0 引　言

在国防工业中，汽轮机、柴油机和燃气轮机是现代舰船最主要的三大动力装置，其安全稳定运行对舰船辅助设备以及作战能力至关重要。转子作为动力系统的核心部件之一，运行在高温、高压、强腐蚀等恶劣环境中，长期的交变应力、复杂的载荷等因素会引起转子故障的产生^[1]。对于舰船动力装置来说，由于安装质量不高或者机械振动等原因经常会造成机械设备在工作中出现松动故障，而松动会引起系统阻尼和刚度发生变化，造成更进一步加重设备的振动。如果长期运行下去会对机械设备造成严重的伤害，并有可能引起其他故障的产生。常见的松动故障主要包括旋转部件的松动和基础松动^[2]。

对于采用汽轮机作为动力装置的舰船来说，在运行过程中会由于汽轮机叶顶间隙不均匀对转轴产生一个横向的激振力。文献[3-6]研究表明，这个激振力会使得转子系统出现失稳，对系统安全稳定运行造成威胁。针对转子基础松动故障已有学者展开了相关研究^[7-10]，并获得了有价值的成果。而考虑汽轮机汽流激振时转子松动故障特性还未有相关的理论研究，因此很有必要开展考虑汽流激振时转子松动故障振动特性研究。为此，本文建立了考虑汽流激振时具有基础松动故障转子系统分析模型，分析研究系统在不同参数下的非线性振动特性，为舰船汽轮机转子的进一步振动故障诊断提供理论支撑。

1 汽流激振时转子松动动力学模型 1.1 汽轮机气流激振力模型

汽轮机转子系统结构及受力简图如图1所示。

图中， ${f_{ax}}$ ， ${f_{ay}}$ 为气流激振力 ${F_a}$ 在 $x$ ， $y$ 方向的分力。非线性气流激振力无量纲形式为^[3]：

${F_{\rm{a}}} = {A_1} \cdot \delta \cdot E + {A_3} \cdot {\delta ^3} \cdot {E^3}\text{。}$

(1)

式中：

$\begin{aligned} & {A_1} = \frac{{{{(R_T^2 - R_B^2)}^2}{{\text π}} C{R_T}}}{{{{\left( {R_T^2 - R_B^2 + 2{R_T}\bar \delta } \right)}^2}}},\;\;\;{A_3} = \frac{{3{{(R_T^2 - R_B^2)}^2}{\text π} CR_T^3}}{{{{\left( {R_T^2 - R_B^2 + 2{R_T}\bar \delta } \right)}^4}}}, \\ & E = \sqrt {{x^2} + {y^2}} ,\;\;\;\;\;\;\;\;C = {V^2}\sin {\beta _1}{\rho _0}\left( {\cos {\beta _1} + \varsigma {\beta _2}} \right)\text{。} \end{aligned} $

其中： ${R_T}$ 为叶尖半径； ${R_B}$ 为叶根半径； ${\beta _1}$ 为进气角； ${\beta _2}$ 为出气角； ${\rho _0}$ 为气流密度； $\varsigma $ 为速度系数； $\delta $ 为叶尖平均间隙； $V$ 为进气速度。从而推推导出在非线性气流激振力作用下转子系统在固定坐标系中 $x$ ， $y$ 方向上分量的解析表达式为：

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_{ax}}} \\ {{F_{ay}}} \end{array}} \right) = \left( {{A_1} \cdot \delta \cdot E + {A_3} \cdot {\delta ^3} \cdot {E^3}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta } \\ {\sin \theta } \end{array}} \right)\text{。}$

(2)

式中： $ \theta = \arctan \displaystyle\frac{y}{x}$ 。

1.2 含有基础松动故障的转子系统动力学模型

在工程实际中，一般通过螺栓加固轴承座与基础之间的连接，由于安装不良或者长期运行工作都有可能造成若干螺栓出现松动，若汽轮机机组出现较大的振动，轴承座将克服其他螺栓的拉力，暂时部分与基础分离，未松动端的螺栓则受拉力作用，处于弹性变形。具有基础松动故障的转子系统模型及参数如图2和表1所示，松动端轴承座与基础之间的等效刚度为 ${k_{\rm{s}}}$ ，等效阻尼系数为 ${c_{\rm{s}}}$ 。在这里假定基础松动故障只出现在转子系统的一端，并且松动端轴承座与基础之间最大的松动间隙为 ${\delta _1}$ 。由于松动端在水平方向的振动响应很小^[9]，因此本文在分析研究时主要分析研究松动端竖直方向的振动响应。其中，轴承座与基础之间的等效刚度 ${k_{\rm{s}}}$ 和等效阻尼系数 ${c_{\rm{s}}}$ 的表达式如下^[10]：

$ {k_{\rm{s}}} = \left\{ \begin{array}{l} {k_{{\rm{s1}}}}\;\;\;\;{y_4} > {\delta _1} \\ 0\;\;\;\;{\rm{0}} \leqslant {y_4} \leqslant {\delta _1} \\ {k_{{\rm{s2}}}}\;\;\;{y_4} < {\delta _1}{\rm{ }} \\ \end{array} \right.,\;{c_{\rm{s}}} = \left\{ \begin{array}{l} {c_{{\rm{s1}}}}\;\;\;\;{y_4} > {\delta _1} \\ 0\;\;\;\;{\rm{0}} \leqslant {y_4} \leqslant {\delta _1} \\ {c_{{\rm{s2}}}}\;\;\;{y_4} < {\delta _1}{\rm{ }} \\ \end{array} \right.\text{。} $

(3)

由于轴承支座一端发生松动，导致转轴两端的运动状态不一致，从而使得两端轴径的油膜力不相等。假设转子未松动端和松动端的轴承油膜力分别为 ${F_{{x_1}}}$ ， ${F_{{y_1}}}$ 和 ${F_{{x_3}}}$ ， ${F_{{y_3}}}$ ，采用文献[11]中的油膜力模型，未松动端和松动端的油膜力分量如下式：

$\left\{ \begin{aligned} & {F_{{x_1}}} = sP{f_x}({x_1},{y_1},{{\dot x}_1},{{\dot y}_1}) \\ & {F_{{y_1}}} = sP{f_y}({x_1},{y_1},{{\dot x}_1},{{\dot y}_1}) \\ \end{aligned} \right.\text{，}$

(4)

$\left\{ \begin{aligned} & {F_{{x_3}}} = sP{f_x}({x_3},{y_3} - {y_4},{{\dot x}_3},{{\dot y}_3} - {{\dot y}_4}) \\ & {F_{{y_3}}} = sP{f_y}({x_3},{y_3} - {y_4},{{\dot x}_3},{{\dot y}_3} - {{\dot y}_4}) \\ \end{aligned} \right.\text{。}$

(5)

1.3 基础松动转子系统动力学方程

考虑到转子系统含有基础松动故障，依据几何关系，设转子左端轴承处的径向位移为 ${x_1}$ ， ${y_1}$ ；转盘处的径向位移为 ${x_2}$ ， ${y_2}$ ；转子右端轴心的径向位移为 ${x_3}$ ， ${y_3}$ ；松动端轴承支座在竖直方向的位移为 ${y_4}$ 。通过拉格朗日方程整理得到考虑汽轮机汽流激振力作用下含有一端基础松动转子系统的无量纲化运动微分方程为：

$ \begin{aligned} & {{\ddot X}_1} = - \frac{{{c_1}}}{{{m_1}\omega }}{{\dot X}_1} - \frac{k}{{{m_1}{\omega ^2}}}\left( {{X_1} - {X_2}} \right) + \\ & \quad \quad \quad \frac{{sP{f_x}({X_1},{Y_1},{{\dot X}_1},{{\dot Y}_1})}}{{c{m_1}{\omega ^2}}} \text{，}\\ & {{\ddot Y}_1} = - \frac{{{c_1}}}{{{m_1}\omega }}{{\dot Y}_1} - \frac{k}{{{m_1}{\omega ^2}}}\left( {{Y_1} - {Y_2}} \right) + \\ & \quad \quad \quad \frac{{sP{f_y}({X_1},{Y_1},{{\dot X}_1},{{\dot Y}_1})}}{{c{m_1}{\omega ^2}}} \text{，} \\ & {{\ddot X}_2} = - \frac{{{c_2}}}{{{m_2}\omega }}{{\dot X}_2} - \frac{k}{{{m_2}{\omega ^2}}}\left( {2{X_2} - {X_1} - {X_3}} \right) - \\ & \quad \quad \quad \frac{{{F_{ax}}}}{{c{m_2}{\omega ^2}}} + \frac{e}{c}\cos (\tau + \beta ) \text{，}\\ & {{\ddot Y}_2} = - \frac{{{c_2}}}{{{m_2}\omega }}{{\dot Y}_2} - \frac{k}{{{m_2}{\omega ^2}}}\left( {2{Y_2} - {Y_1} - {Y_3}} \right) + \\ & \quad \quad \quad \frac{{{F_{ay}}}}{{c{m_2}{\omega ^2}}} + \frac{e}{c}\sin (\tau + \beta ) - \frac{g}{{c{\omega ^2}}} \text{，} \\ & {{\ddot X}_3} = - \frac{{{c_1}}}{{{m_1}\omega }}{{\dot X}_3} - \frac{k}{{{m_1}{\omega ^2}}}\left( {{X_3} - {X_2}} \right) + \\ & \quad \quad \quad \frac{{sP{f_x}({X_3},{Y_3} - {Y_4},{{\dot X}_3},{{\dot Y}_3} - {{\dot Y}_4})}}{{c{m_1}{\omega ^2}}} \text{，} \\ & {{\ddot Y}_3} = - \frac{{{c_1}}}{{{m_1}\omega }}{{\dot Y}_3} - \frac{k}{{{m_1}{\omega ^2}}}\left( {{Y_3} - {Y_2}} \right) + \\ &\quad \quad \quad \frac{{sP{f_y}({X_3},{Y_3} - {Y_4},{{\dot X}_3},{{\dot Y}_3} - {{\dot Y}_4})}}{{c{m_1}{\omega ^2}}} - \frac{g}{{c{\omega ^2}}} \text{，} \\ & {{\ddot Y}_4} = - \frac{{{c_s}}}{{{m_3}\omega }}{{\dot Y}_4} - \frac{{{k_s}}}{{{m_3}{\omega ^2}}}{Y_4} - \\ & \quad \quad \quad \frac{{sP{f_y}({X_3},{Y_3} - {Y_4},{{\dot X}_3},{{\dot Y}_3} - {{\dot Y}_4})}}{{c{m_3}{\omega ^2}}} - \frac{g}{{c{\omega ^2}}} \text{。} \end{aligned} $

(6)

式（6）即为考虑基础松动后汽流激振力作用下转子系统的运动微分方程，在松动端的无量纲油膜力分量分别为 ${f_x}({X_3},{Y_3} - {Y_4},{\dot X_3},{\dot Y_3} - {\dot Y_4})$ 和 ${f_y}({X_3},{Y_3} - {Y_4},{\dot X_3},{\dot Y_3} - {\dot Y_4})$ ，其大小与基础松动端的振动位移有关。

2 汽流激振力作用下基础松动转子系统振动特性分析

采用Runge-Kutta方法对方程（6）进行求解。为了保证解的收敛性并减少计算误差，计算过程中选用较小的积分步长，同时为了能记录到振动稳定解一般需要舍弃多个周期的瞬态解，本文计算过程中采用积分步长为2π/200，误差为 $1 \times {10^{ - 6}}$ ，同时舍弃了前51 200个周期的数据。数值计算结果以分岔图、轴心轨迹图、Poincaré截面图、频谱图等形式表示。计算的主要参数如下： ${m_1}$ =4.0 kg， ${m_2}$ =32.1 kg， ${m_3}$ =50 kg， $R$ =25 mm， $L$ =12 mm， $\mu $ =0.018 pa·s， ${c_1}$ =1050 N·s/m、 ${c_2}$ =2100 N·s/m、 $k$ =2.5×10⁷N/m， ${c_{s1}}$ =350 N·s/m， ${c_{s2}}$ =500 N·s/m， ${k_{s1}}$ =7.5×10⁷N/m， ${k_{s2}}$ =2.5×10⁷N/m， $c$ =0.11 mm， ${\rho _0}$ =11.8 kg/m³， ${R_T}$ =0.5 m， ${R_B}$ =0.37 m， ${\beta _1}$ =35°， ${\beta _2}$ =40°， $\varsigma $ =0.83， $\delta $ =1.2×10^-3m， $V$ =200 m/s。系统1阶临界转速为 ${\omega _0}$ =882.5 rad/s。

2.1 转速对系统动力学特性的影响

图3分别为在考虑和不考虑汽流激振力时，基础松动转子系统轴心处 ${X_2}$ 和支座处 ${Y_4}$ 随转速 $\omega $ 变化的响应分岔图。由图3（a）可以看出，系统 ${X_2}$ 的响应在转速 $200\; {\rm rad/s} \leqslant \omega < 570\; {\rm rad/s}$ 时主要为周期1运动。当 $570\; {\rm rad/s} \leqslant \omega < 730\; {\rm rad/s}$ 系统的响应表现为周期2运动。当 $730\;{\rm rad/s} \leqslant \omega < 850\;{\rm rad/s}$ 时系统的响应由周期2演变出短暂的周期7运动，之后进入为周期4运动（见图4），在Poincaré截面上为7个离散的点和4个离散的点。随着转速的提高，在临界转速附近系统的响应主要为混沌运动（见图4（c）），系统响应的轴心轨迹比较混乱，Poincaré截面上表现为2个混沌小岛。直至转速到 $\omega = 1 \; 270\; {\rm rad/s}$ 附近出现短暂的周期2运动（见图4（d）），Poincaré截面显示为2个离散的点。之后由进入高速区域的拟周期混沌交替存在的复杂运动状态，图4（e）为转速 $\omega = 1 \; 497\;{\rm rad/s}$ 时系统响应图。由图可以看出，此时轴心轨迹为多个圆环，并且在Poincaré截面上表现为一个圆环，说明此时系统的响应为拟周期运动。

图3（b）为不考虑汽流激振力时松动转子系统响应分岔图，对比可以看出，汽流激振力的存在使得松动转子系统 ${X_2}$ 响应的周期性运动区间变宽，且在临界转速附近的混沌区间变窄；同时可以看出支座处 ${Y_4}$ 响应分岔图几乎没有变化。

2.2 支座质量对系统动力学特性的影响

松动端支座质量m₃作为系统的一个重要参数，接下来将研究支座质量m₃对系统分岔特性的影响。图5分别为系统支座质量m₃=20 kg，m₃=100 kg和m₃=200 kg时，在汽流激振力作用下松动转子系统的分岔图。

图3（a）为m₃=50 kg时在汽流激振力作用下响应分岔图，对比图5可以明显看出：松动转子系统轴心处 ${X_2}$ 的响应并没有太大的变化，但在临界转速附近的混沌小岛随着支座质量的增加由4个逐渐减小到2个，并且混沌区间变宽；同时可以看出支座处 ${Y_4}$ 在转速较低时，松动端轴承支座在竖直方向的振动响应几乎为0，在转速升高到临界转速之后的响应才有所增加。

2.3 质量偏心对系统动力学特性的影响

质量偏心作为系统运行稳定性的重要参数，研究其变化对松动转子系统的动力学特性的影响非常有意义。图6分别为质量偏心 $e = 0.03\;mm$ 和 $e = 0.07\;{\rm mm}$ 时系统 ${X_2}$ ， ${Y_4}$ 随转速 $\omega $ 变化的响应分岔图。与图3对比可以看出，质量偏心 $e$ 对系统的分岔特性具有很大的影响。图6（a）为质量偏心 $e = 0.03\; {\rm mm}$ 时分岔图，在转速 $200\; {\rm rad/s} \leqslant \omega < 710\; {\rm rad/s}$ 时系统做周期1运动，当转速 $\omega \geqslant 710\; {\rm rad/s}$ 时系统由周期1运动演变为周期2运动。之后在临界转速区域，系统响应主要为拟周期运动与周期7运动交替出现。典型的系统响应如图7所示。由频谱图可以看出，在低转速区域主要以低频分量为主，随着转速的提高，系统的频谱图中低频分量的幅值变大，且出现连续的高频分量。由图7（b）可以看出，当质量偏心较小时，在 $\omega < 1345\;{\rm rad/s}$ 时，轴承支座 ${Y_4}$ 的振动幅值几乎为0， $\omega \geqslant 1345\;{\rm rad/s}$ 后轴承支座的振动幅值 ${Y_4}$ 才变大。图7（c）为质量偏心 $e = 0.07\;{\rm mm}$ 时分岔图，由图可以看出质量偏心增大对系统具有明显的影响，在 $\omega \leqslant 970\; {\rm rad/s}$ 时，系统响应为周期性运动，且运动响应的幅值 ${X_2}$ 与图7（a）相比幅值变大。当 $\omega > 970\;{\rm rad/s}$ 时，系统的响应幅值 ${X_2}$ 发生跳跃，振动幅值迅减小，系统进入混沌运动状态，图8为转速 $\omega = 1 \; 080\;{\rm rad/s}$ 时响应图，转子的轴心轨迹混乱，Poincaré截面图上呈现云状的混沌吸引子，频谱图上出现幅值较大的高频分量。随着转速的进一步增大，系统主要以混沌运动为主。图6（d）为轴承支座的响应，与图6（b）对比可以看出，在转速较低时 ${Y_4}$ 响应幅值较小，当 $\omega > 590\;{\rm rad/s}$ 时 ${Y_4}$ 响应的幅值逐渐增大；随着转速的进一步增大， ${Y_4}$ 响应幅值明显增大3倍。由此可以看出，质量偏心对系统的动力学具有很大的影响，因此在设计安装过程中要严格对转子进行动平衡，防止进一步加剧转子振动。

3 结　语

1）汽流激振力的存在使得松动转子系统轴心处响应的周期性运动区间变宽，且在临界转速附近的混沌区间变窄，而对支座处响应几乎没有影响。

2）随着支座质量的增加松动转子系统轴心处的响应在临界转速附近的混沌小岛由4个逐渐减小到2个，并且混沌区间变宽；在转速较低时，松动端轴承支座在竖直方向的振动响应几乎为0，在转速升高到临界转速之后的响应才有所增加。

3）质量偏心作为系统的主要参数对系统响应有很大影响，在临界转速以下对系统的响应都不是很大；但当大于临界转速时，系统 ${X_2}$ ， ${Y_4}$ 的响应都随着转速的增加振动幅值明显增大，甚至发生跳跃突变。特别是在质量偏心比较大的情况下，支座处位移 ${Y_4}$ 在临界转速以下的振动幅值都明显增大，由此可见质量偏心对系统的动力学具有很大的影响，因此在设计安装过程中要严格对转子进行动平衡，防止进一步加剧转子振动。