0 引　言

水下机器人（Underwater Vehicle）主要分为有缆水下机器人（Remotely Operated Vehicle，ROV）和自治水下机器人（Autonomous Underwater Vehicle，AUV）。作为一种探索海洋的智能工具，水下机器人在水产养殖、水下石油勘探、大巴检测以及军事等领域扮演着重要的角色^[1-2]。但由于外部水流的干扰，以及自身各刚体间的耦合，水下机器人难以稳定地在水下进行运动，因此，对于水下机器人控制系统的研究至关重要^[3-5]。

为有效控制水下机器人的运动，目前许多控制方法被使用，如自适应控制^[6-8]、滑模控制^[9-11]、模糊控制^[12-13]、欠驱动控制^[14]等。其中，欠驱动控制可以有效地控制水下机器人的运动，同时减少推进器的数量，降低能耗，但这种控制方法极为复杂，一般都是通过消除非线性项来解决，这会严重降低系统的鲁棒性^[15]。

作为一种非线性控制方法，滑模控制具有结构简单、响应快速、鲁棒性强以及对外界干扰不灵敏等特点^[16]，备受广大研究人员青睐。但经典滑模控制方法存在严重抖动问题，对于水下机器人而言，这会导致推进器能量消耗过大，甚至损坏推进器^[17]。因此，如何解决抖动问题成为近几年滑模控制研究的焦点。

经典滑模控制中的抖动，主要是由于控制规律中不连续的切换控制项引起的。针对这一问题，Soylu等^[18]提出一种无抖动滑模控制方法，其方法主要是设计自适应控制项代替不连续的切换控制项，自适应控制项可以持续补偿系统模型不确定影响，从而消除抖动。但这种方法较为复杂，控制参数设置较多，在实际中难以实现；Liu等^[19]提出了一种全局滑模控制方法，采用饱和函数替代了常用的符号函数。这种方法简单有效，但设计时并未考虑水下机器人模型不确定因素的影响；Huang等^[20]采用了双闭环滑模控制方法，用以提高ROV运动时地抗干扰能力，在减小滑模控制抖动问题方面，则是通过设计一种连续的函数作为切换控制项。但此方法同样未考虑ROV模型不确定因素的影响。

为了解决经典滑模控制中的抖动问题以及ROV运动时地模型参数不确定性问题，本文针对一类小型观测级ROV的四自由度运动，提出一种基于径向基函数神经网络（Radial Basis Function Neural Network，RBFNN）自适应滑模控制方法。针对ROV运动时模型不确定因素的干扰问题，采用RBF神经网络算法，实现对ROV模型的补偿；用反正切函数替换符号函数，减小了经典滑模控制的抖动。

1 ROV模型数学描述 1.1 ROV运动学模型

本文针对一类小型观测级ROV进行设计，这类ROV一般配备4个推进器，主要实现前后、平移、深沉和转首四自由度的运动，如图1所示。

在ROV中，通常采用惯性坐标系（Inertial frame）和体坐标系（body-fixed frame）来描述ROV的运动。相对于体坐标系的速度向量可以表示为ν^T=[ν₁ ν₂]，其中，ν₁^T=[u v w]代表ROV的线速度向量，u，v，w分别为前进、平移、深沉3个方向的速度；v₂^T=[p q r]为ROV角速度向量，p，q，r分别代表横倾、俯仰、转首3个方向的速度。相对惯性坐标系的位姿向量表示为η^T=[η₁ η₂]，其中，η₁^T=[x y z]表示ROV在惯性坐标系中的运动位置向量，x，y，z分别为前进、平移、深沉3个方向的位置；η₂^T=[φ θ ψ]表示ROV在惯性坐标系中的运动姿态向量，φ，θ，ψ分别代表横倾、俯仰、转首3个方向的姿态。速度向量与位姿向量的转换可以写为如下形式：

$\dot \eta = J(\eta )\nu\text{，} $

(1)

其中，J（η）为雅可比矩阵，定义为：

${ {J}}({ {\eta}} ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{J_1}(\eta )}&{{0_{3 \times 3}}} \\ {{0_{3 \times 3}}}&{{J_2}(\eta )} \end{array}} \right]\text{，}$

(2)

式中，J₁（η）和J₂（η）分别定义为：

$\begin{split}{J_1}(\eta ) = & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \psi }&{ - \sin \psi \cos \varphi + \cos \psi \sin \theta \sin \varphi }&\\ {\sin \psi \cos \theta }&{\cos \psi \cos \varphi + \sin \varphi \sin \theta \sin \psi }&\\ { - \sin \theta }&{\cos \theta \sin \varphi }& \end{array}} \right. \\ & \left. \begin{array}{l} \sin \psi \sin \varphi + \cos \psi \cos \varphi \sin \theta \\ - \cos \psi \sin \varphi + \sin \theta \sin \psi \cos \varphi \\ \cos \theta \cos \varphi \end{array} \right]\text{，}\\[-25pt]\end{split}$

(3)

${J_{\rm{2}}}(\eta ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{1}}&{\sin \varphi \tan \theta }&{\cos \varphi \tan \theta } \\ 0&{\cos \varphi }&{ - \sin \varphi } \\ 0&{\sin \varphi /\cos \theta }&{\cos \varphi /\cos \theta } \end{array}} \right]\text{。}$

(4)

因为本文只讨论ROV前后、平移、深沉和转首4个自由度的运动，所以横倾角φ和俯仰角θ的变化都为0。因此，式（1）可以写为：

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y \\ z \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \psi }&{ - \sin \psi }&0&0 \\ {\sin \psi }&{\cos \psi }&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} u \\ v \\ w \\ r \end{array}} \right]\text{。}$

(5)

1.2 ROV动力学模型

针对四自由度的ROV，其动力学模型表示为^[21]：

$ {{M}}\dot \nu + {{C}}(\nu )\nu + {{D}}(\nu )\nu + g(\eta ) = \tau + {\tau _d}\text{，} $

(6)

式中，M∈R^4×4为惯性矩阵，定义为：

$M = {\rm{diag}}\{\!\! \begin{array}{*{20}{c}} {m - {X_{\bar u}},}&{m - {Y_{\bar v}},}&{\begin{array}{*{20}{c}} {m - {Z_{\bar w}},}&{{I_z} - {N_{\bar r}}} \end{array}} \!\! \end{array}\} \text{，}$

(7)

其中：m为ROV质量；I_z为ROV关于Z轴的转动惯量； ${X_{\bar u}}$ ， ${Y_{\bar v}}$ ， ${Z_{\bar w}}$ 和 ${N_{{\rm{\bar r}}}}$ 分别为ROV的附加质量和附加惯量。

C（v）∈R^4×4为科氏力和向心力矩阵，定义为：

${{C}}(\nu ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&{ - (m - {Y_{\bar v}}v)} \\ 0&0&0&{ - (m - {X_{\bar u}}u)} \\ 0&0&0&0 \\ { - (m - {Y_{\bar v}}v)}&{ - (m - {X_{\bar u}}u)}&0&0 \end{array}} \right]\text{，}$

(8)

D（v）∈R^4×4为阻尼系数矩阵，定义为：

$ \begin{split} {{D}}(\nu ) =& - {\rm{diag}}\{ {{X_u} + {X_{u\left| u \right|}}\left| u \right|,}\qquad{{Y_v} + {Y_{v\left| v \right|}}\left| v \right|,}\\ & {{Z_w} + {Z_{w\left| w \right|}}\left| w \right|,}\qquad{{N_r} + {N_{r\left| r \right|}}\left| r \right|} \}\text{。} \end{split}$

(9)

其中： ${X_u}$ ， ${Y_v}$ ， ${Z_w}$ ， ${N_r}$ ， ${X_{u\left| u \right|}}$ ， ${Y_{v\left| v \right|}}$ ， ${Z_{w\left| w \right|}}$ ， ${N_{r\left| r \right|}}$ 代表粘滞水动力参数。

g（η）∈R⁴为ROV恢复力和力矩向量，定义为：

$g(\eta ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ { - (W - {W_B})} \\ 0 \end{array}} \right]\text{。}$

(10)

其中：W，W_B分别为ROV的重心和浮心。

τ∈R⁴和τ_d∈R⁴分别为ROV的控制输入以及外部干扰。

根据式（1）和式（6），ROV的动力学模型可以改写为：

${{{M}}_\eta }(\eta )\ddot \eta + {{{C}}_\eta }(\nu ,\eta )\dot \eta + {{{D}}_\eta }(\nu ,\eta )\dot \eta + {g_\eta }(\eta ) = {\tau _T} + d\text{。}$

(11)

式中： ${{{M}}_\eta }(\eta ) \!=\! {J^{ - {\rm{T}}}}{{M}}{J^{ - 1}}$ ， ${{{C}}_\eta }(\nu ,\eta ) \!=\! {J^{ -{\rm{ T}}}}[{{C}}(\nu ) \!-\! {{M}}{J^{ - 1}}\dot J]{J^{ - 1}}$ ， ${{{D}}_\eta }(\nu ,\eta ) = {J^{ - {\rm{T}}}}{{D}}(\nu ){J^{ - 1}}$ ， ${g_\eta }(\eta ) = {J^{ - {\rm{T}}}}g(\nu )$ ， ${\tau _T} = {J^{ - {\rm{T}}}}\tau $ ， $d = $ ${J^{ - {\rm{T}}}}{\tau _d} $ 。

为了便于后面部分ROV的稳定性分析，假设ROV的动力学模型具有如下性质：

性质1　惯性矩阵M_η（η）为正定对角矩阵，即 ${{{M}}_\eta }^{\rm{T}}(\eta ) = {{{M}}_\eta }(\eta )$ ；

性质2　矩阵 ${\dot {{M}}_\eta }(\eta ) - 2{C_\eta }(\nu ,\eta )$ 为斜对角矩阵，即对于任意向量 $\varsigma $ ，都有 ${\varsigma ^{\rm{T}}}[{\dot {{M}}_\eta }(\eta ) - 2{{{C}}_\eta }(\nu ,\eta )]\varsigma = {\rm{0}}$ 。

2 控制器设计 2.1 经典滑模控制器设计

在经典滑模控制器设计中，首先设计一个滑模函数S，然后再设计一个控制规律τ。当系统的状态轨迹在外部干扰下偏离滑模面时，控制规律会迫使系统的状态轨迹重新沿着滑模面向平衡点运动。

针对四自由度ROV系统，定义ROV的期望位姿为 ${\eta _d}$ ，实际位姿为 $\eta $ ，位姿误差为 $\tilde \eta = {\eta _d} - \eta $ ，则滑模函数定义为^[17]：

$S = {\dot {\tilde \eta}} + \Lambda \tilde \eta \text{，}$

(12)

其中，S∈R⁴，Λ=diag{k₁, k₂, k₃, k₄}，k_i>0且k_i为常数，i=1, $\cdots $ ,4。

一般情况下，滑模控制规律设计为：

${\tau _T} = {\tau _{eq}} + {\tau _{sw}}\text{，}$

(13)

其中，τ_eq为等效控制项，τ_sw为切换控制项。等效控制项用于补偿系统模型。切换控制项则是为了提高系统的抗干扰能力，一般设计为τ_sw=−Ksgn（S），其中K为常数且K>0，sgn（·）代表符号函数。

对滑模函数求1阶导数：

$\dot S = {\ddot{\tilde \eta}} + \Lambda {\dot{\tilde \eta}} \text{，}$

(14)

结合等式（11）、等式（12）和等式（14）可得：

$\begin{split} {{{M}}_\eta }\dot S = & - {{{C}}_\eta }S - {{{D}}_\eta }S + {{{M}}_\eta }({\ddot \eta _d} + \Lambda {\dot{\tilde \eta}} ) + {{{C}}_\eta }({\dot \eta _d} + \Lambda \tilde \eta ) + \\ & {{{D}}_\eta }({\dot \eta _d} + \Lambda \tilde \eta ) + {g_\eta } - {\tau _T} - d\text{，} \end{split}$

(15)

如果ROV系统动力学模型中各参数都是不变的，则式（15）中控制规律τ_T可设计为：

$\begin{split}{\tau _T} = & {{{M}}_\eta }({\ddot \eta _d} + \Lambda {\dot{\tilde \eta}} ) + {{{C}}_\eta }({\dot \eta _d} + \Lambda \tilde \eta ) + {{{D}}_\eta }({\dot \eta _d} + \Lambda \tilde \eta ) + \\ & {g_\eta } + {K_d}S - K{\rm{sgn}} (S)\text{。}\end{split}$

(16)

其中，K_d为常数。

然而在实际应用中，由于ROV自身的非线性特性以及环境的影响，ROV系统动力学模型中的各参数是变化的，因此经典滑模控制方法并不能有效实现ROV的运动控制。

2.2 RBF神经网络自适应滑模控制器设计

为解决ROV模型参数不确定性问题，目前神经网络算法被广泛使用。然而，传统的神经网络算法收敛速度慢，并不适用于实时的在线计算，如BP（Back Propagation）神经网络算法。RBF神经网络作为一种前馈式网络，具有结构简单，训练速度快等优点。因此，本文将采用RBF神经网络算法解决ROV模型不确定性问题。RBF神经网络算法逼近公式为：

$y(b) = {W^{ * {\rm{T}}}}\mu (b) + \varepsilon \text{。}$

(17)

其中：b∈R^j是输入向量；W^*∈R^j是网络的最优权值向量；μ（b）代表径向基函数，μ（b）=[μ₁（x）μ₂（x） $\cdots $ μ_j（x）]^T；ε为逼近误差。RBF神经网络的网络结构如图2所示。

根据式（15），定义ROV模型不确定项为：

$y(b) = {{{M}}_\eta }({\ddot \eta _d} + \Lambda {\dot{\tilde \eta}} ) + {{{C}}_\eta }({\dot \eta _d} + \Lambda \tilde \eta ) + {{{D}}_\eta }({\dot \eta _d} + \Lambda \tilde \eta ) + {g_\eta }\text{，}$

(18)

则本文中神经网络结构输入层节点有4个，表示为 $b = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot \eta }_d}}&{{{\ddot \eta }_d}}&{\tilde \eta }&{{\dot{\tilde \eta}} } \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ 。隐含层节点4个，各节点中径向基函数选用高斯函数，表示为：

${\mu _j}(b) = \exp ( - \frac{{{{\left\| {b - {C_j}} \right\|}^2}}}{{2{B^2}_j}}),\begin{array}{*{20}{c}} {}&{j = 1,\cdots,4} \end{array}\text{。}$

(19)

其中，C_j和B_j分别为高斯函数的中心和宽度。

定义RBF神经网络对ROV模型不确定项逼近函数为：

$\hat y(b) = {\hat W^{\rm{T}}}\mu (b) + \varepsilon \text{，}$

(20)

式中， $\hat W$ 为网络权值的估计值，权值的自适应规律取

${\dot{\hat W}} = \mu (b){S^{\rm{T}}}\text{。}$

(21)

在本文中，将RBF神经网络部分作为等效控制项。此外，用反正切函数arctan（·）替换切换控制项中的符号函数sgn（·），则ROV的控制规律设计为：

${\tau _T} = {\hat W^{\rm{T}}}\mu (b) - {K_d}S - K\arctan (S)\text{。}$

(22)

RBF神经网络自适应滑模控制的框图如图3所示。

考虑引入控制规律 ${\tau _T}$ ，从而使得ROV系统的位姿误差 $\tilde \eta $ 和RBF神经网络的权值误差 $\tilde W$ 镇定，构造Lyapunov函数如下：

$V(S,\tilde W) = \frac{1}{2}{S^{\rm{T}}}{{{M}}_\eta }S + \frac{1}{2}{\left\| {\tilde W} \right\|^2}\text{，}$

(23)

对Lyapunov函数求导，并将式（15）代入得：

$\begin{split} \frac{{{\rm d}V(S,\tilde W)}}{{{\rm d}t}} = & {S^{\rm{T}}}[ - {{{C}}_\eta }S - {{{D}}_\eta }S + \hat y(b) - d - {\tau _T}] + \\ & \frac{1}{2}{S^{\rm{T}}}{\dot {{M}}_\eta }S - {\tilde W^{\rm{T}}}{\dot{\hat W}}\text{，} \end{split}$

(24)

将控制规律式（22）代入，则式（24）可写为：

$ \begin{split} &\frac{{{\rm d}V(S,\tilde W)}}{{{\rm d}t}} = \frac{1}{2}{S^{\rm{T}}}({\dot {{M}}_\eta } - {{{C}}_\eta })S - {S^{\rm{T}}}{{{D}}_\eta }S - {S^{\rm{T}}}{K_d}S +\\ & \;\;\;\;\;\;\;\;{\tilde W^{\rm{T}}}[\mu (b){S^{\rm{T}}} - {\dot{\hat W}}] + {S^{\rm{T}}}[\varepsilon - d - K\arctan (S)]\text{。} \end{split} $

(25)

将自适应规律式（21）代入，并根据性质2，等式可以简化为：

$\frac{{{\rm d}V(S,\tilde W)}}{{{\rm d}t}} = - {S^{\rm{T}}}{{{D}}_\eta }S - {S^{\rm{T}}}{K_d}S - K\left\| S \right\| - {S^{\rm{T}}}(\varepsilon - d)\text{。}$

(26)

其中，外界干扰 $\left\| {\varepsilon - d} \right\| < K$ ，则可以保证 $\dfrac{{{\rm d}V(S,\tilde W)}}{{{\rm d}t}} \leqslant$ 0。因为 $V(S,\tilde W) \geqslant 0$ 即有下界， $\dfrac{{{\rm d}V(S,\tilde W)}}{{{\rm d}t}} \leqslant 0$ 即有上界，所以 $\dfrac{{{\rm d}V(S,\tilde W)}}{{{\rm d}t}}$ 一致连续，根据类Lyapunov引理^[17]，当 $t \to \infty $ 时， $\dfrac{{{\rm d}V(S,\tilde W)}}{{{\rm d}t}} \to {\rm{0}}$ ，及 $S \to 0$ ， $\tilde \eta \to 0$ ，因此，系统是全局渐进稳定的。

3 仿真分析

为验证本文提出的RBF神经网络自适应滑模控制器能有效控制四自由度ROV的运动，采用Matlab/Simulink软件进行仿真实验，比较RBF神经网络自适应滑模控制器与切换控制项分别为符号函数sgn（·）、饱和函数sat（·）的滑模控制器的性能。ROV的水动力参数如表1所示。

实验中，设定仿真时间t=60 s，选择cos（·）余弦函数作为外部干扰，ROV的初始位姿与期望位姿如表2所示。

仿真结果如图4~图8所示。其中，图4为RBF神经网络对ROV模型不确定项的逼近，图中虚线代表目标函数，实线代表逼近函数。可以看出，RBF神经网络可以有效地逼近ROV模型的不确定项，逼近误差大约在0.312～0.667，如表3所示。

为了便于比较分析，图5～图8使用3条曲线代表各控制方法的仿真结果。其中，曲线1代表本文提出的控制方法，曲线2和曲线3分别代表切换控制项为sgn（·）和sat（·）的滑模控制。

图5为ROV在3种控制方法下的三维运动轨迹。可以看出，在3种控制方法下，ROV都可以运动到期望位姿，但采用RBF神经网络自适应滑模控制的ROV运动效果更好，抗干扰能力更强。ROV的相轨迹图如图6所示。可以看出，ROV在采用切换控制项为sgn（·）的滑模控制方法时，相轨迹图存在着明显的抖动，在采用切换控制项为sat（·）的滑模控制方法时，在x，y，z轴方向上的相轨迹图都较为平滑，并最终都趋近于稳定点，但在对转首角的控制上，却出现了极限环，这是不允许的，如图6（d）所示。在采用RBF神经网络自适应滑模控制方法时，ROV的相轨迹都较为平滑，并且最终都趋近于稳定点。图7为ROV四自由度的轨迹跟踪图。由图7（a）～图7（c）可以看出，3种控制方法均可快速的跟踪到目标轨迹，但在x轴和y轴方向上，RBF神经网络自适应滑模控制方法的超调量小于其他2种控制方法。在转首角姿态上，RBF神经网络自适应滑模控制方法几乎0误差跟踪ROV的运动轨迹，而其他2种方法都存在着误差，如图7（d）所示。ROV的轨迹跟踪误差如图8所示。从图8（d）可以看到，在转首姿态上，切换控制项为sgn（·）的滑模控制方法的跟踪误差在0.03左右，切换控制项为sat（·）的滑模控制方法的跟踪误差在0.07左右。因此，综合上述实验结果，可以证明本文提出的RBF神经网络自适应控制方法具有很好的综合性能，有效地减小了经典滑模控制的抖动问题以及解决了ROV模型不确定性问题，能够实现控制ROV在外部干扰下稳定地运动。

4 结　语

本文针对四自由度ROV，提出一种基于RBF神经网络的自适应滑模控制方法，主要解决了经典滑模控制中存在的抖动问题，以及ROV模型不确定性问题。首先考虑了ROV在运动时，受自身模型不确定因素的干扰，引入RBF神经网络算法，用以持续补偿ROV模型不确定项。RBF神经网络中的权值则是通过自适应控制方法给出。其次，为了解决经典滑模控制中存在的抖动问题，采用反正切函数作为切换控制项，这种方法简单有效，可以最大化减小滑模控制的抖动，使系统的状态轨迹平滑地沿着滑模面运动到平衡点。最后，根据Lyapunov稳定性定理验证了被控系统是全局渐进稳定的。通过仿真实验，将本文提出的控制方法与2种经典滑模控制方法进行了比较，仿真结果证明该控制方法具有更好的控制效果。