0 引　言

在传统的海洋管理和资源开发方面，人力物力成本过高，且存在地形和气候原因限制，需要采取现代化的方法提高工作效率。在这种情况下，无人艇用于海洋安全管理和海洋资源开发的任务中无疑是很合适的。而无人艇在执行海洋安全管理或资源开发时，依赖于轨迹跟踪控制。无人艇由于其结构原因，通常为欠驱动控制系统。国内外已有较多的研究成果。

国外，Do，Jiang和Pan提出将轨迹跟踪问题转换为对跟踪误差的镇定控制问题，综合考虑无人艇动力学及艇体运动数学模型内部结构，结合反步法思想和李雅普诺夫直接法判据，设计出了一种全局一致稳定的无人艇轨迹跟踪控制器，并提出了解放艏向角速度持续激励（PE）条件的方法，使无人艇既能跟踪曲线轨迹，也能跟踪直线轨迹^{[1 – 2]}；美国阿拉巴马汉茨维尔大学Fahimi对艇体模型中的存在的不确定项进行分析考虑，使用滑模法设计了适用于欠驱动水面艇的轨迹跟踪跟踪控制器，并进行了实验验证^[3]；

国内，廖煜雷^[4]结合反步法和自适应滑模设计出一种路径跟踪控制器；徐健^[5]针对不确定因素，在设计中引入虚拟控制量避免欧拉角奇点，设计出了一种自适应滑模轨迹跟踪控制器；孙志坚^[6]在论文[5]的基础上，改进了滑模面和自适应律，设计出一种针对不确定项的自适应滑模跟踪控制器。

在以上研究的基础上，本文综合考虑无人艇的非完全对称性和外界干扰的不确定影响，设计了一种自适应滑模轨迹跟踪控制器。

1 无人艇运动模型 1.1 运动学与动力学模型

水面无人艇的轨迹跟踪研究通常只考虑平面三自由度的运动，其运动学模型如下：

$ {\bf{\eta}}= {{J}}{\rm{(}}{\bf{\eta }}{\rm{)}}{\bf{\upsilon }} $

(1)

其中无人艇的位置和姿态向量为 ${\bf{\eta }} = {[\begin{array}{*{20}{l}} x&y&\psi \end{array}]^{\rm{T}}}$ ；无人艇的速度和角速度向量为 ${\bf{\upsilon }} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} u&v&r \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ ； ${\bf{J}}({{\eta }})$ 为转换矩阵，其定义如下：

$ {{J}}({\bf{\eta }}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \psi }&{ - \sin \psi }&0 \\ {\sin \psi }&{\cos \psi }&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right]\text{，} $

(2)

无人艇的动力学模型如下：

$ {{M}}{\dot{\bf{\upsilon}}} +{{ C}}{\rm{(}}{\bf{\upsilon }}{\rm{)}}{\bf{\upsilon }} +{{ D}}{\rm{(}}{\bf{\upsilon }}{\rm{)}}{\bf{\upsilon }}= {{\tau}} + {{{\tau }}_{\bf{e}}} $

(3)

其中： ${{g}}{\rm{(}}{\bf{\eta }}{\rm{)}}$ 为恢复力矩阵； ${{\tau }}$ 和 ${{{\tau }}_e}$ 分别为推进力和环境干扰力矩阵； ${{M}}$ 为惯性矩阵， ${{C}}{\rm{(}}{\bf{\upsilon }}{\rm{)}}$ 为科氏力矩阵； ${{D}}{\rm{(}}{\bf{\upsilon }}{\rm{)}}$ 为阻尼矩阵；他们的定义如下：

$\begin{split} {{M}} = \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_{11}}}\!\!\!&\!\!\!0\!\!\!&\!\!\!0 \\ 0\!\!\!&\!\!\!{{m_{22}}}\!\!\!&\!\!\!{{m_{23}}} \\ 0\!\!\!&\!\!\!{{m_{32}}}\!\!\!&\!\!\!{{m_{33}}} \end{array}} \!\! \!\! \right]{\rm{ = }} \left[\!\! \!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {m - {X_{\dot u}}}\!\!\!&\!\!\!0\!\!\!&\!\!\!0 \\ 0\!\!\!&\!\!\!{m - {Y_{\dot v}}}\!\!\!&\!\!\!{m{x_g} - {Y_{\dot r}}} \\ 0\!\!\!&\!\!\!{m{x_g} - {N_{\dot v}}}\!\!\!&\!\!\!{{I_z} - {N_{\dot r}}} \end{array}} \!\! \!\! \right]\text{，}\\[-25pt] \end{split} $

(4)

$ {{C}}({\bf{\upsilon}} ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ - {m_{22}}v - {m_{23}}r} \\ 0&0&{{m_{11}}u} \\ {{m_{22}}v + {m_{23}}r}&{ - {m_{11}}u}&0 \end{array}} \right]\text{，} $

(5)

$ {{D}}({\bf{\upsilon}} ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_{11}}}&0&0 \\ 0&{{d_{22}}}&{{d_{23}}} \\ 0&{{d_{32}}}&{{d_{33}}} \end{array}} \right]\text{，} $

(6)

${{D}}({\bf{\upsilon }})$ 中的各参数的取值按下式计算：

$ \left\{ \begin{array}{l} {d_{11}} = - {X_u} - {X_{|u|u}}|u| - {X_{uuu}}uu \text{，} \\ {d_{22}} = - {Y_v} - {Y_{|v|v}}|v| - {Y_{|r|v}}|r| - {Y_{vvv}}vv \text{，}\\ {d_{23}} = - {Y_r} - {Y_{|v|r}}|v| - {Y_{|r|r}}|r| \text{，}\\ {d_{32}} = - {N_v} - {N_{|v|v}}|v| - {N_{|r|v}}|r| \text{，}\\ {d_{33}} = - {N_r} - {N_{|v|r}}|v| - {N_{|r|r}}|r| \text{。}\\ \end{array} \right. $

(7)

1.2 全局微分同胚变换

设计如下的全局微分同胚变换量 ${z_i},i = 1,\cdots,6$ ：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{z_1} = x + \dfrac{{{m_{23}}}}{{{m_{22}}}}(\cos (\psi ) - 1)} \text{，}\\ {{z_2} = y + \dfrac{{{m_{23}}}}{{{m_{22}}}}\sin (\psi )} \text{，}\\ {{z_3} = \psi } \text{，}\\ {{z_4} = u} \text{，}\\ {{z_5} = v + \dfrac{{{m_{23}}}}{{{m_{22}}}}r} \text{，}\\ {{z_6} = r} \text{。} \end{array}} \right. $

(8)

对控制输入推力与转矩进行如下变换设计：

$\begin{split} \left\{ {\begin{aligned} & {{f_1}= \frac{1}{{{m_{11}}}}\left({\tau _u} + {m_{22}}vr + \frac{{({m_{23}} + {m_{32}})}}{2}{r^2} - {d_{11}}u\right)} \text{，}\\ & {f_2}=\frac{{{m_{22}}}}{{{m_{22}}{m_{33}} - {m_{32}}{m_{23}}}}\big\{ {\tau _r} + ({m_{11}} - {m_{22}})uv + \\ &\;\;\;\left[\frac{{{m_{11}}{m_{32}}}}{{{m_{22}}}} - \frac{{({m_{23}} + {m_{32}})}}{2}\right]ur + \\ & \;\;\;\left({m_{32}}{d_{22}} - {m_{22}}{d_{32}}\right)v/{m_{22}} - \left({m_{22}}{d_{33}} - {m_{32}}{d_{23}}\right)r/{m_{22}}\big\} \text{。}\\ \end{aligned}} \right.\\[-50pt]\end{split} $

(9)

对环境干扰力和力矩进行如下的变换设计：

$\left\{ {\begin{aligned} & {{f_{e1}} = \frac{1}{{{m_{11}}}}{\tau _1}} \text{，}\\ & {{f_{e2}} = \frac{{{m_{23}}}}{{{m_{22}}{m_{33}} - {m_{32}}{m_{23}}}}\left(\frac{{{m_{33}}}}{{{m_{23}}}}{\tau _2} - \frac{{{m_{32}}}}{{{m_{22}}}}{\tau _3}\right)} \text{，}\\ &{{f_{e3}} = - \frac{{{m_{32}}}}{{{m_{22}}{m_{33}} - {m_{32}}{m_{23}}}}{\tau _3}}\text{，} \end{aligned}} \right. $

(10)

根据式（9）与式（10）对式（8）求导可以得到变换后的系统如下式：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot z}_1} = {z_4}\cos ({z_3}) - {z_5}\sin ({z_3})} \text{，}\\ {{{\dot z}_2} = {z_4}\sin ({z_3}) + {z_5}\cos ({z_3})} \text{，}\\ {{{\dot z}_3} = {z_6}}\text{，} \\ {{{\dot z}_4} = {f_1}{\rm{ + }}{f_{e1}}} \text{，}\\ {{{\dot z}_5} = - a{z_4}{z_6} - b{z_5} + \gamma {z_6} + {f_{e2}}} \text{，}\\ {{{\dot z}_6} = {f_2} + {f_{e3}}} \text{。} \end{array}} \right. $

(11)

其中 $a = {{{m_{11}}} / {{m_{22}}}}$ ， $b = {{{d_{22}}} /{{m_{22}}}}$ ， $\gamma = {{{d_{22}}{m_{23}}} / {m_{22}^2}} - {{d_{23}}} / $ ${{m_{22}}}$ 。

2 控制器设计 2.1 控制器设计

进行控制器设计前，提出3个假设条件。定义进行全局微分同胚变换前的期望速度为 ${{\bf{\upsilon }}_d} = \left[ {{u_d}}\quad{{v_d}}\quad\right.$ $\left.{{r_d}} \right]^{\rm{T}}$ ，假设条件如下：1）变换前的期望速度 ${u_d}$ 和期望角速度 ${r_d}$ 以及它们的一阶导数与二阶导数均有界；2）在轨迹跟踪过程中，存在正实数 $\delta $ ，使得 $\left| {{u_d}(t)} \right| \geqslant \delta $ ， $\forall t > 0$ 成立；3）在轨迹跟踪过程中，满足条件 $\left| {{v_d}(t)} \right| < \left| {{u_d}(t)} \right|$ ， $\forall t > 0 $ 。

假设1保证了期望轨迹的合理性；假设2类似于弱化的艏向角速度持续激励条件，这种弱化的持续激励条件允许艇前进或是后退，但是艇的纵向速度值不能为0；假设3用于保证所跟踪轨迹的曲率不会过大而使跟踪效果变差。接下来将进行控制器的设计。

当给定期望轨迹矩阵中的位置变量在固地坐标系下的纵向与横向的分量 ${z_{1d}}$ 和 ${z_{2d}}$ 后，可以用下式计算期望首向角：

$ {z_{3d}} = \arctan \left(\frac{{{{\dot z}_{2d}}}}{{{{\dot z}_{1d}}}}\right)\text{，} $

(12)

定义船体坐标系下的位置及姿态跟踪误差 ${{\bf{\eta }}_e}$ 为：

${{\bf{\eta }}_e} = \left[\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_{1e}}} \\ {{z_{2e}}} \\ {{z_{3e}}} \end{array}}\! \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos ({z_3})}\!\!&\!\!{\sin ({z_3})}\!\!&\!\!0 \\ { - \sin ({z_3})}\!\!&\!\!{\cos ({z_3})}\!\!&\!\!0 \\ 0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1} \!-\! {z_{1d}}} \\ {{z_2} \!-\! {z_{2d}}} \\ {{z_3} \!-\! {z_{3d}}} \end{array}} \right]\text{，} $

(13)

对式（13）求导，并将式（12）代入计算，得到：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot z}_{1e}} = {z_4} - \sqrt {\dot z_{1d}^2 + \dot z_{2d}^2} \cos ({z_{3e}}) + {z_6}{z_{2e}}}\text{，} \\ {{{\dot z}_{2e}} = {z_5} + \sqrt {\dot z_{1d}^2 + \dot z_{2d}^2} \sin ({z_{3e}}) - {z_6}{z_{1e}}} \text{。} \end{array}} \right. $

(14)

引入 $ {v_p}$ 为：

$ {v_p} = \sqrt {\dot z_{1d}^2 + \dot z_{2d}^2} \text{，} $

(15)

将式（15）代入到式（14）中，可以得到：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot z}_{1e}} = {z_4} - {v_p}\cos ({z_{3e}}) + {z_6}{z_{2e}}} \text{，}\\ {{{\dot z}_{2e}} = {z_5} + {v_p}\sin ({z_{3e}}) - {z_6}{z_{1e}}} \text{，} \end{array}} \right. $

(16)

为了对位置跟踪误差进行分析，选取李雅普诺夫函数 ${V_1}$ 为：

$ {V_1} = \frac{1}{2}\left(z_{1e}^2 + z_{2e}^2\right)\text{，} $

(17)

对 ${V_1}$ 求导可得：

$ {\dot V_1} = {z_{1e}}[{z_4} - {v_p}\cos ({z_{3e}})] + {z_{2e}}[{z_5} + {v_p}\sin ({z_{3e}})]\text{。} $

(18)

为了使系统稳定，选用 ${z_3}$ 和 ${z_4}$ 作为系统的虚拟控制输入。受到文献[5]的启发，为消除奇点现象，故选用以下虚拟速度变量代替 ${z_3}$ ：

$ {\varpi _v} = {v_p}\sin ({z_{3e}})\text{，} $

(19)

选取虚拟控制量 ${\varpi _v}$ 和 ${z_4}$ 的期望值为：

$ {z_{4d}} = {v_p}\cos ({z_{3e}}) - {k_1}{z_{1e}}/E\text{，} $

(20)

$ {\varpi _d} = - {z_5} - {k_2}{z_{2e}}/E\text{，} $

(21)

其中 $E = \sqrt {1 + z_{1e}^2 + z_{2e}^2} $ ， ${k_1}$ 和 ${k_2}$ 为控制器的参数会在后文取值。

定义 ${\varpi _v}$ 和 ${z_4}$ 的跟踪误差为：

$ {z_{4e}} = {z_4} - {z_{4d}}\text{，} $

(22)

$ {\varpi _{ve}} = {\varpi _v} - {\varpi _{vd}}\text{，} $

(23)

将式（22）与式（23）代入到式（16）中，可以得到：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot z}_{1e}} = {z_{4e}} - {k_1}{z_{1e}}/E + {z_6}{z_{2e}}} \text{，}\\ {{{\dot z}_{2e}} = {\varpi _{ve}} - {k_2}{z_{2e}}/E - {z_6}{z_{1e}}} \text{，} \end{array}} \right. $

(24)

将式（24）代入到式（18）中，可以得到：

$ {\dot V_1} = - \;\left({k_1}z_{1e}^2 + {k_2}z_{2e}^2\right)/E + {z_{1e}}{z_{4e}} + {\varpi _{ve}}{z_{2e}}\text{，} $

(25)

对 ${z_{4e}}$ 进行镇定，根据系统方程式（11）对式（22）求导，可得：

$ \begin{split} {{\dot z}_{4e}} \!\!=\!& {{\dot z}_4} - {{\dot z}_{4d}} -\\ &{f_1} + {f_{e1}} - {{\dot z}_{4d}} =\\ & \dfrac{1}{{{m_{11}}}}\!\!\left(\!{\tau _u} \!\!+\!\! {\tau _{e1}} \!\!+\!\! {m_{22}}vr \!\!+\!\! \dfrac{{({m_{23}}\! \!+\!\! {m_{32}})}}{2}{r^2} \!\!-\!\! {d_{11}}u \!\!-\!\! {m_{11}}{{\dot z}_{4d}}\!\right)\!\text{，} \\[-18pt] \end{split} $

(26)

在式（26）中，取系统的不确定项 ${U_1}$ 为：

$ {U_1} = {\tau _{e1}} + {m_{22}}vr + \frac{{({m_{23}} + {m_{32}})}}{2}{r^2} - {d_{11}}u - {m_{11}}{\dot z_{4d}}\text{，} $

(27)

代入式（27），式（26）可以写为以下形式：

$ {\dot z_{4e}} = \frac{{({\tau _u} + {U_1})}}{{{m_{11}}}}\text{，} $

(28)

定义 ${U_1}$ 的估算值为 ${\hat U_1}$ ，估算误差为 ${\tilde U_1}$ 。选取李雅普诺夫方程为：

$ {V_2} = {V_1} + \frac{1}{2}{m_{11}}z_{4e}^2 + \frac{1}{2}{\tilde U_1}^2\text{，} $

(29)

设计滑模面 ${S_1}$ ：

$ {S_1} = {\lambda _1}{z_{4e}} + {\dot z_{4e}} + \frac{{{z_{1e}}}}{{{m_{11}}}} - \frac{{{{\tilde U}_1}}}{{{m_{11}}}}\text{，} $

(30)

其中 ${\lambda _{\;1}}$ 为控制器参数，会在后文选值。在式（30）中代入式（28），得到：

$ {S_1} = {\lambda _1}{z_{4e}} + \frac{{{z_{1e}} + {\tau _u} + {{\hat U}_1}}}{{{m_{11}}}}\text{，} $

(31)

对 ${V_2}$ 求导，得到：

$ \begin{split} {{{\dot{V}}}_{2}}=&-({{k}_{1}}z_{1e}^{2}+{{k}_{2}}z_{2e}^{2})/E+{{\varpi }_{ve}}{{z}_{2e}}+{{m}_{11}}{{z}_{4e}}{{S}_{1}}-{{\lambda }_{1}}{{m}_{11}}z_{4e}^{2} + \\ &({{z}_{4e}}-{{{\dot{\hat{U}}}}_{1}}){{{\tilde{U}}}_{1}} \text{，} \\[-10pt] \end{split} $

(32)

对 ${S_1}$ 求导，得到：

$ {{\dot{S}}_{1}}=\frac{{{\lambda }_{1}}({{U}_{1}}+{{\tau }_{u}})+{{{\dot{\tau }}}_{u}}+{{{\dot{\hat{U}}}}_{1}}+{{{\dot{z}}}_{1e}}}{{{m}_{11}}}\text{，} $

(33)

选取李雅普诺夫函数 ${V_3}$ 为：

$ {V_3} = {V_2} + \frac{1}{2}{m_{11}}S_1^2\text{，} $

(34)

对 ${V_3}$ 求导，得到：

$ \begin{split} {{{\dot{V}}}_{3}}=&-\left({{k}_{1}}z_{1e}^{2}+{{k}_{2}}z_{2e}^{2}\right)/E+{{\varpi }_{ve}}{{z}_{2e}}+{{m}_{11}}{{z}_{4e}}{{S}_{1}}-{{\lambda }_{1}}{{m}_{11}}z_{4e}^{2} +\\ & \left({{z}_{4e}}-{{{\dot{\hat{U}}}}_{1}}\right){{{\tilde{U}}}_{1}}+{{S}_{1}}\left[{{\lambda }_{1}}({{U}_{1}}+{{\tau }_{u}})+{{{\dot{\tau }}}_{u}}+{{{\dot{\hat{U}}}}_{1}}+{{{\dot{z}}}_{1e}}\right] \text{，}\\[-10pt] \end{split} $

(35)

设计如下的实际控制输入变化率 ${\dot \tau _u}$ ：

$\begin{split} {{\dot{\tau }}_{u}}=&-{{\lambda }_{1}}\left({{\hat{U}}_{1}}+{{\tau }_{u}}\right)-{{\dot{\hat{U}}}_{1}}-{{\dot{z}}_{1e}}-{{m}_{11}}{{z}_{4e}}-\\ &{{k}_{s1}}sat({{S}_{1}})-{{w}_{s1}}{{S}_{1}}\text{，}\end{split} $

(36)

其中， $sat({S_1})$ 为饱和函数，常数 ${k_{s1}}$ 与 ${w_{s1}}$ 为滑模趋近率的常数，用来调整系统接近滑模面的时间，将在后面进行选值。

将式（36）代入式（35）中得到：

$\begin{split} {{{\dot{V}}}_{3}}=&-\left({{k}_{1}}z_{1e}^{2}+{{k}_{2}}z_{2e}^{2}\right)/E+{{\varpi }_{ve}}{{z}_{2e}}-{{\lambda }_{1}}{{m}_{11}}z_{4e}^{2} +\\ &\left({{z}_{4e}}-{{{\dot{\hat{U}}}}_{1}}+{{\lambda }_{1}}{{S}_{1}}\right){{{\tilde{U}}}_{1}}-{{k}_{s1}}sat({{S}_{1}}){{S}_{1}}-{{w}_{s1}}S_{1}^{2}\text{，} \\ \end{split} $

(37)

设计如下的自适应律：

$ {{\dot{\hat{U}}}_{1}}={{z}_{4e}}+{{\lambda }_{1}}{{S}_{1}}\text{，} $

(38)

将式（38）代入式（37）可以得到：

$\begin{split} {\dot V_3} =& - \left({k_1}z_{1e}^2 + {k_2}z_{2e}^2\right)/E + {\varpi _{ve}}{z_{2e}} - \\ &{\lambda _1}{m_{11}}z_{4e}^2 - {k_{s1}}sat({S_1}){S_1} - {w_{s1}}S_1^2\text{。} \end{split} $

(39)

接下来将进行对跟踪误差 ${\varpi _{ve}}$ 的镇定。对 ${\varpi _{ve}}$ 求导，得：

${\dot \varpi _{ve}} = {\dot v_p}\sin ({z_{3e}}) + {v_p}\cos ({z_{3e}})({z_6} - {\dot z_{3d}}) + \frac{{{U_2}}}{{{m_{22}}}} + {Q_1}\text{，} $

(40)

其中不确定因素项 ${U_2}$ 和缩略项 ${Q_1}$ 分别为：

$ \begin{split} {U_2} = & - {m_{11}}{z_4}{z_6} - {d_{22}}{z_5} + \left({d_{22}}{m_{23}}/{m_{22}} - {d_{23}}\right){z_6} + \\ & \frac{{{m_{22}}{m_{33}}{\tau _{e2}} - {m_{23}}{m_{32}}{\tau _{e3}}}}{{{m_{22}}{m_{33}} - {m_{32}}{m_{23}}}} \text{，} \\ \end{split} $

(41)

$ {Q_1} = {k_2}\left({1 / E} - {{z_{2e}^2} / {{E^3}}}\right){\dot z_{2e}} - {{{k_2}{z_{1e}}{z_{2e}}{{\dot z}_{1e}}} / {{E^3}}}\text{，} $

(42)

为了使 ${\dot V_3}$ 负定，选择 ${z_6}$ 作为虚拟控制量来镇定 ${\varpi _{ve}}$ 。定义 ${\hat U_2}$ 为不确定因素项 ${U_2}$ 的估计值，定义估计误差为 ${\tilde U_2}$ 。对虚拟控制量 ${z_6}$ 进行分析设计，定义其期望输入为：

$ {z_{6d}} = {\dot z_{3d}} + \frac{{ - {{\dot v}_p}\sin ({z_{3e}}) - {{{{\hat U}_2}} / {{m_{22}}}} - {Q_1} - {k_3}{\varpi _{ve}} - {{{z_{2e}}} /{{m_{22}}}}}}{{{v_p}\cos ({z_{3e}})}}\text{，} $

(43)

这里的 ${k_3}$ 是控制器的参数，在后文进行选值。

得到了 ${z_{6d}}$ 之后，接着定义 ${z_{6e}}$ 为：

${z_{6e}} = {z_6} - {z_{6d}}\text{，} $

(44)

将式（44）代入式（40）中，得到：

$ {\dot \varpi _{ve}} = {z_{6e}}{v_p}\cos ({z_{3e}}) + {\tilde U_2} - {k_3}{\varpi _{ve}} - {{{z_{2e}}} / {{m_{22}}}}\text{，} $

(45)

为镇定 ${\varpi _{4e}}$ ，选取李雅普诺夫函数 ${V_4}$ 为：

$ {V_4} = {V_3} + \frac{1}{2}{m_{22}}\varpi _{ve}^2 + \frac{1}{2}{\tilde U_2}^2\text{，} $

(46)

对 ${V_4}$ 求导，得到：

$ \begin{split} {{{\dot{V}}}_{4}}\!=&-\left({{k}_{1}}z_{1e}^{2}\!+\!{{k}_{2}}z_{2e}^{2}\right)/E\!-\!{{\lambda }_{1}}{{m}_{11}}z_{4e}^{2}\!-\!{{k}_{s1}}sat({{S}_{1}}){{S}_{1}}\!-\!{{w}_{s1}}S_{1}^{2}\!-\\ &{{k}_{3}}{{m}_{22}}\varpi _{ve}^{2} \!+\!\left({{\varpi }_{ve}}\!-\!{{{\dot{\hat{U}}}}_{2}}\right){{{\tilde{U}}}_{2}}\!+\!{{m}_{22}}{{\varpi }_{ve}}{{z}_{6e}}{{v}_{p}}\cos ({{z}_{3e}}) \text{。}\\[-10pt] \end{split} $

(47)

设计 ${\hat U_2}$ 的自适应律为：

${{\dot{\hat{U}}}_{2}}={{\varpi }_{ve}}\text{，} $

(48)

将式（48）代入到式（47）中，得到：

$ \begin{split} {{\dot V}_4} \!=\!& - \left({k_1}z_{1e}^2 + {k_2}z_{2e}^2\right)/E - {\lambda _1}{m_{11}}z_{4e}^2 - {k_{s1}}sat({S_1}){S_1} - \\ & {w_{s1}}S_1^2 - {k_3}{m_{22}}\varpi _{ve}^2 + {m_{22}}{\varpi _{ve}}{z_{6e}}{v_p}\cos ({z_{3e}})\text{，} \\ \end{split} $

(49)

${z_{6e}}$ 求导，得：

$ {\dot z_{6e}} = \frac{1}{\zeta }({\tau _r} + {U_3})\text{，} $

(50)

其中 $\zeta = {{({m_{22}}{m_{33}} - {m_{32}}{m_{23}})} / {{m_{22}}}}$ ， ${U_3}$ 为系统的不确定项，其值为：

$ \begin{aligned} {U_3} =& ({m_{11}} - {m_{22}})uv + \left[\frac{{{m_{11}}{m_{32}}}}{{{m_{22}}}} - \frac{{({m_{23}} + {m_{32}})}}{2}\right]ur - \\ & \left({m_{22}}{d_{33}} - {m_{32}}{d_{23}}\right)r/{m_{22}} - \frac{{{m_{32}}}}{{{m_{22}}}}{\tau _{e3}} - \\ &\zeta {{\dot z}_{6d}}\; + ({m_{32}}{d_{22}} - {m_{22}}{d_{32}})v/{m_{22}} \text{，} \\ \end{aligned} $

(51)

定义 ${\hat U_3}$ 为 ${U_3}$ 的估计值，定义估计误差为 ${\tilde U_3}$ 。选取 ${V_5}$ 为：

$ {V_5} = {V_4} + \frac{1}{2}\zeta z_{6e}^2 + \frac{1}{2}{\tilde U_3}^2\text{，} $

(52)

对 ${V_5}$ 求导，可得：

$\begin{split} {{{\dot{V}}}_{5}}\!=\!&-\left({{k}_{1}}z_{1e}^{2}\!+\!{{k}_{2}}z_{2e}^{2}\right)/E\!-\!{{\lambda }_{1}}{{m}_{11}}z_{4e}^{2}\!-\!{{k}_{s1}}sat({{S}_{1}}){{S}_{1}}\!-\!{{w}_{s1}}S_{1}^{2}\!-\\ &{{k}_{3}}{{m}_{22}}\varpi _{ve}^{2} \!+\!{{m}_{22}}{{\varpi }_{ve}}{{z}_{6e}}{{v}_{p}}\cos ({{z}_{3e}})\!+\!\zeta {{{\dot{z}}}_{6e}}{{z}_{6e}}\!-\!{{{\tilde{U}}}_{3}}{{{\dot{\hat{U}}}}_{3}} \text{，}\\[-10pt] \end{split} $

(53)

设计滑模面 ${S_2}$ 为：

$ {S_2} = {\lambda _2}{z_{6e}} + {\dot z_{6e}} + \frac{{{m_{22}}{\varpi _{ve}}{v_p}\cos ({z_{3e}}) - {{\tilde U}_3}}}{\zeta }\text{，} $

(54)

将式（50）代入式（54），化简得到：

$ {S_2} = {\lambda _2}{z_{6e}} + {Q_2} + \frac{{{\tau _r} + {{\hat U}_3}}}{\zeta }\text{，} $

(55)

其中 ${Q_2} = {m_{22}}{\varpi _{ve}}{v_p}\cos ({z_{3e}})/\zeta $ ， ${\lambda _2}$ 为控制器参数。

将式(55)代入到式(53)中，得到 ${\dot V_5}$ ：

$\begin{split} {{{\dot{V}}}_{5}}\!=\!&-\left({{k}_{1}}z_{1e}^{2}\!+\!{{k}_{2}}z_{2e}^{2}\right)/E\!-\!{{\lambda }_{1}}{{m}_{11}}z_{4e}^{2}\!-\!{{k}_{s1}}sat({{S}_{1}}){{S}_{1}}\!-\!{{w}_{s1}}S_{1}^{2}\!-\\ &{{k}_{3}}{{m}_{22}}\varpi _{ve}^{2} +\zeta {{z}_{6e}}{{S}_{2}}-\zeta {{\lambda }_{2}}z_{6e}^{2}+\left({{z}_{6e}}-{{{\dot{\hat{U}}}}_{3}}\right){{{\tilde{U}}}_{3}}\text{，} \\[-12pt] \end{split} $

(56)

对 ${S_2}$ 求导，可以得到：

${{\dot{S}}_{2}}={{\dot{Q}}_{2}}+\frac{1}{\zeta }\left[{{\lambda }_{2}}({{\tau }_{r}}+{{U}_{3}}){{\dot{\tau }}_{r}}+{{\dot{\hat{U}}}_{3}}\right]\text{，} $

(57)

取李雅普诺夫函数 ${V_6}$ 为：

$ {V_6} = {V_5} + \frac{1}{2}\zeta S_2^2\text{，} $

(58)

对 ${V_6}$ 求导可得：

$\begin{split} {{{\dot{V}}}_{6}}=&-\left({{k}_{1}}z_{1e}^{2}+{{k}_{2}}z_{2e}^{2}\right)/E-{{\lambda }_{1}}{{m}_{11}}z_{4e}^{2}-{{k}_{s1}}sat({{S}_{1}}){{S}_{1}}-\\ &{{w}_{s1}}S_{1}^{2}-{{k}_{3}}{{m}_{22}}\varpi _{ve}^{2} +\zeta {{z}_{6e}}{{S}_{2}}-\zeta {{\lambda }_{2}}z_{6e}^{2}+\left({{z}_{6e}}-{{{\dot{\hat{U}}}}_{3}}\right){{{\tilde{U}}}_{3}} +\\ &\zeta {{S}_{2}}\left[{{{\dot{Q}}}_{2}}+\frac{{{\lambda }_{2}}({{U}_{3}}+{{\tau }_{r}})+{{{\dot{\tau }}}_{r}}+{{{\dot{\hat{U}}}}_{3}}}{\zeta }\right]\text{，} \\[-15pt] \end{split} $

(59)

设计实际控制输入的变化率为：

$\begin{split}{{\dot{\tau }}_{r}}=&-{{\lambda }_{2}}({{\tau }_{r}}+{{U}_{3}})-{{\dot{\hat{U}}}_{3}}-\zeta {{\dot{Q}}_{2}}-\zeta {{z}_{6e}}-\\ &{{k}_{s2}}sat({{S}_{2}})-{{w}_{s2}}S_{2}^{2}\text{，}\end{split} $

(60)

其中， $sat({S_2})$ 为饱和函数，常数 ${k_{s2}}$ 与 ${w_{s2}}$ 为滑模控制器的参数，将在后面进行参数选取。将式（60）代入式（59）中，得到：

$\begin{split} {{{\dot{V}}}_{6}}=&-\left({{k}_{1}}z_{1e}^{2}+{{k}_{2}}z_{2e}^{2}\right)/E-{{\lambda }_{1}}{{m}_{11}}z_{4e}^{2}-{{k}_{s1}}sat({{S}_{1}}){{S}_{1}}-\\ &{{w}_{s1}}S_{1}^{2}-{{k}_{3}}{{m}_{22}}\varpi _{ve}^{2} -{{\lambda }_{2}}\zeta z_{6e}^{2}-{{k}_{s2}}sat({{S}_{2}}){{S}_{2}}-{{w}_{s2}}S_{2}^{2}+\\ &\left({{z}_{6e}}-{{{\dot{\hat{U}}}}_{3}}+{{\lambda }_{2}}{{S}_{2}}\right){{{\tilde{U}}}_{3}}\text{，} \\[-12pt] \end{split} $

(61)

设计 ${\hat U_3}$ 的自适应律为：

${{\dot{\hat{U}}}_{3}}={{z}_{6e}}+{{\lambda }_{2}}{{S}_{2}}\text{，} $

(62)

将式（62）代入式（61）中，最终得到：

$ \begin{split} {{\dot V}_6} =& - {{({k_1}z_{1e}^2 + {k_2}z_{2e}^2)} / E} - {k_3}\varpi _{ve}^2 - {\lambda _1}z_{4e}^2 - {\lambda _2}z_{6e}^2 -\\ &{k_{s1}}sat({S_1}){S_1} - {w_{s1}}S_1^2 - {k_{s2}}sat({S_2}){S_2} - \\ &{w_{s2}}S_2^2 \leqslant 0 \text{。} \\ \end{split} $

(63)

2.2 稳定性分析

在本章中进行了欠驱动非对称无人艇轨迹跟踪的自适应滑模控制的设计。在控制器的设计中，使用 ${\varpi _v}$ 作为虚拟的控制输入量。定义无人艇系统的轨迹跟踪误差为 ${\bf{\varepsilon }} = \left[{z_{1e}},{z_{2e}},{z_{3e}},{z_{4e}},{\varpi _e},{z_{6e}},{\tilde U_1},{\tilde U_2},{\tilde U_3}\right]$ ，在使用式（31）和式（55）设计的滑模面，式（38）、式（48）和式（62）设计的自适应律，式（36）和式（60）设计的实际控制律对式（11）中经过同胚微分变换后的系统模型控制后，系统的跟踪误差 ${\bf{\varepsilon }}$ 从初态出发后，最终收敛于零，即无人艇控制系统是全局一致稳定的。利用式（58）中选取的 ${V_6}$ 来进行证明。

定义 ${\bf{\sigma }} = \left[{z_{1e}},{z_{2e}},\sqrt {{m_{11}}} {z_{4e}},\sqrt {{m_{22}}} {\varpi _e},\sqrt \zeta {z_{6e}},{\tilde U_1},{\tilde U_2}, \right.$ $\left.{\tilde U_3},\sqrt {{m_{11}}} {S_1},\sqrt \zeta {S_2}\right]$ ，根据式（58）可得 $2{V_6} = {\left\| {\bf{\sigma }} \right\|^2}$ 。展开式（58），得到：

$ \begin{split} {V_6} =& \frac{1}{2}z_{1e}^2 + \frac{1}{2}z_{2e}^2 + \frac{1}{2}{m_{11}}z_{4e}^2 + \frac{1}{2}\tilde U_1^2 + \frac{1}{2}{m_{11}}S_1^2 +\\ & \frac{1}{2}{m_{22}}\varpi _{ve}^2 + \frac{1}{2}\tilde U_2^2 + \frac{1}{2}\zeta z_{6e}^2 + \frac{1}{2}\tilde U_3^2 + \frac{1}{2}\zeta S_2^2 \text{，}\\ \end{split} $

(64)

存在一个正常数 $l$ 满足：

$ l = \min \left\{ \frac{{{k_1}}}{{{E_{\max }}}},\frac{{{k_2}}}{{{E_{\max }}}},{\lambda _1},{k_3},{\lambda _2},,1,1,1,\frac{{{w_{s1}}}}{{{m_{11}}}},\frac{{{w_{s2}}}}{\zeta }\right\}\text{，} $

(65)

根据式（63）可以得到 ${\dot V_6} \leqslant - 2l{V_6}$ ，根据[7]中的比较引理，可得：

$ {V_6}(t) \leqslant {V_6}(0){e^{ - 2lt}},\;t \in \left[ {0, + \infty } \right)\text{。} $

(66)

对式（66）进行代数替换，可以得到 $\left\| {{\bf{\sigma }}(t)} \right\| \leqslant $ $ \left\| {{\bf{\sigma }}(0)} \right\|{e^{ - lt}}$ ， $t \in \left[ {0, + \infty } \right)$ ，因为 ${\bf{\varepsilon }}$ 与所定义的向量 ${\bf{\sigma }}$ 相关，因此控制系统的跟踪误差 ${\bf{\varepsilon }}$ 会最终会收敛到零，即证明无人艇控制系统是全局一致稳定的。

3 仿真结果分析

本章选取了直线与曲线2种跟踪轨迹来证明所设计的控制器的跟踪性能。仿真过程中，艇体模型参数 ${{M}}$ 与 ${{D}}({\bf{\upsilon }})$ 采用增大5%的摄动值，环境干扰采用的形式如下^[5]：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\tau _{e1}} = 0.1{m_{11}} + r(\sin (0.01t) - 1)}\text{，} \\ {{\tau _{e2}} = 0.1{m_{22}} + r(\sin (0.01t) - 1)}\text{，} \\ {{\tau _{e3}} = 0.1\zeta \; + r(\sin (0.01t) - 1)} \text{。} \end{array}} \right. $

(67)

控制器参数选取与跟踪结果如下：

1）跟踪直线

艇体的初始位置与姿态为 ${{\bf{\eta }}_0} = {[0,20,0]^{\rm{T}}}$ ，艇体的初始速度为 ${{\bf{\upsilon }}_0} = {[0,0,0]^{\rm{T}}}$ ，控制器的选用参数分别为 ${k_1} = 0.3$ ， ${k_2} = 0.2$ ， ${k_3} = 0.2$ ， ${\lambda _{\;1}} = 1.5$ ， ${\lambda _2} = 1.5$ ， ${k_{s1}} = 0.5$ ， ${k_{s2}} = 0.5$ ， ${w_{s1}} = 1$ ， ${w_{s2}} = 1$ ， ${\delta _1} = {\delta _2} = \;0.1$ 。定义 ${\rm{error}} = \sqrt {\left(x_e^2 + y_e^2\right)} $ 为位置跟踪误差，跟踪直线的结果如图1所示。

2）跟踪曲线

艇体的初始位置与姿态为 ${{\bf{\eta }}_0} = {[90,45,0]^{\rm{T}}}$ ，艇体的初始速度为 ${{\bf{\upsilon }}_0} = {[0,0,0]^{\rm{T}}}$ ，控制器的选用参数分别为 ${k_1} = 0.3$ ， ${k_2} = 1$ ， ${k_3} = 0.2$ ， ${\lambda _{\;1}} = 1.5$ ， ${\lambda _2} = 1.5$ ， ${k_{s1}} = 0.5$ ， ${k_{s2}} = 0.5$ ， ${w_{s1}} = 1$ ， ${w_{s2}} = 1$ ， ${\delta _1} = {\delta _2} = 0.1$ 。跟踪曲线的结果如图2所示。

4 结　语

本文研究了一类非完全对称欠驱动无人艇的轨迹跟踪控制问题，考虑无人艇系统惯性矩阵与阻尼矩阵的非对称项，通过采用全局微分同胚变换简化模型，在简化后的模型上利用自适应滑模方法和李雅普诺夫直接法设计出轨迹跟踪控制器，该控制器能够实现非完全对称欠驱动无人艇对直线轨迹和曲线轨迹的跟踪，通过仿真实验验证了控制器的有效性。