0 引　言

随着对现代发动机性能追求的极致，压气机的工作环境愈发恶劣，尤其是跨音速转子叶片，在复杂的气流和离心惯性力共同作用下的气动弹性稳定性问题越来越突出。叶片产生弹性变形，使压气机偏离工作点，影响工作性能，甚至还会引起强度和疲劳寿命等结构问题。因此在叶轮机械设计和优化方面，静气动弹性研究非常关键，同时，静气动弹性研究也是叶轮机械颤振分析中关键的环节。

国内外关于静气动弹性的研究有很多，其中Kallesoe等^[1-2]研究了风力涡轮机的气动弹性对颤振极限的影响。Wilson等^[3]用非线性气动弹性模型研究了跨声速风扇在不同工作状态下的几何变形对叶尖相对安装角以及气动性能的影响。Mahajan等^[4]以GE公司的E3发动机大涵道比凸肩风扇叶片为例，分析了考虑非均匀温度载荷时的叶片静气动弹性变形。Roehle等^[5]的实验表明，静气动弹性导致的微小几何变化会对压气机吸力面激波的位置产生重要影响。杨慧等^[6]研究叶片反扭变形时发现，跨声速大涵道比风扇叶片的反扭变形会影响流量进而减小发动机起飞推力。郑赟等^[7-8]发展了适合叶轮机风扇叶片反扭设计的流固耦合计算方法，进行了风扇叶片热态的反推计算，获得了更为精确的制造叶型。汪松柏等^[9-10]采用时域推进的双向流固耦合方法研究了转子叶片静气动弹性变形及其对气动性能的影响，同时也分析了转速对小展弦比压气机叶片静气动弹性的影响。

汪松柏等^[11]在研究跨声速叶片的气动和强度性能时对比了双向流固耦合方法和单向流固耦合方法，发现双向流固耦合计算的结果相对于单向耦合，叶片的总体变形增大约1%，等效应力增大约0.8%。闫安等^[12]针对某重型燃气轮机压气机第一级动叶的颤振，分别采用单向和双向流固耦合对不同工况下的动叶片状态进行分析，发现双向流固耦合计算的最大应力比单向流固耦合计算的最大应力大4.69%，应力分布基本一致。本文主要分析弹性变形对气动性能的影响和材料的属性对静气动弹性问题的影响，故采用相对简单的单向流固耦合数值计算方法进行静气动弹性计算。

本文通过专业叶轮机械软件Numeca和商业有限元分析软件Ansys，对叶片进行模态分析，对比离心载荷和气动载荷以及共同作用下的叶片固有频率和模态振型，并采用单向流固耦合的数值计算方法分析了设计转速下的不同工作点的静气动变形及其对气动性能的影响，重点对比分析了材料的不同属性对叶片静气动弹性变形的影响，为压气机叶片的气动性能优化和结构设计以及材料的选择提供一定的参考。

1 数值方法和模型 1.1 流体动力学

流体动力学方程的求解，采用大型商业软件Ansys里的CFX模块，非定常雷诺时均方程（URANS）组作为控制方程，离散方法采用有限体积法。

$ \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}}{\text{ + }}\frac{\partial }{{\partial {x_j}}}(\rho {u_j}) = 0 ，$

(1)

$ \frac{\partial }{{\partial t}}(\rho {u_i}) + \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}(\rho {u_j}{u_i}) = \frac{{\partial p}}{{\partial {x_i}}} + \frac{{\partial {\tau _{ji}}}}{{\partial {x_j}}} ，$

(2)

$ \frac{\partial }{{\partial t}}(\rho e) + \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}(\rho {u_j}H) = \frac{{\partial {q_j}}}{{\partial {x_j}}} + \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}({u_i}{\tau _{ij}})。$

(3)

式中： $ \mathrm{\rho } $ 为流体密度； $ {u}_{i} $ ， $ {u}_{j} $ 为速度矢量； ${p} $ 为流体压力； $ {\mathrm{\tau }}_{ij} $ 为笛卡尔坐标系下的粘性应力张量， $ e $ 为内能；H为总焓； $ {q}_{j} $ 为热通量矢量。

1.2 结构动力学

描述非线性系统的结构动力学方程为：

$ {\boldsymbol{M}}\ddot x(t) + {\boldsymbol{C}}\dot x(t) + {\boldsymbol{K}}x(t) = F(t)。$

(4)

式中：M表示质量矩阵；C表示阻尼矩阵；K表示刚度矩阵； $ \ddot{{x}} $ ， $ \dot{{x}} $ ，x分别表示叶片结构的加速度，速度和位移；F为载荷矢量。

1.3 模型

本文以跨声速小展弦比压气机转子叶片NASA rotor37为算例，设计转速17188.7 r/min，叶尖速度455.096 m/s设计压比2.106，质量流量20.188 kg/s，动叶叶片数36，展弦比1.19，进口轮毂比0.7，叶顶间隙0.356 mm。

流场网格采用Autogrid5的O4H拓补与附加的上下游h块一起使用。网格无关性验证时，给定设计转速下的出口质量流量为设计流量20.188 kg/s，图1为4种网格下叶片的压比对比，流场网格数选取118万。

以下计算中的钛合金在常温下主要力学性能参数为：密度4620 kg/m³，泊松比0.36，弹性模量96 GPa，抗拉强度930 MPa，屈服强度930 MPa。不考虑温度变化对材料属性的影响。

2 静气动弹性计算 2.1 定常气动计算

定常气动计算，壁面边界层y+基本上小于1，满足SST湍流模型的使用要求。初始条件以及边界条件：轴向进气，进口给定来流总温度和总压力，出口边界给定简单径向平衡下的平均静压，壁面条件为绝热无滑移壁面，周期边界条件为流道的上下表面。通过调节转速和对应转速下的出口反压，可以得到压气机的特性曲线，图3为设计转速下的计算结果与NASA实验报告上的数据^[13]对比，基本贴合实验曲线，由于没有考虑前排导叶和后排静子，会产生一定误差。

2.2 叶片模态分析

采用有限元分析软件Nnsys进行模态分析，假设叶片根部刚度足够大，采用固定约束，对压气机叶片分别进行静态，施加设计转速下的离心预应力，施加设计转速的离心力和气动力下的模态分析，可以得到叶片结构的各阶频率和振型。以钛合金为例，表1和表2是前6阶计算结果。

相对高阶振型，低阶振型对结构振动特性影响更大，起着决定性的作用。带扭转的变截面叶片，在阶次较高的时候，出现的往往是复合振型。转子在高速旋转时，离心惯性力会使叶片刚化，固有频率增大，各阶模态振型基本与静态一致，进一步对比发现，其对弯曲振型频率的影响更加显著，对低阶模态的影响明显大于高阶。气动力对叶片固有频率影响较小，气动力和离心力共同作用下的结果与只施加离心力下基本一致，气动力对叶片固有频率的影响可以忽略。对于叶轮机械，如果激振频率与其固有频率相近，则会发生共振，产生破坏。

2.3 静气动弹性分析

叶片在工作状态下，过大的轴向变形会导致动叶与静叶碰摩，过大的径向变形会导致机匣碰摩，过大的周向变形则会造成攻角变化波动太大，严重时会加剧叶背的气流分离，甚至会发生失速，因此分析弹性变形很有必要。

将计算定常流场得到的的叶片气动载荷加载到叶片结构上，可以得到加入流场气动力的叶片静气动特性。以钛合金为例，图4和图5为设计转速下高效率点工况的形变情况。

离心载荷作用下，叶片主要发生扭转变形，叶尖处由于速度大，惯性力大，变形更严重，其中叶尖前缘最大，后缘其次，中间最小。气动载荷下，吸力面和压力面的压差会导致叶片发生弯曲变形，其中叶尖前缘处变形最大。共同作用时，叶片主要发生弯曲变形，还带有小幅度的扭转变形，叶尖前缘变形量大，后缘基本不发生变形。下面以钛合金材料为例具体分析设计转速下不同压比时的各变形分量。如图7和图8所示。其中，轴向分量Z以流向为正，周向分量X以叶片旋转方向为正。径向Y以拉伸为正。

可以看到，气动力和离心力在前缘的各变形分量同号，在后缘的各变形分量异号，说明气动力和离心力在前缘方向相同，后缘相反。共同作用下，前缘变形量中轴向变形量最大，周向变形量其次，径向变形量最小。前缘形变量中气动载荷导致的变形量占比较大，随着流量的增加，压比的减小，气动载荷引起的各变形分量都减小，共同作用下的形变量也减小。后缘变形量由离心惯性力主导，质量流量增大，气动载荷引起的各变形量减小，总变形量增加。对于该转子叶片来说，同转速的不同气动工况下的变形量差异比较小。不同转速时的变形分布规律基本相同，转速越高，离心惯性力越大，同时叶片吸力面和压力面压差也越大，总变形量也越大。

考虑到叶片的变形，在叶片建模时把高效率点的形变量加进去，得到考虑变形后的叶片，重新进行流场分析，其他条件不变，可以得到考虑叶片变形的压比质量流量曲线如图9所示。

可以看到，考虑了叶片的弹性变形之后，等转速线出现向右上偏移，更贴近实验数据。由于考虑转子叶片的变形，叶尖安装角变小，进口气流角变大，压气机通道流通能力增强，质量流量增大。

2.4 材料分析

当叶片材料选用马氏体时效钢（18Ni200，杨氏模量190 GPa，泊松比0.3，密度8000 kg/m³）时，发现叶片前缘变形量发生了较大的变化。定义性质介于马氏体时效钢和钛合金之间的4种材料如表3所示。

用上节的方法计算，可以得到设计转速下高效率点工况不同材料的叶尖前缘变形量以及各分量，结果如表4和表5所示。

可以发现材料的泊松比和杨氏模量对离心载荷形变占比基本没有影响。改变密度会显著的改变这一比例，密度增大，导致离心载荷增大，离心载荷形变占比则明显增大。

获取叶片准确的应力分布对叶片失效的判断和寿命的预测非常关键。在离心载荷和气动载荷共同作用时，不同材料下的叶片等效应力分布类似，只是数值上的区别。以钛合金为例，压力面应力集中区域主要包括叶身中部和叶根前缘处，吸力面应力集中区域主要包括叶根前缘处和叶根接近后缘处，如图10和图11所示。

由于建模时没有考虑榫头和叶片根部的倒角，所以固支边界条件与实际情况产生偏差，导致叶片根部的应力偏大。所以取图中的A，B，C三处应力较为集中的点为参考点。表6是相同工况，不同材料下3点的应力值对比。

可以看到，密度对3个参考点等效应力的影响（对比18Ni与材料b，或者材料d与钛合金）很大，密度大则离心载荷大，进而导致了等效应力大。泊松比和杨氏模量对3个参考点等效应力的影响则比较小。其中泊松比的增加（对比18Ni与材料a，或者钛合金和材料c）会显著增大吸力面前缘处应力，其他应力较集中处差异不大；杨氏模量的增加（对比材料a和材料d，或者材料b和材料c）也会显著增大吸力面前缘处应力，其他应力较集中处差异也不大，这是离心载荷和气动载荷的作用形式不同导致。

3 结　语

本文采用单向流固耦合的方法对高性能跨声速压气机转子叶片的静气动弹性问题进行了数值模拟，主要结论如下：

1）不同工况下，叶片在气动力和离心惯性力作用下的静气动弹性变形基本一致，都是以弯曲变形为主，主要改变的是上半叶高的气流角，导致叶片通道的通流能力增强。考虑了叶片变形后的气动特性曲线往右上移动，更加贴近实验数据。

2）材料属性的不同会导致叶片静气动弹性变形中不同载荷导致的变形量占比不同，材料的泊松比和杨氏模量对离心载荷形变占比基本没有影响。改变密度会显著的改变这一比例，密度增大，导致离心载荷增大，离心载荷形变占比则明显增大。

3）不同材料时，叶片在气动力和离心惯性力作用下的应力分布整体一致，密度对应力值影响很大，密度大则离心载荷大，进而导致了等效应力大。泊松比和杨氏模量对应力的影响则比较小，其中泊松比和杨氏模量的增大都会显著增大吸力面前缘处应力，其他应力较集中处则差异不大。这是离心载荷和气动载荷的作用形式不同导致。