0 引　言

大型舰船，尤其是航空母舰的海上作战能力中，舰载机系统是关键。舰载机可以将海上作战半径提高至几百千米，实现大范围的军事威慑。因此，提高舰载机起降过程的安全性非常重要。由于大型舰船受海浪干扰力影响，其运动形式较为复杂，这对于舰载机的安全起降有非常不利的影响，因此，提高舰船的运动预测技术，尤其是速度预测技术非常必要。

本文针对舰船的航行速度预测问题，采用了一种组合优化理论，即通过小波神经网络算法和灰色系统理论算法的耦合，对舰船的运动进行准确的预测，取得了较好的效果。

1 舰船瞬时运动建模

为了对舰船运动过程的运动学和力学特性进行详细的分析，建立舰船在惯性坐标系o-xyz下的瞬时运动模型（见图1）。

舰船瞬时运动特性不仅受到舰船自身动力系统的影响，还要受到来自海洋环境的影响，比如海浪冲击、海风等。此外，突发的海啸、飓风等因素也会严重干扰舰船在海上的运动。

为了简化舰船运动预报的计算量，对舰船运动过程做如下假设：

1）舰船运动过程中是一种刚体结构，外界干扰力不会造成船体的变形；

2）忽略海风等其他干扰力的影响，将动力系统输出和海浪干扰力作为舰船瞬时运动建模的主要边界条件；

3）海浪是一种不可压缩的流体，不考虑海浪中的漩涡干扰。

首先，在建模时将海浪视为无数个不同波长和幅度的规则波叠加^[1]，建立海浪长峰波模型为：

$ \zeta (t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\zeta _{an}}} \cos\; \left( {{k_n}\zeta \cos\; \beta + {k_n}\eta \sin\; \beta - {\omega _n}t + {\varepsilon _n}} \right) \text{，} $

其中， $ {\zeta _{an}} $ 为规则波的波幅， $ {k_n} $ 为长峰波的波数， $ \beta $ 为波浪角度， $ \eta $ 为角速度因子， $ {\omega _n} $ 为波浪角速度， $ {\varepsilon _n} $ 为长峰波的初始相位。

考虑波浪的一般性，将长峰波模型进行简化，可得：

$ \zeta (t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\zeta _{an}}} \cos \;\left( {{\omega _n}t + {\varepsilon _n}} \right) \text{，} $

采用能量谱进行波浪的仿真，得到波浪的幅频特性为：

$ \begin{gathered} {\omega _n} = \frac{1}{{{T_1}}}{\left[ {\frac{{690}}{{\ln (2M/(2i - 1))}}} \right]^{\frac{1}{4}}},i = 1,2, \cdots ,M，\hfill \\ {\zeta _n} = \sqrt {2/M} \cdot {h_t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,M 。\hfill \\ \end{gathered} $

其中， $ M $ 为波浪谱的等分数， $ {h_t} $ 为义波高度， $ {T_1} $ 为波浪的周期。

建立舰船瞬时运动速度模型为：

$ \begin{gathered} X(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{h_x}/n \cdot \cos \left( {{\omega _i}t + {\gamma _{xi}}} \right)} \right]} \text{，} \hfill \\ Y(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{h_y}/n \cdot \cos \left( {{\omega _i}t + {\gamma _{ji}}} \right)} \right]} \text{，} \hfill \\ Z(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{h_z}/n \cdot \cos \left( {{\omega _i}t + {\gamma _{zi}}} \right)} \right]}\text{。} \hfill \\ \end{gathered} $

式中： $ {\omega _i} $ 为船舶角速度； $ {{h_x},{h_y},{h_z}} $ 为船舶3个方向的相位； ${{\gamma _{xi}},{\gamma _{zi}},{\gamma _{ji}}} $ 为船舶3个方向的幅值。

舰船3个坐标轴的角度模型为：

$ \begin{gathered} \gamma = \sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{A_r}/n \cdot \sin \left( {{\omega _r}t + {\varphi _r}} \right)} \right]}，\hfill \\ \theta = \sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{A_\theta }/n \cdot \sin \left( {{\omega _\theta }t + {\varphi _\theta }} \right)} \right]} ，\hfill \\ \psi = \sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{A_\psi }/n \cdot \sin \left( {{\omega _\psi }t + {\varphi _\varphi }} \right)} \right]} 。\hfill \\ \end{gathered}$

其中： $ {\gamma ,\theta ,\psi } $ 分别为横摇角、纵倾角和航向角； $ {{\varphi _r},{\varphi _\theta },{\varphi _\varphi }} $ 为3个角度方向的相位； $ {{A_r},{A_\theta },{A_\psi }} $ 为幅值； $ {{\omega _r},{\omega _\theta },{\omega _\psi }} $ 为角速度。

2 基于灰色理论和小波神经网络的舰船航行速度预测 2.1 小波神经网络

小波神经网络是前馈型神经网络，与传统的神经网络不同，小波神经网络以小波基函数作为激励函数，在非线性函数求解时精度更高。

图2为小波神经网络的拓扑结构。

可知，输入层为 $ \left( {{x_1},{x_2},\cdots,{x_{n - 1}},{x_n}} \right) $ ，输出层为： $ \left( {{W_1},{W_2},\cdots,{W_{n - 1}},{W_n}} \right) $ 。

非线性信号 $ f(t) $ 的频域函数 $ f\left( \omega \right) $ 满足：

$ \int\limits_R^{} {} {\left| {\frac{{f\left( \omega \right)}}{\omega }} \right|^2}{\rm{d}}\omega \leqslant \infty \text{，} $

信号的小波变换为：

$ W(j,k) = \sum\limits_t {{2^{ - j/2}}} \psi \left( {{2^{ - j}}t - k} \right)f(t) \text{，} $

相邻神经元输入信号经过小波变换后，其差值为：

$ {d_i} = \left| {{f_j} - {f_i}} \right| = \sqrt {\left( {\sum\limits_{j = 1}^m {} \sum\limits_{i = 1}^m {{{\left( {{f_j}\left( t \right) - {f_i}\left( t \right)} \right)}^2}} } \right)} \text{。} $

小波神经网络模型的矢量形式为 $ \vec W = \vec F \cdot \vec N $ ，其中，输入矩阵 $ \vec F $ 由神经网络训练后的矢量组成，如下式：

$ \vec {\boldsymbol{F}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}(1)}&{{x_1}(2)}& \cdots &{{x_1}(t)} \\ {{x_2}(1)}&{{x_2}(2)}& \cdots &{{x_2}(t)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{x_p}(1)}&{{x_p}(2)}& \cdots &{{x_p}(t)} \end{array}} \right] \text{，} $

矩阵 $ \vec N $ 是小波基函数矩阵，如下式：

$ \vec {\boldsymbol{N}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\psi _{0,1}}(1)}&{{\psi _{0,2}}(1)}& \cdots &{{\psi _{j,d}}(1)} \\ {{\psi _{1,1}}(2)}&{{\psi _{1,2}}(2)}& \cdots &{{\psi _{j + 1,d}}(2)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{\psi _{k,1}}(t)}&{{\psi _{k,2}}(t)}& \cdots &{{\psi _{k,d}}(t)} \end{array}} \right] \text{。} $

其中， $ \psi (t) = - t{e^{ - \frac{1}{2}{t^2}}} $ ，为小波基函数^[2]的导数。

2.2 灰色系统理论

灰色系统理论是一种常用的预测方法，其特点包括：

1）预测模型的原始数据需要量少

相对于传统的数理统计来说，灰色系统理论在进行模型预测时不需要大量的数据，且对数据的一般规律性要求较小。灰色系统理论将随机变量视为灰色量，只需要根据实际情况选择适量的数据，在随机性较高的大量数据中提取规律。

2）预测算法简单

灰色系统理论建立的GM模型^[4]以高等数学矩阵为基础，其计算过程相对简单，对计算机的运算性能要求相对较低。

3）应用范围广泛

灰色系统理论进行模型预测时，不仅可以进行多因素预测，也可以进行单因素预测，且可以用于短期和中长期预测。

首先，针对舰船运动预测而言，将舰船的速度模型和角度模型作为初始输入信息，建立原始数列为：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{X^{\left( 0 \right)}}\left( 1 \right),\cdots,{X^{\left( 0 \right)}}\left( i \right)} \\ {\cdots} \\ {{X^{\left( i \right)}}\left( 1 \right),\cdots,{X^{\left( i \right)}}\left( i \right)} \end{array}} \right] \text{，} $

然后，定义 $ {F_n} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{X^{\left( 0 \right)}}\left( i \right)} ,\;\;\;\;\left( {i = 1,2,\cdots ,n} \right) $ 为灰色预测理论的灰导数，建立预测模型的灰色微分方程^[5]为：

$ {F_n} + \frac{1}{k}\left( {\frac{1}{3}{X^{\left( i \right)}}\left( i \right) + \frac{1}{2}{X^{\left( i \right)}}\left( {i - 1} \right)} \right) = h \text{，} $

其中，k为调节系数。

定义 $\dfrac{1}{3}{X^{\left( i \right)}}\left( i \right) + \dfrac{1}{2}{X^{\left( i \right)}}\left( {i - 1} \right) = G\left( i \right)$ ，

得到灰色微分方程的解集为：

$ M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {G^{\left( 1 \right)}}(1)} \\ { - {G^{\left( 2 \right)}}(2)} \\ {} \\ { - {G^{\left( i \right)}}(i)} \end{array}} \right] 。$

最后将解集转化为时间序列的参数，得到预测模型为：

$ \tilde X\left( i \right) = \left( {\left( {{X^{(i)}}(1) - \frac{{G(i)}}{a}} \right) + b} \right) \text{，} $

式中：a和b为变换因数。

基于灰色系统理论的非线性系统预测流程见图3。

3 基于组合优化理论的舰船航行速度预测 3.1 舰船航行速度预测模型

组合优化理论是指利用2种及以上的预测算法，针对当前的非线性系统进行优化，这种方法能够汲取不同优化算法的优点，实现更全面、更准确的模型预测。

使用小波神经网络和灰度系统理论进行组合优化，其流程如图4所示。

可知，实现组合寻优的关键，是将灰色系统理论预测算法和小波神经网络算法相结合，建立一种组合预测模型，其过程包括：

1）数据的归一化

由于小波神经网络和灰色系统理论对于系统的输入信号有不同的要求，因此，在建立组合优化模型时，需要进行数据的归一化处理。

将舰船1～30 s的运动速度和角度数据作为第一层输入，30～60 s的数据作为第二层输入，从而进行第61 s的运动预测。

将初始输入数据表示为：

$ \begin{gathered} I{N_1} = \left\{ {n\left( k \right),k = 1,2,\cdots,30} \right\} \text{，} \hfill \\ I{N_2} = \left\{ {n\left( k \right),k = 2,2,\cdots,31} \right\} \text{。} \hfill \\ \end{gathered} $

2）扰动力建模

建立海浪的功率特性和干扰力特性方程，海浪的平均功率谱为：

$ {S_{}}(\omega ) = \frac{{8.1 \times {{10}^{ - 3}}{g^2}}}{{{\omega ^5}}}\exp \left[ { - 0.74{{\left( {\frac{g}{{{V_w}}}} \right)}^4}} \right] \text{，} $

式中： $ {V_w} $ 为风速， $ \omega $ 为波浪频率。

海浪对舰船的扰动力模型如下：

$ F(x) = \sum\limits_{i = 1}^N {S\left( w \right)} {\zeta _n}\left( {\frac{{x - {t_{}}}}{{{s_{}}}}} \right) \text{，} $

其中， $ {\zeta _n}\left( {\dfrac{{x - {t_{}}}}{{{s_{}}}}} \right) $ 为海浪的幅值特性。

3）建立组合优化的预测模型

采用并联型的组合优化策略，因此在建立预测模型时有算数平均、几何平均和调和平均3种形式，组合公式如下：

$ \begin{gathered} {{\hat y}_t} = {k_1}{{\hat y}_{1t}} + {k_2}{{\hat y}_{2t}}，\quad t = 1,2, \cdots ,N，\hfill \\ {{\hat y}_t} = \hat y_{1t}^{{k_1}} + \hat y_{2t}^{{k_2}}，\quad t = 1,2, \cdots ,N ，\hfill \\ {{\hat y}_t} = \frac{1}{{{k_1}/{{\hat y}_{1t}} + {k_2}/{{\hat y}_{2t}}}}，\quad t = 1,2, \cdots ,N 。\hfill \\ \end{gathered} $

式中：N为预测数据的总数； $ {\hat y_t} $ 为组合优化理论的预测值； $ {\hat y_{1t}} $ 为采用小波神经网络得到的预测值； $ {\hat y_{2t}} $ 为采用灰色系统理论得到的预测值； $ {k_1} $ ， $ {k_2} $ 为2种预测模型的权值。

4）权值的确定

权值的大小直接影响舰船运动预测的精度，判断权值是否符合要求，用预测精度表示，建立预测精度 $ {\varepsilon _n} $ 方程为：

$ {\varepsilon _n} = 1 - \left| {\frac{{{y_1} - {{\hat y}_{it}}}}{{{y_t}}}} \right|,t = 1,2, \cdots ,N \text{，} $

预测精度的均方差按下式计算：

$ \sigma \left( {{\varepsilon _n}} \right) = {\left| {\frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{\varepsilon _n}^2} - E{{\left( {{\varepsilon _n}} \right)}^2}} \right|^{\frac{1}{2}}} 。$

3.2 舰船航行速度预测仿真

为了验证基于组合优化理论的舰船速度预测效果，通过设置初始条件，在Simulink^[7]中进行预测模型的仿真，首先设置仿真参数如表1所示。

得到实测舰船速度与预测模型输出的舰船速度对比曲线如图5所示。

4 结　语

针对大型舰船的运动预测问题进行研究，分别介绍小波神经网络算法和灰色系统理论算法，采用组合优化理论将两者结合，在波浪和舰船运动模型的基础上，实现了舰船航行速度的较准确预测。