0 引　言

在船海、汽车、航空等各工业相关领域内，液舱晃荡一直都是热门的研究课题之一。Armenio等^[1]分别用RANSE方法和SWE方法计算了0.5 m宽敞水液舱的周期横摇晃荡并与实验结果进行了对比，发现小、中振幅激励下的RANSE计算结果比SWE更加精确。此外，SWE方法在载液深度和液舱宽度之比超过0.15时将不再适用；Akyildiz等^[2]使用矩形液舱模型进行了一系列不同载液率的液舱晃荡实验以供数值方法的确认；Chen等^[3]通过实验和数值模拟探究了不同载液率和激励频率下，网格分辨率、时间步长等对数值模拟结果的影响，发现随着网格分辨率的增大，液舱冲击压力增大并趋近于实验值。

液舱晃荡引起的水体冲击会造成舱壁破坏、影响搭载液舱的运输工具运行乃至危及人员安全等不良后果。因此，国内外已有诸多学者和研究人员对液舱制荡措施进行了研究。Goudarzi等^[4]分别对矩形液舱舱底、舱底安装垂直隔板以及舱壁安装水平隔板所引起的水动力阻尼进行了实验和分析研究，发现在细长液舱中水平隔板可以更好地发挥阻尼作用而垂向隔板则更适用于宽度较大的液舱；高松强^[5]研究了带隔板三维液舱的晃荡特性，得到各形式隔板对液舱晃荡抑制作用的变化规律；Akyildiz等^[6]通过实验研究了不同载液水平下，加装环形挡板的圆柱形液舱在横摇激励下的液舱晃荡，发现环形挡板可以显著的降低晃荡载荷和最大压力。此外，相对于载液率，激励频率和幅值对液舱晃荡的影响更大。于曰旻^[7]研究了新型浮式装置的制荡效果，发现横摇激励幅值和载液率不会改变液舱晃荡的模式，新型浮式制荡装置可以通过漩涡的生成与消灭耗散液舱晃荡的能量从而产生抑制作用；Xue等^[8]针对一种将多孔材料层粘贴到液舱内周的新型制荡方法，研究了多孔材料层厚度比、孔隙率和平均孔径比对液舱晃荡特性的影响，发现对于波面升高，这些参数均呈现单调性，但是特定的厚度比和孔隙率下动压力可以达到最小值，优化的多孔材料层在制荡方面表现出色；Tsao等^[9]研究了充满多孔介质的矩形和圆柱形液舱的晃荡现象，发现与矩形液舱相比，圆柱形液舱在高模态激励下具有更强的晃荡和更高的阻尼比。

本文基于黏性流理论，借助VOF（Volume of Fluid）方法捕捉自由液面，对大型船舶液舱晃荡问题进行了数值研究。对于特殊的对称液舱布置形式，液舱的旋转轴位于液舱外部，使其晃荡特性发生了改变。本文首先证明对于横摇激励下的液舱晃荡，液舱纵向尺度的影响可以忽略，通过将三维计算降为二维大大提升了计算效率。在此基础上，对不同周期激励下的液舱晃荡特性进行了研究。此外，还研究了不同形式隔板的制荡作用。最后，通过对比模型尺度和实际尺度的计算结果，证明了运用相似理论研究液舱晃荡的可行性。

1 理论概述 1.1 流动控制方程

本文采用三维不可压缩黏性流动的RANS方程求解流场信息：

$ \frac{{\partial {{\bar u}_i}}}{{\partial {x_i}}} = 0，$

(1)

$ \frac{{\partial {{\bar u}_i}}}{{\partial t}} + {\bar u_j}\frac{{\partial {{\bar u}_i}}}{{\partial {x_j}}} = {f_i} - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial \bar p}}{{\partial {x_i}}} + \nu \frac{{{\partial ^{\text{2}}}{{\bar u}_i}}}{{\partial x_j^2}} - \frac{{\partial \overline {{u_i}^\prime {u_j}^\prime } }}{{\partial {x_j}}}。$

(2)

其中：u_i和u_j为瞬时速度分量；f_i为体积力；ρ为流体密度；p为压力；ν为流体的运动黏性系数；u_i^’和u_j^’为脉动速度分量，各参数上标的横杠表示雷诺平均。

式（2）中等式右端最后一项与脉动速度相关，称为湍流应力（雷诺应力）项。由于湍流应力是未知的，必须建立关于湍流应力的补充关系式才能使雷诺方程封闭。一是发展湍流的统计理论，利用统计方法探讨湍流脉动的机理和内部结构，目前其进展离解决实际问题还相差甚远；二是归纳半经验理论，根据一些假设和实验结果建立湍流应力和平均速度之间的关系，从而建立起封闭方程组，对解决工程实际问题起到了重大作用，这些半经验理论被称为湍流模型理论。

1.2 湍流模型

根据微分方程数量，常见的湍流模型可以分为零方程模型、一方程模型、两方程模型、四方程模型、七方程模型等。工程应用中综合考虑计算精度、计算量以及收敛性，常采用两方程模型进行CFD计算。本文采用2个微分方程构成的realizable k-ε模型^[10]模拟液舱内水体的晃荡：

$ \rho \frac{{\partial k}}{{\partial t}} + \rho {\bar u_j}\frac{{\partial k}}{{\partial {x_j}}} = {\tau _{ij}}\frac{{\partial {{\bar u}_i}}}{{\partial {x_j}}} - \rho \varepsilon + \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left[ {\left( {\mu + \frac{{{\mu _T}}}{{{\sigma _k}}}} \right)\frac{{\partial k}}{{\partial {x_j}}}} \right]，$

(3)

$ \rho \frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial t}} + \rho {\bar u_j}\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {x_j}}} = \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left[ {\left( {\mu + \frac{{{\mu _T}}}{{{\sigma _\varepsilon }}}} \right)\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {x_j}}}} \right] + \rho {C_1}\bar S\varepsilon - \rho {C_2}\frac{{{\varepsilon ^2}}}{{k + \sqrt {\nu \varepsilon } }}。$

(4)

其中：τ_ij为湍流应力；μ_T=ρC_μk²/ε(C_μ为经验系数),k为湍动能；ε为湍流耗散率；σ_k，σ_ε，C₁，C₂为经验系数；S为局部应变率。

1.3 液舱固有周期

当外部激励的周期接近液舱固有频率时，会产生共振，使液舱内水体的运动变得更加剧烈。液舱横向晃荡的固有周期一般可按下式^[11]进行计算：

$ {T_n} = \frac{{2\text{π} }}{{\sqrt {\dfrac{{g\text{π} }}{b}\tanh \left( {\dfrac{{\text{π} h}}{b}} \right)} }}\text{。}$

(5)

其中：b为液舱有效宽度；h为液舱有效载液深度。

2 数值模拟 2.1 网格划分

本文针对大型船舶对称布置的规则液舱，以船舶重心所在轴线为旋转轴，对单侧液舱在强制横摇激励下的液舱晃荡问题进行了数值研究，其中液舱尺度为35.6 m×20.5 m×15 m。本文采用商业软件STAR-CCM+对液舱三维模型（缩尺比为1∶100）进行网格划分和数值模拟，其旋转轴布置及网格划分情况如图1所示。其中液舱采用非结构切割体网格进行划分，基础网格尺寸为0.003125 m，同时以棱柱层网格捕捉舱壁及舱底边界层区域，且保证y+<1，边界层网格第一层厚度为3.2×10⁻⁵ m，增长率为1.2，共划分20层，网格总数为76.66万。各舱壁及舱底均设为无滑移壁面，舱顶设为压力出口。

2.2 二维计算可行性分析

本文主要研究液舱的横向晃荡，若可以证明纵向（x向）尺度对于液舱横向晃荡的影响不大，则可以通过降维方式缩减计算量。因此，本文分别进行了40%载液率下液舱三维模型和二维模型（缩尺比为1∶100）的强制晃荡模拟计算，其中外部横摇激励的周期为0.6 s，幅值为8°。在左侧舱壁（靠近旋转轴一侧，下同）和右侧舱壁（远离旋转轴一侧，下同）上各布置了5个压力监测点以记录舱壁不同高度处的压力变化，依次标记为1-10号，压力测点分布如图2所示，其中5号、10号测点分别位于左右舱壁与舱底交界处。

二维与三维计算各测点压力、左右舱壁处的受力及波面变化如图3所示。

其中两侧舱壁受力系数

$C_{FY}=F/(h_0^2 lρg)，$

式中：F为舱壁受力；h₀为初始液舱载液深度；l为液舱纵向长度；ρ为水的密度；g为重力加速度。

由图3可知，二维模型和三维模型的计算结果吻合良好，说明采用降维方式以二维模型替代三维模型进行计算是可行的；采用二维计算可将网格量降低至2.37万，计算效率大大提高。此外，对称的液舱布置会使靠近舷侧舱壁处的液舱晃荡相较于轴心侧的舱壁更加剧烈。

3 计算结果及分析 3.1 不同激励周期对液舱晃荡的影响

我国南海中部海域波浪平均周期约为5～12 s^[12]，而本文采用的液舱在40%载液率时固有周期约为6 s，落于南海中部海域波浪平均周期范围内。为了研究激励周期对液舱晃荡的影响，通过数值模拟对缩尺比为1∶100的二维液舱模型进行了强制横摇晃荡研究，外部激励周期从0.9T_n到2.3T_n，T_n=0.6 s（b=0.205 m，h₀=0.06 m）。

计算得到的结果如表1所示。

其中W_lmax为左侧舱壁波面高度最大值，ΔW_l为左侧舱壁波面的变化范围，W_rmax和ΔW_r分别为右侧舱壁相应值，ΔW_max为右侧舱壁波面高度最大值与左侧的差值，F_lmax，ΔF_l，F_rmax，ΔF_r和ΔF_max则为受力相应值。

以初始液舱载液深度h₀，水的密度ρ，重力加速度g对以上数据进行无因次处理，以外部激励周期与液舱一阶固有周期的比值为横轴，各无因次量为纵轴绘制成曲线如图4所示。

其中舱壁处波面高度最大值无因次量C_Wmax=W_lmax(W_rmax)/h₀，波面变化范围无因次量C_ΔW=ΔW_l(ΔW_r)/h₀，波面高度最大值差值无因次量C_ΔWmax=ΔW_max/h₀，舱壁处受力最大值无因次量C_Fmax=F_lmax(F_rmax)/(h₀²lρg)，受力变化范围无因次量C_ΔF=ΔF_l(ΔF_r)/(h₀²lρg)，受力最大值差值无因次量C_ΔFmax=ΔFmax/(h₀²lρg)。

由图4可知，T=T_n时液舱晃荡最为剧烈，此后液舱晃荡的剧烈程度随T的增大而减小，但在T=2T_n时又有所增大，整体上看T_n≤T<1.3T_n时液舱晃荡较为剧烈，应对液舱采取制荡措施以抑制舱内液体的晃荡。

不同周期的横摇激励下，右侧舱壁处波面高度最大值几乎都高于左侧，但在T_n和2T_n后一小段周期范围内左侧波面高度最大值超过右侧波面。波面变化范围大体上两侧相同，但也有和波面高度最大值相似的变化趋势。右侧舱壁处受力最大值及变化范围几乎都大于左侧，当T超过2T_n后两侧舱壁处受力最大值趋于一致。可见我国南海中部海域的波浪周期范围内，液舱舷侧舱壁处的液舱晃荡要比靠近船体中轴线的更加剧烈，因此在设计时舷侧舱壁的选材要求应更为严格。

3.2 不同形式隔板的制荡作用

剧烈的液舱晃荡会加剧船体的运动，对船舶及船上人员的安全产生影响。为研究其制荡措施，本文分别在液舱两侧舱壁及舱底加装隔板，通过数值模拟研究了不同形式隔板的制荡作用，隔板布置分为横向双隔板、垂向双隔板以及垂向单隔板，隔板形式通过调整隔板位置和长度来改变，外部横摇激励的周期为0.6 s，幅值为8°，隔板形式如图5所示。

隔板的具体布置情况如表2所示。

各隔板的制荡效果如图6所示。

其中W_lmin，W_rmin，F_lmin，F_rmin分别表示左右舱壁处波面及受力的最小值。从图6可发现隔板长度越长，制荡效果越好。对于横向双隔板，相同长度的隔板对两侧舱壁处波面的抑制效果相差不大，但在隔板位置从接近舱底向自由液面移动的过程中，右侧舱壁处压力抑制作用增加先快后慢，而左侧舱壁处则相对比较平缓。对于垂向双隔板，随着隔板长度增加，左侧舱壁处波面及受力抑制效果都优于右侧舱壁。对于垂向单隔板，其对于两侧舱壁的制荡作用相当。

此外，在隔板面积相同（隔板有效长度均为0.02 m）的情况下，对于左侧舱壁处波面，垂向单隔板抑制作用最强，垂向双隔板次之，横向双隔板最弱；对于左侧舱壁处受力，垂向单隔板抑制作用最强，垂向双隔板和横向双隔板相近；对于右侧舱壁处波面，垂向单隔板抑制作用最强，横向双隔板次之，垂向双隔板最弱；对于右侧舱壁处受力，垂向单隔板抑制作用最强，横向双隔板最弱。

3.3 液舱制荡的尺度效应研究

以上研究结果均是在缩尺比为1∶100的情况下，通过模型尺度数值计算得出的。为了研究借助相似理论通过模型尺度计算结果推导实际值和直接采用实际尺度进行数值模拟之间的差异，本文计算了不同隔板形式在实际尺度下的制荡作用，实际尺度下外部横摇激励周期设为6 s，幅值为8°，不同隔板形式在模型尺度与实际尺度的制荡作用对比如表3所示。

从表3可知，对于相同形式的隔板，实际尺度下计算得到的制荡作用基本都强于模型尺度，且2种尺度下隔板制荡作用的差异随着隔板面积的增加而减小。以垂向单隔板为例，图7为t/T_in=3.8（T_in为外部激励周期）时模型尺度和实际尺度的液舱流场矢量图。

其中l_b为隔板长度。由图7可知，当隔板面积较小时，模型尺度下高速回流区域相较于实际尺度更贴近舱底，且两者速度幅值比例约为1∶16，远小于基于傅氏数相等推导得出的理论值1∶10；随着隔板面积的增大，2种尺度下得到的液舱内速度分布情况逐步趋于一致，且速度幅值比例逐渐趋向理论推导值。这种速度分布情况及速度幅值的差异势必会影响到隔板两侧的压力分布情况，使得实际尺度下隔板制荡作用更强。

综上，相较于模型尺度的理论推导值，实际尺度下计算的液舱流场尤其是波面运动更为剧烈；对于不同形式隔板，实际尺度下模拟得到的制荡作用强于模型尺度。但这2种差异均随着隔板面积的增大而减小。在以数值模拟作为工程实际应用的参考时，可认为模型尺度的计算结果是有一定“安全裕量”的。因此，应用相似理论进行液舱晃荡研究是可行的。

4 结　语

本文通过数值模拟研究了大型船舶对称布置液舱的晃荡及制荡问题，考察了不同外部激励周期对液舱晃荡的影响、探究了不同形式隔板的制荡作用及尺度效应对制荡效果的影响。计算结果表明：

1）纵向尺度对液舱的横向晃荡影响很小，在数值模拟时可以采用二维模型替代三维模型进行计算以提升效率；

2）对于特殊的对称液舱布置形式，舷侧舱壁处的液舱晃荡比靠近船体中线面的舱壁剧烈，因此设计时舷侧舱壁应考虑选用强度相对更高的材料；

3）在40%载液情况下，一阶共振时液舱晃荡最为剧烈，应加以避免。此外，当外部激励周期处于1-1.3倍液舱固有周期范围内时，液舱晃荡较为剧烈，应采用制荡措施抑制晃荡；

4）在隔板面积相同时，垂向单隔板的制荡作用比垂向双隔板及横向双隔板好；

5）相对于实际尺度数值模拟，模型尺度下计算得到的隔板制荡作用更小。在以数值模拟作为工程实际应用的参考时，模型尺度的计算结果有一定“安全裕量”，应用相似理论进行液舱晃荡研究是可行的。