0 引　言

非均匀有理B样条(NURBS样条)是复杂曲线、曲面造型中使用最广泛的一种曲线，也是CAD设计过程的重要工具，目前，国际社会已将非均匀有理B样条(NURBS样条)认定为工业产品外型设计的主要数学方法。非均匀有理B样条(NURBS样条)能够充分表达多次曲线、弧线、直线，因此，在飞机、舰船等复杂曲面的设计中发挥着重要的作用，将非均匀有理B样条(NURBS样条)应用于舰船曲面设计也成为一项热点研究^[1]。

1 NURBS样条曲线的基本研究

非均匀有理B样条(NURBS样条)由B样条推广而来，具有局部性、灵活性、自由曲面表达清晰等优点，在CAD产品设计中发挥重要作用。

首先定义B样条曲线：

定义节点矢量 $T\left( {{t_0},{t_1},\cdots ,{t_n}} \right)$ ，且 $ {t_i} < {t_{i + 1}} $ ，则第i个p次B样条基函数定义如下：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{{N}}_{i,0}}({{t}}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,{{{t}}_i} \leqslant {{t}} < {{{t}}_{i + 1}}}，\\ {0,{\rm{else}}} \end{array}} \right.} \\ {{{{N}}_{i,p}}({{t}}) = \dfrac{{{{t}} - {{{t}}_i}}}{{{{{t}}_{i + p}} - {{{t}}_i}}}{{{N}}_{i,p - 1}}({{t}}) + \dfrac{{{{{t}}_{i + p + 1}}}}{{{{{t}}_{{{i}} + 1}}}}{{{N}}_{i + 1,p - 1}}(t)}。\end{array}} \right. $

${{{N}}_{i,p}}({{t}})$ 为在 $\left[ {{{{t}}_{{i}}},{{{t}}_{{{i}} + {{{\rm{p}}}} + 1}}} \right]$ 区间上的分段函数，共有P个节点。

非均匀有理B样条(NURBS样条)的曲线方程可改写为：

$ \begin{split} & p(u) = \sum\limits_{i = 0}^n {{d_i}} {R_{i,p}}(u) ，\\ &{R_{i,p}}(u) = \frac{{{\omega _i}{N_{i,p}}(u)}}{{\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^n {{\omega _i}} {N_{i,p}}(u)}} 。\end{split} $

式中：p为NURBS样条的幂次； $ {R_{i,p}}(u) $ 为基函数。

NURBS样条具有以下特性：

1）递推特性

$ {{\text{N}}_{i,p}}({{t}}) = F\left( {{{{N}}_{{\text{i}},p - 1}}({{t}})} \right) ，$

2）归一性

$ \sum\limits_{i = 0}^n {{N_{i,p}}} (t) = 1 ，$

3）局部区间支撑性^[2]

$ {N_{t,p}}(t)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { \geqslant 0}，&{t \in \left[ {{t_i},{t_{i + p + 1}}} \right]}，\\ = 0，&{\rm{else}}，\end{array}} \right. $

4）非负性

$ {N_{t,p}}(t) \geqslant 0 。$

NURBS样条的节点及拟合实例如图1所示。

2 基于NURBS样条的船舶曲面光顺理论研究

本文基于NURBS样条进行船体曲面光顺研究时，采用的船舶设计对象为1 500 DWT载油船，该船体曲面无法直接用单一的曲面片来拟合，需要根据船体曲面的特点进行划分，将需要进行光顺处理的船体曲面划分为首部、中体、尾部和底部等部分。船体曲面光顺流程如下：

1）建立初始船舶模型，获取初始型线

定义初始船体型线的节点为：

$ {V_{i,j}}\left( {i = 0,1,\cdots,m;j = 0,1,\cdots,n} \right) ，$

2）建立型线的节点方向矢量

$ \begin{gathered} F = \{ \underbrace {0,{t_{p + 1}}, \cdots ,{t_n},1}_{p + 1}\} ，\hfill \\ K = \{ \underbrace {0,{w_{q + 1}}, \cdots ,{w_n},1}_{q + 1}\} 。\hfill \\ \end{gathered} $

3）建立光顺曲面：

$ S(F,K) = \sum\limits_{i = 0}^n {\sum\limits_{j = 0}^n {{N_{i,p}}(F)} } {N_{j,p}}(K){V_{i,j}} 。$

式中 $ {N_{j,p}}(K) $ 和 $ {N_{i,p}}(F) $ 分别为B样条基函数。

4）光顺曲面质量检测

采用的光顺曲面质量检测方法为高光线检测法，该方面最早由Beier提出，将光源简化为一条直线，设计其参数方程为：

$ q\left( t \right) = {q_0} + t{q_d}，$

光源 $ q\left( t \right) $ 与光顺曲面 $ S(F,K) $ 的距离表示为：

$ d = \frac{{\left| {n\left( {F,K} \right) \cdot {q_d}} \right| \cdot \left( {{q_0} - S\left( {F,K} \right)} \right)}}{{\left\| {n\left( {F,K} \right) \cdot {q_d}} \right\|}}。$

基于NURBS样条的载油船光顺曲面示意图如图2所示。

3 基于小波神经网络的船体曲线与平面设计平台开发 3.1 OpenGL开发平台介绍

OpenGL是由SGI公司开发的一种三维图像库开发平台，其特点是可以独立于操作系统和硬件环境，具有强大的图形处理和编辑功能，目前被广泛应用于计算机视觉、工业产品的实体造型、CAD等领域。尤其是在交互式三维图形建模方面，OpenGL^[3]相对比其他软件平台具有非常大的优势。因此，本文在开发船体型线和曲面光顺系统时，选用了OpenGL作为开发载体。

OpenGL开发平台包括客户应用程序、服务器和后处理单元，如图3所示。

OpenGL开发平台的关键特性包括：

1）过程性

OpenGL开发平台采用矩阵变换、方程系数迭代、像素更新、算法寻优等方式对二维和三维图像进行控制，强调的是变换过程^[4]，而不是一种描述性的软件接口。

2）执行模式

OpenGL开发平台的指令执行模式是面向客户和服务器的，客户根据图像处理的需求发布命令，命令进入OpenGL的服务器中进行解释和处理，然后反馈给用户结果。OpenGL的服务器可同时接收和维护许多OpenGL命令正文。

3）图元

OpenGL使用的图元包括点、线段和多边形等，通过不同图元的排列和组合，最终为用户提供丰富多样的二维、三维图像。

3.2 小波神经网络算法

在船体设计过程中，图像处理的核心是将离散数据进行逆向处理，并将其转化为连续的曲线和连续的曲面。同时，构建曲线和曲面的过程也是一个噪声过滤和拟合的过程。在开发基于OpenGL的船体设计平台时，充分利用小波神经网络的快速寻优特性，实现离散数据的非线性逼近和收敛快速，最终实现了船体曲面的光顺处理。

小波神经网络算法的拓扑原理如图4所示。

小波神经网络的输入层为：

$ \left( {{x_1},{x_2},\cdots,{x_{n - 1}},{x_n}} \right) ，$

输出层为：

$ \left( {{W_1},{W_2},\cdots,{W_{n - 1}},{W_n}} \right) ，$

中间层为小波基函数 $ h\left( t \right) $ 。

对于离散曲线 $ f(t) $ ，其小波变换为：

$ W(j,k) = \sum\limits_t {{2^{ - j/2}}} \psi \left( {{2^{ - j}}t - k} \right)f(t) ，$

其矢量形式为：

$ \vec W = \vec {\boldsymbol{F}} \cdot \vec {\boldsymbol{N}} ，$

其中，输入矩阵表示为：

$ \vec {\boldsymbol{F}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}(1)}&{{x_1}(2)}& \cdots &{{x_1}(t)} \\ {{x_2}(1)}&{{x_2}(2)}& \cdots &{{x_2}(t)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{x_p}(1)}&{{x_r}(2)}& \cdots &{{x_p}(t)} \end{array}} \right] ，$

小波基函数的变换矩阵为：

$ \vec {\boldsymbol{N}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\psi _{0,1}}(1)}&{{\psi _{0,2}}(1)}& \cdots &{{\psi _{j,d}}(1)} \\ {{\psi _{1,1}}(2)}&{{\psi _{1,2}}(2)}& \cdots &{{\psi _{j + 1,d}}(2)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{\psi _{k,1}}(t)}&{{\psi _{k,2}}(t)}& \cdots &{{\psi _{k,d}}(t)} \end{array}} \right] 。$

其中， $ \psi (t) = - t{e^{ - {t^2}}} $ 。

3.3 基于小波神经网络算法的船体曲面光顺设计

结合小波神经网络算法在OpenGL中进行船体的曲面光顺设计，采用的船体轮廓曲线为1500 DWT载油船的船艏处轮廓线，将轮廓265个节点定义为小波神经网络算法的输入样本 $ x\left( t \right) $ ， $ x\left( t \right) $ 的频域函数 $ x\left( \omega \right) $ 满足：

$ \int\limits_R^{} {} {\left| {\frac{{x\left( \omega \right)}}{\omega }} \right|^2}{\rm{d}}\omega \leqslant \infty ，$

则输入信号的平移与伸缩变换如下式：

$ {x_s}\left( t \right) = \frac{1}{{\sqrt s }}x\left( {\frac{{t - \alpha }}{s}} \right) 。$

式中：s为伸缩因子； $ \alpha $ 为平移因子^[5]。

定义小波神经网络的神经元个数为n=25，非均匀有理B样条(NURBS样条)函数的控制顶点与相邻的3个点存在线性相关，轮廓线节点的输入样本 $ x\left( t \right) $ 的小波变换为：

$ W\left( {s,t} \right) = \left\{ {f\left( t \right),x\left( t \right)} \right\} = \frac{1}{{\sqrt s }}\int\limits_{}^{} {f\left( t \right)} x\left( {\frac{{t - \alpha }}{s}} \right){\rm{d}}t 。$

定义船体轮廓线的分辨率为m，轮廓线的逼近形式为：

$ {W_l}\left( t \right) = \sum\limits_{m = 1}^N {{x_{m,k}}} \cdot {\phi _{m,i}}(t) 。$

其中， $ {\phi _{m,i}}(t) $ 为尺寸函数。

图5为基于小波神经网络算法的轮廓线光顺处理示意图。

3.4 船体曲线和曲面光顺设计的阻力特性仿真

为了对比基于NURBS曲线的船体优化设计效果，采用Matlab仿真试验平台^[6]，对优化前后的1 500 DWT载油船阻力特性进行对比仿真。

建立1 500 DWT载油船的表面方程为：

$ \frac{Y}{B} = 0.1\left( {1 - {X^2}} \right) \times \left( {1 - 64{Z^2}} \right)。$

式中：Y ，B，Z分别为宽度、长度和吃水深度，船体表面的流体连续性方程如下式：

$ \left[ {\frac{{\partial \left( {{\rho _0}u} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \left( {{\rho _0}v} \right)}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \left( {{\rho _0}\omega } \right)}}{{\partial z}}} \right]{\rm{d}}x{\rm{d}}y{\rm{d}}z = - \frac{{\partial {\rho _0}}}{{\partial t}}\left( {{\rm{d}}x{\rm{d}}y{\rm{d}}z} \right) 。$

其中： $u$ ， $ v $ ， $ \omega $ 分别为1500 DWT载油船沿3个坐标轴方向的速度， $ {\rho _0} $ 为液体的密度。

在Matlab中建立船舶的动量方程为：

$ \frac{{\partial \left( {{\rho _0}u} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \left( {\rho v} \right)}}{{\partial {y_{}}}} = \frac{\partial }{{\partial t}}\left[ {\mu \left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}}} \right)} \right] + {F_i}。$

其中： $\mu $ 为流体的粘度系数； ${F_i}$ 为外界作用力。

图6为Matlab中载油船船体曲面优化前后的阻力特性曲线。

4 结　语

本文将NURBS曲线应用于船体的型线和曲面造型中，一方面采用OpenGL平台进行船体曲面设计平台的开发，另一方面采用小波神经网络算法进行船舶轮廓线节点的寻优，提高船体型线的设计效率。