0 引　言

六相感应电机具有转矩脉动低、电机损耗小、电机极限容量大、能量密度高等一系列优点，因此成为国内外学者近年来研究的热点^[1～8]。六相双Y30°绕组感应电机的定子绕组由空间相差30°电角度2套结构完全一样的三相绕组所组成，转子结构与三相感应电机笼型结构相同。在定子绕组缺相时可以降低负载功率继续运行，从而提升六相感应电机运行的可靠性，在舰船动力推进、航空航天、电动汽车等领域的研究及应用日益广泛。

本文基于三相感应电机矢量控制策略扩展到六相感应电机中，通过推导出空间坐标6/2矢量变换表达式，设计出六相双Y30°绕组感应电机矢量控制系统。通过理论分析及仿真，验证了本文电机数学模型、坐标变换、控制策略的有效性。

1 六相双Y30°绕组感应电机模型

为了更好地研究及分析六相双Y30°绕组感应电机的特性，实现六相双Y30°绕组电机高性能矢量控制，需要从空间物理结构及数学模型等方面展开相应的研究。

1.1 物理结构模型

六相双Y30°绕组感应电机的绕组物理结构如图1所示。在空间上具有2套三相互差120⁰度对称绕组，2套对称绕组之间相关30°的电角度。六相双Y30°绕组感应电机空间磁场分布可以等效成2套三相电机绕组磁势在空间上的合成。下面从数学模型的角度进一步分析六相绕组之间的相互关系，并推导出相应的坐标变换表达式。

1.2 三相感应电机数学模型

三相感应电机静止αβ坐标系磁链方程：

$\left\{ \begin{aligned} & {\psi _{s\alpha }} = {L_s}{i_{s\alpha }} + {L_m}{i_{r\alpha }}\text{，} \\ & {\psi _{s\beta }} = {L_s}{i_{s\beta }} + {L_m}{i_{r\beta }}\text{，} \\ & {\psi _{r\alpha }} = {L_r}{i_{r\alpha }} + {L_m}{i_{s\alpha }}\text{，} \\ & {\psi _{r\beta }} = {L_r}{i_{r\beta }} + {L_m}{i_{s\beta }}\text{；} \\ \end{aligned} \right.$

(1)

三相感应电机静止αβ坐标系电压方程：

$\left\{ \begin{aligned} & {u_{s\alpha }} = {R_s}{i_{s\alpha }} + p{\psi _{s\alpha }} = {R_s}{i_{s\alpha }} + {L_s}p{i_{s\alpha }} + {L_m}p{i_{r\alpha }} \text{，} \\ & {u_{s\beta }} = {R_s}{i_{s\beta }} + p{\psi _{s\beta }} = {R_s}{i_{s\beta }} + {L_s}p{i_{s\beta }} + {L_m}p{i_{r\beta }} \text{，}\\ & 0 = {R_r}{i_{r\alpha }} + {\omega _r}{\psi _{r\beta }} + p{\psi _{r\alpha }} \text{，} \\ & 0 = {R_r}{i_{r\beta }} - {\omega _r}{\psi _{r\alpha }} + p{\psi _{r\beta }}{\rm{ }} \text{。} \\ \end{aligned} \right.$

(2)

三相感应电机αβ两相静止坐标系下的数学模型表达式如下：

$\small \begin{array}{*{20}{l}} \begin{gathered} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {p{i_{s\alpha }}} \\ {p{i_{s\beta }}} \\ {p{\psi _{r\alpha }}} \\ {p{\psi _{r\beta }}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \displaystyle\frac{a}{b}}&{{\text{0}}}&{\displaystyle\frac{{{R_r}{L_m}}}{{{L_r}b}}}&{\displaystyle\frac{{{\omega _r}{L_m}}}{b}} \\ 0& {- \displaystyle\frac{a}{b}}&{ - \displaystyle\frac{{{\omega _r}{L_m}}}{b}}&{\displaystyle\frac{{{R_r}{L_m}}}{b}} \\ {\displaystyle\frac{{{R_r}{L_m}}}{{{L_r}}}}&{{\text{0}}}&{ - \displaystyle\frac{{{R_r}}}{{{L_r}}}}&{ - {\omega _r}} \\ 0&{\displaystyle\frac{{{R_r}{L_m}}}{{{L_r}}}}&{{\omega _r}}&{ - \displaystyle\frac{{{R_r}}}{{{L_r}}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{i_{s\alpha }}} \\ {{i_{s\beta }}} \\ {{\psi _{r\alpha }}} \\ {{\psi _{r\beta }}} \end{array}} \right] + \hfill \\ \quad \quad \quad \quad \quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\displaystyle\frac{{{L_r}}}{b}}&{{\text{0}}} \\ 0&{\displaystyle\frac{{{L_r}}}{b}} \\ 0&{{\text{0}}} \\ 0&{0} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_{s\alpha }}} \\ {{u_{s\beta }}} \end{array}} \right]\text{。} \hfill \\[-10pt] \end{gathered} \end{array} $

(3)

式中：R_s为定子绕组电阻；R_r为转子绕组电阻；L_s为定子绕组自感；L_r为转子绕组自感；L_m为绕组激磁电感；ω_r为电机电角速度；i_sα为定子绕组α轴电流；i_sβ为定子绕组β轴电流；i_rα为转子绕组α轴电流；i_rβ为转子绕组β轴电流；u_sα为定子绕组α轴电压；u_sβ为定子绕组β轴电压；ψ_sα为定子α轴磁链；ψ_sβ为定子β轴磁链；ψ_rα为转子α轴磁链；ψ_rβ为转子β轴磁链。

1.3 六相双Y30°绕组感应电机数学模型

六相双Y30°绕组感应电机的电压方程为：

${u_{6s}} = {R_{6s}}{i_{6s}} + p{\psi _{6s}}\text{，}$

(4)

即

$\small\left[ \begin{array}{l} {u_A} \\ {u_B} \\ {u_C} \\ {u_D} \\ {u_E} \\ {u_F} \\ \end{array} \right] = R\left[ \begin{array}{l} 1\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0 \\ 0\;\;\;1\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0 \\ 0\;\;\;0\;\;\;1\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0 \\ 0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;1\;\;\;0\;\;\;0 \\ 0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;1\;\;\;0 \\ 0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;1 \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{l} {i_A} \\ {i_B} \\ {i_C} \\ {i_D} \\ {i_E} \\ {i_F} \\ \end{array} \right] + p\left[ \begin{array}{l} {\psi _A} \\ {\psi _B} \\ {\psi _C} \\ {\psi _D} \\ {\psi _E} \\ {\psi _F} \\ \end{array} \right]\text{。}$

(5)

图2为双Y30°绕组六相静止到两相静止6 s/2 s变换的坐标关系。为了方便起见，令双Y30°绕组的A轴与两相的α轴重合。假设磁势波形正弦分布，只计其基波分量，当二者的旋转磁势完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量一定相同。也就是说，双Y30°绕组与两相绕组沿α，β轴瞬时磁势的投影相等，可以推出：

$\small\left\{ \begin{aligned} & {F_\alpha } = {F_A} + {F_B}\cos ({\text π} /6) + {F_C}\cos (2{\text π} /3) +\\ & \quad \quad\; {F_D}\cos (5{\text π}/6) + {F_E}\cos (4{\text π} /3) \text{，} \\ & {F_\beta } = {F_B}\sin ({\text π} /6) + {F_C}\sin (2{\text π} /3) + \\ & {\rm{ }}{F_D}\sin (5{\text π} /6) + {F_E}\sin (4{\text π} /3) - {F_F} \text{。} \\ \end{aligned} \right.$

(6)

写成矩阵形式为：

$ \left[\!\! \begin{array}{l} {F_\alpha }\\ {F_\beta } \end{array} \!\! \right] = \left[ \!\!{\begin{array}{*{20}{l}} 1&{\sqrt 3 /2}&{ - {\rm{1/2}}}&{ - \sqrt 3 /2}&{ - {\rm{1/2}}}&{\rm{0}}\\ 0&{1/2}&{\sqrt 3 /2}&{{\rm{1/2}}}&{ - \sqrt 3 /2}&{ - {\rm{1}}} \end{array}} \!\!\right]{F_{6s}} \text{。} $

(7)

虽然零序分量没有物理意义，但为了将上式中的矩阵用单位正交阵表示，需要补充定义4个零序分量：

$ \begin{aligned} & {C_{6s/2s}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \times \\ & \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&{\sqrt 3 /2}&{ - {\text{1/2}}}&{ - \sqrt 3 /2}&{ - {\text{1/2}}}&{{\text{0}}} \\ 0&{1/2}&{\sqrt 3 /2}&{{\text{1/2}}}&{ - \sqrt 3 /2}&{ - {\text{1}}} \\ 1&{ - \sqrt 3 /2}&{ - {\text{1/2}}}&{\sqrt 3 /2}&{ - {\text{1/2}}}&{{\text{0}}} \\ 0&{1/2}&{ - \sqrt 3 /2}&{{\text{1/2}}}&{\sqrt 3 /2}&{ - {\text{1}}} \\ 1&{0}&{1}&{0}&{1}&{0} \\ 0&{1}&{0}&{1}&{0}&{1} \end{array}} \right] \text{，} \end{aligned} $

(8)

为了验证上面坐标变换矩阵的正交性，得出 ${C_{6s/2s}}$ 的转置矩阵如下：

$ \begin{aligned} & {C_{2s/6s}} = C_{6s/2s}^T = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \times \\ & \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&{0}&{1}&{0}&{1}&{0} \\ {\sqrt 3 /2}&{1/2}&{ - \sqrt 3 /2}&{{\text{1/2}}}&{0}&{1} \\ { - {\text{1/2}}}&{\sqrt 3 /2}&{ - {\text{1/2}}}&{ - \sqrt 3 /2}&{1}&{0} \\ { - \sqrt 3 /2}&{1/2}&{\sqrt 3 /2}&{{\text{1/2}}}&{0}&{1} \\ { - {\text{1/2}}}&{ - \sqrt 3 /2}&{ - {\text{1/2}}}&{\sqrt 3 /2}&{1}&{0} \\ 0&{ - 1}&{0}&{ - 1}&{0}&{1} \end{array}} \right] \text{，} \end{aligned} $

(9)

将两矩阵 ${C_{6s/2s}}$ ， ${C_{2s/6s}}$ 相乘得到单位矩阵，从而说明 ${C_{6s/2s}}$ 具有正交性。

${C_{6s/2s}} \times {C_{2s/6s}} = \left[ \begin{array}{l} 1\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0 \\ 0\;\;\;1\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0 \\ 0\;\;\;0\;\;\;1\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0 \\ 0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;1\;\;\;0\;\;\;0 \\ 0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;1\;\;\;0 \\ 0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;1 \\ \end{array} \right] \text{。} $

(10)

图3为两相静止坐标系与两相旋转坐标系示意图。使M轴与α轴重合，M轴滞后T轴π/2，旋转方向为逆时针。根据2个轴系形成的旋转磁场等效的原则，消去磁动势中的匝数，直接用电流来表示，则

$ \left[ \begin{array}{l} {i_d}\\ {i_q} \end{array} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos (\theta )}&{{\rm{sin(}}\theta {\rm{)}}}\\ { - \sin (\theta )}&{{\rm{cos(}}\theta {\rm{)}}} \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} {i_\alpha }\\ {i_\beta } \end{array} \right] \text{，} $

(11)

将上述变换矩阵扩展成6*6方阵，由于零序电流不形成旋转磁场，不用转换，只需在主对角线上增加4个1，使矩阵增加4行4列：

$ {C_{2s/2r}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{cos(}}\theta {\rm{)}}}&{{\rm{sin(}}\theta {\rm{)}}}&0&0&0&0\\ { - {\rm{sin(}}\theta {\rm{)}}}&{\cos (\theta )}&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&1 \end{array}} \right] \text{。} $

(12)

六相静止坐标系与两相旋转坐标系之间的变换如下：

$\small\begin{split} &{C_{6s/2r}} = {C_{2s/2r}} \times {C_{6s/2s}} = \displaystyle\frac{1}{{\sqrt 3 }}\times \\ & \left[{\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{cos(}}\theta {\rm{)}}}&{\cos (\theta - \displaystyle\frac{\text π }{6})}&{{\rm{cos(}}\theta - \displaystyle\frac{{2{\text π}}}{3}{\rm{)}}}\\ {{\rm{ - sin(}}\theta {\rm{)}}}&{{\rm{ - sin}}(\theta - \displaystyle\frac{\text π}{6})}&{{\rm{ - sin(}}\theta {\rm{ - }}\displaystyle\frac{{2{\text π}}}{3}{\rm{)}}}\\ 1&{{\rm{ - }}\sqrt 3 /2}&{ - {\rm{1/2}}}\\ 0&{1/2}&{ - \sqrt 3 /2}\\ 1&0&1\\ 0&1&0 \end{array}}\right.\\ &\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{cos(}}\theta - \displaystyle\frac{{5{\text π}}}{6}{\rm{)}}}&{{\rm{cos(}}\theta - \displaystyle\frac{{4{\text π}}}{3}{\rm{)}}}&{{\rm{cos(}}\theta - \displaystyle\frac{{3 {\text π}}}{2}{\rm{)}}}\\ {{\rm{ - sin(}}\theta {\rm{ - }}\displaystyle\frac{{5{\text π}}}{6}{\rm{)}}}&{{\rm{ - sin(}}\theta {\rm{ - }}\displaystyle\frac{{4{\text π}}}{3}{\rm{)}}}&{{\rm{ - sin(}}\theta {\rm{ - }}\displaystyle\frac{{3{\text π}}}{2}{\rm{)}}}\\ {\sqrt 3 /2}&{ - {\rm{1/2}}}&{\rm{0}}\\ {{\rm{1/2}}}&{\sqrt 3 /2}&{ - {\rm{1}}}\\ 0&1&0\\ 1&0&1 \end{array}}\right]\text{。} \end{split}$

(13)

通过坐标变换，将六相双Y30°绕组变换到静止αβ坐标系，得到的电压、磁链方程与三相感应电机αβ坐标系下的电压、磁链方程相同，如式（1）和式（2）所示，六相双Y30°绕组感应电机αβ两相静止坐标系下的数学模型表达式如式（3）。

2 六相双Y30°绕组感应电机仿真 2.1 仿真模型构建

图4为六相感应电机控制系统主电路在电力电子仿真软件（PSIM）中搭建的仿真模型，图5为基于六相双Y30°绕组感应电机αβ两相静止坐标系下的数学表达式（3）建立的仿真模型，与上面三相感应电机相同。只是三相感应电机需进行3/2变换，而六相感应电机是基于6/2变换，静止αβ坐标系输入电压表达式如下式：

$\small \begin{gathered} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_{s\alpha }}} \\ {{u_{s\beta }}} \end{array}} \right] = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\times \hfill \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&{\sqrt 3 /2}&{ - {\text{1/2}}}&{ - \sqrt 3 /2}&{ - {\text{1/2}}}&{{\text{0}}} \\ 0&{1/2}&{\sqrt 3 /2}&{{\text{1/2}}}&{ - \sqrt 3 /2}&{ - {\text{1}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_A}} \\ {{u_B}} \\ {{u_C}} \\ {{u_D}} \\ {{u_E}} \\ {{u_F}} \end{array}} \right] \text{，} \end{gathered} $

(14)

$\small \left[ \begin{array}{l} {i_{sa}}\\ {i_{ib}}\\ {i_{sc}}\\ {i_{sd}}\\ {i_{se}}\\ {i_{sf}} \end{array} \right] = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&0\\ {\sqrt 3 /2}&{1/2}\\ { - {\rm{1/2}}}&{\sqrt 3 /2}\\ { - \sqrt 3 /2}&{1/2}\\ { - {\rm{1/2}}}&{ - \sqrt 3 /2}\\ 0&{ - 1} \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} {i_{s\alpha }}\\ {i_{s\beta }} \end{array} \right] \text{。} $

(15)

图6为六相双Y30°绕组感应电机矢量控制原理框图。采用双闭环控制系统，外环为速度环PI控制，内环为电流环PI控制，包含励磁电流i_M和转矩电流i_T调节器。基于同步旋转dq坐标系实现电压、电流坐标变换，并采用转子间接磁场定向控制。基于表达式（14）将六相静止坐标系下绕组电压变换到两相旋转坐标系，送入闭环控制系统。控制系统为了能快速实现电流跟踪，基于解耦电路实现电压前馈补偿控制。

2.2 系统仿真结果

图7为六相双Y30°绕组感应电机在转子间接磁场定向控制下M，T轴电流参考值与实际值波形。从波形中可以看出，能实现较好的静、动态跟踪，励磁电流及转矩电流静态误差较小。图7（a）给出了线电压u_ab，u_de波形，图7（b）给出了电机角速度及六相绕组电流随时间变化曲线，图7（c）是图7（b）在时间轴局部放大图。从图中可以看出，2套三相绕组电流分别120⁰对称，B相绕组电流滞后A相绕组30⁰电角度，跟电机实际空间结构相符，从而说明六相双Y30°绕组感应电机数学模型及坐标变换公式的正确性，矢量闭环控制的有效性。

3 结　语

本文基于三相感应电机αβ两相静止坐标系下的数学模型及六相双Y30°绕组磁势的等效关系，推导出六相双Y30°绕组感应电机的数学模型及坐标变换表达式，并通过电力电子仿真软件PSIM构建系统仿真模型，仿真结果证明建模方法的正确性及控制策略的有效性。