0 引　言

利用船舶在航行过程中产生的辐射噪声进行特征提取来实现目标识别是水下目标分类识别的一种重要手段，但是由于船舶型号、航速、螺旋桨工况的不同，目标的辐射噪声特征变化较大，特别是在恶劣海况下，识别效果更不令人满意，提取更加具有鲁棒性的特征及研究与特征相匹配的分类识别方法是急需解决的问题。

近年来，随着张量研究的不断深入与发展，张量分解在图像识别，语音信号处理和医学等领域^[1]中得到广泛应用。在图像识别领域，周春光等^[2]在线性主成分分析的基础上提出了稀疏张量主成分分析算法，有效降低了遮挡对人脸特征提取的影响，并且在不同表情的人脸识别中优于原算法；计雨含利用奇异值分解对人物、表情、向量长度构建的3阶张量进行识别，提高了人脸在光照、角度发生改变时的识别精确度^[3]和分类识别时的速度^[4]；同时在循环次数、特征维数以及训练样本和测试样本数目差别等不同方面对非负张量分解和非负矩阵分解进行的对比也表明了非负张量分解具有的有效性和高效性^[5]；任卿龙^[6]利用不同波段上的遥感图像构建高维张量，对飞机目标和舰船目标进行分级识别也取得了较好的实验结果。在声学领域，王珊^[7]在混合矩阵估计中引入张量分解，利用分解后的各个矩阵实现了对多通道混合音乐的盲分离；杨立东^[8-9]用语音命令张量经过Tucker分解得到的特征进行识别，平均识别率达到95%，同样对声矢量传感器输出的多维阵列信号进行张量奇异值分解，相比于传统的矢量奇异值分解能够更好地抑制噪声，并对信号子空间的估计更加准确^[10]。医学方面，利用张量方法表征脑电信号的时域、频率、空域特征^[11]，处理肌电信号^[12]，提取心电信号^[13]的操作，均比传统方法具有更高的准确率和相对的优越性。机器学习方面也有关于张量应用的研究^[14-15]。

张量分解在图像识别，语音信号处理和医学等领域取得了较好的成果，但在与其具有类似高维结构的船舶辐射噪声信号特征提取和分类识别领域中尚未见到相关报道。本文在船舶辐射噪声特征提取中引入张量，利用张量的空间坐标系具有旋转不变性，以及直接对高维空间进行整体分析和操作的特点进行船舶辐射噪声特征提取和张量构造，并经过张量分解实现对船舶辐射噪声的分类识别。

1 张量分解

张量可以直观理解为一个多维数组，是多个矢量的空间乘积，张量的阶是张量不同维上元素个数的数量表达，也被称为way或mode。通常认为向量是张量的1阶表达,矩阵是张量的2阶表达，具有3阶或更高阶数的张量则称为高阶张量。本文提及的张量指的都是高阶张量，用粗体大写字母表示，如 ${{Z}}$ ；向量用粗体小写字母表示，如 ${{a}}$ ；矩阵用斜体大写字母表示，如 ${{U}}$ 。一个N阶张量可以表示为 ${{Z}} = \left( {{z_{{i_1}{i_2}...{i_N}}}} \right) \in {R^{{I_1} \times {I_2} \times \cdot \cdot \cdot \times {I_N}}}$ ，其中 ${I_i}\left( {1 \leqslant i \leqslant N} \right)$ 表示第i阶上的维数。

张量分解的思想最早由Hitchcock在1927年提出。1963年，Tucker首次提出了Tucker分解，并在随后进行了完善。1970年，Carroll，Chang和Harshman提出了CANDECOMP/PARAFAC分解，即CP分解^[1]。近年来，尹凤等^[16]在张量CP分解和Tucker分解的基础上，提出一种利用交替最小二乘法计算高阶张量秩的分解方法。Tucker分解将张量分解为核张量和因子矩阵的形式，类似于矩阵的奇异值分解，因此Tucker分解又被称为高阶奇异值分解（HOSVD）^[17]，并可以将其看做是奇异值分解（SVD）的高阶形式。本文所采用的张量分解方法就是Tucker分解。

HOSVD将一个 $N$ 阶张量分解为一个核张量 ${\bf{G}}$ 和 $N$ 个因子矩阵 ${{U}_{\left( N \right)}}$ 的形式，因子矩阵彼此之间是正交的，如图1所示。

对于3阶张量 ${\bf{Z}} \in {R^{I \times J \times K}}$ ,其HOSVD表示为：

${{Z}} \approx {{G}}{ \times _1}{{{U}}_{\left( 1 \right)}}{ \times _2}{{{U}}_{\left( 2 \right)}}{ \times _3}{{{U}}_{\left( 3 \right)}}{\text{，}}$

(1)

其中： ${{G}} \in {R^{P \times Q \times R}}$ 为分解后的核张量，保存了原张量的主要信息； ${{{U}}_{\left( 1 \right)}} \in {R^{I \times P}}$ ， ${{{U}}_{\left( 2 \right)}} \in {R^{J \times Q}}$ ， ${{{U}}_{\left( 3 \right)}} \in {R^{K \times R}}$ 为因子矩阵，是通过对 ${{Z}}$ 做mode-1，mode-2，mode-3矩阵化后得到的矩阵分别进行奇异值分解得到的，是 ${{Z}}$ 在各阶上的主分量。

分解后的核张量 ${{G}}$ 并不是直接求得的，是由原张量 ${{Z}}$ 和因子矩阵 ${{{U}}_{\left( 1 \right)}}$ ， ${{{U}}_{\left( 2 \right)}}$ ， ${{{U}}_{\left( 3 \right)}}$ 的转置做矩阵乘运算得到：

${{G}} = {{Z}}{ \times _1}{\left( {{{{U}}_{\left( 1 \right)}}} \right)^{\rm{T}}}{ \times _2}{\left( {{{{U}}_{\left( 2 \right)}}} \right)^{\rm{T}}}{ \times _3}{\left( {{{{U}}_{\left( 3 \right)}}} \right)^{\rm{T}}}{\text{。}}$

(2)

同奇异值分解一样，高阶奇异值分解中核张量代表原始张量的某些特性，因子矩阵代表着这些特性的重要程度，核张量和因子矩阵也是本文进行舰船辐射噪声分类识别的关键。

2 小波变换张量特征

研究表明，船舶信息主要集中在1000 Hz以下的船舶辐射噪声中^[18]，而1000 Hz以上主要是螺旋桨空化噪声，因此对低频噪声进行分解可以得到更多的船舶信息，更便于船舶特征的提取。离散小波变换可以对信号低频进行分解，因此本文采用的方法是将船舶辐射噪声经过分帧、小波变换、美尔频率倒谱系数（MFCC）提取处理后构建一个帧数×小波分解分量×MFCC特征维数的3阶辐射噪声张量。

2.1 分帧

采用交叠分段的方法将船舶辐射噪声分为部分交叠的 $T$ 帧，帧移长度为 ${L_{inc}}$ ，每帧长 ${L_z}$ ，若原始信号长度为 ${L_s}$ ，则帧数 $T$ 表示为：

$T = \frac{{{L_s} - {L_z} + {L_{inc}}}}{{{L_{inc}}}}{\text{。}}$

(3)

2.2 小波变换

小波变换（WT）是在傅里叶变换（FT）的基础上发展来的，将FT中无限长的三角函数基换成有限长的会衰减的小波基，能够在获得频率信息的同时定位到时间，其与信号 $f\left( t \right)$ 做卷积的形式表示为下式：

$\begin{split}F\left( \omega \right) =& \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f\left( t \right) * {e^{ - i\omega t}}{\rm{d}}t} \Rightarrow WT\left( {a,b} \right) =\\ &{\left| a \right|^{ - 1/2}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f\left( t \right) * \varPsi \left( {\frac{{t - b}}{a}} \right){\rm{d}}t}{\text{。}} \end{split}$

(4)

其中： ${\varPsi _{ab}}\left( t \right) = {\left| a \right|^{ - 1/2}}\varPsi \left( {\frac{{t - b}}{a}} \right)$ 为小波函数，a为变换尺度，对应于频率，控制小波函数的伸缩；b为平移量，对应于时间，控制小波函数的平移。

对信号进行小波变换是改变小波的尺度，实现在频域内的伸缩；改变平移量实现在时域内的移动，通过分析 ${\varPsi _{ab}}\left( t \right)$ 与 $f\left( t \right)$ 在 $b$ 时刻的相似程度得到该时刻 $f\left( t \right)$ 的频率信息。在信号处理中，一般采用离散小波变换，把式(4)中的参数 $a$ ， $b$ 都进行离散化，令 $a = a_0^m$ ， $b = n{b_0}a_0^m$ ，其中 ${a_0} > 1$ ， ${b_0} \ne 0$ ，通常取 ${a_0} = 2,{b_0} = 1$ ， $m \in {N^ * },n \in Z$ 分别对应小波的伸缩变换与平移，从而把连续小波变为离散小波(DW)^[18]。

${\varPsi _{m,n}}\left( t \right) = a_0^{ - m/2}\varPsi \left( {a_0^{ - m}t - n{b_0}} \right){\text{，}}$

(5)

则离散小波变换(DWT)为：

$DWT\left( {m,n} \right) = a_0^{ - m/2}\int_{ - \infty }^\infty {f\left( t \right) * \varPsi \left( {a_0^{ - m}t - n{b_0}} \right){\rm{d}}t}{\text{。}} $

(6)

DWT是一种平分信号带宽的分解算法，它将信号 $S$ 分解为高频细节分量 $HF$ 和低频近似分量 $LF$ ，并对低频部分再次进行高低频分解，分解过程如图2所示。

图中，L为低通滤波器，H为高通滤波器，↓2为系数为2的降采样滤波器。由于一直在进行降采样，所以虽然滤波器L，H不变，但其滤波带宽一直在减半。如此经过 $X$ 次分解后，信号 $S$ 就可以表示为：

$S = H{F_1} + H{F_2} + \cdot \cdot \cdot + H{F_X} + L{F_X}{\text{。}}$

(7)

在小波变换中，Morlet小波，Haar小波，Daubechies小波，Meyer小波等是常用的小波，本文进行小波变换时采用的是Daubechies小波，常记为 $dbN$ , $N$ 是其阶数。 $dbN$ 小波不具有解析式，由满足一定条件的滤波器系数迭代逼近小波，一般先给出低通滤波器系数 $L(n)$ ，再由式（8）推导得到高通滤波器系数。

$H\left( n \right) = {\left( { - 1} \right)^n}L\left( {2N - n + 1} \right),n = 1,2,...,2N{\text{。}}$

(8)

经分类识别实验选取Daubechies小波的阶数 $N = 3$ 阶，其低通滤波器系数

${{L(n)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.332670553} \\ {0.806093111} \\ {0.459877502} \\ { - 0.135011020} \\ \begin{gathered} - 0.085441274 \\ 0.035226292 \\ \end{gathered} \end{array}} \right]{\text{。}}$

(9)

2.3 MFCC特征提取

MFCC特征是一种根据人耳听觉对不同频率的声波灵敏度不同的特性提出的一种听觉感知特性，在信号处理中可以理解为信号的能量在不同频率范围的分布系数占比。计算过程如下^[19]：

将分帧后的船舶辐射噪声经上述 $X$ 次小波分解后可得到 $\left( {X + 1} \right)$ 个分量，对每个分量 ${S_F}\left( n \right)$ 进行离散傅里叶变换得到频谱 $F\left( k \right)$ ，傅里叶变换长度为每个分量的长度T：

$F\left( k \right) = \sum\limits_{n = 0}^{T - 1} {{S_F}\left( n \right){e^{ - j2\pi nk/T}}} ,0 \leqslant n,k \leqslant T - 1{\text{，}}$

(10)

将频谱幅度平方后得到的能量谱通过美尔（Mel）频率滤波器组 ${Q_m}\left( k \right)$ 得到各分量的Mel频谱,并对Mel频谱取自然对数得到对数频谱：

$P\left( m \right) = \ln \left[ {\sum\limits_{k = 1}^T {{{\left| {F\left( k \right)} \right|}^2}} {Q_m}\left( k \right)} \right],m = 1,2...,M{\text{。}}$

(11)

式中： $M$ 为滤波器个数。将对数频谱经过离散余弦变换(DCT)得到Mel倒谱系数

$C\left( r \right) = \sum\limits_{m = 1}^M {P\left( m \right)\cos \left[ {\left( {2m - 1} \right)r\pi /2M} \right]} ,1 \leqslant r \leqslant R{\text{。}}$

(12)

其中： $R$ 为DCT系数个数，即MFCC系数个数。

2.4 张量特征构造

通过上述处理，就可以构建一个帧数×小波分解分量×MFCC特征维数 $\left( {T \times X + 1 \times R} \right)$ 的3阶船舶辐射噪声张量，其结构如图3所示。

3 张量特征分类识别

对船舶辐射噪声进行分类识别时，设船舶辐射噪声共分为 $I$ 类。将船舶辐射噪声分为训练样本集和测试样本集。对每一个样本按照上述方法构造3阶小波张量，对训练样本集中每个样本的3阶张量 ${{\bf{Z}}_{Train}} \in {R^{I \times J \times K}}$ 进行HOSVD分解，得到训练样本集中每个样本的核张量 ${{G}_{Train}}$ 和因子矩阵 ${U}_{_{\left( 1 \right)}}^{Train}$ ， ${U}_{_{\left( 2 \right)}}^{Train}$ ， ${U}_{_{\left( 3 \right)}}^{Train}$ ，如下式：

${{\bf{Z}}_{Train}} \approx {{\bf{G}}_{Train}}{ \times _1}{{U}}_{_{\left( 1 \right)}}^{Train}{ \times _2}{{U}}_{_{\left( 2 \right)}}^{Train}{ \times _3}{{U}}_{\left( 3 \right)}^{Train}{\text{，}}$

(13)

将测试样本集中每个样本的3阶张量 ${{{Y}}_{Test}} \in {R^{I \times J \times K}}$ 和训练样本集中每个样本的因子矩阵 ${{U}}_{_{\left( 1 \right)}}^{Train}$ ， ${{U}}_{_{\left( 2 \right)}}^{Train}$ ， ${{U}}_{_{\left( 3 \right)}}^{Train}$ 的转置做矩阵乘运算，生成该测试样本的投影张量，如下式：

${{\bf{G}}_{Test}} = {{{Y}}_{Test}}{ \times _1}{\left( {{{U}}_{_{\left( 1 \right)}}^{Train}} \right)^{\rm{T}}}{ \times _2}{\left( {{{U}}_{_{\left( 2 \right)}}^{Train}} \right)^{\rm{T}}}{ \times _3}{\left( {{{U}}_{_{\left( 3 \right)}}^{Train}} \right)^{\rm{T}}}{\text{，}}$

(14)

通过判别每个测试样本的投影张量 ${{{G}}_{Test}}$ 与训练集中每个训练样本的核张量 ${{{G}}_{Train}}$ 相似性实现目标的分类识别，即

$\mathop {\arg\min }\limits_{} \sqrt {{{\left\| {{{{G}}_{Test}} - {{{G}}_{Train}}} \right\|}_F}} {\text{。}}$

(15)

式中： ${\left\| \cdot \right\|_F}$ 为Frobenius范数。若测试样本的 ${{{G}}_{Test}}$ 与第i类训练样本集中样本的核张量 ${{{G}}_{Train}}$ 之间的Frobenius范数最小，则将 ${{{Y}}_{test}}$ 分类为第i类船舶辐射噪声。

4 船舶辐射噪声分类识别实验

分类识别实验中，共有Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ类船舶4506个辐射噪声样本，采样频率为25 kHz，每个样本长为6.5536 s。从整个辐射噪声样本中每间隔10个样本取1个作为训练样本集，余下的作为测试样本集，得到451个训练样本，4055个测试样本。对每个样本采用汉明窗进行分帧，每帧长度为8192个采样点，帧移为1024个采样点，分帧后共得到153帧。在小波分解过程中，采用db3小波进行3层小波分解，小波分解后得到4个分量。对每个分量提取12维美尔频率倒谱系数（MFCC）。然后使用上述步骤得到的153帧、4个小波分解分量、12维MFCC特征系数构建一个 ${\rm{ - }}\left( {{L_{\rm{r}}},1,1} \right)$ 的3阶小波张量，最后按分类识别方法完成分类识别实验，测试样本集总的正确分类识别概率为 ${\rm{95}}{\rm{.09\% }}$ ，详细的分类识别概率如表1所示。

从实验结果可以看出，本文提出的方法最差识别率为 ${\rm{83}}{\rm{.42\% }}$ ，得到了比较好的分类识别效果。

5 结　语

辐射噪声特征提取是进行目标识别的重要组成部分，提取能够充分表示噪声信息的特征是提高识别率的关键。本文提出的舰船辐射噪声张量特征提取方法，利用小波变换及美尔频率倒谱系数（MFCC）构建具有较高鲁棒性的3阶张量。通过HOSVD张量分解得到训练样本的核张量和各维度上的因子矩阵，将因子矩阵的转置与测试样本构建的张量进行矩阵乘运算得到投影张量，最后通过范数比较核张量和投影张量之间的差异性，确定测试样本所属类别。实验结果表明该方法识别率高，具有一定的优越性。