0 引　言

船舶在海上航行的环境非常复杂，经常会受风浪等外界因素的影响，造成船舶产生大幅度的横摇，这样会使得船舶产生倾覆^[1]。横摇一直以来被认为是影响船舶安全航行的关键因素之一。船舶的摇动会给船舶的稳定性带来不利的影响。滚装船重心高，稳定性差，所以在海上航行时容易受到风浪影响的面也很大，对航行的稳定性研究非常必要，以此保证船舶营运安全。

随着计算机数值计算软件的发展，很多学者对船舶的非线性运动进行研究，并且结合船舶自身运动的多自由度耦合的特点，模拟船舶受到外界因素影响的运动规律，以此为船舶的稳定性运行提供重要参考。

在船舶运动稳定性方面，专家学者不再延续以往建立方程求解的方式，而是通过Melinikov方法、Floquet理论分析船舶受激运动状态，进而研究船舶在非线性运动下如何维持稳定性。

1 滚装船的波浪稳定性数学建模

研究船舶的稳定性最重要的是研究外界因素对横摇的影响，船舶的纵摇和垂荡运动会影响船舶的排水量，这样会使船舶在规则波浪中产生周期性的运动变化，而其他3种运动对船舶稳定性影响比较小^[2]。

船体是刚体，对周围流场影响力比较小^[3]，可以认为船舶在波浪中进行横向摇动时所受的力矩，为船舶静水中的横摇力矩和波浪对其产生的扰动力矩，由此可以看出船舶在波浪中所有的力矩包括恢复力矩、阻尼力矩、惯性力矩和扰动力矩。在傅汝德假设的基础上，船舶进行线性横摇时，以牛顿运动定律和动平衡原理建立模型，以此模型表示船舶在波浪中的运动：

$ ({M_J} + \Delta {M_J})\mathop \varphi \limits^{..} + {M_B}\mathop \varphi \limits^. + {M_c}\varphi = {M_W} 。$

(1)

式中： $ {M_C} $ 为恢复力矩； $ ({M_J} + \Delta M) $ 为船体的惯性力矩； $ {M_W} $ 为波浪扰动力矩； $ {M_B} $ 为阻尼力矩。

船舶在航行中一定会受到阻力，如摩擦力、旋涡阻力、兴波阻力等，通常情况下要精确地计算出船舶所受到的阻尼很困难，通常利用数据拟合得到阻尼。当横摇的角度很小的情况下，这种阻尼方向和横摇运动的角方向之间的关系可以表示为：

$ M(\mathop \varphi \limits^. ) = - {M_B}\mathop \varphi \limits^.。$

(2)

当船舶在静水中运动时其仅仅受到惯性力矩和扰动力矩，式（1）可以改写为：

$ ({M_J} + \Delta {M_J})\mathop \varphi \limits^{..} + {M_c}\varphi = 0 。$

(3)

通过式（1）和式（3），以及同时除以 $ ({M_J} + \Delta M) $ 可得：

$ \mathop \varphi \limits^{..} + 2\phi \mathop \varphi \limits^. + {\omega _0}\varphi = \omega _0^2\beta \sin ft 。$

(4)

式中： $ 2\phi $ 为横摇的衰减系数， $ 2\phi = \dfrac{{2{M_B}}}{{{M_J} + \Delta M}} $ ； $ {\omega _0} $ 为横摇本身的频率，此频率与船体的排水量和初稳性高度有关； $ \,\beta $ 为波浪对船体造成影响的波倾角， $ f $ 为波动频率。

船舶在航行的过程中受到波浪的影响会进行横摇，船舶在静水中产生的横摇会随着时间而衰减，可以认为船舶的横摇符合简谐运动，即

$ \varphi (t) = {\varphi _a}\sin (ft - \delta ) \text{，} $

(5)

其中， $ \delta $ 为横摇相位， $ {\varphi _a} $ 为横摇幅度。

由此可知，在波浪的作用下， $ f \ne {\omega _0} $ 的情况下，船舶的横摇频率为 $ f $ 。当横摇的衰减很小且 $ f = {\omega _0} $ 时，船舶会随着时间进行摇动。

1.1 阻尼力矩

船舶在航行的过程中一定会受到大波浪的影响，此时船舶的横摇是非线性的，那么船舶的阻尼力矩是非线性的，恢复力矩也是非线性的。

阻尼力矩通常通过数据拟合获取，Froude提出的阻尼模型为线性项与平方项之和^[4]，表示为：

$ {M_B}(\mathop \varphi \limits^. ) = {\lambda _1}\mathop \varphi \limits^. + {\lambda _2}\left| {\mathop \varphi \limits^. } \right|\mathop \varphi \limits^. \text{，} $

(6)

式中， $ {\lambda _1} $ 和 $ {\lambda _2} $ 为常数。式（6）中绝对值给数值计算带来了一定的困难与不便。专家之后提出了很多的阻尼模型，比较流行的是HADDARA M R等提出的线性项与立方项相加的模型^[5]，表示为：

$ {M_B}(\dot \varphi) = {\lambda _1}\dot \varphi + {\lambda _2}{{\dot \varphi} ^3} \text{，} $

(7)

CARDO A提出的阻尼模型为：

$ {M_B}(\varphi ,\dot \varphi ) = \sum\limits_{i,j} {{\lambda _{ij}}} {\varphi ^j}{{\dot \varphi } ^j}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (i = 0,2,4\cdots,{\kern 1pt} {\kern 1pt} j = 1,3,5\cdots) 。$

(8)

可以看出，此阻尼模型是通过横摇角的偶次幂和角速度的奇次幂之间的运算求出的。

根据实际需求，选取数据进行拟合。在拟合过程中不仅仅看数据的拟合效果，还要考虑对横摇响应的预报情况。通过HADDARA M R等的研究成果可以看出，线性项与立方项相加的阻尼模型取得了精确地结果，因此所选用的阻尼模型即为线性项与立方项相加的模型。

1.2 恢复力矩

恢复力矩能够保持船舶在一定稳定的运动范围内，所以恢复力矩与横摇角有关。通过运动稳定性可知，船舶运动与恢复力矩之间是相反的关系，通过对数据拟合可以得到恢复力矩，如下式：

$ {M_C} = {C_0}\varphi + {C_3}{\varphi ^3} + {C_5}{\varphi ^5} + \cdots 。$

(9)

恢复力矩如图1所示。

1.3 扰动力矩

扰动力矩与波浪有关，船舶在航行过程中所受到的波浪是不规则的，波的传播方向也不是唯一的，因此很难用数学表达式将其表示出来，但是可以把不规则的波进行切片，使每一个波浪的切片都是规则波，表示为：

$ \varsigma = \alpha \cos (\rho x - \omega t) \text{，} $

(10)

因此可以将船舶所受到的扰动力矩表示为：

$ {M_W} = {M_\theta }\cos ({w_e} + \chi ) 。$

(11)

式中： $ {w_e} $ 为遭遇频率； $ {M_\theta } = f\left( {{m'},{N'},x,U} \right) $ ， $ {m'} $ 为船舶受到波浪影响的附加质量， $ {N'} $ 为阻尼系数， $ x $ 为船舶长度， $ U $ 为船舶速度。

2 突变理论

船舶在运行的过程中会受到波浪等因素的突然影响，这样会造成船舶运动转态的突变，引入突变理论对其进行研究，以此研究随着控制参数的变化，从一个稳定状态向另一个稳定状态的转变^[6]。

船舶在波浪中运行时突变流形和分岔如图2所示。

图中存在着一条折叠的曲线，这是由于在此区域存在着多个值造成的，曲面之上说明船舶的摇动比较大，之下说明摇动比较小，曲面之上部分说明进行周期性的摇动，但是仍然处于不稳定的状态，在阴影的多值区域，船舶的状态很容易从一个状态转变成另一个状态，即为突跳。

图中的 $ u $ 和 $ v $ 分别表示为分裂参数和正则参数，当船舶的状态发生突变时， $ u $ 的值会发生变化。当 $ u \geqslant 0 $ 时并不能引起突变，此时船舶的横摇角变化是平缓的。当 $ u < 0 $ 时会引起突变，此时会进入多值区域，即为分岔的区域，当波浪的频率达到一定的值，船舶的状态会发生变化，即为进入了分岔集，此时会使船舶出现不稳定的状态。

2.1 基于Matlab的滚装船稳定性分析

利用Matlab软件对滚装船稳定性进行分析，800CEU汽车滚装船的主要参数：船舶长度1999.9 m，船舶吃水9.2 m，船舶服务航速20.05 kn，型深35.51 m。

2.2 突变分析

通过船舶在波浪中的运行方程和船舶参数，由此得到船舶在波浪中航行的一阶近似振幅曲线如图3所示。

可以看出，当船舶所受到的波浪缓慢增大的时候，船舶的横摇幅度也会逐渐增大，当到达A点时会突然激增到B点，这时发生的是突变，使得船舶的稳定性不足。当波浪的频率降低到C点后，横摇的幅度会降到D点，并且C点的频率小于A点，产生了相对的滞后。由此可以看出，当船舶在相对稳定的风浪中运行时，周围环境的改变会使得船舶不能再维持稳态，会突变到另一个状态，这种情况会使得船舶出现倾覆等危险。

2.3 稳定性分析

在船舶自身参数的基础上，结合式（1）～式（11），利用Matlab进行求解。

1）在波幅度为2.5 m和2.0 m时，遭遇频率为1.12，初始弧度为0.1，横摇初稳心高为0.6 m，得到升沉、横摇、纵摇不同运动随时间的变化如图4所示。

可以看出，当波幅度不论是2.5 m还是2.0 m，升沉和纵摇产生的运动不对称，且2种运动变化不大。可以看出，横摇的变化比较大，而升沉和纵摇的变化不大，这说明在高海情下，横摇运动的能量比较大，这是因为升沉和纵摇的能量会向其转移。同时，能量转移是双向的，即为能量可以从横摇转移到升沉和纵摇。

当波幅度不管是为2.0 m时，阻尼运动使得横摇运动接近于0，如果产生的是纵浪，船舶发生倾覆，说明波浪的大小和阻尼因素共同作用产生的结果，在这种情况下，应该增大横摇阻尼，降低纵摇的阻尼，以此保证船舶的稳定性。

2）浪频和风频对船舶横摇的影响

船舶在海上航行会受到风浪的影响，因此对浪频和风频对船舶横摇的影响进行分析，如图5所示。

可以看出，当浪频是风频2倍时，出现了2个共振区域，不管是风频还是浪频当其与固有频率相等时都会发生共振，这种情况下会产生大幅度的横摇。当风频是浪频的2倍时，出现了一个共振区域，这是因为扰动系统的增大，使船舶发生大幅度的横摇。

3）船舶位于波浪上坡的稳定性分析

船舶位于波浪的上坡时，航向角为0°，恢复力矩和波长与船长比之间的关系如表1所示。

可以看出，船舶位于波浪上坡时，因为船体前后的水线面惯性力矩可以相互之间平衡，因此船舶的稳定性比较好，不会产生大幅度的横摇。之后随着船舶到达波峰位置，船舶前后的水线面惯性力矩会不断地减小，使船舶的稳定性降低。

4）船舶航向角对稳定性的影响

船舶处于波浪的上坡、波峰、下坡，航向角60°和90°，其恢复力矩与横摇角度之间的关系如图6和图7所示。

从图6和图7可以看出，随着船舶航向角度由小变大，船舶的横摇角度的变化总体呈现出变大的趋势，并且随着航向角的变大，船舶的恢复力臂呈现出变大的趋势，并且横摇角变大，恢复力矩的非线性越明显。

3 结　语

从船舶的六自由度运动出发，根据船舶所受力矩建立船舶在波浪稳定性模型，并从突变原理出发说明船舶在波浪运行中的变化情况。最后基于Matlab进行船舶稳定性分析。