0 引　言

测试与发射控制系统是舰艇上导弹武器系统的重要组成部分，其功能是对导弹控制系统性能及全弹配合性信号的协调性实施测试、发射条件检查和准备、对检查合格的导弹按命令进行发射。发射控制是对导弹实施控制系统接通、状态初始化控制以及综合各种发射准备条件，并对检查合格、准备好的导弹实施发射点火控制。测试与发射控制系统的性能影响和制约导弹武器的使用性能，其可靠性和自动化程度直接决定和影响导弹武器的生存能力和快速反应能力^[1-2]。

导弹测发控设备的使用经验表明，在某些情况下设备实际使用的持续时间会超出技术文件中给出的指标。因此，预测测发控设备的剩余寿命，进而采取有针对性的预防性维修措施，延长测发控设备的使用期限，具有重要意义^[3]。

舰船装备及分系统的使用寿命指其从开始服役到结构达到破坏极限状态（退役或报废）的时间。在役舰船装备及分系统的剩余使用寿命则是指在不加维修及正常维护、正常使用条件下结构可继续使用的年限。

设备剩余寿命预测方法总体上可以分为3类：基于机理模型的方法、数据驱动的方法和两者融合的方法。基于机理模型的方法是在深入分析设备失效分析机理基础上，建立机理模型并据此预测剩余寿命。数据驱动的方法则是利用监测到的设备性能退化数据，进行剩余寿命预测^[4]。

国内外学者对武器装备剩余寿命问题开展了研究，如司小胜等^[5]研究了不确定退化测量数据下的设备剩余寿命估计问题，郑建飞等^[6]研究了考虑不确定测量和个体差异的非线性随机退化系统剩余寿命估计，李建民^[7]研究了基于灰色理论的舰船装备剩余寿命预测模型。

根据目前的研究结果，已经可以对剩余寿命进行验前分析，但是还有一些问题需要继续研究，如当达到某个事前给定的设备状态的概率值时，测试设备是否完全用尽了技术寿命；继续投入资金以延长测发控设备的使用寿命是否合适；当追加的经费有限制时，剩余寿命是怎样的？为此就需要研究测发控设备剩余寿命概率预测问题^[8]。

1 问题的提出与主要假设

研究作为测发控设备组成部分的测量系统，它有一组确定性参数 ${U_k}$ ，其额定值分别为 $U_k^0,k =1,2, \cdots ,m$ ， $m$ 为参数的总数。对参数的状态进行观测，可以讨论系统中过程的发展。

假设在系统运行时其内部发生缓慢的逐步恶化的过程，结果是能观察到确定性参数相对其额定值的偏差，从而在固定的时刻 ${t_i},i = 1,2, \cdots ,n$ ，确定性参数的值 ${U_k}\left( t \right)$ 呈下降的趋势，即如果 ${t_1} < {t_2} < \cdots < {t_m}$ ，那么 ${U_k}\left( {{t_1}} \right) > {U_k}\left( {{t_2}} \right) > \cdots > {U_k}\left( {{t_m}} \right)$ 。

假定确定性参数的值 ${U_k}\left( t \right)$ 不超出给定的容许值范围 ${S_k} = \left( {U_k^{\min } < U_k^0 < U_k^{\max }} \right)$ ，其中 $U_k^{\min },U_k^{\max }$ 分别为该参数区间的下界和上界，这时测发控系统运行正常。若参数值 ${U_{ik}}$ 偏离容许值就意味着参数故障。一般情况下，参数故障不会使测发控系统离开工作状态，而只是降低其运行品质。系统中突然出现故障的概率相对较小，但是会有在修理−恢复工作过程中可以克服的参数故障。于是，这样的测发控系统就属于具有有限个可以恢复的可能状态的系统。

把系统在时刻 $t$ 的状态记为 ${V_k}\left( t \right),k = 0,1,2, \cdots ,m$ ，状态 ${V_0}\left( t \right)$ 意味着系统中总数为 $m$ 的确定性参数中没有一个发生故障，符号 ${V_1}\left( t \right)$ 表明一个确定性参数发生了故障， ${V_k}$ 表示第 $k$ 个参数发生故障，而 ${V_m}$ 表示系统中全部 $m$ 个参数发生故障。并且只允许系统从一个状态过渡到相邻的一个状态，而不可能漏过中间的过渡状态，即不可能从状态 ${V_0}\left( t \right)$ 绕过 ${V_1}\left( t \right)$ 而直接转入到状态 ${V_2}\left( t \right)$ 。

在到时刻 $t$ 之前用于保持系统在 ${V_k}$ 状态的总消耗为 ${C_k}\left( t \right),k = 0,1,2, \cdots ,m$ 。假设对于每一个状态，单位时间内的使用消耗 $\Delta {C_s}$ 相同，而对于每一个出故障的参数，用于恢复的消耗 $\Delta {C_h}$ 是一致的，并且在时刻 $t$ 出故障的参数应该从该时刻起就进行恢复。在确定性参数从故障状态转入到恢复状态的过渡时间内用于系统的消耗不会增加，因为用于恢复状态的经费是在确定性参数故障时刻划分出来的（或者说是消耗的）。

把测发控系统中的每一个测量子系统从一个状态转入另一个状态当作随机事件来研究。假设，在所有的确定性参数中，第 $k$ 个确定性参数 ${U_k}$ 的故障强度是 ${\lambda _k}$ 、恢复强度是 ${\mu _k}$ ，对于所有的确定性参数其故障强度都是相同的，恢复强度也相同。所以总的故障强度、总的恢复强度分别为 $\lambda = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^m {{\lambda _k}} ,\mu = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^m {{\mu _k}} $ 。为了计算方便，假设确定性参数的故障流是最简单的，而故障流与恢复流的密度函数用参数为 $\lambda ,\mu $ 的指数规律描述。在所引入的假设下，需要确定在使用物资与经费消耗有限制时测发控系统的剩余寿命。

1.1 问题的求解

确定用于保持测发控系统在状态 ${V_k}\left( t \right),k = 0,1, 2, \cdots ,m$ 时的物资消耗，把这种消耗表示成约定的单位。研究状态 ${V_0}\left( t \right)$ ，当到 $t + \Delta t$ 时刻之前系统内不会有故障，该状态可以作为2个不相容事件 ${A_0},{B_1}$ 的和来研究。事件 ${A_0}$ 是指系统在时刻 $t$ 处于 ${V_0}\left( t \right)$ 状态，并且在 $\Delta t$ 时间内一个参数也不出故障，这一随机事件用表达式 $P\left( {{A_0}} \right) = {e^{ - \lambda \Delta t}} \approx 1 - \lambda \Delta t$ 表示。可以用关系式 $C\left( {{A_0}} \right) = \left[ {{C_0}\left( t \right) + \Delta {C_s}\Delta t} \right]\left( {1 - \lambda \Delta t} \right)$ 表示以概率 $P\left( {{A_0}} \right)$ 维持事件 ${A_0}$ 所用的消耗。事件 ${B_1}$ 是指这样的事件，系统在时刻 $t$ 处于 ${V_1}\left( t \right)$ 状态，并且在 $\Delta t$ 时间内一个参数恢复了，可以用关系式 $C\left( {{B_1}} \right) = {C_1}\left( t \right)\mu \Delta t$ 来表示以概率 $P\left( {{B_1}} \right)$ 保持事件 ${B_1}$ 所用的消耗。在区间 $t + \Delta t$ 内用于保持这一事件的物质消耗用随机函数 ${C_0}\left( t \right)$ 表示，它满足下面的方程：

$\begin{split}{C_0}\left( {t + \Delta t} \right) =& C\left( {{A_0}} \right) + C\left( {{B_1}} \right) =\\ &\left[ {{C_0}\left( t \right) + \Delta {C_s}\Delta t} \right]\left( {1 - \lambda \Delta t} \right) + {C_1}\left( t \right)\mu \Delta t\text{。}\end{split}$

(1)

把式（1）改写为：

$\begin{split}{C_0}\left( {t + \Delta t} \right) - {C_0}\left( t \right) =& - \lambda \Delta t{C_0}\left( t \right) + \mu \Delta t{C_1}\left( t \right) + \\ &\Delta {C_s}\Delta t - \lambda \Delta t\Delta {C_s}\text{。}\end{split}$

(2)

把式（2）的两端除以 $\Delta t$ 并取 $\Delta t \to 0$ 时的极限，就得到微分方程：

${\rm d}{C_0}\left( t \right)/{\rm d}t = - \lambda {C_0}\left( t \right) + \mu {C_1}\left( t \right) + \Delta {C_s}{\text{。}}$

对于系统状态 ${V_k}\left( t \right),k = 1,2, \cdots ,m - 1$ ，组成类似的方程。状态 ${V_k}\left( t \right)$ 意味着，到时刻 $t + \Delta t$ 之前，系统内出故障的确定性参数的数量等于 $k$ ，可以把 ${V_k}\left( t \right)$ 当作3个不相容事件 ${A_k},{B_{k + 1}},{C_{k - 1}}$ 的和来研究，事件 ${A_k}$ 表示在时刻 $t$ 系统处于 ${V_k}\left( t \right)$ 状态，而在 $\Delta t$ 时间内没有一个参数出故障并恢复。该随机事件的概率用表达式 $P\left( {{A_k}} \right) = {e^{ - \lambda \Delta t}}{e^{ - \mu \Delta t}} \approx 1 - \left( {\lambda + \mu } \right)\Delta t$ 确定。以概率 $P\left( {{A_k}} \right)$ 保持事件 ${A_k}$ 所用的消耗可以用关系式 $C\left( {{A_k}} \right) = [ {C_k}\left( t \right) + \Delta {C_s}\Delta t ] \left[ {1 - \left( {\lambda + \mu } \right)\Delta t} \right]$ 来表示。

事件 ${B_{k + 1}}$ 是指这样的事件，系统在时刻 $t$ 处于 ${V_{k + 1}}\left( t \right)$ 状态，并且在 $\Delta t$ 时间内1个参数恢复了。在这种情况下，概率是 $P\left( {{B_{k + 1}}} \right) = 1 - {e^{ - \mu \Delta t}} \approx \mu \Delta t$ 。以概率 $P\left( {{B_{k + 1}}} \right)$ 保持事件 ${B_{k + 1}}$ 的消耗可以用关系式 $C\left( {{B_{k + 1}}} \right) = {C_{k + 1}}\left( t \right)\mu \Delta t$ 来表示。

事件 ${C_{k - 1}}$ 是指这样的事件，系统在时刻 $t$ 处于 ${V_{k - 1}}\left( t \right)$ 状态，并且在 $\Delta t$ 时间内还有一个参数发生了故障，该事件的概率是 $P\left( {{C_{k + 1}}} \right) = 1 - {e^{ - \mu \Delta t}} \approx \mu \Delta t$ 。以概率 $P\left( {{C_{k - 1}}} \right)$ 保持事件 ${C_{k - 1}}$ 的消耗可以用关系式 $C\left( {{C_{k - 1}}} \right) = {C_{k - 1}}\left( t \right)\lambda \Delta t$ 来表示。这时状态 ${V_k}\left( t \right)$ 可以作为3个不相容事件 ${A_k},{B_{k + 1}},{C_{k - 1}}$ 的和来研究。在区间 $t + \Delta t$ 内，为了保持这一事件的物质消耗是随机函数 ${C_k}\left( t \right)$ ，它满足下面的方程：

$\begin{split} {C_k}\left( {t + \Delta t} \right) =& C\left( {{A_k}} \right) + C\left( {{B_{k + 1}}} \right) + C\left( {{C_{k - 1}}} \right) = \\ &\left[ {{C_k}\left( t \right) + \Delta {C_s}\Delta t} \right]\left[ {1 - \left( {\lambda + \mu } \right)\Delta t} \right] +\\ &{C_{k + 1}}\left( t \right)\mu \Delta t +{C_{k - 1}}\left( t \right)\lambda \Delta t + \lambda \Delta {C_h}\Delta t \text{。}\end{split}$

(3)

把式（3）进行与式（1）类似的变换，就得到

${\rm d}{C_k}/{\rm d}t = \lambda {C_{k - 1}}\left( t \right) - \left( {\lambda + \mu } \right){C_k}\left( t \right) + \mu {C_{k + 1}}\left( t \right) + \Delta {C_s} + \lambda \Delta {C_h}{\text{。}}$

组成对于状态 ${V_m}\left( t \right)$ 的方程，到时刻 $t + \Delta t$ 之前，系统内所有 $m$ 个确定性参数都出了故障，这一状态可以作为2个不相容事件 ${A_m},{C_{m - 1}}$ 的和来研究。第1个事件 ${A_m}$ （系统在时刻 $t$ 处于 ${V_m}\left( t \right)$ 状态，并且在 $\Delta t$ 时间内没有一个参数出故障）。这一随机事件的概率是 $P\left( {{A_m}} \right) = {e^{ - \mu \Delta t}} \approx 1 - \mu \Delta t$ ，以概率 $P\left( {{A_m}} \right)$ 保持事件 ${A_m}$ 所用的消耗可以用关系式 $C\left( {{A_m}} \right) = \left[ {{C_m}\left( t \right) + \Delta {C_s}\Delta t} \right]\left( {1 - \mu \Delta t} \right)$ 来表示。第2个事件 ${C_{m - 1}}$ 是指系统在时刻 $t$ 处于 ${V_{m - 1}}\left( t \right)$ 状态，并且在 $\Delta t$ 时间内又有一个参数出故障。这一随机事件的概率是 $P\left( {{C_{m - 1}}} \right) = 1 - {e^{ - \lambda \Delta t}} \approx \lambda \Delta t$ ，以概率 $P\left( {{C_{m - 1}}} \right)$ 保持事件 ${C_{m - 1}}$ 所用的消耗可以用关系式 $C\left( {{C_{m - 1}}} \right) = {C_{m - 1}}\left( t \right)\lambda \Delta t$ 来表示。

当把状态 ${V_m}\left( t \right)$ 作为2个不相容事件 ${A_m},{C_{m - 1}}$ 的和进行研究时，在区间 $t + \Delta t$ 内保持这一事件所需物质消耗用随机函数 ${C_m}\left( t \right)$ 描述，它满足下面的方程：

$\begin{split} {C_m}\left( {t + \Delta t} \right) =& C\left( {{A_m}} \right) + C\left( {{C_{m - 1}}} \right) = \\ &\left[ {{C_m}\left( t \right) + \Delta {C_s}\Delta t} \right]\left[ {1 - \mu \Delta t} \right] +\\ & \left[ {{C_{m - 1}}\left( t \right) + \Delta {C_h}} \right]\lambda \Delta t\text{。} \end{split}$

(4)

把式（4）进行与式（1）类似的变换，得出下面的微分方程：

${\rm d}{C_m}/{\rm d}t = \lambda {C_{m - 1}}\left( t \right) - \mu {C_m}\left( t \right) + \Delta {C_s} + \lambda \Delta {C_h}{\text{。}}$

这样以来，就可以用关于未知的物质消耗随机函数 ${C_k}\left( t \right),k = 0,1,2, \cdots ,m$ 的微分方程组描述把测发控设备保持在状态 ${V_k}\left( t \right),k = 0,1,2, \cdots ,m$ 所需要的物质消耗，表示成约定单位的形式：

$\begin{split} &{\rm d}{C_0}\left( t \right)/{\rm d}t = - \lambda {C_0}\left( t \right) + \mu {C_1}\left( t \right) + \Delta {C_s}\text{，}\\ & {\rm d}{C_k}/{\rm d}t =\lambda {C_{k - 1}}\left( t \right) - \left( {\lambda + \mu } \right){C_k}\left( t \right) + \mu {C_{k + 1}}\left( t \right) + \Delta {C_s} + \lambda \Delta {C_h}\text{，}\\ &{\rm d}{C_m}/{\rm d}t = \lambda {C_{m - 1}}\left( t \right) - \mu {C_m}\left( t \right) + \Delta {C_s} + \lambda \Delta {C_h}\text{。}\\[-10pt] \end{split}$

(5)

为了求解方程组（5），把它写成算子形式

${{A}}\left( s \right) \cdot X\left( s \right) = {B^{\left( c \right)}}\left( s \right){\text{。}}$

(6)

式中： ${{A}}\left( s \right)$ 为维数为 $\left( {m + 1} \right) \times \left( {m + 1} \right)$ 的方程组系数的三对角线矩阵； $s$ 为函数 ${C_k}\left( t \right),k = 0,1,2, \cdots ,m$ 的映像半平面上的复变量。

把该矩阵的元素写成下面的形式：

${A_{00}}\left( s \right) \!=\! - \left( {s \!+\! \mu } \right);{A_{kk}}\left( s \right) \!=\! - \left( {s \!+\! \lambda \!+\! \mu } \right),k \!=\! 1,2, \cdots ,m \!-\! 1;$

${A_{k,k - 1}}\left( s \right) \!=\! \lambda ;k \!=\! 1,2, \cdots ,m;{A_{k,k + 1}}\left( s \right) \!=\! \mu ,k \!=\! 1,2, \cdots ,m \!-\! 1\text{。}$

矢量 $X\left( s \right)$ 的分量 ${x_k}\left( s \right)$ 是相应的函数 ${C_k}\left( t \right),k = 0,1,2, \cdots ,m$ 的映像；矢量 ${B^{\left( c \right)}}\left( s \right)$ 的分量是： $B_0^{^{\left( c \right)}}\left( s \right) = - \Delta {C_s}/s,B_k^{^{\left( c \right)}}\left( s \right) = - \left( {\Delta {C_s} + \lambda \Delta {C_h}} \right)/s,$ $k = 1,2, \cdots ,m$ 。

使用有任意有限数量回归的回归分析估计多维模型矩阵系数的方法，构建未知矢量 $X\left( s \right)$ 的估值 ${X^ * }\left( s \right)$ 。为此把方程组（6）表示成下面的形式：

$\sum\limits_{k = 1}^{m + 1} {{A_k}{X_k} = {B^{\left( c \right)}}}{\text{。}} $

(7)

式中： ${A_k}$ 为矩阵的分块分量 $A = \left\| \left| {{A_1}} \right| \cdot \left| {{A_2}} \right| \cdots \left| {{A_k}} \right| \cdots\right.$ $\left. \left| {{A_{m + 1}}} \right| \right\|$ ； ${X_k}$ 为矢量的分块分量 $X = \left\| \left| {{X_1}} \right| \cdot \left| {{X_2}} \right| \cdots \left| {{X_k}} \right| \cdots\right.$ $\left. \left| {{X_{m + 1}}} \right| \right\|^{\rm T}$ 。

写出表达式（7）中对于分量 ${A_k},{X_k}$ 的表达式：

$\begin{split}&{{ A}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \left( {s + \lambda } \right)} \\ \lambda \\ {{O_{m - 1}}} \end{array}} \right]\text{，}{{ A}_k} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{O_{k - 2}}} \\ \mu \\ { - \left( {s + \lambda + \mu } \right)} \\ \lambda \\ {{O_{m - k}}} \end{array}} \right]\text{，}\\ &{{ A}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \mu \\ { - \left( {s + \lambda + \mu } \right)} \\ \lambda \\ {{O_{m - 2}}} \end{array}} \right]\text{，}{{ A}_{m + 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{O_{m - 1}}} \\ \mu \\ { - \left( {s + \lambda } \right)} \end{array}} \right]\text{。}\end{split}$

式中 ${{ O}_\alpha }$ 表示维数是 $\alpha $ 的零矢量。

使用上面引入的标记，可以由下面的递推关系式求出方程组（6）的未知矢量 $X\left( s \right)$ 的估值 ${X^ * }\left( s \right)$ ：

$X_k^ * = C_{k - 1}^ * = {M_k}{A_k}\prod\limits_{j = 1\atop j \ne k}^{m + 1} {{R_j}} {B^{\left( c \right)}}{\text{，}}$

(8)

式中： ${M_k} = {\left[ {A_k^{\rm{T}}\displaystyle\prod\limits_{j = 1}^{k - 1} {{R_j}{A_k}} } \right]^{ - 1}};{R_j} = {{I}} - {A_j}{M_j}A_j^{\rm{T}}\displaystyle\prod\limits_{i = 1}^{j - 1} {{R_j}}$ ， ${{I}}$ 为单位矩阵。

对表达式（8）进行拉普拉斯反变换，就得到把测发控设备保持在 ${V_k}\left( t \right)$ 状态所要的物质消耗随机函数的原函数 ${C_k}\left( t \right)$ 。平均物质消耗 $\bar C\left( t \right)$ 数值上等于随机函数 ${C_k}\left( t \right)$ 的所有可能值的数学期望：

$\bar C\left( t \right) = \sum\limits_{k = 1}^m {{C_k}\left( t \right){P_k}\left( t \right)}{\text{。}} $

(9)

式中： ${P_k}\left( t \right)$ 为事件 ${V_k}\left( t \right)$ 来临的概率。

为了求出概率 ${P_k}\left( t \right)$ ，可以使用拉氏变换转换到像函数，然后再用所描述的方法求解从式（7）中得到的方程，把其中矢量 ${X_k}$ 的分块分量换成相应的概率函数： ${X_k} = {P_{k - 1}},k = 1,2, \cdots ,m$ ，而右端换成矢量 ${B^{\left( c \right)}}$ ，其元素是 $B_0^{\left( c \right)}\left( s \right) = - 1;B_k^{\left( c \right)} = 0,k = 1,2, \cdots ,m$ 。为了从像函数 ${P_k}\left( s \right) = {F_k}\left( s \right)/{G_k}\left( s \right)$ 变换回原函数，可以使用关系式：

${P_k}\left( t \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{F_k}\left( {{s_i}} \right)}}{{{{G'}_k}\left( {{s_i}} \right)}}\exp \left( {{s_i}t} \right)} \text{。}$

(10)

式中： ${s_i}(i = 1,2, \cdots ,n)$ 为分母 ${G_k}\left( s \right)$ 的根。

这样以来，使用式（8）～式（10）就能够计算把测发控设备保持在其可能状态中的一种状态时所需要的平均物资消耗。如果在这种情况下假设，到时刻 $t = {t^ * }$ 之前平均物质消耗 $\bar C\left( t \right)\left( {t = {t^ * }} \right)$ 近似等于补充划分出来用于使用的物资消耗 ${C_0}\left( t \right)$ ，那么时间 ${t^ * }$ 就可以作为所使用的测发控设备的剩余寿命，并且由关系式 ${t^ * } = \arg \mathop {\min }\limits_{t \in T} e\left\{ {{C_0} - \bar C\left( t \right)} \right\}$ 从形式上求出所研究的关于预测剩余寿命问题的解。式中， $e\left\{ {{C_0} - \bar C\left( t \right)} \right\}$ 为所选择的 ${C_0}$ 到 $\bar C\left( {{t^ * }} \right)$ 的接近程度， $T$ 为变量 $t$ 的所有可能正值的集合。

1.2 算例

以实际例子解释所研究问题的求解方法的使用。设某型测发控设备用下面的参数描述 $\lambda = 0.05\text{，} \mu = 0.14$ ，确定性变量数量 $m = 1$ ，1年内使用消耗是1000货币单位，而用于恢复发生故障参数的平均消耗是 $\Delta {C_h} = 10\;000$ 货币单位。

对于所引入的初始数据，需要在假设又拨出 ${C_0} = 50\;000$ 货币单位用于使用的条件下，计算测发控设备的剩余寿命。在这种情况下式（6）的形式如下：

${A_1}{X_1} + {A_2}{X_2} = {B^{\left( c \right)}}{\text{。}}$

式中： ${A_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \left( {s + \lambda } \right)}\\\lambda \end{array}} \right];\;{A_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\mu \\{ - \left( {s + \mu } \right)}\end{array}} \right];\;X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{X_1}}\\{{X_2}}\end{array}} \right] =$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{P_0}}\\{{P_1}}\end{array}} \right];{B^{\left( c \right)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \Delta {C_s}/s}\\{ - \left( {\Delta {C_s} + {C_h}} \right)/s}\end{array}} \right] {\text{。}}$

使用式（8）求出映像 ${X^ * }$ ：

$\begin{split}&C_0^ * \left( s \right) = \frac{{\left( {s + 2\mu } \right)\Delta {C_s} + \lambda \mu {C_h}}}{{{s^2}\left( {s + \lambda + \mu } \right)}}\text{，}\\ &C_1^ * \left( s \right) = \frac{{\left( {s + 2\lambda } \right)\Delta {C_s} + \lambda \left( {s + \lambda } \right){C_h}}}{{{s^2}\left( {s + \lambda + \mu } \right)}}\text{。}\end{split}$

它们的原函数是 $C_k^ * \left( t \right) = {A_k}t + {B_k}\left( {\lambda + \mu } \right)t,k = 1,2$ 。式中： ${A_0} \!=\! \left( {\mu /\lambda \!+\! \mu } \right)\left( {2\Delta {C_s} \!+\! \lambda {C_h}} \right),{A_1} \!=\! {A_0}\lambda /\mu $ ； ${B_0} = [ ( {\lambda - \mu } \Delta {C_s} - \lambda \mu {C_h}]/{\left( {\lambda + \mu } \right)^2};{B_1} = - {B_0}$ 。

使用概率 ${P_k}\left( t \right)$ 的表达式，并从式（9）中得到用于计算平均物资消耗的公式：

$\begin{split} \bar C\left( t \right) =& \frac{{2\Delta {C_s} + \lambda {C_h}}}{{{{\left( {\lambda + \mu } \right)}^2}}}\left[ {{\lambda ^2} + {\mu ^2} - \lambda \left( {\lambda - \mu } \right){e^{ - \left( {\lambda + \mu } \right)t}}} \right]t - \\ & \frac{{\left[ {\left( {\lambda - \mu } \right)\Delta {C_s} - \lambda \mu {C_h}} \right]}}{{{{\left( {\lambda + \mu } \right)}^3}}}\left[ {\lambda - \mu - 2\lambda \left( {\lambda - \mu } \right){e^{ - \left( {\lambda + \mu } \right)t}}} \right]\times\\ &\left( {1 - {e^{ - \left( {\lambda + \mu } \right)t}}} \right){\text{。}}\\[-10pt] \end{split}$

(11)

在式（11）中使用近似等式 ${e^{ - \left( {\lambda + \mu } \right)t}} \approx 1 - \left( {\lambda + \mu } \right)t$ 并求解对于 ${C_0} = 50\;000$ 方程 $676.44{t^2} - 17\;582.92t + 50\;000 = 0$ ，可以确定剩余寿命 ${t^ * } = 3.25$ 。这样以来，根据求解该问题的结果确定，又拨出 ${C_0} = 50\;000$ 货币单位用于使用的假设条件下，设备的剩余寿命可以延长39个月。

2 结　语

本文在假设测发控系统所有确定性参数的故障强度相同、恢复强度也相同的条件下，得出了根据参数监测结果预测测发控设备剩余寿命的方法。该方法也可用于有冗余元件的测试设备，其中的每一个冗余元件可以当作单独参数来考虑。