0 引　言

涡激振动即由漩涡引发的结构物振动。当来流流经钝体时，会在钝体两侧形成周期性交替脱落的漩涡，漩涡会引起结构物周期性变化的横向升力和流向阻力，若该结构物是弹性支撑的，升力和阻力会产生横向和流向的振动。当结构物自身的频率与漩涡脱落的频率达到了一致或者接近时，发生“锁定”现象^[1]，此时结构物的振动将大幅度增加。

研究涡激振动问题通常从实验和数值模拟2个方面展开。Feng^[2]在风洞中采用质量比高达248的模型，得出了无量纲振幅随约化速度变化的“双分支”曲线；Williamson等^[3-5]在Feng的基础上，开展了大量低质量比的弹性支撑圆柱振动实验，并从质量比、阻尼比、约化速度等多角度分析了对振动响应的影响，提出了多出一个反映锁定区“上分支”的无量纲振幅与约化速度的“三分支”曲线；Huera-Huarte等^[6]开展了大长径比下的均匀来流管道振动位移实验，成功获取前5阶振动模态。随着计算机性能和CFD技术的发展，部分研究人员从数值的角度出发，在实验研究的基础上对涡激振动进行模拟。李骏等^[7]运用SST $ k-\mathrm{\omega }\mathrm{湍}\mathrm{流}\mathrm{模}\mathrm{型} $ 验证了圆柱横向振动上分支的最大响应幅值；翟云贺等^[8]通过动网格技术实现了对低质量比弹性支撑圆柱体涡激振动的数值模拟，成功发现对应于各分支的不同典型尾涡；魏东泽等^[9]针对圆柱体出现大变形时的非线性效应，对2种典型质量比的圆柱体在不同约化速度下的位移效应等规律进行探究，捕捉到了“拍”和“相位开关”等经典现象。

上述数值模拟基本是通过混合网格并配合动网格的弹簧光顺技术实现的。不过，随着运动部件振动幅度的加大，传统的动网格技术调整起来尤为困难。Overset网格（嵌套网格）技术将计算流场划分成若干重叠的子区域，每个子区域上分别生成独立的结构网格。在计算过程中，通过对重叠子区域的网格插值完成对流场信息的交换耦合，不涉及网格的变形与再生，能有效提高网格质量与数值模拟的速度和精度。李海宁等^[10]以二维圆柱为研究对象，分别用Overset网格和结构网格进行模拟，分析了2套网格在低雷诺数下各自流动特性区别；洪智超等^[11]结合正交实验的方法，对Overset网格插值引入的额外数值误差进行了多因子不确定度分析，并与动网格和静止网格的结果比较，发现Overset网格在处理大幅度振动情况时计算误差较小。

本文基于Overset网格，在自由来流下运用SST $ k-\mathrm{\omega } $ 模型研究二维弹性柱体的横向涡激振动，并改变弹簧-阻尼系统的阻尼比和质量比，在不同约化速度下进一步分析弹性柱体的振幅响应、锁振区间和升阻力系数等情况。

1 控制方程与参数定义

流体控制方程为：

$ \frac{\partial \overline{{u}_{i}}}{\partial {x}_{i}} = 0，$

$ \frac{\partial \rho \overline{{u}_{i}}}{\partial t}+\frac{\partial \rho \overline{{u}_{i}}\overline{{u}_{j}}}{\partial {x}_{j}}=-\frac{\partial \overline{p}}{\partial {x}_{i}}+\mu {\nabla }^{2}\overline{{u}_{i}}-\frac{\partial \rho \overline{{u}_{i}{\text{′}}}\overline{{u}_{j}{\text{′}}}}{\partial {x}_{j}}，$

$ {u}_{i}{\text{′}} = {u}_{i}-\overline{{u}_{i}} {u}_{j}{\text{′}} = {u}_{j}-\overline{{u}_{j}} 。$

(1)

式中： $ \overline{{u}_{i}},\overline{{u}_{j}} $ 为时均流速； $ {u}_{i}{\text{′}}{,u}_{j}^{\text{′}} $ 为脉动流速； $ \mu $ 为流体黏度； $ \rho $ 为流体密度；p为流动压强； $ -\rho \overline{{u}_{i}{\text{′}}}\overline{{u}_{j}{\text{′}}} $ 为雷诺应力项，它使得方程未知数个数大于方程本身，RANS方程组无法封闭，因此需要引入使应力项封闭的湍流模型。SST $ k-\mathrm{\omega } $ 双方程模型在处理绕流问题时考虑了湍流剪切力和压强梯度效应，较其他模型更具优势。

结构动力学方程为：

$ m\ddot{y}+\mathrm{c}\dot{y}+ky={F}_{y} (t) ，$

(2)

对式(2)进行无量纲化：

$ k=m{{\omega }_{0}}^{2} \mathrm{c}=2m{\omega }_{0}\text{ζ} {\omega }_{0}=2\text{π} {f}_{n} {f}_{n}=\frac{1}{2\text{π} }\sqrt{\frac{k}{m}}。$

式中： $ \ddot{y} $ 为圆柱在横向的运动加速度； $ \dot{y} $ 为圆柱在横向的运动速度； $ y $ 为圆柱在横向的位移； $ \mathrm{c} $ 为系统的阻尼； $ k $ 为系统的刚度； $ \text{ζ}\text{} $ 为系统的阻尼比； $ {f}_{n} $ 为圆柱固有频率； $ {\omega }_{0} $ 为固有圆频率。

无量纲振幅、阻力系数、升力系数、质量比及约化速度为：

$ \begin{split}&{A}^{*}=\dfrac{y}{D}，{C}_{d}=\dfrac{{F}_{x}}{\dfrac{1}{2}\rho {U}^{2}DL}，{C}_{l}=\dfrac{{F}_{y}}{\dfrac{1}{2}\rho {U}^{2}DL}，\\ &{m}^{*}=\dfrac{4m}{\rho \text{π} {D}^{2}}，{U}_{r}=\dfrac{U}{{f}_{n}D}。\end{split}$

(3)

式中： $ {A}^{*} $ 为无量纲振幅； $ {C}_{d} $ 为阻力系数； $ {C}_{l} $ 为升力系数； $ {m}^{*} $ 为质量比； $ {U}_{r} $ 为约化速度； $ {F}_{x} $ 为圆柱受到的阻力； ${F}_{y} $ 为圆柱受到的升力； $ U $ 为来流速度； $ D $ 为圆柱直径； $ L $ 为圆柱长度。

2 模型及数值方法

计算模型参照Williamson的实验模型，并视模型为简化的弹簧-阻尼系统，如图1所示。计算域是一个长为40D，宽为20D的矩形，圆柱直径D为0.038 1 m。弹性支撑的刚性圆柱系统其他参数为：质量比 $ {m}^{*}= $ $ 2.4，\mathrm{阻}\mathrm{尼}\mathrm{比}\zeta=0.005\;4，{f}_{n}=0.4\;{\rm{Hz}}{。} $ 圆柱中心左侧10D设为速度入口条件，右侧30D设为压力出口条件，上下10D设为对称边界条件，圆柱表面设为壁面无滑移条件。采用Overset网格的画法，分别独立生成一套结构化的背景网格和组分网格，对网格的边界进行挖洞和插值处理，最终得到交换耦合信息后的流场分布。求解流场时，用Coupled算法求解压力速度耦合方程，用4阶龙格库塔法求解结构动力学方程。

第一层网格高度 $ {y}^{+} $ 往往对计算精度产生重要的影响。本文拟采用经验公式 $ {y}^{+} $ = 0.172 $ {Re}^{0.9}\dfrac{{y}_{1}}{D} $ ，按照SST $ {k-\omega \mathrm{模}\mathrm{型}y}^{+} $ 值一般不大于1的要求^[12]，分别设置3组不同 $ {y}^{+}\mathrm{值}\mathrm{的} $ 网格，并划分网格节点数使得组分网格最外侧一层网格尺度大小与背景网格相近来满足插值条件，以Ur = 9的无量纲振幅模拟结果与Williamson实验值和普通动网格模拟结果进行比较，结果如表1所示。

李骏^[7]和林琳^[13]的模拟结果较Williamson^[3]的实验结果分别相差18.96%和16.28%，而工况1～工况4的模拟结果较实验值仅分别相差16.40%，8.21%，5.36%和4.33%，显然Overset网格的精度高于普通动网格。综合考虑计算精度以及计算资源，决定采用工况3的网格工况进行后续的数值模拟。

3 计算结果及分析 3.1 阻尼比对涡激振动振幅的影响

为研究阻尼比对涡激振动振幅的影响，固定质量比 $ {m}^{*}=2.4 $ 。图2给出了约化速度在2～13的情形下，不同阻尼比引起的响应振幅。

从图2可以发现，3种阻尼比的影响具有趋势一致性。在约化速度较小时，3种阻尼比引起的振幅都很小。进入锁振区间后，振动幅值逐渐增加达到最大，随后稍有回落，基本稳定在0.4～0.6之间。当约化速度较大时，振动离开锁振区间，振幅急剧下落，又回到了进入锁振区间前的水平。即圆柱在锁定区内发生共振，显著提高了振幅水平。当然，阻尼比越小，圆柱受到的阻力越小，相应振幅也就越大。不过随着数量级的不断减小，圆柱振动幅度增加值也维持在较小的水平。

3.2 质量比对涡激振动振幅的影响

为研究质量比对涡激振动振幅的影响，固定阻尼比 $ \zeta=0.005\;4 $ 。图3给出了约化速度在2～13的情形下，不同质量比引起的响应振幅。

由图3可知，质量比的大小对圆柱的振幅有显著影响。在约化速度相同时，质量比越大，其对应的振幅越小。在低质量比（ $ {m}^{*}=2.4，4.8 $ ）的情形下，圆柱共振的锁定区间较大；随着质量比的加大（ $ {m}^{*}= $ $ 6.0，7.2 $ ），锁定区间逐渐减小，在高质量比（ $ {m}^{*}= $ $ 9.6 $ ）的情形下，约化速度为8时即离开了锁定区。圆柱在锁定区时，会在一个较大的约化速度范围内保持其振幅在0.5以上，进入锁定区前或离开锁定区后，振幅通常很小，往往在0.1以下。

3.3 质量比、约化速度对涡激振动升阻力系数的影响

对不同质量比、约化速度下圆柱升阻力系数及横向振幅研究发现，阻力系数振动频率是升力系数振动频率的2倍。在约化速度较小时，如图4（c）、图4（e）、图4（g），阻力系数在1～3之间、升力系数在−2.5～2.5之间大幅振动；在锁定区时，如图4（a）、图4（d）、图4（h）、图4（i），阻力系数在1～1.5之间、升力系数在−0.3～0.3之间小幅振动，升力系数的幅值急剧减小；在约化速度较大离开锁定区时，如图4（f）、图4（j），阻力系数振幅继续减小，维持在1.1～1.4之间，升力系数振幅出现反弹，在−1～1之间振动。圆柱在进入或离开锁定区间时，会出现经典的多频振动的拍现象，如图4（b）、图4（f）、图4（e）、图4（g），在锁定区间内，拍现象消失，转为稳定的简谐振动模式，如图4（a）、图4（d）、图4（f）、图4（j）。并且，对于不同的质量比，升力系数与横向振幅的时程曲线都捕捉到了180°的相位差。

4 结　语

本文基于Williamson的经典实验，采用Overset网格对二维弹性圆柱的横向涡激振动进行相关数值模拟，主要结论如下：

1）Overset网格通过对自身若干套子网格的挖洞插值，在处理结构物大幅度振动时避免了网格畸变导致负网格的情况，较传统的网格精度更高。

2）不同阻尼比影响振幅的趋势一致。阻尼比量级的倍数增减对振幅增减的影响十分有限，维持在较低水平，锁振区间几乎不会改变。

3）不同质量比影响振幅的趋势有较大差异。质量比增大，其振动幅度和锁振区间会显著减小，锁振区外的振幅不是很明显，都落在较低水平。

4）在进出锁定区时，会捕捉到明显的“拍”现象，此时升阻力系数波动较大；在锁定区内，升力系数与横向振幅间存在相位差，此时升阻力系数波动稳定。