0 引　言

作为应用最广泛的海洋探测设备之一，剖面浮标对于海洋科学的深入研究有着至关重要的作用^[1]。在使用过程中，受限于深海这一特殊环境，能够减少剖面浮标的非必要耗能来增长其续航时间，成为了一个亟待解决的技术难题^[2]。在剖面浮标的工作周期中，上浮运动需要通过主动排油来增大净浮力^[3]，电机耗能占整个周期耗能的比重很大^[4]。因此，在上浮过程中，通过合理的排油策略节能对于延长剖面浮标的续航时间具有重大意义。Agrawal^[5]和Sumantt^[6]等对于变体积式浮力调节系统进行了大量的研究，取得了一定研究成果，但是未曾考虑海水密度对于UUV运动的影响。PETZRICK等^[7]在APEX-Deep浮标试验中验证得出了低速连续排油耗能少于一次性排油耗能的结论。穆为磊等^[8]提出当浮标在上浮速度减为0时开启电机进行排油的策略，但是其本质上是将速度区间的左端点值设置为0的一个特殊情形，并未提出通过设置速度区间来优化排油的具体策略。陈鹿等^[9]提出每次排油30 s后即停止排油，待浮标上浮速度小于0.1 m/s时再次排油。此方案虽取得了一定节能效果，但是其排油时间以及速度临界值均为经验值。郭凤祥^[10]提出了速度闭环分段控油策略、速度-加速度双闭环分段供油控制策略，但是前者会周期性出现上浮速度小于0的现象，后者节能效果不明显。王雷等^[11]通过速度区间的设定实现了上浮过程的分段浮力调节策略，但是其策略限定在每次排油体积固定，这样每次排油之后浮标的速度会超过速度区间的最大值，造成能量浪费。针对剖面浮标上浮的浮力调节控制问题，本文通过对浮标排油上浮阶段的运动与能耗问题进行建模^[12-13]，证明了速度区间的合理设置可以节约能耗，进而提出了一种闭环控制方案，使得剖面浮标在上浮过程中的速度始终严格保持在所设置的速度区间之内，从而达到节能和延长续航时间的目的。

1 运动和能耗模型 1.1 运动模型

因为主要研究浮标上浮阶段的耗能问题，所以忽略深海中水平方向的受力以及水平和垂直方向受力的耦合作用对于算例浮标的影响，只考虑剖面浮标在海水中垂直方向的受力。本文在力学分析中将算例浮标视为质点^[14]。基于以上假设，可得到运动方程如下：

$ m\frac{{\rm{d}}u}{{\rm{d}}t}=B-mg-{F}_{D} 。$

(1)

其中： $ m $ 为剖面浮标在空气中的质量； $ g $ 为重力加速度； $ u $ 为垂直方向上浮标的速度； $ B $ 为剖面浮标所受浮力；方向垂直向上； $ {F}_{D} $ 为剖面浮标上浮过程中所受的阻力，方向垂直向下。

在某一时刻，算例浮标的浮力为：

$ B=\rho \left({V}_{0}+{V}_{new}\right)g。$

(2)

其中： $ \rho $ 为海水的密度； $ g $ 为重力加速度； $ {V}_{0} $ 为浮标的固定排水体积； $ {V}_{new} $ 为每次排油后浮标增加的体积。在完成第i次排油之后， $ \left({V}_{0}+{V}_{new}\right) $ 整体作为第（i+1）次排水的固定排水体积 $ {V}_{0} $ 。

阻力满足方程^[12]：

$ {F}_{D}=\frac{1}{2}{C}_{D}\rho {A}_{w}{u}^{2}。$

(3)

其中： $ {C}_{D} $ 为阻力系数^[15]； $ {A}_{w} $ 为剖面浮标的俯视图的横截面积。

1.2 剖面浮标上浮的能耗分析

在第i次排油，电机的功耗为：

$ {W}_{i}={\int }_{0}^{{t}_{i}}{U}_{i}\left(t\right){I}_{i}\left(t\right){\rm{d}}t。$

(4)

其中： $ {U}_{i}\left(t\right) $ 为第i次排油时电机的电压； $ {I}_{i}\left(t\right) $ 为第 $ i $ 次排油时的电机电流； $ {t}_{i} $ 为第 $ i $ 次排油时电机的工作时间。然而仿真模型无法直接测得电机的电压和电流，因此需要计算液压泵能耗间接得到电机能耗表达式^[10]。第 $ i $ 次排油，电机的功耗为：

$ \left\{\begin{array}{l}{W}_{i}={\displaystyle\int }_{0}^{{t}_{i}}{P}_{i}\left(t\right){\rm{d}}t，\\ {P}_{i}=Kp，\\ {t}_{i}=\dfrac{{V}_{new}}{Q}。\end{array}\right. $

(5)

其中： $ {P}_{i}\left(t\right) $ 为第i次排油时电机的功率； $ {t}_{i} $ 为第i次排油所用时间。 $ K $ 为与泵和电机的性能相关的系数，具体参数值见表1。推导过程如下^[11]：

第 $ i $ 次排油液压泵的输入功率 $ {P}_{i} $ 满足

$ {P}_{i}=\frac{{P}_{out}}{{\eta }_{V}{\cdot \eta }_{m}}。$

(6)

其中： $ {P}_{out} $ 为泵的输出功率，kW； $ {\eta }_{V} $ 为液压泵的容积效率； $ {\eta }_{m} $ 为液压泵的机械效率。

液压泵的输出功率为

$ {P}_{out}=\frac{p\cdot Q}{60}。$

(7)

其中： $ p $ 为泵的输出压力，MPa； $ Q $ 为泵的输出流量，L/min。

液压泵的容积效率为

$ {\eta }_{v}=\frac{Q}{{Q}_{0}}\times 100\text{%}。$

(8)

其中： $ {Q}_{0} $ 为不考虑泄漏时泵在一定转速下的理论流量，L/min。

液压泵的机械效率为

$ {\eta }_{m}=\frac{1\;000p{Q}_{0}}{2\text{π} nT}\times 100\text{%} 。$

(9)

其中： $ n $ 为泵的转速，r/min； $ T $ 为泵的输入扭矩，N·m。

液压泵所需要的输入扭矩与压强成正比，满足以下关系：

$ T=\frac{v\cdot p}{2\text{π} } ，$

(10)

式中， $ v $ 为液压泵的公称排量。

将式（7）～ 式（10）代入式（6），则知泵的输入功率正比于其输出压力：

$ {P}_{i}=Kp 。$

(11)

综上所述，算例浮标上浮过程中的运动规律以及能耗规律满足下式：

$ \left\{\begin{array}{l}\ddot{z}=\dfrac{\rho g\left({V}_{0}+{V}_{new}\right)}{m}-g-\dfrac{1}{2m}{C}_{D}\rho {A}_{w}{\dot{z}}^{2}\text{，}\\ {W}_{i}=K\rho gh\dfrac{{V}_{new}}{Q}\text{，}\\ W={\displaystyle\sum }_{i=1}^{n}{W}_{i}。\end{array}\right. $

(12)

其中， $ W $ 为完成整个上浮过程所需要的总能耗。本文忽略排油动作这一短时过程对于剖面浮标上浮运动的影响，即假设每段上浮过程中剖面浮标体积保持恒定，并假设剖面浮标的泵的流量 $ Q $ 为一常数。

1.3 剖面浮标基本参数 1.3.1 设备的基本参数

实验测量深度为0～2 000 m，海水所对应的压力范围为0～20 MPa。本文试验选用的算例浮标是最新研制的一款圆柱体深海剖面探测浮标。剖面浮标的基本参数见表1^[16]。

根据中国海洋信息网实测数据资料，经拟合可得，深度大于500 m后，海水密度与其深度可以近似成一次函数关系^[17]_：

$ \rho =0.004\;5h+1\;026.2。$

(13)

1.4 运动方程分析

综合上述参数，可得方程组:

$ \left\{\begin{array}{l}\ddot{z}=\dfrac{\rho g({V}_{0}+{V}_{new})}{m}-g-\dfrac{1}{2m}{C}_{D}\rho {A}_{w}{\dot{z}}^{2}，\\ h={h}_{0}-z，\\ \rho =0.004\;5h+1\;026.2，\\ {W}_{i}=\dfrac{3}{1\;392}\rho gh\dfrac{{V}_{new}}{Q}。\end{array}\right. $

(14)

浮标进入深海中，体积会被压缩。假设浮标在深度为2 000 m的水深处悬浮，由于深海海水水压作用，浮标的总体积会被海水压缩，变成0.096 6 m^{3 [18]}。假设此时排油0.000 4 m³后，使其总体积为0.097 m³，之后浮标自由上浮。通过式（14），可绘制出算例浮标上浮过程的速度曲线，如图1所示。

通过该图像可知，若浮标的净浮力为正，那么浮标在垂直方向会先加速运动再减速运动。因此，若在每一次剖面浮标的上升速度减到某一值 $ {v}_{threshold} $ 时，立即排油加速，则可以控制剖面浮标的速度始终大于 $ {v}_{threshold} $ 。

2 最优速度 2.1 两种情形下上浮过程的能量转化分析

假设上浮过程中，泵的耗能为 $ {W}_{pump} $ ，重力势能增加 $ {P}_{g} $ ，阻力做功产生的内能为 $ E $ ，浮标的末动能为 $ K $ ，上浮总距离为 $ H $ 。由能量守恒定律可知：

$ {W}_{pump}={P}_{g}+E+K ，$

(15)

其中：

$ {P}_{g}=mgH ，$

(16)

$ E={\int }_{0}^{H}{F}_{D}{\rm{d}}h 。$

(17)

讨论2种情形分别完成上浮运动。

工况1：全过程算例浮标以速度为 $ {v}_{0} $ 完成匀速上浮 ，用时为 $ T $ ，则有

$ {v}_{0}\cdot T=H 。$

(18)

工况2：算例浮标以速度 $ v\left(t\right) $ 为完成上浮。其中 $ v\left(t\right) $ 是一非理想状态下的速度，为了方便讨论，使2种情形下的末动能相等，即限定 $ v\left(T\right) $ = $ {v}_{0} $ 。上浮用时亦为T，即有

$ {\int }_{0}^{T}v\left(t\right){\rm{d}}t=H 。$

(19)

2种情形，初速度、末速度、上浮距离以及上浮时间分别对应相等，则2种情形的重力势能增加量和动能的变化量都相等。由式（15）可知，内能 $ E $ 大的情形下，泵的耗能更多。现假设第1种情形下，产生内能 $ {E}_{1} $ ，第2种情形下，产生内能为 $ {E}_{2} $ ，可得：

$ {E}_{1}=\frac{1}{2}{\int }_{0}^{H}{{C}_{D}\rho {A}_{w}v}_{0}^{2}{\rm{d}}h ，$

(20)

$ {E}_{2}=\frac{1}{2}{\int }_{0}^{H}{{C}_{D}\rho {A}_{w}v\left(t\right)}^{2}{\rm{d}}h 。$

(21)

2.2 最优节能速度的证明

设 $ L\left(v\right(t\left)\right)={\int }_{0}^{H}{v\left(t\right)}^{2}{\rm{d}}h $ 。假定 $ {v}_{0}+\epsilon \left(t\right)=v\left(t\right) $ ，其中小扰动 $ \epsilon \left(t\right)\mathrm{不}\mathrm{恒}\mathrm{为}0\mathrm{且}\mathrm{满}\mathrm{足} $ $ {\int }_{0}^{T}\epsilon \left(t\right){\rm{d}}t=0 $ 。

下面证明 $ {v}_{0} $ 是变分 $ L $ 的极小值点^[19]：

$ \begin{split}L\left(v\left(t\right)\right)=&{\int }_{0}^{H}{v\left(t\right)}^{2}{\rm{d}}h={\int }_{0}^{H\left(t\right)}{v\left(t\right)}^{2}{\rm{d}}h={\int }_{0}^{T}{v\left(t\right)}^{2}\frac{{\rm{d}}h}{{\rm{d}}t}{\rm{d}}t=\\ &{\int }_{0}^{T}{v\left(t\right)}^{3}{\rm{d}}t={\int }_{0}^{T}{({v}_{0}+\epsilon (t\left)\right)}^{3}{\rm{d}}t，\end{split} $

略去高次项，可得：

$ \begin{split}L\left(v\left(t\right)\right)-L\left({v}_{0}\left(t\right)\right)=&{\int }_{0}^{T}{({v}_{0}+\epsilon (t\left)\right)}^{3}{\rm{d}}t-{\int }_{0}^{T}{{v}_{0}}^{3}{\rm{d}}t=\\ &{\int }_{0}^{T}\left(3{v}_{0}{\epsilon \left(t\right)}^{2}+3{{v}_{0}}^{2}\epsilon \left(t\right)\right){\rm{d}}t =\\ &{\int }_{0}^{T}{3{v}_{0}\epsilon \left(t\right)}^{2}{\rm{d}}t >0。\end{split}$

因此，对于任意 $ v\left(t\right) $ ， $ L $ 在 $ {v}_{0} $ 处的变分恒为正。即 $ {v}_{0} $ 是 $ L $ 的极小值点。

基于以上推导，可知对于式（20）和式（21），若海水密度变化不大，可得 $ {E}_{2} $ > $ {E}_{1} $ 恒成立。

综上所述，在海水密度变化较小的环境中，相同上浮时间和上浮距离，相同的初末速度，浮标上浮时速度越接近于匀速，越节约能量。

3 速度区间 3.1 最优节能速度的应用——速度区间

根据上述最优速度的推导，在上浮时间和上浮距离固定的前提下，海水密度变化较小的环境中，匀速上浮是最节约能耗的。基于此，本文提出如下方法得到最优速度区间：首先根据任务要求时间T以及浮标下潜深度H，求出其平均速度 $ {v}_{0} $ ，通过 $ {v}_{0} $ 设置速度区间[u_min , u_max]。由式（14）可知，当浮标的速度达到最大时，其加速度为0，此时有：

$ {V}_{new}=\frac{m}{\rho }-{v}_{0}+\frac{1}{2g}{C}_{D}\rho {A}_{w}{{u}_{{\rm{max}}}}^{2}。$

(22)

为了使浮标的运动速度可以严格保持在所设置的速度区间之内，当浮标的垂直速度小于或者等于速度区间左值 $ {u}_{{\rm{min}}} $ 时，只需每次排油体积按照式（22）进行排油^[20]，由图2可知，浮标排油之后，会先加速再减速，此处恰好这个排油体积 $ {V}_{new} $ 可以使算例浮标达到 $ {u}_{{\rm{max}}} $ 之后减速，待速度< $ {u}_{{\rm{min}}} $ 后，再通过式（22）计算所在深度新的排油体积 $ {V}_{new} $ 进行排油，即可保持剖面浮标的上浮速度严格控制在速度区间之内。

3.2 仿真数据结果分析

依照上述策略，在Matlab/Simulink平台上搭建仿真模型。考虑到剖面浮标的巡航速度在0.1～0.5 m/s区间内，依据此设置8组速度区间，得到结果如表2所示。

分析以上8组数据，可得到如下结论：

1）对比a和f, a组的耗能多而花费的时间却更长，相比之下f是一个节能又省时的速度区间。由此可知，速度区间的合理选取可以兼顾到节能和省时2个因素。

2）由a, b, c, d组可知，在速度区间右端点值相同的前提下，左端点值越小，则上浮的平均速度越小，耗能也越小^[11]。

3）对比e, f, g组3组数据；速度区间左值与右值之和相等的情况下，区间宽度越窄，速度方差越小，整体越接近于平均速度，所以此情形下，区间宽度越窄越节约能量。

4）对比e, f, g, h组数据，其中h的区间宽度更窄，但是耗能大于i组。这是因为：h组的总用时小于g组，h组的平均速度稍大。若区间过于狭窄，会导致总排油次数增加，2次排油间隔的距离变短，进而每次排油后上升的距离更为接近，这样就会造成深处排油次数的增加。由于密度梯度的存在，降低能耗的策略应当是在深处密度大的位置减少排油。因此，此情形下最优节能速度不再是平均速度，排油总耗能反而会增加。

5）单独讨论第h组的情况。为了控制速度在窄小的速度区间内，上浮过程需要频繁启动电机，而且每次排油量很小，实际中无法做到。由于水下测速等客观条件的限制，速度区间的宽度无法也没有必要设置过窄。

由以上仿真结果可知，在速度区间宽度大于0.1 m/s时，排油次数均在5以下。前文变分法证明最优节能速度是平均速度时，忽略了密度。结合第4项的分析可知，当排油次数较少时，亦可减小密度的影响。

3.3 仿真图像结果分析

将上述8组不同速度区间下算例浮标上浮的V-T图像绘制成图3和图4，可以更加直观地观察每一个速度区间中浮标的上浮运动过程。

由图3和图4可知：由于海水密度模型的线性化处理，这里的排油加速可以近似看成是间隔相等时间进行的；由式（22）可知，浮标速度在达到速度区间内之后，每次排油后的加速时间近似相等，并且加速时间远小于减速时间。

由图4的e组～h组相比可知，速度区间设置得越窄，越接近于匀速上浮，并且排油周期越短。其中g组和h组速度区间在这里只为验证讨论算法的正确性和有效性，实际中无法做到。

图3和图4中在速度区间右端点值附近的速度（极大值处）突变，是由于图像纵坐标单位和横坐标单位比值过小造成的视觉偏差，可以参考图1的极大值点附近的曲线。速度区间左端点值附近的速度突变（极小值处）是由于本文忽略了排油时间，剖面浮标在排油之后体积立即增大，净浮力的突变引起了加速度的突变^[16]。

4 结　语

针对剖面浮标上浮运动的浮力控制问题，本文通过建立其运动模型和能耗模型，用能量守恒和变分法推导出在海水密度变化较小水域的最优节能速度就是其平均速度,进而基于最优节能速度，设置速度区间。根据浮标在深海中的运动特性，根据其运动方程提出了闭环排油控制方法，可以使得浮标每次排油之后，其加速后的最大速度恰好为速度区间的右端点值，从而可以将速度严格限制在速度区间之内，达到节约能耗的目的。

本文综合考虑节能和浮标上浮时间两方面的因素。上浮过程中既能根据任务要求，通过任务时间算出浮标上浮的平均速度，从而根据这个平均速度设置出速度区间，最终达到节约能耗和节约时间的兼顾。但是本文忽略了深海的高压对于泵和电机的影响，也没有考虑深海中剖面浮标的壳体变形等因素，后期可以在剖面浮标上增加必要的传感器进行深海海试实验，测量出剖面浮标深海工作时的各项参数，从而完善仿真模型。