0 引　言

小水线面双体船（Small Waterplane Area Twin Hull，SWATH）是从20世纪70年代开始投入试验并逐渐得到各国重视的一种排水型的高性能船舶。从第1艘SWATH船建成至今，经过40余年的发展，已经有多个国家开发出了有着国防与军事背景的高性能SWATH船^[1]，并且SWATH船逐渐在民用领域得到了应用，如作为观光游览、客渡和娱乐艇等。

SWATH船由船体的水下部分（也称下体、潜体、主体）、水上平台（也称上体、箱体）、支柱和附加的稳定鳍等4部分组成。与排水量相当的常规单体船和双体船相比，SWATH船具有较小的水线面，使得它在航行的时候所受干扰力较小，因而具有更加优异的快速性、耐波性以及稳性等特点，但SWATH船同时也存在摩擦阻力较大、回转直径较大，浮态对船舶载重量敏感等不足^[2-4]。特别是在中高速时，作用在船舶上的MUNK力矩，容易使船舶发生纵向运动失稳^[5-7]。

针对SWATH船纵向运动稳定性这一问题，众多学者进行了研究。邬婷^[7]通过参照高速水翼艇纵向运动方程建立了SWATH船的纵向运动方程，采用Hurwitz-Routh方法对SWATH船的纵向运动稳定性进行了分析，并对某SWATH船的光体做出了纵向运动稳定性的预报分析。高占胜^[8]进行了控制鳍的安装位置、鳍面积等参数变化对某型SWATH船纵向运动稳定性影响的分析。邓磊^[9]采用粘性CFD方法对某型SWATH船在顶浪规则波中的纵向运动响应特性进行了数值研究，并较为系统地分析了SWATH船片体间相互干扰对其在波浪中运动响应的影响规律。熊文海^[10]在SWATH船的MMG运动数学模型的基础上，同时充分考虑了SWATH船的结构特点和双体、双桨、双舵之间水动力的相互影响，对某型SWATH船的操纵性能进行了预报分析。此外，一些学者也对SWATH船的自动控制系统设计出了不同控制方法下的控制器。王虎军^[11]将ESO与终端滑模控制相结合进行了某型SWATH船在随机海浪作用下的运动控制。梁利华^[12]针对带有海浪干扰和参数不确定的SWATH船运动控制问题，进行了基于NDO技术的SWATH船运动非线性预测控制。叶志州^[13]利用ADRC实时估计SWATH船控制对象的模型摄动和外扰，设计出了一种多变量解耦的鲁棒镇定控制器。周鑫华^[14]对SWATH船的纵向运动进行了区域极点配置LQ最优控制器设计。张显库^[4]在熊文海^[10]的基础上获得了SWATH船的Nomoto模型，在考虑舵机特性后进行了鲁棒控制器设计。

近年来，一些研究人员已经将分数阶PI^λD^μ控制方法应用于航海领域，如船舶航向控制^[15]、船舶横摇控制^[16]、船舶电站柴油机调速系统控制^[17]和水下潜器姿态角控制^[18]，并取得了较为良好的控制效果。

本文针对SWATH船纵向运动的稳定性问题，在考虑舵机特性和风浪干扰对系统影响的情况下进行分数阶PI^λD^μ控制器设计。同时为了证明所设计控制器的良好性能，同时选取一种最优PID控制器作为比对对象，对最优PID控制器与分数阶PI^λD^μ控制器的控制性能进行仿真实验对比，探讨了2种控制器的控制性能及能量消耗情况。

1 分数阶微积分及分数阶PI^λD^μ控制器 1.1 分数阶微积分

分数阶微积分是传统整数阶微积分的直接拓展，但它比整数阶微积分具有更广泛的适用性。所谓的分数阶微积分是指阶次为非整数的微积分，它可以实现任意阶次的微积分。分数阶微积分的算子可以由整数阶微积分的算子直接扩展得到，它的定义如下^[19-20]：

${}_aD_t^\alpha = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}},{\rm{Re}} \left( \alpha \right) > 0} \text{，}\\ {1,{\rm{Re}} \left( \alpha \right) = 0}\text{，} \\ {\displaystyle\int_a^t {{{\left( {{\rm{d}}\tau } \right)}^{ - \alpha }},{\rm{Re}} \left( \alpha \right) < 0} } \text{。} \end{array}} \right.$

(1)

式中： $a$ 为算子的下限； $t$ 为算子的上限； $\alpha $ 为分数阶微积分的阶次，可以是任意复数，本文假定 $\alpha $ 为实数。

目前，在分数阶微积分理论中较为常用的定义有以下4种^[19-20]：

1）Cauchy定义下的表达式

${}_aD_t^\alpha f\left( t \right) = \frac{{\Gamma \left( {\alpha + 1} \right)}}{{2{\text{π}\rm{ j}}}}\int_C {\frac{{f\left( \tau \right)}}{{{{\left( {\tau - t} \right)}^{\alpha + 1}}}}{\rm{d}}\tau }\text{，} $

(2)

式中： $C$ 为包围 $f\left( t \right)$ 单值与解析开区域的光滑曲线。

2）Grunwald-Letnikov定义下的表达式

${}_a^{GL}D_t^\alpha f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{{h^\alpha }}}\sum\limits_{j = 0}^{\left[ {{{\left( {t - a} \right)} / h}} \right]} {{{\left( { - 1} \right)}^j}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ j \end{array}} \right)} f\left( {t - jh} \right)\text{。}$

(3)

式中： ${\left( { - 1} \right)^j}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ j \end{array}} \right)$ 为函数 ${\left( {1 - z} \right)^\alpha }$ 的二项式系数； $[ ( t - a ) / h ]$ 表示不超过 ${{\left( {t - a} \right)} / h}$ 的最大整数。

3）Riemann-Liouville定义下的表达式

${}_a^{RL}D_t^\alpha f\left( t \right) = \frac{1}{{\Gamma \left( {n - \alpha } \right)}}\frac{{{{\rm{d}}^n}}}{{{\rm{d}}{t^n}}}\left[ {\int_a^t {\frac{{f\left( \tau \right)}}{{{{\left( {t - \tau } \right)}^{\alpha - n + 1}}}}} {\rm{d}}\tau } \right]\text{，}$

(4)

式中： $n - 1 < \alpha \leqslant n$ ， $n \in N$ ； $\Gamma \left( \bullet \right)$ 为gamma函数。

4）Caputo定义下的表达式

${}_0D_t^\alpha f\left( t \right) = \frac{1}{{\Gamma \left( { - \alpha } \right)}}\int_0^t {\frac{{f\left( \tau \right)}}{{{{\left( {t - \tau } \right)}^{1 + \alpha }}}}} {\rm{d}}\tau\text{。} $

(5)

式中： $ \alpha < 0$ 。

1.2 分数阶PI^λD^μ控制器

分数阶PI^λD^μ控制器的概念是由Podlubny在1997年时提出的^[21]。分数阶PI^λD^μ控制器除了兼具常规PID控制器的优点外，由于分数阶微积分自身的特性，分数阶控制器还具有许多整数阶控制器无法实现的优越性，其微分阶次μ和积分阶次λ可以进行实数范围内的任意设置，这使得分数阶PI^λD^μ控制器具有比常规PID控制器更灵活的控制结构。分数阶PI^λD^μ控制器的传递函数模型为：

${G_c}\left( s \right) = {k_p} + \frac{{{k_i}}}{{{s^\lambda }}} + {k_d}{s^\mu }\text{。}$

(6)

分数阶PI^λD^μ控制器的示意图如图1所示。其中，横轴代表分数阶PI^λD^μ控制器的积分阶次λ，纵轴代表分数阶PI^λD^μ控制器的微分阶次μ。常规的PI控制器、PD控制器和PID控制器均为分数阶PI^λD^μ控制器平面内的一个点。

通过对比可知，常规PID的积分阶次λ与微分阶次μ的值均为1，是一种特例分数阶PI^λD^μ；与此类似，当λ=1，μ=0则对应常规PI控制器；当λ=0，μ=1则对应常规PD控制器。此外，由于分数阶PI^λD^μ的积分阶次λ与微分阶次μ可以是任意实数，这使得分数阶PI^λD^μ控制器与整数阶PID控制器相比，具有更灵活的控制结构与优越的性能。

2 SWATH船纵向运动的分数阶PI^λD^μ控制器设计 2.1 SWATH船纵向运动的传递函数模型

某型SWATH实船的具体参数^{[4, 10]}见表1。

假设舵角δ作为输入信号，首向角ψ作为输出信号，可以获得该SWATH实船从舵角δ到首向角ψ的等效Nomoto模型^[4]为：

${G_\psi }_\delta = \frac{{{\rm{0}}{\rm{.05}}}}{{{\rm{s(6s + 1)}}}}\text{。}$

(7)

2.2 SWATH船纵向运动的分数阶PI^λD^μ控制器

在设计分数阶PI^λD^μ控制器时，以等效Nomoto模型为控制对象，并在设计过程中考虑舵机伺服系统，如图2所示。

为了能快速获得分数阶PI^λD^μ控制器的优化参数，提高控制器的控制性能，本文在分数阶PI^λD^μ控制器设计时引入ITAE准则如下式：

${J_{ITAE}} = \int_0^\infty {t\left| {e\left( t \right)} \right|} {\rm{d}}t\text{。}$

(8)

通过数值方法对ITAE准则指标进行优化，则可以得到优化后的分数阶PI^λD^μ控制器参数，k_p=0.95，k_i=0.0，k_d=0.1，λ=0.8，μ=0.1（实际优化得到的k_i为极小的非零正量，实际仿真时将k_i设为0），即优化参数的分数阶PD^μ控制器为：

${G_1} = 0.95 + 0.1{s^{0.1}}\text{，}$

(9)

此外，采用最优PID控制器的设计方法^[22]，可得到最优PID控制器参数，k_p=1.2，k_i=0.0，k_d=3.0（实际优化得到的k_i也依然为极小的非零正量，仿真时将k_i设为0），最终可获得最优PD控制器如下：

${G_2} = 1.2 + 3s\text{。}$

(10)

3 仿真实验

首先，对仅考虑舵机特性（由最大舵角饱和限制、最大舵速限制与积分环节3部分组成）的SWATH船纵向运动的等效Nomoto模型行仿真比对试验（参照文献[4]进行航向自0°转到10°的仿真实验），因为本文中所采用的2种控制器的的控制效果均优于一般参数整定方法所得到的常规PID控制器的控制效果，故在接下来的比对中不给出其仿真结果曲线。等效Nomoto模型的首向角ψ仿真结果如图3所示，舵角δ仿真结果如图4所示。

其中，最优PD控制器的调节时间为t_s=44.04 s（5%），t_s=51.48 s（2%），上升时间为t_r=29.61 s，峰值时间t_p=80.42 s，超调量σ%=0.076%。分数阶PD^μ控制器的调节时间为t_s=39.35 s（5%），t_s=43.65 s（2%），上升时间为t_r=26.75 s，峰值时间t_p=60.04 s，超调量σ%=1.177%。从以上数据可知，2种控制器的超调都较小，舵角几近相同，但是分数阶PD^μ控制器呈现出更快速的响应性能与更良好的综合性能。

其次，在进行2种控制器性能的仿真比对实验时，为使结果更接近航海实践，在仿真过程中考虑了风浪对船舶操纵性能的影响^[23]。其中，6级海浪的干扰选用国际ITTC认可的白噪声驱动的2阶震荡环节描述^{[11-12, 23]}。考虑风浪干扰后的首向角ψ仿真结果如图5所示，舵角δ仿真结果如图6所示（图中黑色水平线代表动舵±0.5°）。

张显库^[23]指出：1）舵的能耗体现在操舵平稳性、动舵（0.5°以上）次数、作用时间和舵叶转动幅度等几个方面；2）平均舵角小，说明操舵平稳性好，舵叶平均转动幅度小，可达到减少舵机系统磨损和转舵时推力损耗的效果；3）从控制界代表能量性能指标函数J=∫δ²dt来衡量耗能，其离散化后为J=∑δ²（k）。

从以上3个方面对考虑风浪干扰后的模型的控制效果进行分析。从仿真结果可以看出，分数阶PD^μ控制器动舵幅度较小，且动舵频率较低，比较节能。其中，采样时，等效Nomoto模型仿真实验中，最优PD控制器的J=1351.9，分数阶PD^μ控制器J=1426.9（两者耗能相近）。考虑风浪干扰后的模型仿真实验中，最优PD控制器的J=1670.9，分数阶PD^μ控制器的J=1530.3。最优PD控制器耗能增加23.6%，分数阶PD^μ控制器耗能增加7.25%，考虑风浪干扰后的分数阶PD^μ控制器相比最优PD控制器节能约8.41%；不采样时，等效Nomoto模型仿真实验中，最优PD控制器的J=41007，分数阶PD^μ控制器的J=43338（两者耗能相近）。考虑风浪干扰后的模型仿真实验中，最优PD控制器的J=52695，分数阶PD^μ控制器的J=48282。最优PD控制器耗能增加28.50%，分数阶PD^μ控制器耗能增加11.41%，考虑风浪干扰后的分数阶PD^μ相比最优PD控制器节能约8.37%。

此外，为了进一步比对控制器的性能，分别进行了20°～80°的转向仿真实验。仿真结果表明，最优PD控制器会出现一定的静差，而且舵角输出呈现较为频繁的抖动。而分数阶PD^μ控制器则未出现上述现象，依旧呈现了如10°仿真实验时的良好效果。

对比以上的仿真结果可知，本文所设计的分数阶PD^μ控制器的控制效果明显优于最优PD控制器，并具有更为快速的响应性能与更加良好的综合性能，且分数阶PD^μ控制器在经受外界风浪干扰时，体现出了更加节能的控制性能，同时也展现出了更强的鲁棒性能。分数阶PD^μ控制器能很好地克服SWATH船由于外界因素干扰而导致的模型不确定性的影响。本文所设计的分数阶PD^μ控制器具有鲁棒性强、控制性能好、更节能等优点。

4 结　语

本文针对小水线面双体船的纵向运动稳定性问题，设计了一种分数阶PI^λD^μ控制器，并在控制器设计时引入ITAE准则对分数阶PI^λD^μ的参数进行快速优化，并以类似方式得到优化参数的最优PID控制器。对某SWATH实船的等效Nomoto模型和考虑风浪干扰后的模型分别进行了仿真实验，结果表明，本文所设计的分数阶PI^λD^μ控制器可用于小水线面双体船的纵向运动控制，且该控制器具有鲁棒性强、控制性能好、更节能等优点。