0 引　言

目前，由于90%的全球贸易运输量由船舶承运^[1]，所以发展绿色船舶十分重要。1912年，D. Taylor发现船舶首部纵向和横向水下球形突出物具有减阻效果^[2]，引发了球鼻艏在船舶上的应用。球鼻艏形状影响了水面波系的分布，对减阻具有决定性意义。随着计算流体力学的发展，基于仿真的设计（simulation-based-design，SBD）^[3]逐渐成为主流。SBD船舶设计方法由几何变形、性能评估和优化算法3个部分组成。对于球鼻艏优化设计，作为性能评估的兴波阻力计算以及设计过程中的优化算法已经应用的比较广泛，差别主要在于几何形状变化还没有一个统一的算法。

对于球鼻艏的几何形状，Kracht^[2]提出了6个形状参数：宽度系数、长度系数、球鼻艏端点高度系数、球鼻艏横剖面系数、球鼻艏纵剖面系数、体积系数。Deddy Chrismianto等^[4] 采用Kracht提出的长度系数和球鼻艏端点高度系数，同时把原球鼻艏的中部剖面做宽度变化和纵向位置变化，采用球鼻艏中部剖面的宽度与首柱处横剖面宽度比和原球鼻艏中部剖面变化的新位置与球鼻艏长度比，用这4个参数代表球鼻艏的设计变量，通过Ansys软件和MOGA算法对球鼻艏进行设计。彭力等^[5]利用四次多项式和椭圆弧的组合曲线得到特征横剖面的形状，利用三次B样条得到纵向和侧向边界线，改变特征参数生成新的球鼻艏造型。Antonio Coppedé等^[6]提出了一种基于细分曲面技术和自由变形算法相组合的球鼻艏造型优化方法，几何建模通过细分曲面构建，自由变形改变鼻首的形状。冯佰威等^[7]通过对2个或多个性能优异的球鼻艏的型线进行加权融合，改变融合系数来影响球鼻艏造型。缪爱琴等^[8]通过自由变形法拉伸沿纵向、横向和垂向拉伸控制点来影响球鼻艏造型，使用kriging近似模型和多目标粒子群优化算法优化设计球鼻艏。冯佰威等^[9]采用径向基函数，通过改变3个控制点的位置影响球鼻艏在纵向和横向的造型，采用粒子群优化算法和Shipflow求解器优化。李胜忠等^[10]基于Bezier Patch对球鼻艏进行几何重构，基于可移动的控制点，在纵向选择1个变量、横向选择3个变量、垂向选择1个变量共5个设计变量来改变球鼻艏形状，以兴波阻力最小为优化目标，Shipflow作为求解器，采用粒子群算法进行优化。Shahid Mahmood等^[11]采用Gambit软件作为自由变形工具，采用球鼻艏长度、球鼻艏高度、首柱处横剖面形心高度、球鼻艏宽度，以及鼻尖点和最大宽度处的水平夹角为设计变量，采用遗传算法和Fluent软件优化总阻力。ZHANG Sheng-long等^[13]通过IPSO优化算法和求解RANS方程计算总阻力，用Sculptor中基于B样条的任意变形方法通过3个控制点使球鼻艏的形状改变。L Blanchard等^[13]通过CAD平台Axel将几何定义为NURBS曲面，移动控制点改变球鼻艏的长度和厚度，应用EGO全局优化算法设计球鼻艏。

最近，张奕等^[14]开发了一套球鼻艏曲面造型的25点插值算法，通过5×5的点阵创建参数空间，确保首柱处剖面形状不变，球鼻艏的形状取决于9个控制点的位置，提出用5个设计参数来控制这9个控制点的位置，取得了较好的减阻效果。实践发现仅保持首柱处剖面形状不变，无法保证球鼻艏与船体之间几何光顺，有可能在过渡区域生成漩涡，导致船舶粘压阻力的增加。为此，在该研究的基础上，通过增加点阵的数量来增加球鼻艏与船体过渡区域的几何约束，提高过渡区域的光顺性。

1 球鼻艏建模与优化方法

根据张奕等提出的球鼻艏形状控制算法，从一个5×5的空间点阵 $\left\{ {{P_{i,j}}} \right\}$ ， $ i,j \in \left\{ { - 2, - 1,0,1,2} \right\} $ 出发，球鼻艏曲面表达为:

$ P\left( {u,v} \right) = \sum\limits_{i,j} {{f_i}\left( u \right){f_j}\left( v \right){{{P}}_{i,j}}}，$

(1)

其中， $ u \in \left[ { - {\text{2}},{\text{2}}} \right] $ ， $ v \in \left[ { - {\text{2}},{\text{2}}} \right] $ 为参变量，基函数 $ {f_i}\left( u \right) $ 具有如下对称性质:

$ {f_i}\left( { - u} \right) = {f_i}\left( u \right) = {f_{ - i}}\left( u \right)，$

(2)

且

$ P\left( {i,j} \right) = {{{P}}_{i,j}} 。$

(3)

参数空间 $ \left( {u,v} \right) \in \left[ { - {\text{2}},{\text{2}}} \right] \times \left[ { - {\text{2}},{\text{2}}} \right] $ 。

参数空间的外围正方形对应于船体在首柱处的形状，外围16个空间点均位于船体在首柱处的型表面上。通过改变其余9个点的空间位置来改变球鼻艏的造型。

1.1 球鼻艏参数化模型建立

采用上述5×5点阵构造球鼻艏^[14]，虽然保证了球鼻艏在船体首柱处的形状，却无法保证球鼻艏与船体形状的光滑过渡。为此，把点阵数量增加到7×7。同样地，用最外围的点阵保证球鼻艏在首柱处与船体形状一致，次外围点阵用以控制过渡区域沿船长方向的曲率，提高过渡区域的光顺性，其余9个控制点仍然用以控制球鼻艏的形状。如图1所示，圆周内的9个网格点给出了9个控制点的参数。

根据上述球鼻艏曲面的表达方法，拟合了KCS船的球鼻艏，得到了各控制点的初值。拟合过程如图2所示，拟合结果见图3，图中右侧黑色部分为原球鼻艏。

同理，点阵数量可以增加至9×9和11×11。

1.2 球鼻艏设计变量

在上述7×7点阵中，中间9个点的空间位置用以控制球鼻艏的形状，称为优化控制点，有27个自由度，结合球鼻艏形状的基本特点可以适当减少自由度，达到减少计算量的目的。

令设计变量为 $ {k_{ij}} $ ，i表示优化控制点的圈数，j表示不同的方向：j=1表示Z方向，j=2表示X方向，j=3表示Y方向。第3圈的8个优化控制点有24个自由度。球鼻艏宽度改变量 $ {k_{3{\text{3}}}} $ ：控制点 $ {P}_{i=1,j=（-1,0,1）} $ 沿 $ + y $ 方向移动距离 $ {k_{3{\text{3}}}} $ ，控制点 $ {P}_{i=-1,j=（-1,0,1）} $ 沿 $ - y $ 方向移动距离 $ {k_{3{\text{3}}}} $ ，其结果使球鼻艏的宽度增加了 $ {k_{3{\text{3}}}} $ 的2倍；球鼻艏高度改变量 $ {k_{3{\text{1}}}} $ ：控制点 $ {P}_{i=（-1,0,1）,j=1} $ 沿 $ + z $ 方向移动距离 $ {k_{3{\text{1}}}} $ ，控制点 $ {P}_{i=（-1,0,1）,j=-1} $ 沿 $ - z $ 方向移动距离 $ {k_{3{\text{1}}}} $ ，其结果使球鼻艏在高度方向上增加了 $ {k_{3{\text{1}}}} $ 的2倍；球鼻艏中部纵向位置改变量 $ {k_{32}} $ ：控制点 $ {P}_{i=（-1,0,1）,j=1} $ ， $ {P}_{i=（-1,0,1）,j=-1} $ ， $ {P}_{i=（-1,1）,j=0} $ 沿 $ + x $ 方向移动距离 $ {k_{32}} $ ，其结果使球鼻艏的中部向前移动了 $ {k_{32}} $ ；球鼻艏长度改变量 $ {k_{42}} $ ：鼻尖点 $ {P_{i = 0,j = 0}} $ 沿 $+ x$ 方向移动距离 $ {k_{42}} $ ，其结果使球鼻艏的长度增加了 $ {k_{42}} $ ；球鼻艏垂向位置改变量 $ {k_{41}} $ ：鼻尖点 $ {P_{i = 0,j = 0}} $ 沿 $ + z $ 方向移动距离 $ {k_{41}} $ ，其结果把鼻尖点向上抬高了 $ {k_{41}} $ 。这样，球鼻艏设计变量减少为5个： $ {k_{31}} $ ， $ {k_{32}} $ ， $ {k_{33}} $ ， $ {k_{41}} $ ， $ {k_{42}} $ 。图4简洁地给出了这5个设计变量的方向变化含义。

点阵数量增加，则设计变量的个数也增加。除中间优化控制点外每一圈优化控制点可以用3个设计变量来表示。同理，9×9点阵相对于7×7点阵的参数空间增加了一圈优化控制点，第4圈优化控制点可以用3个设计变量（ $ {k_{41}} $ ， $ {k_{42}} $ ， $ {k_{43}} $ ）表示，中间优化控制点可以用2个设计变量（ $ {k_{51}} $ ， $ {k_{52}} $ ）表示；11×11点阵相对于7×7点阵的参数空间增加了2圈优化控制点，第5圈优化控制点可以用3个设计变量( $ {k_{51}} $ ， $ {k_{52}} $ ， $ {k_{53}} $ )表示，中间优化控制点可以用2个设计变量（ $ {k_{61}} $ ， $ {k_{62}} $ ）表示。同样地，设计变量 $ {k_{ij}} $ 中，i表示优化控制点的圈数，j表示不同的方向。

1.3 多岛遗传优化算法

利用优化软件Isight的多岛遗传算法进行球鼻艏优化。多岛遗传算法（Multi-Island Genetic Algorithm）^[12]的基本原理是基于传统的遗传算法，将初始群体分成i个子种群，即每个种群处于一个岛上，每个岛上种群的大小为s，每个岛都独立地执行传统遗传算法，共进化g代，各岛的最优种群即为候选的全局最优解。当只有一个岛时，多岛遗传算法退化为传统遗传算法。岛与岛之间可以定期地进行个体迁移，以确保种群多样性与避免出现早熟，移间隔数和迁移率2个参数控制迁移过程。具体过程分为两步：

步骤1　进行全局优化，确定全局最优的候选参数，对一组设计变量 $ {k_{ij}} $ 进行寻优；

步骤2　围绕已获得的全局最优候选参数进行精细优化，以候选参数为中心确定第二次寻优的参数范围，再次优化以找到更精细的最优解。

1.4 势流计算验证模型

以兴波阻力为优化目标，利用Shipflow商业软件的兴波阻力求解器Xpan计算船舶的兴波阻力，该求解器为基于势流理论的Rankine源方法。针对KCS集装箱船考察求解器的网格依赖性。

利用xmesh模块手动划分面元。调用coarse方式的output文件可得其划分方式，结合之前的网格划分经验，最终选取了３套面元：1）球鼻艏35站，每站25个点；2）球鼻艏40站，每站20个点；3）球鼻艏5站，每站16个点。３套网格兴波阻力系数C_w计算结果分别为0.6137×10⁻³，0.6147×10⁻³，0.6152×10⁻³，相对误差低于千分之一。可见，选取第２套网格计算已经足够精确，图5给出了球鼻艏的计算网格、计算得到的压力系数和水面波纹。

2 优化主体与目标

KCS是韩国船舶与海洋工程研究所（KRISO）的标准集装箱船模，本文以KCS集装箱船为研究对象。表1列出了该船的主要参数，其中 $ {C_w} $ 为前述采取第２套网格方案的计算结果。

2.1 KCS 球鼻艏主参数

在全局优化阶段，为了保证过渡的光顺性，对于球鼻艏宽度和高度的设计变量 $ {k_{i{\text{1}}}} $ 和 $ {k_{i{\text{3}}}} $ ，其变化范围可取得小一些，而对于球鼻艏长度的设计变量变化 $ {k_{i{\text{2}}}} $ ，其变化范围可适当大一些。根据拟合得到的球鼻艏设计变量的初值经过试算确定一组合适的变化范围。在精细优化阶段，通过试算确定设计变量围绕全局最优候选参数的变化范围。

2.2 优化目标和优化参数设置

球鼻艏的优化目标函数仍为兴波阻力最小，即寻找1组使兴波阻力最小的球鼻艏设计参数，数学表达式为

$ \mathop {\min }\limits_{\left\{ {{k_{{\text{ij}}}}} \right\} \in {I^{}}} {C_w}。$

(4)

在进行全局优化时，初始种群被分成7个岛，每个岛分配7个种，繁衍7代，共运行343次。精细优化只设置一个岛，岛上子种群大小设置为10，繁衍代数设置为10，共运行100次，为了解决优化精度，不再划分多个岛。

3 优化结果与分析 3.1 优化后空间坐标及相关参数

经过两步优化，得到了2个球鼻艏形状，优化结果如表2所示。优化结果分别利用如下的兴波阻力系数 $ {C_w} $ 、球鼻艏体积 $ {\nabla _{bow}} $ 和球鼻艏湿表面积 $ {A_{wbow}} $ 的改变量进行评估：

$ {\tilde{C}}_{w}\text=\frac{{C}_{w优化后}-{C}_{w优化前}}{{C}_{w优化前}}\times 100\text{%} ,$

(5)

$ {\tilde{\nabla }}_{bow}\text=\frac{{\nabla }_{bow优化后}-{\nabla }_{bow优化前}}{{\nabla }_{bow优化前}}\times 100\text{%} ,$

(6)

$ {\tilde{A}}_{wbow}\text=\frac{{A}_{wbow优化后}-{A}_{wbow优化前}}{{A}_{wbow优化前}}\times 100\text{%} 。$

(7)

从表2和图6可以看出，3个点阵都能较好地减小兴波阻力，而且球鼻艏的体积和湿表面积都有不同程度的下降，说明球鼻艏的体积效用值得到了极大的提升。兴波阻力的相对值最多减小了11.8%。

3.2 优化后的阻力及光顺性分析

图7和图8给出了优化结果和原始方案的形状对比，图9为11×11点阵优化方案的斑马线分析图。

图10为优化结果和原始方案的舷侧（Y/L=0.0776）波切对比图，图11为11×11点阵的优化结果和原始方案的自由面波形的对比。

由图7和图8可知：7×7点阵优化方案长度略有减小，水平剖面形状有明显的瘦削；9×9点阵优化方案长度略有增加，厚度增加不明显；11×11点阵优化方案长度增加显著，且鼻尖点上移明显。优化的球鼻艏长度随着点阵数量的增加而逐渐增加，且鼻尖点有逐渐上移趋势。通过斑马线分析可直观地检查曲面的光顺程度，图9显示大部分斑马线保持光顺，说明光顺程度较好。3种优化方案均能保持与船体的光顺连接。由图10和图11可知，优化后的球鼻艏处的波面升高和船舶尾波的波面升高有明显的降低，11×11点阵优化方案长度增加和鼻尖点上移明显，波面升高降低显著，更易于水流沿纵剖线方向流动，以减少舭部产生的漩涡，9×9点阵和11×11点阵优化方案说明在一定范围内，球鼻艏的长度越长，对船体的兴波阻力越有利。

4 结　语

在已有工作的基础上，对点阵插值算法在球鼻艏优化上的应用进行了进一步的探索，在保证球鼻艏与首柱处横剖面形状一致基础上，增加了球鼻艏与船体之间过渡区域的光顺性，探索了球鼻艏形状控制点阵数量对设计结果的影响。以KCS船为研究对象，分别考察了7×7点阵、9×9点阵、11×11点阵的优化效果。结果表明，增加点阵数量不仅有效地提高了球鼻艏与船体过渡的光顺性，而且有效地减小了兴波阻力，最优方案中兴波阻力的相对值减小了11.8%。取得这一减阻效果，球鼻艏体积和湿表面积不仅没有增加，反而下降了不少。