0 引　言

潜水器在海洋探索等方面应用广泛，潜水器能够进行实地考察、取样和测绘等作业。随着深海作业的进一步发展，潜水器正在向深海方向发展^[1]。

深海潜水器动力学方程是复杂的非线性微分方程组，目前通用的是美国海军舰船研究与发展中心于1967年提出的潜艇六自由度运动方程^[2]。文献[3]利用深海载人潜水器的三自由度的动力学模型对潜浮运动仿真计算，验证其潜浮性能；文献[4]对某潜水器的空间螺旋下潜运动进行模拟，但并未对运动过程中水动力进行详细分析。

深海作业潜水器外形复杂，模型非线性强。本文以某深海潜水器为研究对象，建立六自由度运动模型，基于C++自编程序解算潜水器运动方程，对回转运动和定深下的回转运动分别进行仿真研究。

1 深海潜水器六自由度模型

研究深海潜水器六自由度运动时，通常采用通用坐标系，建立2个坐标系：一个定义O-XYZ为惯性坐标系，其固定于地球，又称地球坐标系；另一个定义o-xyz为随体坐标系，其固定于潜水器。通过惯性坐标系与潜水器坐标系的转换，可得到潜水器的空间运动学模型^[5]。

把潜水器看作为一个刚体，对潜水器进行受力分析，采用动量定理和动量矩定理^[6]，得到潜水器空间六自由度方程组：

$ \begin{split} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m\left[ {\dot u - vr + wq - {x_G}\left( {{q^2} + {r^2}} \right) + {y_G}\left( {pq - \dot r} \right) + {z_G}\left( {pr + \dot q} \right)} \right] = \displaystyle\sum\limits_{{i}} {{X_i}} } ，\\ {m\left[ {\dot v - wp + ur - {y_G}\left( {{r^2} + {p^2}} \right) + {z_G}\left( {qr - \dot p} \right) + {x_G}\left( {qp + \dot r} \right)} \right] = \displaystyle\sum\limits_{{i}} {{Y_i}} } ，\\ {m\left[ {\dot w - uq + vp - {z_G}\left( {{p^2} + {q^2}} \right) + {x_G}\left( {rp - \dot q} \right) + {y_G}\left( {rq + \dot p} \right)} \right] = \displaystyle\sum\limits_{{i}} {{Z_i}} } ，\\ \begin{gathered} {I_x}\dot p + \left( {{I_z} - {I_y}} \right)qr + m\left[ {{y_G}\left( {\dot w + pv - qu} \right) - {z_G}\left( {\dot v + ru - pw} \right)} \right] - ，\\ \left( {\dot r + pq} \right){I_{xz}} + \left( {{r^2} - {q^2}} \right){I_{yz}} + \left( {pr - \dot q} \right){I_{xy}} = \sum\limits_{{i}} {{K_i}} ，\\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} {I_y}\dot q + \left( {{I_x} - {I_z}} \right)rp + m\left[ {{z_G}\left( {\dot u + qw - rv} \right) - {x_G}\left( {\dot w + pv - qu} \right)} \right] - ，\\ \left( {\dot p + qr} \right){I_{xy}} + \left( {{p^2} - {r^2}} \right){I_{xz}} + \left( {qp - \dot r} \right){I_{yz}} = \sum\limits_{{i}} {{M_i}} ，\\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} {I_z}\dot r + \left( {{I_y} - {I_x}} \right)pq + m\left[ {{x_G}\left( {\dot v + ru - pw} \right) - {y_G}\left( {\dot u + qw - rv} \right)} \right] - ，\\ \left( {\dot q + rp} \right){I_{yz}} + \left( {{q^2} - {p^2}} \right){I_{xy}} + \left( {rq - \dot p} \right){I_{xz}} = \sum\limits_{{i}} {{N_i}}。\end{gathered} \end{array}} \right. \end{split} $

(1)

其中，外力和外力矩包括螺旋桨推力、水动力、重力和浮力及力矩等，对于外力和外力矩建模可参考文献[7]，其中六自由度外力模型如下：

$ \begin{split} \sum\limits_{{i}} {{X_i}} = &\frac{1}{2}\rho {L^4}\left[ {X_{qq}^{'}{q^2} + X_{rr}^{'}{r^2} + X_{pr}^{'}pr} \right] + \frac{1}{2}\rho {L^3}\left[ X_{\dot u}^{'}\dot u +\right.\\ &\left.X_{vr}^{'}vr + X_{wq}^{'}wq \right] + \frac{1}{2}\rho {L^2}\left[ X_{uu}^{'}{u^2} + X_{vv}^{'}{v^2} + \right.\\ &\left.X_{ww}^{'}{w^2} + X_{uw}^{'}uw \right] - \left( {W - B} \right)\sin \theta + {X_T}，\end{split} $

(2)

$ \begin{split} \sum\limits_{{i}} {{Y_i}} =& \frac{1}{2}\rho {L^4}\left[ {Y_{\dot r}^{'}\dot r + Y_{\dot p}^{'}\dot p + Y_{r\left| r \right|}^{'}r\left| r \right| + Y_{p\left| p \right|}^{'}p\left| p \right| + Y_{pq}^{'}pq + Y_{qr}^{'}qr} \right] + \\ & \frac{1}{2}\rho {L^3}\left[ {Y_{\dot v}^{'}\dot v + Y_p^{'}up + Y_r^{'}ur + Y_{vq}^{'}vq + Y_{wp}^{'}wp + Y_{wr}^{'}wr} \right] + \\ & \frac{1}{2}\rho {L^3}\left[ {Y_{v\left| r \right|}^{'}\frac{v}{{\left| v \right|}}\left| {{{\left( {{v^2} + {w^2}} \right)}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}}}} \right|\left| r \right| + Y_{vww}^{'}v{w^2}} \right] +\\ &\frac{1}{2}\rho {L^2}\left[ {Y_0^{'}{u^2} + Y_v^{'}uv + Y_{vw}^{'}vw} \right] + \\ &\frac{1}{2}\rho {L^2}Y_{v\left| v \right|}^{'}v\left| {{{\left( {{v^2} + {w^2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right| + \\ & \left( {W - B} \right)\cos \theta \sin \phi + {Y_T} ，\\[-15pt] \end{split} $

(3)

$ \begin{split} \sum\limits_{{i}} {{Z_i}} = & \frac{1}{2}\rho {L^4}\left[ {Z_{\dot q}^{'}\dot q + Z_{q\left| q \right|}^{'}q\left| q \right| + Z_{pp}^{'}{p^2} + Z_{rr}^{'}{r^2} + Z_{rp}^{'}rp} \right] +\\[-3pt] &\frac{1}{2}\rho {L^3}\left[ {Z_{\dot w}^{'}\dot w + Z_{vr}^{'}vr + Z_{vp}^{'}vp + Z_q^{'}uq} \right] +\\ & \frac{1}{2}\rho {L^3}Z_{w\left| q \right|}^{'}\frac{w}{{\left| w \right|}}\left| {{{\left( {{v^2} + {w^2}} \right)}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}}}} \right|\left| q \right| + \\ &\frac{1}{2}\rho {L^2}\left[ {Z_0^{'}{u^2} + Z_w^{'}uw + Z_{\left| w \right|}^{'}u\left| w \right| + Z_{vv}^{'}{v^2} + Z_{\left| v \right|w}^{'}\left| v \right|w} \right]+ \\ & \frac{1}{2}\rho {L^2}\left[ {Z_{ww}^{'}\left| {w{{\left( {{v^2} + {w^2}} \right)}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}}}} \right| + Z_{w\left| w \right|}^{'}w\left| {{{\left( {{v^2} + {w^2}} \right)}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}}}} \right|} \right] +\\ &\left( {W - B} \right)\cos \theta {s} \cos \phi + {Z_T} ，\\[-10pt] \end{split} $

(4)

$ \begin{split} \sum\limits_{{i}} {{K_i}} = &\frac{1}{2}\rho {L^5}\left[ K_{\dot r}^{'}\dot r + K_{\dot p}^{'}\dot p + K_{r\left| r \right|}^{'}r\left| r \right| + K_{p\left| p \right|}^{'}p\left| p \right| + K_{pq}^{'}pq +\right.\\[-3pt] &\left.Z_{qr}^{'}qr \right] + \frac{1}{2}\rho {L^4}\left[ {K_{\dot v}^{'}\dot v + K_{vq}^{'}vq + K_{wp}^{'}wp + K_{wr}^{'}wr} \right] + \\ &\frac{1}{2}\rho {L^4}\left[ {K_r^{'}ur + K_p^{'}up + K_{vww}^{'}v{w^2}} \right] + \frac{1}{2}\rho {L^3}\left[ K_0^{'}{u^2} +\right. \\ & \left.K_v^{'}uv + K_{v\left| v \right|}^{'}v\left| {{{\left( {{v^2} + {w^2}} \right)}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}}}} \right| + K_{vw}^{'}vw \right] + ( {y_G}W -\\ & {y_C}B )\cos \theta \cos \phi -\left( {{z_G}W - {z_C}B} \right)\cos \theta \sin \phi + {K_T} ，\\[-10pt] \end{split} $

(5)

$ \begin{split} \sum\limits_{{i}} {{M_i}} = & \frac{1}{2}\rho {L^5}\left[ {M_{\dot q}^{'}\dot q + M_{q\left| q \right|}^{'}q\left| q \right| + M_{pp}^{'}{p^2} + M_{rr}^{'}{r^2} + M_{rp}^{'}rp} \right] +\\[-3pt] & \frac{1}{2}\rho {L^4}\left[ M_{\dot w}^{'}\dot w + M_{vr}^{'}vr + M_{vp}^{'}vp + M_q^{'}uq + \right.\\ &\left.M_{\left| w \right|q}^{'}{{\left( {{v^2} + {w^2}} \right)}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}}}q \right] + \frac{1}{2}\rho {L^3}\left[ M_0^{'}{u^2} + M_w^{'}uw +\right.\\ &\left. M_{w\left| w \right|}^{'}w\left| {{{\left( {{v^2} + {w^2}} \right)}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}}}} \right| +M_{vv}^{'}{v^2} + M_{\left| w \right|}^{'}u\left| w \right| \right] + \\ \begin{array}{*{20}{c}} \end{array} & \frac{1}{2}\rho {L^3}M_{ww}^{'}\left| {w{{\left( {{v^2} + {w^2}} \right)}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}}}} \right| - \left( {x_G}W -\right.\\ &\left. {x_C}B \right)\cos \theta \cos \phi - \left( {z_G}W - {z_C}B \right)\sin \theta + {M_T} ，\\[-15pt] \end{split} $

(6)

$ \begin{split} \sum\limits_{{i}} {{N_i}} =& \frac{1}{2}\rho {L^5}\left[ {N_{\dot r}^{'}\dot r + N_{\dot p}^{'}\dot p + N_{pq}^{'}pq + N_{qr}^{'}qr} \right] + \\[-3pt] &\frac{1}{2}\rho {L^5}\left[ {N_{r\left| r \right|}^{'}r\left| r \right| + N_{p\left| p \right|}^{'}p\left| p \right|} \right]+ \frac{1}{2}\rho {L^4}\left[ N_{\dot v}^{'}\dot v + \right.\\ &\left. N_{wr}^{'}wr + N_{wp}^{'}wp + N_{vq}^{'}vq + N_{vww}^{'}v{w^2} + N_r^{'}ur + N_p^{'}up \right] + \\ & \frac{1}{2}\rho {L^4}N_{\left| v \right|r}^{'}\left| {{{\left( {{v^2} + {w^2}} \right)}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}}}} \right|r + \frac{1}{2}\rho {L^3}\left[ N_0^{'}{u^2} + N_v^{'}uv +\right.\\ &\left.N_{v\left| v \right|}^{'}v\left| {{{\left( {{v^2} + {w^2}} \right)}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}}}} \right| + N_{vw}^{'}vw \right]+ \left( {x_G}W -\right. \\ &\left. {x_C}B \right)\cos \theta \sin \phi + \left( {{y_G}W - {y_C}B} \right)\sin \theta + {N_T} 。\\[-10pt] \end{split} $

(7)

本文的潜水器对象为某深海潜水器，水动力系数的来源是风洞和旋臂水池中的模型试验。

2 深海潜水器运动仿真软件

深海潜水器六自由度模型运动方程是一个12个方程和12个变量的微分方程组，该方程组是隐式的，进行变换，可得其显式形式。如果给定初始状态和推力大小，可对显式微分方程组进行求解，根据动力学模型和运动学模型，可实现对深海潜水器运动的模拟仿真。

3 运动仿真研究 3.1 空间回转运动仿真

推进器的输入推力：T=[560 N，422.7 N，0，0，0，1197.5 N·m]^T；初始航速为1 kn，深度在6 000 m，潜水器进行正航回转运动，仿真结果如图1～图8所示。

可知，潜水器做空间回转运动，回转运动的直径为32 m，在t=200 s以后，纵向速度为0.495 m/s，垂向升速为0.064 m/s，横向速度很小，横向速度对回转运动影响可忽略不计。潜器垂向水动力仿真结果如图9所示。

3.2 自动定深下的回转运动仿真

深潜器上下外形的不对称导致产生垂向的水动力，因而做空间回转运动。为保证潜器进行水平面作业，在进行回转运动的同时，开启自动定深功能，仿真结果如图10～图12所示。

从仿真结果看，潜水器做水平面回转运动，回转运动的直径为28.5 m，定深状态下的回转半径相对较小。

3.3 结果分析

1）深潜器回转时，做空间运动，在轨迹上看作为螺旋运动。由于潜器上下不对称导致产生向上的微小水动力，而且垂向水动力具有很强的非线性，导致做空间回转运动。

2）该深潜器回转运动运动半径不大，反映深潜器的机动性很好。同时，定深状态下的回转半径相对较小，反映出垂向诱导水动力对回转半径的干扰影响。

3）通过自动定深控制，深潜器能够较好地完成水平面回转运动作业。

4 结　语

本文首先给出深海潜水器六自由度模型，通过C++自编程序解算潜水器运动方程，对回转运动进行仿真。结果表明：该深潜器具备良好的空间机动性，潜器上下不对称导致产生向上的水动力，进而导致潜水器做空间运动，且垂向水动力具有很强的非线性；通过自动定深控制，深潜器能够较好地完成水平面回转运动作业。