0 引　言

三体船是一种高性能船舶，区别于传统大型船舶，三体船型在流体动力学和空气动力学方面具有更高的性能，可以获得更快的速度和更高的稳定性。

三体船型由主船体和两侧子船体组成，主船体尺寸与规格较大，为三体船提供静止状态和高速航行状态下的浮力，主船体的长宽比相对较大，船体底部的斜升角较小，可以在高速航行时获得足够的水动升力和气动升力；子船体呈对称分布，与主船体刚性连接，形成的攻角为负值，在降低三体船空气阻力的同时，保证三体船在高速航行状态下的姿势调节^[1]。

本文对三体船的阻力特性和运动性能进行分析，建立三体船的运动坐标系，结合有限元分析技术和CFD计算流体力学理论，分别对三体船在水面上的自由液面处理、有限元网格的收敛特性、有限元仿真的边界条件等内容进行详细研究。

1 三体船的运动坐标系建立及基本CFD理论

计算流体动力学CFD是流体动力学和数值计算相结合的产物，CFD利用有限元分析的思想，将空间中的流体和分析目标进行有限元化，并建立这些有限元之间的数学方程组，通过求解有限元方程，获取目标的流体动力学参数，常用的CFD分析软件有Fluent，STAR-CCM+等。

在进行三体船的阻力和运动性能分析前，需要根据三体船的结构与运动特性进行CFD建模，首先建立三体船的运动坐标系如图1所示。

如图，三体船的运动速度方向为OX正向，OY方向与三体船的左舷方向重合，OZ方向指向三体船的垂向，三体船在流体中的速度势 $ \psi $ 满足：

$ {\Delta ^2}\psi {\text{ = }}0 \text{，} $

建立三体船的动量方程如下：

$ m\frac{{\partial \left( {\rho {u_x}} \right)}}{{\partial t}} + m\frac{{\partial \left( {\rho {u_x}{u_y}} \right)}}{{\partial t}} = m\frac{\partial }{{\partial t}}\left[ {\mu \left( {\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}} \right)} \right] + {F_i} \text{。} $

式中： ${u_x}$ ， ${u_y}$ 分别为三体船沿OX和OY方向的运动速度分量， ${F_i}$ 为三体船受到的惯性合力。

2 基于有限元分析的三体船型阻力和运动性能分析 2.1 三体船阻力和运动性能分析的自由液面处理

船舶计算流体力学是建立在流体力学基本方程的基础上的，假设海水不可压缩，则建立海水的连续性方程为：

$ \rho * \frac{{{\rm{d}}V}}{{{\rm{d}}t}} + \frac{{\delta \left( {\rho l} \right)}}{{\delta y}} + \frac{{\delta \left( {\rho m} \right)}}{{\delta z}} + \frac{{\delta \left( {\rho n} \right)}}{{\delta x}} = 0 \text{。} $

式中： $ \rho $ 为海水密度； $ l $ ， $ m $ ， $ n $ 为单位体积海水的速度分量；V为海水体积。

流体的湍流模型如下：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{\partial l}}{{\partial t}} + {m_0}\dfrac{{\partial m}}{{\partial {t_{}}}} = \dfrac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\left( {v + {\sigma _k}l} \right)\dfrac{{\partial n}}{{\partial t}}} \right] + {\beta ^*} \times {P_k}}，\\ {\dfrac{{\partial {P_k}}}{{\partial t}} = \dfrac{\partial }{{\partial t}}\left[ {\left( {V + {\sigma _k}l} \right)\dfrac{{\partial m}}{{\partial t}}} \right] + 2(1 - {F_i})} 。\end{array}} \right. $

式中： $ {P_k} $ 为单位流体的压力； $ {\sigma _k} $ 为海水的粘度系数； $ {\beta ^ * } $ 为湍流方程误差系数。

在三体船的阻力及运动分析过程中，自由液面的处理是非常关键的步骤，常用的自由液面处理方法有势流理论法和VOF法^[2]，其中，势流理论法在处理船舶流体动力学问题时，能够较好地拟合船首和船舶周围较远流场的动力学特性，当在处理船尾及船舶近场流体特性时精度较低，因此，本文使用VOF法进行船体自由液面的处理。

设三体船的流体计算域为V，流体A所在的区域为 $ {V_1} $ ，流体B所在的区域为 $ {V_2} $ ，定义函数 $ \alpha \left( {x,t} \right) $ ：

$ \alpha \left( {x,t} \right) = \left\{ \begin{gathered} 0，\;\;x \in {V_1} ，\hfill \\ 1，\;\;\;x \in {V_2}，\hfill \\ \end{gathered} \right. $

式中， $ x \in \left( {x,y,z} \right) $ ，在进行三体船的流体动力学分析时，将海水和空气2种流体视为不相容，则可得 $ \alpha \left( {x,t} \right) $ 满足：

$ \frac{{\partial \alpha }}{{\partial t}} + u\frac{{\partial \alpha }}{{\partial x}} + v\frac{{\partial \alpha }}{{\partial y}} + w\frac{{\partial \alpha }}{{\partial z}} = 0 \text{，} $

利用有限元分析思路，将自由液面划分为有限个网格单元 $ {V_{ij}} $ ，每个网格单元的积分可得VOF函数，如下式：

$ {\varphi _{}} = \frac{1}{{\Delta {V_{ij}}}}\int_{{V_{}}} \alpha (x,t){\rm{d}}V \text{，} $

可得流体A的VOF函数满足：

$ \frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} + u\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} + v\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}} + w\frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}} = 0 。$

当 $ \varphi = 1 $ 时，网格中不含流体，当 $ \varphi = 0 $ 时，自由液面穿过该网格，示意图如图2所示。

根据流体的VOF函数 $ \varphi $ ，对三体船邻域流场S进行积分，可得流场表达式：

$ \int\limits_S {\frac{\partial }{{\partial {t^{}}}}\left( {{\rho _0}\varphi } \right){\rm{d}}V + \int\limits_{}^{} {div\left( {{\rho _0}\bar \varphi } \right){\rm{d}}V} = } S\left( V \right) \text{，} $

$ {\rho _0} $ 为流体的密度。

建立流场的湍流模型为：

$ {\rho _0}\frac{{{\rm{d}}\frac{1}{2}{{\bar u}_i}}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{\partial }{{\partial t}}\left\{ {\frac{{\delta {{\bar u}_i}}}{{\delta t}}} \right\} - {\rho _0}\varepsilon 。$

式中： $ {\bar u_i} $ 为流场的平均速度； $ \delta $ 为海水的阻力系数； $ \varepsilon $ 为耗散系数^[3]； $\varepsilon = \dfrac{\delta }{{{\rho _0}}}\left( {\dfrac{{\partial {u_i}}}{{\partial x}}} \right)$ 。

2.2 三体船阻力和运动性能分析的网格及收敛算法

利用计算流体力学软件STAR-CCM+软件^[4]进行三体船的船型阻力及运动性能分析，主要对STAR-CCM+软件中三体船及周围流场的有限元建模进行研究。

在STAR-CCM+软件中，有限元模型的网格收敛是保证计算精度的重要指标。使用广义RE法进行网格收敛判断，首先建立船体及船舶周围流场的有限元模型如图3所示。

将网格的细化率 $ {r_0} $ 定为 $ \sqrt 2 $ ，定义3种尺寸的网格分别为 $ grid1 - grid3 $ ，每种网格的三体船阻力计算结果为 $ {S_1},{S_2},{S_3} $ ，可得由于网格疏密程度造成的流体动力学仿真结果的变化为：

$ \begin{gathered} {\tau _1} = {S_1} - {S_2}，\hfill \\ {\tau _2} = {S_2} - {S_3}，\hfill \\ \end{gathered} $

可得有限元模型的收敛率^[5]为：

$ \kappa = \frac{{{\tau _1}}}{{{\tau _2}}} 。$

当 $ \kappa $ 满足 $ 0 < \kappa < 1 $ 时，有限元网格单调收敛，此时可计算网格疏密程度导致的船舶流体仿真导致的误差。

建立的三体船及流场有限元模型中，网格的收敛率为：

$ {\kappa _o} = \frac{{{\varepsilon _1}}}{{{\varepsilon _2}}} = \frac{{0.000\;086}}{{0.000\;127}} = 0.677 \text{，} $

有限元模型的模拟精度为：

$ {P_G} = \frac{{\ln \left( {{\varepsilon _2}/{\varepsilon _1}} \right)}}{{\ln \kappa }} = 1.025 \text{。} $

2.3 三体船阻力和运动性能分析的边界条件及仿真

在STAR-CCM+软件中定义三体船阻力及运动流体力学分析的边界条件，其中，波浪特性是影响三体船运动特性的关键因素，本文将海浪简化为余弦规则波，如图4所示。

海浪的波形函数^[6]如下：

$ \xi(t)=\sum_{i=1}^{n} \xi \cos \left(k \psi \pm \omega t+\varepsilon_{i}\right) 。$

式中： $ \psi $ 为幅值； $ w $ 为频率，k为周期波数； $ {\varepsilon _i} $ 为相位角。

采用的三体船CFD仿真模型参数如表1所示。

软件定义的前7个仿真工况中，波浪的波长、波幅以及海浪频率的变化范围^[7]如表2所示。

得到航速一定下的三体船阻力特性变化曲线如图5所示。

3 结　语

三体船作为一种高速船舶，在设计过程中需要重点考虑其流体动力学特性，本文以计算机流体力学软件STAR-CCM+为工具，通过三体船运动建模、VOF自由液面建模以及有限元模型的收敛特性分析，进行三体船的阻力特性仿真。