0 引　言

主动声自导是鱼雷进行目标探测的主要手段，鱼雷在自导探测中，通常可以按距离分为远程、中程、近程和末程探测，不同的探测距离所采用的主动探测信号也不一样，在远程、中程探测中，一般采用LFM信号作为主动寻的信号，通过拷贝相关的方法来进行回波检测，但在敌我双方存在高速机动的情况下，将产生较大的多普勒频偏，导致该方法检测性能急剧下降甚至失效。因此，开展高速情况下的主动声自导目标探测新技术、新方法的研究具有重要意义。

针对高速运动带来的较大多普勒频偏问题，结合分数阶傅里叶变换（fractional Fourier transform，FRFT）能量聚集特性在处理chirp类信号时的具大优势，开展相关新方法的研究。FRFT原理和相关特性前人已经进行了较为深入的研究^[1]，其性质可以完美应用于主动声自导回波信号检测。同时，分数阶傅里叶变换的快速算法也已经实现^[2-4]，其计算复杂度与传统傅里叶变换的算法复杂度相当。

在分数阶傅里叶变换理论的基础上，讨论FRFT能量聚集特性应用于主动声自导回波检测的机理和可行性，提出一种基于分数阶傅里叶变换的主动声自导回波信号检测方法，并给出了详尽的理论公式推导。最后针对上述方法进行仿真分析，比较了所提FRFT方法与传统拷贝相关检测方法的检测性能。

1 分数阶傅里叶变换方法

分数阶傅里叶变换(FRFT)近年来得到了快速的发展，随着研究工作的不断深入，使得FRFT理论在信号处理领域引起了广泛的关注，研究人员对分数阶傅里叶变换的解释和定义也作出了进一步的说明。

连续FRFT的变换核函数定义如下：

$ {K_\alpha }(t,u) = {A_\alpha }{e^{j{\text{π }} ({t^2} + {u^2})\cot \alpha - j2{\text{π }} tu\csc \alpha }}。$

(1)

式中： $ \alpha $ 为信号变换的旋转角度，并且

$ {A_\alpha } = \frac{{{e^{[ - {\rm{j{\text{π}}sgn}}(\sin \alpha )/4 + j\alpha /2]}}}}{{\sqrt {|\sin \alpha |} }}。$

(2)

分数阶傅里叶变换及其逆变换可以分别定义为：

$ {X_\alpha }(u) = {F_\alpha }\{ x(t)\} (u) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t){K_\alpha }} (t,u){\rm{d}}t ，$

(3)

$ x(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{X_\alpha }(u)} {K_{ - \alpha }}(t,u){\rm{d}}u。$

(4)

旋转角度 $ \alpha $ 的范围界定为 $0 < |\alpha | < {\text{π }}$ 。在时频二维坐标平面上，傅里叶变换可以看作是给定信号在频率轴上的投影，而分数阶傅里叶变换就相当于给定信号在与时域轴夹角为 $ \alpha $ 的坐标轴上的投影，如图1所示。式中 $\alpha = p{\text{π }} /2$ ， $ p $ 定为FRFT的变换阶次，不同的变换阶次 $ p $ 代表不同的信号旋转角度。 $ {F^p} $ 表示FRFT运算的算子符号，后续也都沿用这种表示来代表FRFT。更多有关FRFT的解释和说明可以参考L.B.Almeida等^[5]的论著。

FRFT一个很重要的特性是其在分数域中的能量汇聚特性，傅里叶变换可以看作是信号在简谐信号基上的分解，与傅里叶变换一样，FRFT也是一种基表示的方法，它的基函数是一族线性调频信号。在傅里叶变换中，具有单一频率分量的信号(如正弦或余弦信号)在频域中对应一个脉冲。同样，在FRFT中，一个LFM信号在其最佳变换阶数的分数域内也对应着一个脉冲，并且该脉冲信号能量聚集于被变换LFM信号的中心频率处。因此，在实际应用中，针对线性调频信号，运用分数阶傅里叶变换进行信号处理是一种非常有效的方法。

2 基于FRFT的主动声自导回波检测方法

根据LFM信号在分数阶傅里叶域中的能量汇聚特性，提出一种新的鱼雷主动声自导LFM回波检测方法。新方法可以有效应用于鱼雷远程、中程的主动探测，在多普勒频偏较大，可能导致传统检测方法失效时，该方法仍然能够得到明显的检测尖峰。

首先对LFM信号在分数阶傅里叶域中的能量汇聚特性进行分析。一个LFM信号表达式可由下式给出:

$ x(t) = {a_0}{e^{j(2{\text{π }} {f_0}t + {\text{π }} {\mu _0}{t^2} + {\varphi _0})}} 。$

(5)

式中： $ {a_0} $ ， $ {f_0} $ ， $ {\mu _0} $ 和 $ {\varphi _0} $ 分别代表LFM信号的幅值、中心频率、调频斜率以及信号的初始相位。根据式(1)中FRFT的定义，当 $ {f_0} = 0 $ 时，式(5)中 $ x(t) $ 的 $p = $ $ 2/{\text{π }} \cdot {\tan ^{ - 1}}( - 1/{\mu _0})$ 阶FRFT可以表示为:

$ {F^P}[x(t)] = {X_p}(u) = {A_p}\delta (u) 。$

(6)

式中： $ {A_p} $ 是一个与FRFT的变换阶数 $ p $ 有关的系数， $ \delta (u) $ 是一个冲击函数。由式(6)可知，在 $ p $ 阶分数阶傅里叶域中，信号经过FRFT以后能量汇聚到 $ u = 0 $ 这一点上，即LFM信号 $ x(t) $ 在 $ p $ 阶分数阶傅里叶域中具有最强的能量汇聚特性。

也就是说，对于给定的LFM信号 $ x(t) $ ，选取最佳变换阶数进行FRFT，如图2所示。

可知，在分数阶傅里叶域中，当选取最佳变换阶数时，信号的能量基本上都汇聚到了 $ u = 0 $ 这一点上，图2中FRFT后的信号之所以不是理想的脉冲信号，是因为在计算FRFT时不可避免地引入了计算误差。

因此，对于给定的LFM信号，对应该信号的最佳分数阶变换阶数 $p = 2/{\text{π }} \cdot {\tan ^{ - 1}}( - 1/{\mu _0})$ 进行FRFT，可以得到一个尖峰脉冲。但是，当回波信号存在多普勒频偏时，接收到的LFM信号斜率将发生变化，即相应的“最佳”分数阶数 $ p $ 将产生变化，此时可以根据鱼雷和目标的最大速度设定一个多普勒频偏范围 $ \pm fd $ ，该多普勒频偏对应的最佳分数阶数变化为 $ \pm \Delta p $ ，利用搜索的方法在范围 $ [p - \Delta p,p + \Delta p] $ 内寻找能量聚集效果最好的阶数，即可得到变化后的最佳分数阶数 $ {p_0} $ 。而相对于LFM信号，任意一个白色信号的能量在整个时频平面上都是均匀分布的，它的能量在任何阶数的分数阶傅里叶域中都不会发生汇聚。

综上，根据FRFT在处理LFM信号的能量聚集特性，本文所提基于FRFT的主动声自导回波信号检测新方法实现过程如下：

首先假设鱼雷探测声呐发射的LFM探测信号为 $ s(n) $ ,接收端收到的回波信号为 $ r(n) $ ， $ r(n) $ 即为 $ s(n) $ 经目标反射后叠加上各种环境影响后的信号。

步骤1　对 $ r(n) $ 进行分数阶傅里叶变换，设 $ r(n) $ 对应的最佳分数阶傅里叶变换阶数为 $ {p_0} $ ， $ r(n) $ 变换到分数阶域信号表示 $ {r_{{p_0}}}(u) $ ，则具体计算流程如下式：

$ {r_{{p_0}}}(u) = {F^{{p_0}}}[r(n)]。$

(7)

对变换后得到的 $ {r_{{p_0}}}(u) $ 模值 $ |{r_{{p_0}}}(u){|^2} $ 取最大值，在分数域对该信号在最大峰值处进行加窗处理，由于该分数域信号为一个冲击函数，选择矩形窗函数 $ w(u) $ 进行乘积运算，对加窗处理后的信号再按最佳分数阶傅里叶变换阶数 $ {p_0} $ 进行逆FRFT变换到时域，即可提取出相应的时域信号 $ s'(n) $ ，该时域信号 $ s'(n) $ 即为原始探测信号为 $ s(n) $ 受多普勒影响后的频率偏移信号，如下式：

$ s'(n)={F}^{-{p}_{0}}[{r}_{{p}_{0}}(u)·w(u)]。$

(8)

步骤2　以上述提取的信号 $ s'(n) $ 为拷贝相关处理的参考信号，与接收的回波信号进行拷贝相关处理，即可得到所需峰值检测信号。

3 仿真分析

通过Matlab仿真进行验证。

首先，进行多普勒频偏对分数阶傅里叶变换信号和传统拷贝相关的影响进行仿真分析。设主动声自导探测LFM信号脉宽为300 ms，中心频率 $ {f_0} = 15 $ kHz。仿真信道只加入了高斯白噪声的影响。

假设不存在多普勒频移的影响，即多普勒频偏为0。分别在信噪比SNR=0 dB，SNR=−6 dB，SNR=−12 dB条件下进行仿真，仿真结果如图3所示。

可知，在没有多普勒频偏，保证一定信噪比的情况下，分数阶傅里叶变换和拷贝相关处理方法都能得到明显的检测峰值，随着信噪比的降低，从0 dB 到−12 dB ，FRFT检测性能也跟着下降，而拷贝相关方法基本不受影响。此时，拷贝相关检测方法为最优检测法。

其他参数不变，加入多普勒频偏，设探测信号发射端和被探测目标两节点间的相对移动速度分别为8 kn与20 kn，即多普勒频偏分别为40 Hz和100 Hz，仿真结果分别如图4～图6所示。

可以看出，在不同信噪比下，随着多普勒频偏不断增大，拷贝相关的幅度峰值逐渐降低且峰值出现的位置也发生了偏移，当多普勒频偏达到100 Hz时，拷贝相关输出的峰值几乎很难被准确检测。而分数阶傅里叶变换在对应于最佳分数阶数输出时，峰值的幅度几乎没有变化，只不过对应不同的多普勒频偏，相应的最佳变换阶数发生了改变，仍然可以很好的进行信号提取。

因此，结合先提取、再相关的新检测方法进行仿真验证。第一步，对回波信号进行FRFT变换、加窗以及逆FRFT得到所需的频率偏移的提取信号；第二步，以该提取信号与回波信号进行拷贝相关处理。

LFM信号脉宽为300 ms，中心频率 $ {f_0} = 15 $ kHz，信噪比SNR=0 dB，多普勒频偏为100 Hz。首先对生成的回波信号进行最佳阶次分数阶傅里叶变换，FRFT后的信号在分数阶域进行矩形加窗处理，得到图7(a)所示信号，然后再进行相应阶数的分数阶逆变换，所得时域波形如图7(b)所示。

在提取出图7（b）所示时域信号以后，以该信号作为拷贝相关器的参考信号进行拷贝相关处理，所得结果如图8所示。

可知，在多普勒频偏较大的情况下，通过FRFT提取参考信号，再进行拷贝相关处理的新方法仍然可以得到明显的检测尖峰。

图9给出了相同信噪比、不同多普勒频偏情况下基于分数阶傅里叶变换检测方法与拷贝相关检测方法的检测概率ROC分布曲线。可以发现，在无多普勒频移或者多普勒移偏较小时，拷贝相关检测方法好于基于FRFT的检测方法，为最优检测方法。随着多普勒频移不断增大，当达到一定临界值时，拷贝相关检测方法性能急剧下降，而基于FRFT的检测方法仍然具有较好的检测性能，在相对较低虚警概率的情况下依然能够获得较高的检测概率。

4 结　语

在结合主动声自导和分数阶傅里叶变换相关特性的基础上，开展了FRFT应用于主动声自导回波检测的研究，提出了一种新的基于FRFT的主动声自导回波信号检测方法，并与传统的拷贝相关处理方法进行比较。仿真结果表明，当不存在多普勒频偏时，传统拷贝相关处理方法为最佳检测方法，但随着多普勒频偏不断增大，当达到一定临界值时，拷贝相关检测方法性能会急剧下降直至失效，而基于FRFT的检测方法仍然能够得到明显的检测峰值，达到较好的检测性能。