t_k},{t_{k + 1}})$ 进行讨论。

如果 ${t'_{j + 1}}$ 是切换时刻，那么也是切换区间 $[{t'_j},{t'_{j + 1}})$ 中的最后一个触发时刻，这表示切换区间 $[{t'_j},{t'_{j + 1}})$ 内只存在有限多个触发时刻，因此式（29）成立。

如果 ${t'_{j + 1}}$ 不是切换时刻，则 ${t'_{j + 1}} = {T_f}$ ，且 $[{t'_j},{T_f})$ 内的任意 ${t_{k + 1}}$ 均不是切换时刻，由于 ${t_{k + 1}}$ 不是切换时刻，所以事件1在 ${t_{k + 1}}$ 处成立，而事件2在 ${t_{k + 1}}$ 处不成立。此外，由式（10）、式（29）和注1可知，时刻 ${t'_{j,k}}$ 存在， ${t'_{j,k}} = {t'_j}$ 且 $L({t'_{j,k}}) = {L_j}$ ，于是根据事件触发机制（8），在 $[{t_{k + 1}},{t_k}) \subseteq [{t'_{j + 1}},{t'_j})$ 有：

$ \begin{split}&\frac{{\text{d}\left( {S({L_j}){\alpha _2}\left( t \right)} \right)}}{{\text{d}t}} = S({L_j})\times \\ &\left( {\frac{{\partial {\alpha _2}}}{{\partial {x_1}}}{x_2} + \frac{{\partial {\alpha _2}}}{{\partial {x_2}}}({\theta _0}u + {\theta ^\text{T}}\phi ({x_2})) + \frac{{\partial {\alpha _2}}}{{\partial d}}\dot d} \right)，\end{split} $

(30)

由控制器（4）～（6）得：

$ \left\{ \begin{gathered} \mathop {\sup }\limits_{t \in [0,{T_f})} \left| {u(t)} \right| = \mathop {\sup }\limits_{\{ (m,k)\} } \left| {S\left( {L\left( {{t'_{m,k}}} \right)} \right){\alpha _2}\left( {x\left( {{t_k}} \right),d\left( {{t_k}} \right)} \right)} \right|，\hfill \\ \dot d \leqslant \left| {{x_1} - {\varphi _d}} \right| \leqslant \left| {{x_1}} \right| + \left| {{\varphi _d}} \right|。\hfill \\ \end{gathered} \right. $

(31)

由前文可知 $L$ 仅切换有限次，结合 ${\alpha _2}$ 的光滑性可知， $x\left( t \right)$ 的有界性表明式（30）的有界性，则存在某个常数 $\lambda > 0$ ，使得对任意满足式（29）的 $k$ ，有

$ \left| {\frac{{\text{d}(S({L_j}){\alpha _2}(t))}}{{\text{d}t}}} \right| < \lambda ,\forall t \in [{t_k},{t_{k + 1}})，$

(32)

由控制器（4）～（6）和事件触发机制（8）得到：

$ \left| {u(t) - S({L_j}){\alpha _2}(t)} \right| \leqslant {\delta _1},\forall t \in [{t_k},{t_{k + 1}})，$

(33)

结合（32）式得到：

$ \begin{split}&\left| {\frac{{\text{d}{{(u(t) - S({L_j}){\alpha _2}(t))}^2}}}{{\text{d}t}}} \right| = 2\left| {u(t) - S(L){\alpha _2}(t)} \right| \times\\ &\left| {\frac{{\text{d}\left( {S({L_j}){\alpha _2}(t)} \right)}}{{\text{d}t}}} \right| \leqslant 2{\delta _1}\lambda ,\forall t \in [{t_k},{t_{k + 1}})。\end{split} $

(34)

此外，由于

$ \left\{ \begin{gathered} {\left( {u({t_k}) - S({L_j}){\alpha _2}({t_k})} \right)^2} = 0，\hfill \\ {\left( {u(t_{k + 1}^ - ) - S({L_j}){\alpha _2}(t_{k + 1}^ - )} \right)^2} = {\delta _1}^2，\hfill \\ \end{gathered} \right. $

(35)

得到：

$ \begin{gathered} \delta _1^2 = {\left( {u(t_{k + 1}^ - ) - S({L_j}){\alpha _2}(t_{k + 1}^ - )} \right)^2} - {\left( {u({t_k}) - S({L_j}){\alpha _2}({t_k})} \right)^2} \hfill \leqslant \\ \int_{{t_k}}^{t_{k + 1}^ - } {\left| {\frac{{\text{d}{{\left( {u(t) - S({L_j}){\alpha _2}(t)} \right)}^2}}}{{\text{d}t}}} \right|} {\text{d}}t \leqslant 2{\delta _1}\lambda \left( {{t_{k + 1}} - {t_k}} \right)，\hfill \\ \end{gathered} $

(36)

进而得到：

$ {t_{k + 1}} - {t_k} \geqslant \frac{{{\delta _1}}}{{2\lambda }}，$

(37)

注意到 ${\delta _1}$ 和 $\lambda $ 独立于 $k$ ，则

$ \inf \left\{ {{t_{k + 1}} - {t_k}|[{t_k},{t_{k + 1}}) \subseteq [{{t'}_j},{{t'}_{j + 1}})} \right\} \geqslant \frac{{{\delta _1}}}{{2\lambda }} > 0。$

(38)

即奇诺现象不会发生。

4 仿　真

在仿真中采用文献[15]中的模型参数。假设系统的初始状态为 ${x_1}(0) = 1.8$ ， ${x_2}(0) = - 0.4$ 。设定跟踪航向 ${\varphi _d} = 5$ 。在仿真中选取设计参数为： ${\delta _1} = 3$ ， ${\delta _2} = 3$ ， $b = 4.2$ ， $\,\rho = 1$ ， $\varepsilon = 0.01$ 。采用本文中所设计的控制算法进行仿真，仿真结果如图1～图7所示。其中图1表明该控制算法可使船舶的航向快速收敛至其设定航向，图2给出了控制信号，图3给出了逻辑切换机制中事件2的触发情况。图4给出了动态增益 $d$ 的变化情况，可以看出在航向跟踪误差收敛至预设精度范围内时 $d$ 停止增大。为证明算法的优越性，采样相同的模型参数，与文献[14]中基于时间触发的逻辑切换自适应控制算法相对比。图5为对设定航向的跟踪误差，可以看到基于动态增益的引入，本文提出的算法可以更快地收敛至设定航向且跟踪误差更小。图6给出了控制信号更新次数对比，本文中控制信号在执行区间中共更新了185次，与传统的时间触发机制相比，控制信号更新频率大大降低。图7给出了控制信号每次更新的时间间隔。通过仿真结果可知，本文提出的控制算法可以有效控制船舶航向，并降低了控制信号更新次数，减轻了执行器的损耗，提高了执行效率。

5 结　语

本文针对具有未知控制方向的船舶航向控制系统，采用基于系统当前状态所确定的逻辑切换机制来切换控制器参数以应对系统中的不确定性。同时融合事件触发机制，提出一种基于事件触发的船舶航向逻辑切换自适应控制算法，且利用动态增益减少了事件触发机制引入的测量误差的不良影响，实现了对设定航向的实际跟踪。仿真结果验证了基于事件触发的控制器在不影响系统性能的情况下可以有效降低控制信号的更新频率，提高了执行器的执行效率，降低了执行器损耗，节约了能源。