0 引　言

对于大型船舶与海洋工程结构物，其工作环境复杂、载荷多变且具有不确定性，通常疲劳造成的破坏是结构主要的破坏模式之一。目前，船舶疲劳强度计算总体分为规范法和直接计算法，其中直接计算法以频域谱分析法为主。频域谱分析法计算时通常认为热点应力范围服从Rayleigh分布，但在实际船舶与海洋结构物中，交变应力通常是一个宽带随机过程。因此，用窄带Rayleigh分布模型进行疲劳损伤计算往往会导致结果偏于保守。许多学者提出不同方法对宽带交变应力过程下的船舶疲劳强度进行计算。Wirsching等^[1]利用大量的工程真实应力谱进行仿真模拟，得到雨流修正系数来降低窄带计算结果的保守性。官飞^[2]提出利用Monte-Carlo法得到应力时间历程，再基于雨流计数法及Miner累计准则得到宽带随机过程下的结构疲劳寿命估算方法。甄春博等^[3]研究随机过程的峰值分布，认为热点应力峰值及范围服从Rice分布并求解分布中的超越函数，从而解决宽带过程下的疲劳问题。Li等^[4]为模拟真实宽带海况，提出基于时域的船舶疲劳强度计算方法。

目前而言，时域疲劳评估方法是被公认的最精准的评估方法^[4]，但大多数海洋结构物的结构复杂并且包含千种疲劳计算工况，即便是计算机技术如此发达的今天，完整的时域分析也相当耗时，根本无法满足工程实际中快速预估的要求^[5]。为解决频域计算时将应力范围假设成Rayleigh分布而造成的结果保守问题以及时域分析过于耗时、难以考虑全海况长期预报的问题，本文提出一种改进谱分析法。以频域谱分析法为基础，将谱分析法得到的应力功率谱密度转化为热点应力时间历程，通过雨流计数法得到热点应力幅值与均值，最后基于Miner损伤累积准则和S-N曲线得到长期疲劳损伤结果。

1 基于频域谱分析法的船舶疲劳强度直接计算 1.1 频域谱分析法疲劳损伤及寿命计算

依据某一海况分布，进行波浪载荷加载及船体结构应力响应计算，再求得应力响应传递函数后，可得到应力响应谱。应力响应谱为：

$ {G}_{XX}({\omega }_{e})={\left|{H}_{\sigma }({\omega }_{e})\right|}^{2}·{G}_{\eta \eta }({\omega }_{e})。$

(1)

式中： $ {G}_{\eta \eta }({\omega }_{e})$ 为以遭遇频率w_e所表示的波能谱，通常采用双参数的P-M谱； $ {H}_{\sigma }({\omega }_{e}) $ 为遭遇频率w_e下的应力响应传递函数。

各短期海况应力交变过程的应力峰值服从Rayleigh分布，其概率密度函数为:

$ {f_s}(S) = \frac{S}{{4{m_0}}}\exp\; \left( - \frac{S}{{8{m_0}}}\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant S \leqslant + \infty 。$

(2)

式中：S为交变应力；m₀为应力响应谱G_XX(w_e)的零次距。

考虑所处海况和航向，船舶处于i海况和j航向时，疲劳损伤度为：

$ {D_{ij}} = \frac{{{T_{ij}}{f_{0ij}}}}{A}\int_0^{ + \infty } {{S^m}} {f_{sij}}(S){\rm{d}}S 。$

(3)

式中：m和A为S-N曲线参数； $ f_{ {0ij }} $ 为零穿越期望值； $ f_{sij}(S) $ 为i海况和j航向时的应力范围概率密度函数。

将式(2)代入式(3)，i海况和j航向时，疲劳损伤度D_ij表达式转变为：

$ D{\text{ = }}\sum\limits_{i = 1}^{{n_s}} {\sum\limits_{j = 1}^{{n_H}} {{D_{ij}}} = \frac{{{T_D}}}{A}} \Gamma \left(1 + \frac{m}{2}\right)\sum\limits_{i = 1}^{{n_s}} {\sum\limits_{j = 1}^{{n_H}} {{p_i}} } {p_j}{f_{0ij}}{\left(2\sqrt {2{m_{0ij}}}\right )^m} 。$

(4)

式中：m_0ij为船舶在i海况和j航向下应力响应谱G_XX(w_e)的零次距。

根据Miner线性累计损伤准则，船舶在设计寿命T_D期间总的疲劳损伤度为：

$ D =\sum\limits_{i = 1}^{{n_s}} {\sum\limits_{j = 1}^{{n_H}} {{D_{ij}}} = \frac{{{T_D}}}{A}} \Gamma \left(1 + \frac{m}{2}\right)\sum\limits_{i = 1}^{{n_s}} {\sum\limits_{j = 1}^{{n_H}} {{p_i}} } {p_j}{f_{0ij}}{\left(2\sqrt {2{m_{0ij}}} \right)^m} 。$

(5)

式中： $ n_{s} $ 为海况数； $ n_{H} $ 为划分航向数； $ f_{ {0ij }} $ 为零穿越期望值； $ {P}_{i} $ 为各海况出现概率； $ P_{j} $ 为各航向出现概率，取值与选取的海况分布有关。

1.2 雨流修正

用频域谱分析法进行船舶疲劳强度计算时，各短期海况应力交变过程的应力峰值服从Rayleigh分布。但Rayleigh分布作为一个典型的窄带平稳过程与实际宽带海况并不符，因此利用Rayleigh分布得出的疲劳结果与实际情况存在误差。为保证疲劳结果相对可靠和精确，通常会对频域疲劳评估结果进行Wirsching -Light法雨流修正。

Wirsching -Light法^[1]雨流修正经验公式为：

$ {\lambda _{WL}}{\text{ = }}a + (1 - a){(1 - \varepsilon )^b}。$

(7)

其中： $a = 0.926 - 0.033\;m$ ； $b = 1.587\;m - 2.323$ ；m为S-N曲线的斜率；ε为带宽系数；计算公式如下：

$ \varepsilon {\text{ = }}\sqrt {1 - \frac{{{m_2}^2}}{{{m_0}{m_2}}}} 。$

(8)

式中：m_i(i=0,2,4)为应力响应谱的i次矩。

对于任一海况下的Wirsching -Light法雨流修正疲劳损伤度为：

$ {D}_{WL}\text={\lambda }_{WL}·{D}_{\rm{Rayleigh}}。$

(9)

2 基于改进谱分析法的船舶疲劳强度直接计算 2.1 改进谱分析法基本原理

新方法以谱分析法为基础得到热点应力传递函数，传递函数结合波浪功率谱得到船体结构应力的响应谱。为解决计算时将应力范围假设成Rayleigh窄带分布造成的误差，基于傅里叶逆变换得到热点应力时间历程，通过雨流计数法热点应力幅值与均值，最后基于Miner累积准则和S-N曲线计算出疲劳累积损伤度。

2.2 基于傅里叶逆变换的频域至时域的转化过程

时域法和频域谱分析法区别在于激励与响应表示形式不同，前者是以信号随时间的变化形式体现，后者则是将信号以频率的形式体现。但随机振动的激励和响应都是一个随机过程，因此激励和响应也都可以在时域和频域上完成转换。基于傅里叶变化法将时域和频域联系起来，具体流程如下：

有限长时域序列和有限长频域序列关系为

$ X(k) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x(n){e^{ - j\frac{{2{\text{π }} }}{N}nk}}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant k \leqslant N - 1 ，$

(10)

其中，N表示采样点数。

将波浪输入看成是一个平稳随机过程，对于平稳各态历经的随机过程，功率谱密度函数可以通过单边样本来描述，若单个样本的时间历程为 $x(t),t \in $ $ \left[ - \dfrac{T}{2},\dfrac{T}{2}\right]$ ，则功率谱密度表达如下式:

$ {G_x}(f) = \frac{2}{T}{\left| {X({f_n},T)} \right|^2}。$

(11)

其中： ${f_n} = n\Delta f = \dfrac{n}{T} = \dfrac{n}{{N\Delta t}}$ ；Δf为频率的采样间隔；Δt为时域信号的采样间隔；N=T/Δt；X(f_n,T)为有限离散傅里叶变换，如下式:

$ X({f_n},T) = \Delta t\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{x_k}} {e^{ - j2{\text{π }} {f_n}{t_k}}}\,\,\,\,\,\,\,\,n = 0,1, \cdots ,N/2。$

(12)

式中： ${t_k} = k\Delta t$ 。将上述f_n代入式(11)，得下式：

$ X({f_n},T) = \Delta t\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{x_k}} {e^{ - j2{\text{π }} fnk/N}}\,\,\,\,\,\,\,\,n = 0,1, \cdots ,N/2。$

(13)

将式(10)和式(12)联立，得到下式：

$ G({f_n}) = \frac{2}{{N\Delta t}}{\left| {\Delta t\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{x_k}} {e^{ - j2{\text{π }} {f_n}k/N}}} \right|^2}\,\,\,n = 0,1, \cdots ,N/2 。$

(14)

若单边功率谱密度已知，则频谱信号幅值 $\left| {X({f_n})} \right|$ 可由式(14)求解。

$ \left| {X({f_n})} \right| = \sqrt {\frac{N}{{2\Delta t}}{G_X}({f_n})} \,\,\,\,\,\,\,\,n = 0,1, \cdots ,N/2。$

(15)

将式(14)傅里叶变化得下式：

$ \left| {X({f_n})} \right| = \sqrt {\frac{N}{{2\Delta t}}{G_X}({f_n})} \,{e^{j{\phi _n}}}{\text{ = }}\left| {X({f_n})} \right|\,{e^{j{\phi _n}}}\,\,\,\,\,\,n = 0,1, \cdots ,N/2 。$

(16)

其中：Φ_n为频谱信号的相位角； $n \in (0,N - 1)$ 。

最后通过傅里叶逆变换就可以得到随机过程的离散时间序列X(t)，如下式：

$ X(t) = \frac{1}{N}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {X({f_n})} {e^{j2{\text{π }} nt/N}}\,\,\,\,\,\,n = 0,1, \cdots ,N{\text{ - }}1。$

(17)

3 基于改进谱分析法的实船算例 3.1 计算模型及热点部位选取

选用某120 m三体船，根据有限元应力计算结果选取6个疲劳热点部位，如表1所示。由于三体船的船体外形及结构复杂，疲劳热点应力计算采用直接计算方法，局部网格细化原则遵循LR规范。纵骨穿越强框架处(S₃)、连接桥和横舱壁相交处(S₆)的热点部位示意图，如图1所示。

3.2 波浪载荷及应力响应计算

波浪载荷分析主要采用三维水动力分析方法。运动响应和水动压力利用Hydrostar进行计算，计算航速为20 kn；考虑波浪方向，取航行角 $\theta = {0^ \circ }\sim {330^ \circ }$ ，间隔取30°；计算波浪圆频率取 $w = 0.1\sim 2.0\;{\rm{rad}}/{\rm{s}}$ ，步长0.1，共20个计算频率，具体工况和参数见表2。

本文采用Patran自带程序编写语言PCL进行应力自动提取。计算热点部位见表1，湿甲板与片体相交处(S₁)、65 m连接桥和三体船主船体相交处(S₄)的应力响应传递函数如图2和图3所示。

3.3 热点应力随时间变化历程转化

本船为北大西洋航线，北大西洋海况分布可见文献[6]。通过3.2节求出的应力响应传递函数及该船的航行海况，依据式(1)可得到应力响应谱。

将得到应力响应谱根据式(16)进行FTT逆变换，得到热点应力随时间变化历程。取样频率为100 Hz，取样时长为600 s，图4和图5分别为船舶航速为20 kn时计算得到的热点4和热点6在某海况下的应力随时间变化历程曲线。

3.4 雨流计数法及疲劳损伤度计算

基于Matlab编写的雨流计数程序统计一段应力时历内的应力循环水平S_i及循环次数n_i，雨流计数程序采用四峰谷值^[7]比较法实现。通常每个海况持续时间不会超过6 h，研究表明^[8]，当设置的计算时长大于3 h后，计算结果波动较小，故本文在进行长期疲劳预报时，每个海况计算时长定为3 h，计算步长设为0.5 s。图6和图7为热点3和热点5在某海况下得到的3 h内应力时历雨流计数结果。

S-N曲线选取基于 Den(1990) 和 HSE(1995) 的 B，C，D 三根 S-N 曲线。本文选取的热点类型均为weld joint，故采用 D 曲线。

通过编写循环语句可快速得到各个海况的累积损伤并进行线性叠加，最终完成6个热点在全海况的疲劳损伤度D计算。将各个方法计算出的疲劳损伤度结果汇总，如表3所示。

可以看出，频域谱分析法计算出的疲劳损伤结果比时域法的计算出的疲劳累积损伤度大2.06～8.85倍，误差范围为51.6%～88.7%。即便对频域谱分析法结果进行雨流修正后，其雨流修正后的结果也比时域法疲劳计算结果大1.66～7.24倍，误差范围为39.62%～86.20%。说明雨流修正虽对解决宽带应力过程下的疲劳问题有一定的修正作用，但仍不足以弥补Rayleigh分布所造成的误差。

将改进谱分析法与时域法计算结果作比较，可看出此方法相较于其他方法与时域结果的误差最小，改进谱分析法结果与时域结果之比范围为0.83～1.74。但部分热点处出现疲劳损伤度比时域法计算结果大的现象。上述误差及现象产生原因可以认为是2种方法是用不同手段得到的热点应力时间历程，热点应力结果有一定差异，从而导致结果有一定误差。

若以时域计算结果为精确解，可以得出结论，频域谱分析法虽然计算最简便，但计算结果误差较大，Rayleigh分布只适用于窄带海况模型，不适用于宽带随机过程。基于改进谱分析法的疲劳评估结果与精确解较为接近，两者最大差距为1.74倍，部分热点疲劳损伤度基本相同。除此之外，改进谱分析法的疲劳计算速度相较于时域方法大大加快，总体来说新方法可以提供一个宽带随机过程下的船舶可靠疲劳损伤计算结果。

4 结　语

频域谱分析法由于热点应力范围服从Rayleigh分布，进行船舶疲劳评估时误差较大，不适用于宽带随机过程。针对上述问题，提出改进谱分析法来解决宽带随机过程下的船舶疲劳评估问题，并以某120 m三体船为算例进行分析，得到如下结论：

1）频域谱分析法计算最为简便，但此方法将应力范围服从Rayleigh分布不符合实际海况宽带特点，即使对结果进行雨流修正，计算结果与时域精确解相比仍误差较大。

2）改进谱分析法以谱分析法为基础，在求得应力响应谱后，基于傅里叶逆变化得到热点应力时间历程。此方法避免了Rayleigh窄带模型给结果带来的误差，同时与时域法相比计算时间大大减少，适用于实际工程计算需求。从算例结果来看，与精确解较接近，可以提供一个较可靠的宽带随机过程下的船舶疲劳损伤结果。