0 引　言

隔振和抗冲击同为舰艇生命力指标的2个重要组成部分^[1]。目前，舰船上普遍使用的隔振手段是被动隔振，虽然可以依靠较小的刚度获得比较高的抗冲率，但是同时会造成附属管路的较大相对位移。工程上通常使用限位器来限制相对位移，但由于刚度突变容易带来二次冲击^[2]。被动隔振系统自身特性决定了其抗冲击能力的不足，有待于进一步优化。

随着新材料的不断研发，磁流变材料因为其屈服应力高、温度适应性强、响应时间短、稳定性好、需求电压低等优点，已经广泛应用于汽车减振抗冲、房屋桥梁隔振抗冲等方面^[3-6]。本文根据最优抗冲击理论，将阻尼可调节的磁流阻尼器（magnetorheological damper，简称MRD）应用于单自由度被动隔振系统，对其冲击隔离性能进行了优化，同时，针对MRD非线性强控制效果差、滑模控制容易抖振影响抗冲击性能等问题，采用模糊滑模控制的方法进行控制，取得了较好的效果。

1 最优抗冲理论

针对冲击隔离特点，Sevin和Pilkey^[7]提出了冲击隔离过程中抗冲系统的最优控制力模型：假设抗冲系统循序的最大加速度为A，能承受的极限位移为D，被隔离设备的质量为 $m$ ，抗冲器产生的作用力为 $f(x,\dot x)$ ，则设备的最大加速度完全由抗冲器作用力 $f(x,\dot x)$ 决定。如果抗冲器产生的力 $f$ 能保持恒定，使得被隔离设备的加速度保持为 $f/m$ ，此时系统位移最小，即构成了最优抗冲系统。

如果抗冲系统中的阻尼力和弹性力能相互匹配，就可以完全或近似地实现最优抗冲力。但是被动抗冲系统阻尼力往往是恒定的，无法满足最优抗冲要求；而舰船主动隔振系统则需要能同时满足大位移、大功率和小体积等要求的作动器，目前在工程上难以实现。而随着磁流变技术的进一步发展，基于半主动控制的磁流变阻尼器隔振抗冲击系统恰恰为最优抗冲设计的实现提供了新的切实可行的解决方案。

2 隔振抗冲系统优化设计

结合冲击隔离过程中各变量的变化对被动隔振系统进行抗冲击优化设计，将隔振器与MRD并联，控制MRD阻尼力输出保证阻尼力与隔振器弹性力之和基本保持恒定，近似达到最优抗冲击效果。抗冲击过程分析如下：

1）初始阶段。

系统相对位移较小但相对速度很大，隔振器弹性力较小，可以控制磁流变阻尼器提供较大的阻尼力，尽可能在冲击响应的初始阶段把抗冲击控制力提高到恒定水平附近。

2）中间阶段。

系统速度不断减小但相对位移不断增加，此时控制MRD产生合适的阻尼力与隔振器弹性力相互匹配，尽可能将抗冲击力保持恒定。

3）结束阶段。

系统速度很小而相对位移接近极大值，此时的抗冲力完全由隔振器提供，保持阻尼力为0即可在结束阶段保持理想的抗冲力。

若冲击输入为 $\ddot u(t)$ ，被隔离设备位移为 $x$ ，质量为 $m$ ，隔振器的线性刚度为 $k$ ，阻尼系数为 $c$ 。假定系统具备良好的隔振能力，参照前文分析对系统进行抗冲击优化设计。MRD与隔振器并联，系统处于隔振状态时，不施加控制电流，MRD阻尼力为0，不影响系统隔振；系统受到外部冲击时（以相对速度大小作为冲击判定），调节电流变化控制MRD输出阻尼力与弹性力相匹配，则MRD抗冲击系统示意图如图1所示。

3 磁流变阻尼器建模

MRD采用Bingham模型^[6]建模，如下式：

$ f = {f_y}\operatorname{sgn} (\dot x) + {c_0}\dot x\;{\text{。}} $

(1)

式中： $f$ 为MRD输出阻尼力； $\dot x$ 为MRD活塞速度； ${f_y}$ 为库仑阻尼力； ${c_0}$ 为粘滞阻尼系数； ${c_0}$ 和 ${f_y}$ 均可表达为电流 $I$ 的一次函数，即 ${f_y} = {f_{ya}}I + {f_y}_b$ ， ${c_0} = {c_{01}}I + {c_0}_2$ 。

采用实验数据进行识别可得：

$ \begin{array}{l} f = \left( {224.64I + 155.54} \right){\mathop{\rm sgn}} (\dot x)\;+\\ (3941.41 + 2482.21)\dot x\;{\text{。}} \end{array} $

(2)

由此即可得到MRD阻尼力表达式，同时可以根据此式反解电流与输出阻尼力表达式。

4 模糊滑模控制器设计

由图1可得系统冲击隔离的微分方程为：

$ m\ddot x + k(x - u) + c(\dot x - \dot u) + f = 0\;, $

(3)

若冲击输入 $\ddot u(t)$ 为半正弦加速度，以相对位移 $z = x - u$ 为广义坐标对冲击隔离方程进行变换，则有：

$m\ddot z + kz + c\dot z + f = - m\ddot u;\;,$

(4)

$\ddot u(t) = \left\{ \begin{array}{l} U\sin ({\rm{{\text{π}}}} t/{t_m}),\\ 0\begin{array}{*{20}{c}} {\text{。}}&{} \end{array} \end{array} \right.$

(5)

其中： $U$ 为冲击幅值， ${t_m}$ 为冲击持续时间。

令状态变量 ${{X}} = {[\begin{array}{*{20}{c}} z&{\dot z} \end{array}]^{\rm{T}}}$ ，以设备加速度作为系统输出 ${{Y}} = [\ddot z]$ ，则状态空间方程如下式：

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot X}} = {{AX}} + {{BU}} ,\\ {{Y}} = {{CX}} + {{DU}} {\text{。}}\\ \end{array} \right. $

(5)

其中：

$ {{A}}=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\displaystyle\frac{k_{1}}{m_{1}} & -\displaystyle\frac{c_{1}}{m_{1}} & \displaystyle\frac{k_{2}}{m_{1}} & \displaystyle\frac{c_{2}}{m_{1}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \displaystyle\frac{k_{1}}{m_{2}} & \displaystyle\frac{c_{1}}{m_{1}} & -\displaystyle\frac{k_{1}+k_{2}}{m_{2}} & -\displaystyle\frac{c_{1}+c_{2}}{m_{2}} \end{array}\right]\;{\text{，}} $

(7)

$ {{B}} = {[\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}&0&{ - 1} \\ 0&{ - \displaystyle\frac{1}{{{m_1}}}}&0&{\displaystyle\frac{1}{{{m_2}}}} \end{array}]^{\rm{T}}}\;{\text{，}} $

(8)

$ {{C}} = [\begin{array}{*{20}{c}} { - \displaystyle\frac{{{k_1}}}{{{m_1}}}}&{ - \displaystyle\frac{{{c_1}}}{{{m_1}}}}&0&0 \end{array}]\;{\text{，}} $

(9)

$ {{D}} = [\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - \displaystyle\frac{1}{{{m_1}}}} \end{array}]\;{\text{，}} $

(10)

$ {{U}} = {[\begin{array}{*{20}{c}} {\ddot u}&{{F_M}} \end{array}]^{\rm{T}}}\;{\text{。}} $

(11)

定义跟踪误差 ${{e}} = {{\bf{Y}}_0} - {{Y}}$ ，其中 ${{{Y}}_0}$ 是给定的被跟踪目标矩阵， ${{{Y}}_0} = \left[ {{a_0} - \ddot u(t)} \right]$ ，其中 ${a_0}$ 为设备绝对加速度跟踪值。不考虑控制末端的精度误差，则跟踪性能的最优二次型指标为：

$ J = \int_{{t_0}}^t {\left[ {{{{e}}^{\rm{T}}}{{Qe}} + {{{u}}^{\rm{T}}}{{Ru}}} \right]} {\rm{d}}t\;{\text{。}} $

(12)

其中， ${{Q}}$ 为半正定对称时变加权矩阵， ${{R}}$ 为正定对称时变加权矩阵。

为了方便设计滑模控制器，将输出追踪问题转化为等价广义系统的二次型最优调节问题^[8]。定义原系统的等价广义系统为：

$ {\dot {\bar{ X}}} = {\bar{ A}{\bar {{X}}}} + {{\bar{ B}}{{U}}}\;{\text{，}} $

(13)

其中， ${\bar{ X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{X}} \\ {{{{Y}}_0}} \end{array}} \right]$ ， ${\bar{ A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A}}&0 \\ 0&1 \end{array}} \right]$ ， ${\bar{ B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B}} \\ 0 \end{array}} \right]$ 。

则式(12)可转化为等价的状态性能指标：

$ J = \int_{{t_0}}^t {\left[ {{{{\bar{ X}}}^{\rm{T}}}{{\bar{ Q}{\bar {{X}}}}} + {{{u}}^{\rm{T}}}{\bar{ R}}{{u}}} \right]} {\rm{d}}t\;。$

(14)

其中， ${\bar{ Q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{C}}^{\rm{T}}}{{QC}}}&{ - {{{C}}^{\rm{T}}}{{Q}}} \\ { - {{QC}}}&{{Q}} \end{array}} \right]$ ， ${\bar{ R}} = {{R}}$ 。在滑模控制中，滑模运动与能量无关，因此可省略二次型第二项，即

$ J = \int_{{t_0}}^t {\left[ {{{{\bar{ X}}}^{\rm{T}}}{{\bar{{ Q}}{\bar {{X}}}}}} \right]} {\rm{d}}t\;{\text{。}} $

(15)

此时，若存在非奇异转换矩阵 ${{M}}$ ，满足 ${\bar{ X}} = {{MZ}}$ ，且可将式(4)转化为如下形式

$ {{\dot Z}} = {\bar {\bar{ A}}}{{Z}} + {\bar {\bar{ B}}}{{U}} $

(16)

其中， ${\bar {\bar{ A}}} = {{{M}}^{ - 1}}{\bar{\bf AM}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\bar{ A}}}_{11}}}&{{{{\bar{ A}}}_{12}}} \\ {{{{\bar{ A}}}_{21}}}&{{{{\bar{ A}}}_{22}}} \end{array}} \right]$ ， ${\bar{ \bar{ B}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{{{B}}_2}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ ， ${{Z}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{z}}_1}}&{{{{z}}_2}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ ，此时二次型即可改写为：

$ J = \frac{1}{2}\int_{{t_0}}^t {\left[ {{{{z}}_1}^{\rm{T}}{{{\bar{ Q}}}_{11}}{{{z}}_1} + 2{{{z}}_1}^{\rm{T}}{{{\bar{\bf Q}}}_{12}}{{{z}}_2} + {{{z}}_2}^{\rm{T}}{{{\bar{ Q}}}_{22}}{{{z}}_2}} \right]} {\rm{d}}t\;{\text{。}} $

(17)

其中， ${{{M}}^{\rm{T}}}{\bar{ QM}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\bar{ Q}}}_{11}}}&{{{{\bar{ Q}}}_{12}}} \\ {{{{\bar{ Q}}}_{21}}}&{{{{\bar{ Q}}}_{22}}} \end{array}} \right]$ ，且有 ${{\bar{ Q}}_{12}}^{\rm{T}} = {{\bar{ Q}}_{21}}$ 。若令 ${{h}} = {{{z}}_2} + {{\bar{ Q}}_{22}}^{ - 1}{{\bar{ Q}}_{12}}^{\rm{T}}{{{z}}_1}$ ，将最优性能指标改写为：

$ J = \int_{{t_0}}^t {\left[ {{{{z}}_1}^{\rm{T}}\left( {{{{\bar{ Q}}}_{11}} - {{{\bar{ Q}}}_{12}}{{{\bar{ Q}}}_{22}}^{ - 1}{{{\bar{ Q}}}_{12}}^{\rm{T}}} \right){{{z}}_1} + {{{h}}^{\rm{T}}}{{{\bar{ Q}}}_{22}}{{h}}} \right]} {\rm{d}}t\;{\text{，}} $

(18)

则对应的滑模方程为：

$ {{{\dot z}}_1} = \left( {{{{\bar{ A}}}_{11}} - {{{\bar{ A}}}_{12}}{{{\bar{ Q}}}_{22}}^{ - 1}{{{\bar{ Q}}}_{12}}^{\rm{T}}} \right){{{z}}_1} + {{\bar{ A}}_{12}}{{h}}\;{\text{，}} $

(19)

得到滑模面

$ {{ S}}\left( t \right) = {{{ K} \bar { X}}} = \left( {{{{{\bar { Q}}}}_{22}}^{ - 1}\left( {{{{}}_{12}}^{\rm{T}} + {{{{\bar { A}}}}_{12}}^{\rm{T}}{{ P}}} \right),{{{ I}}_m}} \right){{{ M}}^{ - 1}}{{ \bar { X}}}\;{\text{。}} $

(20)

其中， ${{P}}$ 是以下 方程的解：

$ \begin{aligned} & {{P}}\left( {{{{\bar{ A}}}_{11}} - {{{\bar{ A}}}_{12}}{{{\bar{ Q}}}_{22}}^{ - 1}{{{\bar{ Q}}}_{12}}^{\rm{T}}} \right) \;+\\ & \quad \quad {\left( {{{{\bar{ A}}}_{11}} - {{{\bar{ A}}}_{12}}{{{\bar{ Q}}}_{22}}^{ - 1}{{{\bar{ Q}}}_{12}}^{\rm{T}}} \right)^{\rm{T}}}{{P}} \;-\\ & \quad \quad {{P}}{{{\bar{ A}}}_{12}}{{{\bar{ Q}}}_{22}}^{ - 1}{{{\bar{ Q}}}_{12}}^{\rm{T}}{{P}} \;+\\ & \quad \quad \left( {{{{\bar{ Q}}}_{11}} - {{{\bar{ Q}}}_{12}}{{{\bar{ Q}}}_{22}}^{ - 1}{{{\bar{ Q}}}_{12}}^{\rm{T}}} \right) = 0 \end{aligned} $

(21)

控制器采用指数趋近方式，即

$ {{\dot S}}(t) = \alpha {{S}}(t) + \beta sign\left( {{{S}}(t)} \right),\;\;\alpha < 0,\beta < 0\;{\text{。}} $

(22)

此时滑模控制率为：

$ {{u}}\left( t \right) = - {\left( {{{K}}}{\bar {\bar {{B}}}} \right)^{{\rm{ - 1}}}}\left( {{{K}}{{\bar {\bar {{A}}}}{\bar {{X}} }}+ \alpha {{S}}(t) + \beta sign\left( {{{S}}(t)} \right)} \right)\;{\text{。}} $

(23)

至此，即可得到基于最优滑模变结构追踪器的控制输出。考虑到滑模控制容易导致系统产生抖振现象，输出控制中的 $\beta sign\left( {{\bf{S}}(t)} \right)$ 这一项是导致滑模系统抖振的本质原因^[9]。该项的本来含义是为了对不确定项进行补偿，从而保证滑模面的存在。因此，当外部出现变化的不确定量时，例如时滞带来的跟踪误差，补偿项中的系数 $\beta $ 也应该随之调整。为了解决这个问题，把模糊控制和传统的滑模控制相结合，利用模糊逻辑理论来设计响应的模糊控制器，根据模糊控制策略对补偿系数 $\beta $ 进行动态调整，从而使控制信号平滑，抑制滑模控制的抖振现象。按照如下方法设计模糊逻辑控制器^[9]：

1）确定输入输出变量

根据滑模到达条件 $S\dot S < 0$ 设计模糊控制器来抑制抖振。取 $S\dot S$ 为模糊控制器输入，控制器输出为补偿项系数 $\beta $ 地变化量 $\vartriangle \beta $ ，输入输出基本论域均为{-3，-2，-1，0，1，2，3}。

2）数字量模糊化

输入变量和输出变量的取5个模糊子集{NB，NM，ZO，PM，PB}。按照如下策略选择隶属度函数，在误差较大的地方选用变化较平缓的高斯隶属度函数，保证其稳定性；在误差较小处采用变化较快的三角隶属度函数，保证其灵敏度，如图2所示。

3）利用模糊规则进行模糊推理

模糊推理是利用模糊规则将模糊输入量转化为模糊输出的关键， $S\dot S < 0$ 时， $\beta $ 应减小； $S\dot S > 0$ 时， $\beta $ 应增大。本文制定的模糊控制规则如表1所示。

4）解模糊还原输出

目前解模糊化的方法主要有3种：最大隶属度法、中位数法和重心法。其中，重心法能使系统输出更为平滑。故本文采用重心法解模糊化，即得到输出 $\vartriangle \beta $ 。最终系统控制示意图如图3所示。

5 仿真分析

分别对单独使用隔振器抗冲、使用隔振器和限位器组合抗冲和采用模糊滑模半主动控制磁流变阻尼器抗冲3种情况进行抗冲击模拟仿真。其中，设备质量m=100 kg，极限加速度A=25 g，极限相对位移D=20 mm，冲击峰值U=200 g，冲击持续时间t_m=20 ms，隔振器刚度k₁=4×105 N/m，隔振器固有频率ω=10 Hz，隔振器阻尼系数 $c = 0.05$ ，限位器刚度k₂=2.4×106 N/m，仿真结果如图4和图5所示。

根据仿真结果可以看出，单独使用隔振器的抗冲系统有效地控制了系统的加速度峰值（15 g），但其相对位移却大大增加了（ $38\;{\rm{mm}}$ ），这会导致隔振器自身以及设备的其他附属管路受到严重破坏。隔振器和限位器组合抗冲虽然将相对位移限制在极限值20 mm以下（18.5 mm），但二次冲击使得设备的加速度峰值远超极限加速度25 g（41 g），这同样会对设备造成严重破坏。而采用模糊滑模半主动控制加速度跟踪值为15 g，此时最大相对位移为17.5 mm，均在允许范围内，满足抗冲要求。

设备冲击响应过程中，最大加速度 ${J_1}$ 、最大相对位移 ${J_2}$ 和冲击速度 ${V_0}$ 三者之间具有如下关系:

$ {J_1}{J_2}/{V_0}^2 \geqslant \frac{1}{2}\;{\text{。}} $

(24)

通常 ${J_1}{J_2}/{V_0}^2$ 被称之为极限性能，用来评价系统抗冲击性能，其值越接近0.5，表示抗冲击性能越好。

分别对单独使用隔振器抗冲、使用隔振器和限位器组合抗冲和采用模糊滑模半主动控制磁流变阻尼器抗冲3种情况进行极限性能的模拟仿真，仿真冲击速度从2~ $ 3.5\;{\rm{m/s}}$ ，仿真结果如图6所示。有限位器的抗冲系统极限性能最差，二次冲击却加倍放大了被隔离设备的加速度，极大地恶化冲击隔离能力；隔振器极限性能次之；而模糊滑模MRD抗冲系统具有三者中最好的极限性能，能同时兼顾隔离设备极限加速度与极限相对位移。

通过对冲击响应和极限性能两者仿真结果的分析可以看出，单独使用隔振器或是采用隔振器和限位器组合均不能满足系统抗冲击要求。前者使得系统相对位移大大增加，后者容易造成二次冲击使得设备加速度增大，反而进一步恶化了冲击隔离环境使得系统极限性能变差。而基于最优抗冲设计的模糊滑模MRD抗冲系统，可以在限制加速度的同时，很大程度地降低相对位移，即便极限冲击情况下，该系统依然具有良好的抗冲击性能。

6 结　语

本文依据最优抗冲理论对现有的被动隔振系统进行抗冲击优化，设计了由隔振器和MRD并联的半主动最优抗冲系统，并采用模糊滑模控制器，解决了磁流变阻尼器非线性强难以控制的问题，提升了系统抗冲击效果。通过模拟仿真对比可以看出，相比现有的抗冲击设计，基于模糊滑模控制的MRD半主动最优抗冲设计可以同时抑制冲击加速度和减小设备位移，并且具有更好的极限性能。该研究对于磁流变技术进一步应用于舰船隔振抗冲实践具有较好的指导意义。