0 引　言

加肋圆柱壳是水下结构的主要结构形式，也是水下结构向流体辐射噪声的主要结构。由于结构内部设备布置形式各异，内部机械激励会从不同位置作用于壳体结构产生辐射噪声，因此，研究激励位置对加肋圆柱壳结构的振声特性，有助于优化基座与壳体的连接形式，从而降低水下航行器的辐射噪声，具有重要的理论价值和实际意义。

针对水下加肋圆柱壳结构，可以采用近似的薄壳理论，根据模态叠加法得到结构振动、辐射声压、辐射声功率、辐射效率等的解析表达式。Lynch^[1]研究了各类薄壳结构的振动响应和声辐射。Filippov^[2]将薄壳振动方程中的厚度进行无量纲化，得到无量纲厚度与加肋圆柱壳结构特征频率的关系。陈美霞^[3]基于flugge壳体理论，采用波动法对带框架肋骨加筋圆柱壳的自由振动特性和频响特性进行研究。张波^[4]采用多种有限元计算方法，计算了加肋圆柱壳肋骨对各频段总辐射声功率的影响。孙瑶^[5]通过建立圆柱壳的解析辐射阻抗矩阵来分析厚度和边界条件对圆柱壳声辐射的影响。张一麟^[6]提出了一种重建圆柱壳结构表面速度的插值方法。Alzahabi^[7]从波动方程出发，对圆柱壳的辐射噪声进行分析，揭示圆柱壳模态频率随其几何形状的变化趋势。这些研究揭示了圆柱壳体结构基本的振动和声辐射特性，为加肋圆柱壳的设计提供重要帮助，但是较少考虑结构内部激励的问题，因此对结构内部的激励位置变化对结构振动和声辐射的影响研究是有必要的。

本文基于薄壳理论，将肋骨的作用近似为只有径向力，采用模态展开法导出了有限长加肋圆柱壳结构的近似解析解。然后改变内部激励力的作用位置，对比分析得到激励位置对结构振动和声辐射的影响规律。

1 基本理论 1.1 加肋圆柱壳体的基本解

建立柱坐标系 $(r,\theta ,z)$ ，取有限长加肋圆柱壳轴线中点为坐标原点，径向为r，周向为 $\theta $ ，轴线方向为z，对应方向的位移分别为 $(u,v,w)$ 。设圆柱壳的半径为a，厚度为h，且有 ${h / a} \ll 1$ ，壳体材料的密度为 $\rho $ ，弹性模量为 $E$ ，损耗因子为 $\eta $ ，泊松比为 $\upsilon $ ；内部加相同的环肋，肋高为 ${h_r}$ ，肋宽为 ${d_r}$ ；外部流体的密度为 ${\rho _0}$ ，声速为 ${c_0}$ 。取Donnell方程作为圆柱薄壳振动的控制方程，用模态展开法可得位移展开成级数形式如下^[8]：

$ \left\{ \begin{array}{l} u(\theta ,z) = \sum\limits_{m,n} {{U_{mn}}\cos n\theta \cos {k_m}z} \text{，} \\ v(\theta ,z) = \sum\limits_{m,n} {{V_{mn}}\sin n\theta \cos {k_m}z}\text{，} \\ w(\theta ,z) = \sum\limits_{m,n} {{W_{mn}}\cos n\theta \sin {k_m}z} \text{。} \end{array} \right. $

(1)

其中：m，n都取 $0 \sim \infty $ ， ${k_m}$ 为由边界条件确定的本征值。

假设肋只对壳体产生法向压力 $g(\theta ,z)$ 。将径向激励、表面声压和环肋反力也展开成级数形式：

$ \left\{ \begin{array}{l} f\left( {\theta ,z} \right) = \sum\limits_{m,n} {{f_{mn}}\cos n\theta \cos {k_m}z} \text{，}\\ p\left( {\theta ,z} \right) = \sum\limits_{m,n} {{p_{mn}}\cos n\theta \cos {k_m}z} \text{，}\\ g\left( {\theta ,z} \right) = \sum\limits_{m,n} {{g_{mn}}\cos n\theta \cos {k_m}z} \text{。} \end{array} \right. $

(2)

其中各展开系数为：

$ \left\{ \begin{aligned} & {f_{mn}} = \frac{{{\varepsilon _n}}}{{2 {\text π} L}}\int_{ - {\text π} }^{\text π} {\int_{ - L}^L {f\left( {\theta ,z} \right)\cos n\theta \cos {k_m}z{\rm d}\phi {\rm d}z} } \text{，}\\ & {p_{mn}} = \frac{{{\varepsilon _n}}}{{2 {\text π} L}}\int_{ - {\text π} }^{\text π} {\int_{ - L}^L {p\left( {\theta ,z} \right)\cos n\theta \cos {k_m}z{\rm d}\phi {\rm d}z} } \text{，}\\ & {g_{mn}} = \frac{{{\varepsilon _n}}}{{2 {\text π} L}}\int_{ - {\text π} }^{\text π} {\int_{ - L}^L {g\left( {\theta ,z} \right)\cos n\theta \cos {k_m}z{\rm d}\phi {\rm d}z} } \text{。} \end{aligned} \right. $

(3)

其中：当 $n = 0$ 时， ${\varepsilon _n} = 1$ ；当 $n \geqslant 1$ 时， ${\varepsilon _n} = 2$ 。

将式（1）和式（2）代入控制方程可得加肋圆柱壳在外法线方向的耦合振动方程为：

$ {\dot U_{mn}}Z_{mn}^M = {f_{mn}} - {p_{mn}} - {g_{mn}} \text{。} $

(4)

式中 $Z_{mn}^M$ 为无肋圆柱壳的机械阻抗，通过控制方程令 ${p_{mn}} = {g_{mn}} = 0$ 求得。

声辐射引起的表面声压为：

$ {p_{mn}} = \sum\limits_q {{{\dot U}_{qn}}Z_{qmn}^a} \text{。} $

(5)

其中： $Z_{qmn}^a$ 为 $(q,n)$ 和 $(m,n)$ 阶模态互辐射阻抗； $Z_n^a\left( K \right)$ 为波数域K的声辐射阻抗。

$ \begin{aligned} & Z_{qmn}^a = \frac{4}{{{\text{π}} L}}\int_0^\infty {\frac{{{k_q}{k_m}{{\left( { - 1} \right)}^{q + m}}{{\cos }^2}KL}}{{\left( {k_q^2 - {K^2}} \right)\left( {k_m^2 - {K^2}} \right)}}Z_n^a\left( K \right){\rm d}K}\text{，}\\ & Z_n^a\left( K \right) = \frac{{i{\rho _0}\omega H_n^{(1)}\left( {\sqrt {k_0^2 - {K^2}} a} \right)}}{{\left( {k_0^2 - {K^2}} \right)H_n^{(1)'}\left( {\sqrt {k_0^2 - {K^2}} a} \right)}}\text{。} \end{aligned} $

由于环肋是间隔布置，因此环肋的作用是不连续的，假设圆柱壳内共有T根环肋，第j根环肋的z坐标为 ${z_j}$ ，作用力是 ${g^j}\left( \theta \right)$ ，与圆柱壳类似，每一根环肋的模态力可以写成与机械阻抗与模态之间的关系^[9]：

$ g_n^j = Z_n^r\dot U_n^{rj}{\text{。}} $

其中：

$ \begin{aligned} Z_n^r = & \frac{i}{{\omega a}}\left( {\frac{{2{\rho _r}{A_r}c_{pr}^2}}{{2a + {h_r}}}} \right) \times\\ & \left[ {\frac{{h_r^2}}{{12{a^2}}}{{\left( {{n^2} - 1} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{\omega a}}{{{c_{pr}}}}} \right)}^2} + \frac{{{{\left( {\omega a} \right)}^2}}}{{{{\left( {\omega a} \right)}^2} - {{\left( {n{c_{pr}}} \right)}^2}}}} \right] \text{。} \end{aligned} $

则环肋的总作用力为：

$ g\left( {\theta ,z} \right) = \sum\limits_{m,n}^\infty {\sum\limits_{j = 1}^T {Z_n^r{{\dot U}_{mn}}\cos n\theta \cos {k_m}{z_j}\delta \left( {z - {z_j}} \right)} } \text{，} $

其展开系数为：

$ {g_{mn}} = \frac{{Z_n^r}}{L}\sum\limits_{q = 0}^\infty {\sum\limits_{j = 1}^T {{{\dot U}_{qn}}\cos {k_q}{z_j}\cos {k_m}{z_j}} } = \sum\limits_{q = 0}^\infty {{{\dot U}_{qn}}Z_{qmn}^r} \text{。} $

(6)

将式（5）和式（6）代入式（4），得

$ {\dot U_{mn}}Z_{mn}^M + \sum\limits_q {{{\dot U}_{qn}}\left( {Z_{qmn}^a + Z_{qmn}^r} \right)} = {f_{mn}}\text{。} $

由上式求解出模态振动速度后即可得到有关的声学量，壳体的辐射声功率为：

$ \begin{split} P\left( \omega \right) =\,& \frac{1}{2}\int_S {{\rm{Re}} \left\{ {p\left( {\theta ,z} \right){{\dot u}^ * }\left( {\theta ,z} \right)} \right\}{\rm d}S}= \\ & \dfrac{S}{4}{{Re}} \left\{ {\sum\limits_{qmn} {\frac{1}{{{\varepsilon _n}}}{{\dot U}_{qn}}Z_{qmn}^a\dot U_{mn}^ * } } \right\} \text{。} \end{split} $

壳体表面的平均的振速为：

$ \begin{split} & \left\langle {\dot u\left( {\theta ,z} \right){{\dot u}^ * }\left( {\theta ,z} \right)} \right\rangle = \frac{1}{{2S}}\int_S {\left\{ {\dot u\left( {\theta ,z} \right){{\dot u}^ * }\left( {\theta ,z} \right)} \right\}{\rm d}S} = \\ & \quad \quad \frac{1}{4}\sum\limits_{mn} {\frac{1}{{{\varepsilon _n}}}{{\dot U}_{qn}}\dot U_{mn}^ * } \text{。} \end{split} $

1.2 载荷分析

当壳体受单点激励时，假设激励力位于壳体上 $({\theta _0},{z_0})$ 处，幅值为 ${F_0}$ ，则有：

$\left\{ \begin{aligned} & f\left( {\theta ,z} \right) = {F_0}\frac{1}{a}\delta \left( {{z_0}} \right)\delta \left( {{\theta _0}} \right)\text{，}\\ & {f_{mn}} = \frac{{{\varepsilon _n}}}{{2{\text{π}} La}}{F_0}\cos \left( {n{\theta _0}} \right)\cos \left( {{k_m}{z_0}} \right)\text{。} \end{aligned}\right. $

当壳体受对称的双点激励时，假设激励力分别位于壳体上 $({\theta _0},{z_0})$ 和 $( - {\theta _0},{z_0})$ 处，产生的合力峰值为 ${F_0}$ ，则两点的激励力幅值都为 ${{{F_0}} / {2\cos {\theta _0}}}$ ，于是有：

$\left\{ \begin{aligned} & {f_1}\left( {\theta ,z} \right) = \frac{{{F_0}\delta \left( {{z_0}} \right)\delta \left( {{\theta _0}} \right)}}{{2a\cos {\theta _0}}}\text{，}\\ & {f_2}\left( {\theta ,z} \right) = \frac{{{F_0}\delta \left( {{z_0}} \right)\delta \left( { - {\theta _0}} \right)}}{{2a\cos {\theta _0}}}\text{，} \end{aligned}\right. $

$\left\{ \begin{aligned} & {f_{1mn}} = \frac{{{\varepsilon _n}}}{{4 {\text π} La\cos {\theta _0}}}{F_0}\cos \left( {n{\theta _0}} \right)\cos \left( {{k_m}{z_0}} \right)\text{，}\\ & {f_{2mn}} = \frac{{{\varepsilon _n}}}{{4 {\text π} La\cos {\theta _0}}}{F_0}\cos \left( { - n{\theta _0}} \right)\cos \left( {{k_m}{z_0}} \right)\text{。} \end{aligned}\right. $

多源激励下壳体结构响应和辐射声场可近似为单源激励下的非相干叠加^[10]，因此：

$ {f_{mn}} = {f_{1mn}} + {f_{2mn}} \text{，} $

当壳体受线激励作用时，假设线激励沿轴线方向分布，作用于 $\theta = {\theta _0}$ ， ${z_1} \sim {z_2}$ $({z_2} > {z_1})$ 区间，幅值为 ${{{F_0}} / {a({z_2} - {z_1})}}$ ，则有：

$\left\{ \begin{aligned} & f\left( {\theta ,z} \right) = \frac{{{F_0}\delta \left( {{\theta _0}} \right)}}{{a({z_2} - {z_1})}},({z_1} \leqslant z \leqslant {z_2})\text{，}\\ & {f_{mn}} = \frac{{{\varepsilon _n}{F_0}[\sin \left( {{k_m}{z_2}} \right) - \sin \left( {{k_m}{z_1}} \right)]}}{{2 {\text π} La{k_m}\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}}\cos \left( {n{\theta _0}} \right)\text{。} \end{aligned}\right. $

同理，当激励为双边线激励，假设位于 $\theta = \pm {\theta _0}$ ， ${z_1} \sim {z_2}$ $({z_2} > {z_1})$ 区间，合力幅值为 ${{{F_0}} / {a({z_2} - {z_1})}}$ ，则有：

$\left\{ \begin{aligned} & {f_1}\left( {\theta ,z} \right) = \frac{{{F_0}\delta \left( {{\theta _0}} \right)}}{{2a({z_2} - {z_1})\cos {\theta _0}}},({z_1} \leqslant z \leqslant {z_2})\text{，}\\ & {f_2}\left( {\theta ,z} \right) = \frac{{{F_0}\delta \left( { - {\theta _0}} \right)}}{{2a({z_2} - {z_1})\cos {\theta _0}}},({z_1} \leqslant z \leqslant {z_2})\text{，} \end{aligned}\right. $

$\left\{ \begin{aligned} & {f_{1mn}} = \frac{{{\varepsilon _n}{F_0}[\sin \left( {{k_m}{z_2}} \right) - \sin \left( {{k_m}{z_1}} \right)]}}{{4{\text{π}} La{k_m}\left( {{z_2} - {z_1}} \right)\cos {\theta _0}}}\cos \left( {n{\theta _0}} \right)\text{，}\\ & {f_{2mn}} = \frac{{{\varepsilon _n}{F_0}[\sin \left( {{k_m}{z_2}} \right) - \sin \left( {{k_m}{z_1}} \right)]}}{{4{\text{π}} La{k_m}\left( {{z_2} - {z_1}} \right)\cos {\theta _0}}}\cos \left( { - n{\theta _0}} \right)\text{，} \end{aligned}\right. $

$ {f_{mn}} = {f_{1mn}} + {f_{2mn}}{\text{。}} $

2 数值计算与分析

取圆柱壳结构参数为：a = 2 m，L = 6 m，h = 0.006 m，ρ = 7 800 kg/m³，η = 0.01，E = 2.1×10¹¹ Pa，υ = 0.3；流体材料参数为：ρ₀= 1 000 kg/m³，c₀= 1 500 m/s；壳内均匀分布有10根环肋，肋的高度为h_r= 0.3 m，宽度为d_r= 0.02 m，材料参数与壳体一致。计算圆柱壳低频5～400 Hz的振声特性。取 $m = 1 \sim 20$ ， $n = 0 \sim 20$ 的所有模态叠加。

辐射声功率级和均方速度级由下式给出：

$ {L_P} = 10\lg \left( {{P / {{P_0}}}} \right),\;{L_u} = 10\lg \left( {{{\left\langle {\dot u{{\dot u}^ * }} \right\rangle } / {\dot u_0^2}}} \right)\text{。} $

其中：参考声压 ${P_0} \!\!=\!\! 0.67 \!\!\times\!\! {10^{ - 18}}$ ，参考振速 ${\dot u_0} \!\!=\!\! 5 \!\!\times\!\! {10^{ - 8}} {\rm m/s}$ 。

2.1 单点激励

单点激励力的幅值保持为 ${F_0} = 1$ ，并且保持激励力的周向位置 $\theta = 0$ 不变，改变其轴向位置z的坐标，研究激励力沿轴向变化对结构振动和声辐射特性的影响，图1给出了z分别为0 m，3 m，4.6 m，5.8 m位置时单点激励作用下结构的振声特性。

可以看出，单点激励位置的变化对5～150 Hz频段结构的辐射声功率和均方速度影响较大，激励力向边界靠近，结构的辐射声功率和均方速度都显著降低，而且越靠近界，降低的幅度越。在150～400 Hz频段，激励力位置的变化对其影响不大。

2.2 双点激励

双点激励的幅值也保持为 ${F_0} = 1$ ，轴向坐标保持 $z = 0$ 不变，在轴向关于 $\theta = 0$ 对称，则其合力与单点激励相等，图2计算了双点激励周向角分别为 $ \pm {30^ \circ }$ ， $ \pm {45^ \circ }$ 和 $ \pm {60^ \circ }$ 时，结构的振声特性并与音点激励进行对比。

可以看出，与单点激励相比，双点激励在周向分开的角度不大时，辐射声功率变化不大，均方法向速度会明显降低，其中在 $ \pm {30^ \circ }$ 时，5～250 Hz频段的均方法向速度比单点激励降低较大，而 $ \pm {45^ \circ }$ 时，对340～400 Hz频段的均方法向速度降幅较大；当轴向角度较大时（ $ \pm {60^ \circ }$ ），辐射声功率在5～200 Hz频段内也变化不大，在200～400 Hz频段辐射声功率会明显增大，均方法向速度在5～400 Hz频段内都有略微增加。

2.3 线激励

取线激励的幅值也保持 ${F_0} = 1$ ，在圆柱壳上沿 $\theta = 0$ ，取一段施加载荷，为了与 $z = 0$ 处的单点激励作用进行对比，载荷的作用段取关于 $z = 0$ 对称，图3计算了作用于 $\theta = 0$ 的圆柱壳表面z的范围分别为[−0.3 m, 0.3 m]，[−1 m, 1 m]，[−2 m, 2 m]，[−5 m, 5 m]的线激励对圆柱壳的振动和声辐射的影响。

可以看出，与点激励相比，在同等大小力作用下，线激励可以明显降低圆柱壳结构辐射声功率和均方法向速度，而且线激励的作用范围越长，其减振降噪的效果越好，但是随着作用范围的增加，辐射声功率和均方法向速度降低的幅度变缓。

2.4 双线激励

从2.3节的计算可知，线激励的作用范围在[−2 m, 2 m]时已经有较好的效果，而且再增加其作用范围，对降低圆柱壳的振动和声辐射效果也不是很明显，因此双线激励在z向的作用范围保持在[−2 m, 2 m]范围内，在轴向关于 $\theta = 0$ 对称，激励幅值保持为 ${F_0} = 1$ ，图4计算了双线激励周向角分别为 $ \pm {30^ \circ }$ ， $ \pm {45^ \circ }$ 和 $ \pm {60^ \circ }$ 时，圆柱壳结构的振声特性，并与单线激励进行对比。

可以看出，当双线激励在周向分开的角度不大时，辐射声功率变化不大，均方速度会明显降低，其中 $ \pm {30^ \circ }$ 时，5～250 Hz频段的均方速度比单点激励降低较大，而 $ \pm {45^ \circ }$ 时，对250～400 Hz频段的均方速度降幅较大；但当周向角度较大时（ $ \pm {60^ \circ }$ ），辐射声功率在5～80 Hz频段内也变化不大，在80～400 Hz频段辐射声功率会明显增大，而均方速度在5～400 Hz频段内都有略微增加。

3 结　语

本文基于薄壳理论，采用模态展开法导出有限长加肋圆柱壳结构的近似解析解，并以圆柱壳结构的辐射声功率和均方法向速度为研究目标，研究单点激励在圆柱壳上不同位置、双点激励在圆柱壳上不同角度、线激励在圆柱壳上的作用范围、双线激励在在圆柱壳上不同角度等情况下对圆柱壳结构的振声特性的影响。主要结论如下：

1）单点激励对中高频的振声特性影响不大；在低频段，单点激励力向圆柱壳的边界靠近时，结构的辐射声功率和均方速度都会显著降低，并且越靠近界，降低的幅度变快。

2）在合力幅值相等的情况下，对称力（双点力、双线力）作用在适当的角度时可以有效的降低结构的均方法向速度；而当两力分开的角度过大时，反而会增大结构的辐射噪声和均方速度。

3）与点激励相比，在同等大小的力作用下，线激励可以明显降低圆柱壳结构辐射声功率和均方法向速度，而且线激励的作用范围越长，其减振降噪的效果越好，但是随着作用范围的增加，辐射声功率和均方法向速度降低的幅度变缓。