0 引　言

自动舵检测平台为自动舵提供了在陆基条件下运行的环境，对自动舵的检修及研发调试具有重要的意义^[1]。船舶运动模型作为预报船舶操纵特性的基础，是检测平台的重要组成部分。目前，描述操纵性的船舶运动数学模型可分为以下三类^[2]：1）响应型模型，由20世纪50年代末野本谦作提出，从控制工程的观点将船舶看成一个动态系统，舵角为系统的输入，首向角或首摇角速度为系统的输出；2）整体型模型，由20世纪60年代初Abkowitz提出，把船看作一个整体，不考虑船舶各部分之间的流体动力干扰，研究船舶所受的外力和力矩；3）MMG模型，由20世纪70年代末日本拖曳水池委员会提出，按照物理意义将力和力矩分解为作用于裸体船、敞水螺旋桨和敞水舵，以及三者之间相互干涉的流体动力和力矩。

现有的航向航迹自动舵检测平台使用了航迹自动舵标准（IEC62065）中提出的船舶运动模型，由于该模型对螺旋桨推进力、流体阻力以及船、桨、舵之间相互干涉的流体动力和力矩等物理量采取简化处理，是一种简化的MMG模型，在选用与标准中的典型船型相差较大的船型时，运动仿真误差较大，在实际使用中具有一定局限性^[3]。本文利用已具有相当精度的船舶四自由度MMG模型进行仿真试验，提出通过MMG模型仿真结果求取IEC62065模型中相关参数值的方法，将模型转化前后的仿真结果作比较分析，讨论模型间的差异以及对转化方法做出改进。

1 船舶运动模型建立 1.1 IEC62065运动模型的建立

国际电工委员会制定的航迹系统性能标准（IEC62065）中^[4]提出了包括纵移、横移、转首的船舶三自由度运动模型，其船舶运动方程如下：

$\left\{ \begin{aligned} & {M_u}\dot u = X + {M_u}vr - {R_u}u \text{，}\\ & {M_v}\dot v = {M_v}ur - {R_v}v \text{，}\\ & {I_z}\dot r = {K_r}\frac{{{u_{\max }}{X^{'}}}}{L}{\delta _a} + \gamma L{R_v}(v - \gamma Lr) - {R_r}r \text{。} \end{aligned} \right.$

(1)

式中：3个等式依次描述的是船舶的纵移运动、横移运动以及转首运动。 $u$ ， $v$ ， $r$ 分别为船舶前进速度，横移速度与首向角速度； $X$ 为螺旋桨推进力，被简化为线性的推进装置响应方程； ${M_u}$ 和 ${M_v}$ 为纵移或横移方向上船舶质量与附加质量的总和； ${R_u}$ ， ${R_v}$ 为纵移、横移方向上的流体阻力系数， ${R_r}$ 为转首运动方向上的流体阻力矩系数； ${I_z}$ 为首向转动力矩； ${K_r}$ 为转舵力矩系数； $\gamma $ 为首摇稳定系数，表示横移阻力中心偏离重心的程度^[5]。

对纵移运动方程，当船舶以最大速度稳定航行时，有下式成立： ${R_u} = {X_{\max }}/{u_{\max }}$ ，令 ${\tau _u} = {M_u}/{R_u}$ ；对横移运动方程，令 ${\tau _v} = {M_v}/{R_v}$ ；对首向运动方程，令 ${\tau _r} = {I_z}/{R_r}$ ， $K_r^{'} = {K_r}{\delta _{\max }}/{I_z}$ 分别代入原方程，得

$\left\{ \begin{aligned} & {\tau _u}\dot u + u = {u_{\max }}{X^{'}} + {\tau _u}vr \text{，}\\ & {\tau _v}\dot v + v = {\tau _v}ur \text{，}\\ & {\tau _r}\dot r + r = {\tau _r}\frac{{K_r^{'}{u_{\max }}{X^{'}}}}{L}\frac{{{\delta _a}}}{{{\delta _{\max }}}} + \frac{{12\gamma (v - \gamma Lr){\tau _r}}}{{L{\tau _v}}} \text{。} \end{aligned} \right.$

(2)

式中： ${\tau _u}$ 为纵移模型响应时间常数； ${\tau _v}$ 为横移模型响应时间常数； ${\tau _r}$ 为首向运动模型响应时间常数。

1.2 MMG模型的建立

本文对平野数学模型^[6]进行改进得到四自由度MMG模型：

$ \left\{ \begin{aligned} &(m + {m_{11}})\dot u - (m + {m_{22}})vr = {X_{HH}} + {X_{HP}} + {X_{HR}} \text{，}\\ &(m + {m_{22}})\dot v + (m + {m_{11}})u = {Y_H} \text{，}\\ &({I_x} + {m_{44}})\dot p = {K_H} + {K_\phi } + {K_{\dot \phi }} \text{，}\\ &({I_z} + {m_{66}})\dot r = {N_H} \text{。} \end{aligned} \right. $

(3)

其中： $m$ 为船体质量；I_x，I_z为船体绕X，Z轴惯性矩； $u$ ， $v$ ， $r$ 分别为船的纵移速度，横移速度以及首摇角速度。

${X_{HH}}$ 为粘性流体动力，表示为关于纵速 $u$ 的一元三次回归表达式，系数通过约束船模实验并对实验结果进行回归分析得到； ${X_{HR}}$ 为舵水动力， ${X_{HP}}$ 为螺旋桨水动力，求取办法参照平野数学模型中的计算公式。

${K_H}$ 为船体横倾力矩，本模型将作用在船体上的水动力通过泰勒级数展开，表示为关于 $v$ ， $r$ ， $\delta $ 以及其2阶、3阶量的多元函数； ${K_\phi }$ 为静扶力矩， ${K_{\dot \phi }}$ 为横倾阻尼力矩，求取办法参照平野数学模型中的计算公式。

对于横向力 ${Y_H}$ 和偏航力矩 ${N_H}$ 的求取，将作用在船体上的水动力及水动力矩通过泰勒级数展开，表示为关 $v$ ， $r$ ， $\delta $ 以及其2阶、3阶量的多元函数。对船的附加质量 ${m_{11}}$ ， ${m_{22}}$ 以及附加惯性矩 ${m_{66}}$ ， ${m_{44}}$ 的计算选用周昭明等回归公式^[7]。

2 模型转化方案及实验设计

本文通过对MMG模型的仿真实验求取IEC62065模型中的相关参数值，实现复杂的四自由度MMG模型向IEC62065模型的转化，使得与IEC62065标准中典型船型相差较大的船型也能够适用于该简化模型。

1）纵移运动方程 ${\tau _u}$ 的等效求取

对于式（2）中纵移运动方程，当无海流，直航无推力时， ${X^{'}} = 0$ ， $r = 0$ ，有 ${\tau _u}\dot u + u = 0$ 成立，在 $u(0) = {u_0}$ 的初始条件下对其进行拉普拉斯变换求解，得到纵速、时间以及响应时间常数 ${\tau _u}$ 的对应关系为：

$u(t) = {u_0}{e^{ - t/{\tau _u}}}\text{。}$

(4)

实验设计：应用MMG模型的仿真进行试验，先保持舰船处于匀速直航状态，然后突然使螺旋桨推力为零，同时从0开始计时，让舰船在水的阻力下减速，根据减速过程中纵速与时间的对应关系依照式（4）求解 ${\tau _u}$ ，最后进行综合评估对计算值取平均。

2）横移运动方程 ${\tau _v}$ 的等效求取

对于式（2）中横移运动方程，无海流时，操一个舵角，当舰船作稳态旋回时，有 ${\tau _v}ur - v = 0$ 成立，可得到 ${\tau _v}$ 的计算公式为：

${\tau _v} = \frac{v}{{ur}}\text{。}$

(5)

实验设计：应用MMG模型的仿真进行旋回试验，分别设置舵角为5°，10°，15°，20°，25°，30°，舰船作不同旋回动作，达到稳态后按照式（5）计算出不同条件下的 ${\tau _v}$ ，最后进行综合评估对计算值取平均。

3）首向运动模型 ${K_r}^{'}$ ， ${\tau _r}$ 的等效求取

对于式（2）中首向运动方程，令 $ K = 100K_r^{'}{\tau _r}{u_{\max }}{X^{'}}/ L{\delta _{\max }}$ ，在不考虑不稳定系统 $\gamma $ 时，可以简化为1阶线性KT方程^[8]：

${\tau _r}\dot r + r = {K_{}}\delta \text{，}$

(6)

无海流时，操一个舵角，当舰船作稳态旋回时， $\dot r = 0$ ，得到：

$K = \frac{r}{\delta }\text{，}$

(7)

对式（6）进行拉普拉斯变换有：

$r(s) = \frac{{{K_{}}\delta (s) + {\tau _r}r(0)}}{{{\tau _r}s + 1}}\text{。}$

(8)

当舵角固定，航向变化率的稳态值显然为： ${r_{ss}} = K\delta $ ，且舵角阶跃变化，从 $\delta = - {\delta _{ss}}$ 到航向变化率稳定后 $\delta = + {\delta _{ss}}$ ，则对式（8）进行拉普拉斯反变换得到 $r$ 瞬时值为：

$r(t) = K{\delta _{ss}}(1 - {e^{ - t/{\tau _r}}}) + r(0){e^{ - t/{\tau _r}}}\text{，}$

(9)

当 $\delta = - {\delta _{ss}}$ ，航向变化率稳定后： $r(0) = - {K_r}{\delta _{ss}}$ ，则式（9）变形为：

$r(t) = K{\delta _{ss}}(1 - 2{e^{ - t/{\tau _r}}})\text{，}$

(10)

因此，当航向变化率 $r = 0$ 时，可得到时间 $t$ 与 ${\tau _r}$ 间的对应关系为：

${\tau _{\rm{r}}}{\rm{ = }}\frac{{{t}}}{{\ln 2}}\text{。}$

(11)

实验设计：应用MMG模型的仿真进行Z形操舵试验，经历周期足够长，使得在每个半周期中航向变化率均能进入稳定状态，记录舵角上跳沿或下跳沿出现到航向变化率为0所经历时间，然后根据式（11）求解 ${\tau _r}$ 。应用MMG模型的仿真进行旋回实验，取不同的舵角值，舰船进入稳态后，用式（7）求解 $K$ 值，进而得到 ${K_r}^{'}$ 的值，最后进行综合评估对计算值取平均。

3 实验结果分析及转化方案改进

本文利用Matlab对MMG模型进行仿真试验，按照上节模型转化方法得到IEC62065模型中相应参数值： ${\tau _v} = 4.0905$ ， $K_r^{'} = 0.0545$ ， ${\tau _u} = 155.3$ ， ${\tau _r}{\rm{ = 7}}{\rm{.68}}$ 。根据这组参数值对IEC62065模型进行不同舵角下的回转试验，并与原模型试验结果进行比较。图1和图2分别为两模型在5°和25°舵角下的纵速、横速以及首向角时间历史曲线对比图。

在800 s以内，不同舵角下船舶达到稳定旋回后，两模型的纵速、横速以及回转角速度误差如表1所示。

可以看出，IEC62065模型达到稳定回转所需时间更长，纵速误差随舵角增大而增大，纵、横速误差以及回转角速度误差较大，与原模型拟合度较低。

对比两模型可以发现，对于纵移运动，IEC62065模型中没有考虑y轴方向的附加质量对其的影响，将螺旋桨推进力进行了简单线性归一化处理，将阻力简单定义为阻力系数和纵速的乘积；而MMG模型将x轴和y轴的附加质量都考虑在内，对螺旋桨推力以及阻力的求取都建立在深层次理论分析与广泛的试验研究相结合的基础之上，具有相当的精度^[9]。对于横移运动，IEC62065模型同样存在上述问题造成较大误差。对于首向运动，本文在实验设计中直接将IEC62065模型中的公式进行简化处理，忽略不稳定系统 $\gamma $ ，尽管该方法求取参数方便但忽略因素较多。

现对模型转化方法做出改进，在以上参数求取实验的基础上，保留求得的 ${\tau _v}$ 和 ${\tau _r}$ 值不变，随舵角变化调整两模型理论公式相差较大的纵移和首向运动方程中的参数，即 ${\tau _u}$ 和 ${K_r}^{'}$ 。通过不断对比试验，得到两模型拟合度较高的参数取值，如表2所示。其他舵角下的参数取值可以参照此表进行分段逼近求取。

按照表2的参数取值，得到两模型在5°（见图3）和25°（见图4）舵角下的纵速、横速以及首向角时间历史曲线对比图。

在800 s以内，不同舵角下船舶达到稳定旋回后，两模型的纵速、横速以及回转角速度误差如表3所示。

可以看出，对参数值改进后的IEC62065模型与原模型拟合度较高，纵速最大误差为0.4%，横速最大误差为3.5%，回转角速度最大误差为1.2%，可以认为两模型具有较好的转化效果。

4 结　语

本文首次提出了复杂MMG模型转化简单IEC62065模型的方法，设计MMG模型的仿真试验求取IEC62065模型的相关参数值。通过两模型仿真试验结果的对比，将部分参数值随舵角变化做出调整。试验结果表明，采用该方法得到了较好的模型转化效果。