0 引 言

舰船机械设备的稳定运转是产生机械振动的主要因素之一，为了减小机械设备的振动幅度，一般采用在基础与被隔振物体之间设置隔振器。准零刚度隔振系统因其特有的高静低动刚度特性在减振降噪方面应用广泛，在参数设置理想的情况下能展现出很好的隔振性能，而且相比传统线性隔振器，其在低频隔振领域应用广泛。然而在实际工程中，受环境等因素的影响，系统元器件的参数会发生一定的改变，对这些参数的变化并非能够随时随地的掌握。与此同时，准零刚度隔振系统属于非线性系统，含有三次方项，参数的改变可能使系统从小振幅运动状态变换到大振幅运动状态，不利于机械设备的正常工作。设计一种控制器，使准零刚度隔振系统在参数发生扰动的情况下仍然能够控制被隔振设备运行在小振幅运动状态是本文研究的主要内容。

自适应控制经过近几年的发展，能很好地融入到各种控制系统并取得很好的控制效果，梁翠香等^[1]将其应用在Qi系统的混沌控制，在参数受到较大扰动的情况下仍使系统保持渐近稳定。陈学菲等^[2]将其应用在参数不确定的非自治混沌系统，并证明了误差系统是指数稳定的。程春蕊等^[3]基于自适应滑模控制方法，对非线性混沌系统在模型不确定和外部扰动的情况下的同步问题进行研究，得到一类带有模型不确定性和外部扰动项的整数阶及分数阶非线性混沌系统的同步。刘梓豪^[4]基于SD振子理论，建立一种载荷自适应的准零刚度隔振系统，解决了振动过程中载荷质量变化的问题。姚立强^[5]针对一类随机非线性系统，引入辅助子系统设计控制器，并验证了控制策略的有效性和可行性。李国军等^[6]提出了一种带有修正偏差功能的自适应控制策略，解决了控制过程中的颤振问题。

本文延续自适应控制算法在非线性控制领域的广泛应用，针对两自由度准零刚度隔振系统参数受到扰动的情况，首先对隔振系统进行动力学建模得到系统的动力学方程，对系统的动力学特性进行分析，利用数值仿真的方法得到系统的分岔图，然后设计基于系统变量为观测量的参数自适应控制器，并利用直接方法证明受控系统的全局稳定性。最后通过数值仿真证明所设计的控制器的有效性。

1 两自由度准零刚度隔振系统建模

两自由度准零刚度隔振系统一阶形式无量纲动力学微分方程^[7]为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {y_1}\text{，} \\ {{\dot y}_1} = - {\xi _1}({y_1} - {y_2}) - ({x_1} - {x_2}) + \gamma {({x_1} - {x_2})^2} -\\ \qquad {({x_1} - {x_2})^3} + f\cos \omega t \text{，} \\ {{\dot x}_2} = {y_2} \text{，} \\ {{\dot y}_2} = - w{\xi _2}{y_2} - w{k_2}{x_2} + w{\xi _1}({y_1} - {y_2}) + w({x_1} -\\ \qquad {x_2}) - w\gamma {({x_1} - {x_2})^2} + w{({x_1} - {x_2})^3} \text{。} \end{array} \right. $

(1)

其中： $X = {\left[ {{x_1},{y_1},{x_2},{y_2}} \right]^{\rm{T}}} \in {R^{\text{4}}}$ 为系统的状态向量；参数 $ \gamma $ ， $ f $ ， $ \omega $ ， $ w $ ， $ {k_2} $ ， $ {\xi _i}\left( {i = 1,2} \right) $ 均为正实数。

2 动力学特性数值分析

对系统刚度 $ {k_2} $ 的分岔特性展开研究，设定系统参数 $ \gamma {\text{ = 2}} $ ， $ f{\text{ = 6}}{\text{.8}} $ ， $ {\xi _i}{\text{ = 0}}{\text{.1}} $ ， $ w{\text{ = 0}}{\text{.5}} $ ，初始状态向量（位移、速度）选择 $X = {\left[ {{\text{0}},{\text{0}},{\text{0}},{\text{0}}} \right]^{\rm{T}}}$ 。在舰船机械设备中，系统的振动是通过基座向外部传递，选取基座的位移进行分岔分析，通过数值计算得到当 $ {k_2} $ 为分岔参数时的局部分岔图如图1所示。

图1表明当 $ 0 < {k_2} < 1.92 $ 时，系统处于渐近稳定状态，处于周期运动，且基座的振幅随参数的增大逐渐增大，当 $ {k_2} = 1.92 $ 时系统发生Hopf分岔。 $ {k_2} > 2.22 $ 时，系统的周期轨道失去稳定性最后通向混沌。取 $ {k_2} = 1 $ ,系统稳态相图和功率谱图如图2和图3所示；取 $ {k_2} = 2.1 $ ，系统稳态相图和功率谱图如图4和图5所示；取 $ {k_2} = 2.5 $ ，稳态之后系统稳态相图和功率谱图如图6和图7所示。由图2～图7可知随着系统参数 $ {k_2} $ 的不断增大，系统的运动状态发生明显的改变，并且系统的功率谱也逐渐增大，不利于设备的正常工作。

3 参数自适应控制 3.1 控制器的设计

选取隔振系统结构参数 $ \gamma \text{=2}\text{，}f\text{=6}\text{.8}\text{，} \omega \text{=1}\text{.6}\text{，} {\xi }_{i}\text{=0}\text{.1} $ ， $w\text{=0}\text{.5}$ ，初始状态向量（被隔振物体和基座的位移和速度）选择 $X = {\left[ {{\text{0}},{\text{0}},{\text{0}},{\text{0}}} \right]^{\rm{T}}}$ 时， $ {k_2} $ 为受到扰动的参数，此时受控系统为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {y_1}\text{，} \\ {{\dot y}_1} = - {\text{0}}{\text{.1}}({y_1} - {y_2}) - ({x_1} - {x_2}) + {\text{2}}{({x_1} - {x_2})^2} -\\ \qquad{({x_1} - {x_2})^3} + {\text{6}}{\text{.8}}\cos {\text{1}}{\text{.6}}t \text{，} \\ {{\dot x}_2} = {y_2} \text{，}\\ {{\dot y}_2} = 0.5( - {\text{0}}{\text{.1}}{y_2} - {k_2}{x_2} + {\text{0}}{\text{.1}}({y_1} - {y_2}) +\\ \qquad({x_1} - {x_2}) - {\text{2}}{({x_1} - {x_2})^2} + {({x_1} - {x_2})^3}) \text{。} \end{array} \right. $

(2)

设式（2）的参考模型为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {y_1} \text{，} \\ {{\dot y}_1} = - {\text{0}}{\text{.1}}({y_1} - {y_2}) - ({x_1} - {x_2}) + {\text{2}}{({x_1} - {x_2})^2} -\\ \qquad{({x_1} - {x_2})^3} + {\text{6}}{\text{.8}}\cos {\text{1}}{\text{.6}}t \text{，} \\ {{\dot x}_2} = {y_2} \text{，} \\ {{\dot y}_2} = 0.5( - {\text{0}}{\text{.1}}{y_2} - 0.1{x_2} + {\text{0}}{\text{.1}}({y_1} - {y_2}) + \\ \qquad({x_1} - {x_2}) - {\text{2}}{({x_1} - {x_2})^2} + {({x_1} - {x_2})^3})\text{，} \end{array} \right. $

(3)

当参数 $ {k_2} $ 发生变化，由局部分岔分析结果可得当参数达到一定值时，系统运动状态发生变化，振幅逐渐增大，功率谱也逐渐增大，这些都不利于舰船设备的正常工作。现要求隔振系统可以在参数发生变化的情况下始终运行到期望的小振幅运动状态，根据参数自适应控制理论，设计如下以被隔振物体和基座位移之差为观测量的自适应控制器：

$ {\dot k_2} = - \left( {{k_2} - 0.1} \right){\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} \text{，}$

(4)

则式（2）变为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {y_1} \text{，}\\ {{\dot y}_1} = - {\text{0}}{\text{.1}}({y_1} - {y_2}) - ({x_1} - {x_2}) + {\text{2}}{({x_1} - {x_2})^2} -\\ \qquad{({x_1} - {x_2})^3} + {\text{6}}{\text{.8}}\cos {\text{1}}{\text{.6}}t \text{，}\\ {{\dot x}_2} = {y_2} \text{，}\\ {{\dot y}_2} = 0.5( - {\text{0}}{\text{.1}}{y_2} - {k_2}{x_2} + {\text{0}}{\text{.1}}({y_1} - {y_2}) +\\ \qquad({x_1} - {x_2}) - {\text{2}}{({x_1} - {x_2})^2} + {({x_1} - {x_2})^3}) \text{，}\\ {{\dot k}_2} = - \left( {{k_2} - 0.1} \right){\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} \text{。} \end{array} \right. $

(5)

为证明所设计控制器的稳定性，根据李雅普诺夫稳定性定理，首先构造Lyapunov函数：

$ V\left( t \right) = \frac{1}{2}{\left( {{k_2} - 0.1} \right)^2}\text{，} $

(6)

求导得：

$ \begin{split} \dot V\left( t \right) =& \left( {{k_2} - 0.1} \right){{\dot k}_2} = \left( {{k_2} - 0.1} \right)\left( { - \left( {{k_2} - 0.1} \right){{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \right) =\\ & - {\left( {{k_2} - 0.1} \right)^2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} \leqslant 0\text{，} \\[-12pt] \end{split} $

(7)

由式（6）和式（7）可知 $ V $ 有极值且收敛于某一值，又由于参数 $ {k_2} $ 在没有受到干扰的情况下是隔振器的理想参数，是一个定值，所以有如下关系式：

$ \underset{t\to \infty }{\mathrm{lim}}{\displaystyle \int_{t}^{0}\dot{V}\left(t\right){\rm{d}}t=}V\left(\infty \right)-V\left(0\right)=\text{有限值，} $

(8)

式(8)表明当 $ t \to \infty $ 时，它的积分极限存在，故必有

$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \dot V\left( t \right) = 0 \text{，}$

(9)

由于式（7）中 $ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} $ 当 $ t \to \infty $ 时并不常为0，故有

$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {{k_2} - 0.1} \right) = 0\text{。} $

(10)

由此证明受控系统是渐进稳定的，实现了两自由度准零刚度隔振系统在参数受到扰动情况下的稳定控制。

3.2 数值仿真

采用Matlab对所设计的自适应控制算法进行数值仿真，当准零刚度隔振系统中的参数 $ {k_2} $ 受到扰动而发生改变时，假设理想的结构参数 $ {k_2} = 0.1 $ ，通过3种情况对所设计的参数自适应控制器进行数值验证。参数值改变 $ {k_2} = 1.5 $ ，图8和图9为初始参数 $ {k_2} = 1.5 $ 的 $ t - {k_2} $ 和 $ t - {x_2} $ 曲线图。由图8可知系统在 $t = 500\;s$ 时施加控制，大约1.5 s后参数 $ {k_2} $ 恢复到期望的参数值。由图9可知施加控制之后系统的振幅相对于控制前明显降低。继续增大扰动量，图10～图13为初始参数为 $ {k_2} = 2.1 $ 和 $ {k_2} = 2.5 $ 的 $ t - {k_2} $ 和 $ t - {x_2} $ 曲线图，可知系统在参数变化的情况下，施加自适应控制后参数恢复到期望的参数值，运动状态也明显的发生变化。由此可见所设计的自适应控制器可以很好的达到参数自适应控制的效果。

4 结　语

准零刚度隔振系统的动力学微分方程含有三次方项，系统参数微小的改变都有可能会使系统的运动状态发生变化，对其动力学行为的控制比较复杂，本文基于参数自适应控制方法，设计参数自适应控制器，使系统在参数发生变化情况下仍能运行到期望的小振幅运行状态，得出结论如下：

准零刚度隔振系统动力学模型随结构参数的改变，表现出丰富的动力学特性。

设计的控制器能使准零刚度隔振系统在参数（刚度）发生变化的情况下能很快恢复到期望值，并且系统的运动状态也能维持在理想的小振幅运动状态。

在隔振器结构参数（刚度）不断发生改变的情况下所设计的控制器仍能保证准零刚度隔振系统运行于小振幅运动状态，说明所设计的自适应控制器在一定范围内是有效的。