0 引　言

机械设备振动对船舶有很多不利影响，在船舶设备减振降噪领域，浮筏隔振装置得到了广泛应用^[1]。同时，以电磁作动器为主要元器件的振动主被动混合控制技术可以同浮筏隔振装置结合，有效地降低低频线谱振动^[2]。为保证作动器在减振降噪工作中的稳定性和有效性，考虑到船舶机械必须面对的大摇摆工况，控制电磁作动器气隙间距的稳定具有重要意义。目前工程上多采用安装数个电涡流位移传感器的方式获知浮筏姿态，再通过控制系统实现浮筏姿态的稳定并间接保证作动器气隙间距处于合理范围^[3]。然而这种方法存在提高系统复杂度、降低系统可靠性的问题，若能利用系统自身特点估测间距则可省去安装位移传感器的开销。

电磁作动器利用输入的交变电流产生变化的磁场，进而产生用于抵消低频振动的输出力。在此过程中作动器气隙间距、线圈输入电流与线圈端电压三者之间有紧密的联系。通过正确计算磁场在电磁作动器中的分布来描述三者的函数是一种可行的方案。利用该原理，自检测技术在一些领域成为了可能^[4]。在一些文献中，对磁性设备磁链的计算忽略了漏磁及铁磁材料的非线性特性，仅考虑了由高磁导率铁芯组成的主磁路模型^[5-7]。然而实验显示这种简化模型无法得到总磁链的正确计算值，因此也无法正确描述气隙间距、电流与电压的函数关系。

实际上，磁阻网络模型可以较好地解决电磁设备建模的问题。它在作动器优化设计方面具有优势，能在较为精确地描述系统特性的同时大幅度降低相比于有限元模型的计算量^[8]。对柱状直线型作动器，Christian Chillet和Jean-Yves Voyant在利用复杂的函数描绘铁磁材料的B-H关系后，根据几何结构建立了详细的磁阻网络^[9]。在横向磁通永磁设备的研究中，Amina Ibala等^[10]为复杂的几何结构设计了详细的磁阻计算公式，并提出了用于解算非线性方程组的一些方法。

为计算气隙间距，一些学者将电学方程线性化，逆运算得到气隙间距在输入电流与测量电压已知情况下的估计值。但磁阻网络模型包含耦合与代数非线性问题，通过逆运算获知气隙间距的方案十分复杂，且简单地将模型线性化无法满足较高的精度要求。

本文采用了一些适当的简化以方便磁阻模型的设计，同时利用实验数据优化了磁阻网络模型中无法被直接测量或确定的参数。在磁阻网络模型基础上利用PID控制器在采样节点间快速迭代，避免对复杂非线性方程组的反解，最终得到气隙间距的有效估计值

1 研究对象简介

用于本文研究自检测技术的电磁作动器及其简图如图1所示。

在主被动混合隔振的工程应用中，电磁作动器被固联在被动隔振器上下盖板之间，实现两者的并联^[2]，且气隙间距可认为完全由被动隔振器的高度决定。实验中以衔铁与铁芯接触处开始计算，气隙间距的变化范围被控制在0～4 mm之间。由于对称的几何结构，沿铁芯中线将作动器分开可仅研究其中的一半，如图2所示。其中a₁与a₂分别为铁芯外侧与内侧立柱的宽度，b为铁芯厚度，c为两立柱之间的宽度，d为铁芯高度，e为衔铁厚度，g为铁芯底部厚度，h_r与h_m分别为导磁橡胶与永磁体的厚度，z_t为气隙间距，中柱上绕有N圈线圈。

2 磁阻网络模型 2.1 磁阻网络模型的结构

在建立实际系统的磁阻网络模型时，穿过气隙与铁芯内部的磁通在实验条件下难以进行可靠的测量，因此利用ANSOFT^®软件进行电磁学仿真。

从仿真结果可知，垂直横截面的磁通在不同位置处有较大的变化，靠近立柱与衔铁边沿处的磁通迅速减小，许多位置处磁通与作动器几何结构不平行，并且大量磁通穿过空气泄漏至临近的铁芯。基于此，将磁路类比电路后可设计出该电磁作动器的磁阻网络模型如图3所示。

图中，G_m1与G_m2分别为外侧与内侧永磁体的磁动势，Φ₁～Φ₉为磁阻网络各回路中按指定方向流动的参考磁通量，I为输入电流大小。为充分表征中心与外侧立柱间泄漏的磁通，线圈被分为N₁与N₂单独计算磁动势。

2.2 磁阻模型建立

磁阻网络模型中的磁阻可分为3种类型：矩形磁阻、拱形磁阻及非线性磁阻。

2.2.1 非线性磁阻

构成铁芯与衔铁的铁磁性材料具有非线性的磁导率。非线性磁阻的建模必须考虑可能出现的非线性因素，描述磁场强度H与磁通密度B之间的函数关系如下式：

$ H = {\alpha _1}{e^{{\beta _1}B}} + {\alpha _2}{e^{{\beta _2}B}} \text{。} $

(1)

其中：α与β为系数。

使用公称材料数据对式（1）进行优化可得到很好的吻合，如图4所示。

非线性磁阻包括R_c1～R_c12，其模型描述如下式描述：

$ R=\frac{l}{\mu \cdot S}=\frac{l\centerdot H \left(\dfrac{\Phi }{S}\right)}{\Phi }\text{。} $

(2)

其中：l为磁阻在磁通方向上的长度，μ为磁阻磁导率，S为横截面积、Φ为通过磁阻的总磁通量。

2.2.2 矩形磁阻

矩形磁阻包括R_l2～R_l4，R_z，R_m以及R_r，其模型描述如下式：

$ R=\frac{l}{\mu S}=\frac{l}{\mu b\centerdot width} {\text{，}} $

(3)

其中width为横截面宽度。

实际上，除拱形磁阻以外的所有磁阻均可简化为式（3）所示的形式，不同磁阻之间因为具有不同的长度和宽度因而具有不同的阻值。永磁体的磁导率可由下式得到：

$ {\mu _{pm}} = \frac{{{B_r}}}{{{H_c}}} \text{。} $

(4)

2.2.3 拱形磁阻

由于空气漏磁阻的几何形状不受约束，部分空气漏磁阻可用拱形磁阻模型加以描述。包括R_l6，R_l7，R_l1与R_l5。图5给出了一个简单的拱形磁阻模型的例子，用拱形内圆直径d与外圆直径D简明地描述了R_l6的模型结构。

拱形磁阻的阻值计算如下式：

$ {{R}_{a}}=\frac{\dfrac{{\text{π}} }{4}(d+D)}{{{\mu }_{0}}\centerdot b\centerdot \dfrac{D-d}{2}}=\frac{{\text{π}} (D+d)}{2{{\mu }_{0}}b(D-d)}\text{。} $

(5)

其中μ₀为空气的磁导率。

2.3 端电压计算与模型验证

根据电磁学知识，线圈两端电压计算如下式：

$ u = iR + \frac{{{\rm d}\varPsi }}{{{\rm d}t}} = iR + 2\frac{{{\rm d}({N_1}{\varPhi _2} + {N_2}{\Phi _3})}}{{{\rm d}t}} \text{。} $

(6)

其中：i为线圈输入电流，u为线圈端电压，R为线圈电阻，Ψ为总磁链。

前述磁阻网络模型定性地描述了电磁作动器不同部分处的磁阻分布。可以类比电路中的网孔方程列写非线性方程组如下式：

$ \left\{ \begin{aligned} & {({R_{c12}} + {R_{c11}} + {R_{c10}})({\Phi _1} - {\Phi _2}) + {\eta _{l5}}{R_{l5}}{\Phi _1} = 0} {\text{，}}\\ & ({R_{c12}} + {R_{c11 }} + {R_{c10}})({\Phi _2} - {\Phi _1}) + {R_{l4}}({\Phi _2} - {\Phi _3}) +\\ & ({R_{c1}} + {R_{c9}}){\Phi _2} - {N_1}I = 0{\text{，}} \\ & {{R_{l4}}({\Phi _3} - {\Phi _2}) + {R_{l3}}({\Phi _3} - {\Phi _4}) + ({R_{c2}} + {R_{c8}}){\Phi _3} - {N_2}I = 0} {\text{，}}\\ & {R_{l3}}({\Phi _4} - {\Phi _3}) + {R_{l2}}({\Phi _4} - {\Phi _5}) + {\eta _{l7}}{R_{l7}}(2{\Phi _4} - {\Phi _7} - {\Phi _8}) +\\ & ({R_{r2}} + {R_{c3}}){\Phi _4} + ({R_{r1}} + {R_{c7}})({\Phi _4} - {\Phi _9}) = 0 {\text{，}}\\ & {R_{l2}}({\Phi _5} - {\Phi _4}) + {R_{z2}}{\Phi _5} + ({R_{c4}} + {R_{c5}} + {R_{c6}})({\Phi _5} - {\Phi _6}) + \\ & {R_{z1}}({\Phi _5} - {\Phi _9}) = 0 {\text{，}}\\ & {({R_{c4}} + {R_{c5}} + {R_{c6}})({\Phi _6} - {\Phi _5}) + {\eta _{l1}}{R_{l1}}{\Phi _6} = 0}{\text{，}} \\ & {{R_{m2}}{\Phi _7} + {\eta _{l7}}{R_{l7}}({\Phi _7} - {\Phi _4}) - {G_{m2}} = 0} {\text{，}}\\ & {{R_{m1}}({\Phi _8} - {\Phi _9}) + {\eta _{l7}}{R_{l7}}({\Phi _8} - {\Phi _4}) - {G_{m1}} = 0}{\text{，}} \\ & ({R_{c7}} + {R_{r1}})({\Phi _9} - {\Phi _4}) + {R_{m1}}({\Phi _9} - {\Phi _8}) + {R_{z1}}({\Phi _9} - {\Phi _5}) + \\ & {\eta _{l6}}{R_{l6}}{\Phi _9} + {G_{m1}} = 0 {\text{。}} \end{aligned} \right. $

(7)

其中η_l1～η_l7为一部分拱形空气漏磁阻的调整系数。

铁芯内部磁阻的长度与矩形空气磁阻的宽度是无法直接测量的，因此将它们作为待定参数。将待定参数与调整系数代入最小二乘优化算法中，利用实验数据进行优化后便可得到模型参数。如图6所示，当向磁阻网络模型输入与实验相同的电流序列后，可以得到较好的输出电压计算值。

3 气隙间距观测 3.1 利用PID控制的观测方法

在给定输入电流与气隙间距下，建立的磁阻网络模型能够较为准确地计算线圈的输出电压。然而，用于描述模型的非线性方程组式（7）既无法得到简便的理论解，也很难进行较为精确的线性化处理。可以利用PID控制器形成观测回路，通过分析实时的电压信号与计算电压，实现快速、稳定的观测算法。观测器原理如图7所示。

原理框图可分为2个部分：1）物理现实，完成电磁作动器工作及电压电流的采样；2）观测器算法，由微控制器实现对采样信号的处理并观测气隙间距。在电磁作动器工作过程中，AD采样模块以一定的频率采集线圈两端电压及通过线圈的电流。观测器以数字输出电压为计算输出电压的参考电压（控制目标），通过计算合适的PID参数，在AD采样周期内计算PID控制器的输出（观测间距），使磁阻网络模型的输出电压不断接近控制目标，进而得到的观测间距将不断接近真实的气隙间距。

3.2 观测器特性分析

为了对观测器做理论的分析，在无法直接推导得出各回路磁通量的理论解时，将模型的耦合非线性部分进行适当的简化是十分必要的。

由完整的磁阻网络模型可得到铁芯与衔铁的磁导率集中在0.056附近，将这一参数代入式（2）可得到近似的线性化铁芯磁阻如式（3）所示。如此，式（7）的非线性问题将仅由位于分母位置的气隙间距z导致，大幅度简化了理论分析的难度。将初步线性化后的式（7）重写为矩阵形式如式（8），注意式中除R_z与包含R_l6的C₉₄因含有位于分母位置的自变量z以外均为线性磁阻，方程已解耦，C₁₁～C₉₄为由式（7）线性化后各方程系数。

$ \begin{split} & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{11}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {C_{12}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \\ { - {C_{12}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{{C_{22}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {R_{l4}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \\ {} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {R_{l4}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{{C_{32}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {R_{l3}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \\ {} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {R_{l3}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{{C_{42}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {R_{l2}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {C_{44}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {C_{44}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {C_{46}}} \\ {} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {R_{l2}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{{C_{52}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {C_{53}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {R_{z1}}} \\ {} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {C_{53}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{{C_{62}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \\ {} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {C_{71}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{{C_{72}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \\ {} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {C_{71}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{{C_{82}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {R_{m1}}} \\ {} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {C_{91}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {R_{z1}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{} \!\!\!\!&\!\!\!\!{ - {R_{m1}}} \!\!\!\!&\!\!\!\!{{C_{94}}} \end{array}} \right]\times\\ & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Phi _1}} \\ {{\Phi _2}} \\ {{\Phi _3}} \\ {{\Phi _4}} \\ {{\Phi _5}} \\ {{\Phi _6}} \\ {{\Phi _7}} \\ {{\Phi _8}} \\ {{\Phi _9}} \end{array} } \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ { - {N_1}} \\ { - {N_2}} \\ {} \\ {} \\ {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array}} \right]I + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \\ {} \\ {} \\ { - {G_m}} \\ { - {G_m}} \\ {{G_m}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right]\text{。}\\[-62pt] \end{split} $

(8)

为了分析PID观测器的运行特性，在电压电流的采样时间隙内，给定电流测量值I，可将总磁链 $\varPsi $ 与气隙间距z的关系写为式（9）的形式，式中a₁～a₃–b₁～b₃为由式（8）确定的系数，与输入电压I有密切的关系。

$ \varPsi = 2({N_1}{\varPhi _2} + {N_2}{\varPhi _3}) = \frac{{{a_1}{z^2} + {a_2}z + {a_3}}}{{{b_1}{z^2} + {b_2}z + {b_3}}} \text{。} $

(9)

将图7中观测器算法部分详细地重画于图8中。u_k，i_k及i_k-1为第k与第k-1次采样得到的数字输出电压与电流值，其中u_k作为系统的控制目标与电压估计值u_i做差，得到的偏差e_i进入迭代循环，下标i表示迭代次数。偏差经求和得到的当前偏差和S_i与参数K_I相乘，即可得到气隙间距估计值z_i。以z_i，i_k与i_k-1分别为2个磁阻网络模型的输入，即假设k时刻与k-1时刻具有相同的气隙间距，这在采样率很高而衔铁运动较慢时是容易成立的。得到的ψ_i与ψ_i-1作为第i轮迭代的磁链估计值被用来做一次差分，求出该轮迭代的电压估计值u_i。

观测器算法本质上是一个以u_k为阶跃输入的PID控制器。将式（9）在已知点z₀附近展开为泰勒级数并取一次项后可得到线性表达式如下：

$ \varPsi \approx Az + B \text{。} $

(10)

其中A与B为线性表达式的系数。

以前一段采样间隔内得到的气隙估计值为z₀，在该稳定状态点附近取微小增量z，可得到式（11）所示关系，此处等号在z足够小时近似成立。

$ {\varPsi _0} + \varPsi = A({z_0} + z) + B \text{。} $

(11)

将z₀与ψ₀代入式（10）并联立式（11），可得磁阻网络模型的增量化表达式如式（12），即磁阻网络模型在观测器中相当于一个比例环节。

$ \varPsi = Az \text{。} $

(12)

针对每一段电压采样周期，将图8所示算法用传递函数表示法可写为下式：

$ \frac{{\underline U }}{{{U_k}}} = \frac{{{A_i} - {A_{i - 1}}}}{{sT + {A_i} - {A_{i - 1}}}} = \frac{1}{{\dfrac{1}{{({A_i} - {A_{i - 1}}){K_I}}}s + 1}} \text{。} $

(13)

其中：U 为电压估计值的拉氏变换，U_k为当前采样电压，s为复数变量，A_k与A_k-1为由相邻采样电流决定的比例环节参数，T为系统的时间常数且由参数K_I决定，因此选择合适的K_I是满足要求的关键。

实际上，传递函数式（13）所描述的控制系统仅在s_p=（A_i-1-A_i）K_I处有一实数极点，在A_i与A_i-1随采样电流变化时，通过改变K_I使s_p始终位于复平面虚轴左侧，可以极大地改善控制系统的动态特性。算法利用式（14）实时更新参数K_I，其中T_s为电压采样时间。

$ {K_I} = \frac{{{T_s}}}{{({A_k} - {A_{k - 1}})T}} \text{。} $

(14)

3.3 观测能力验证

利用前面所述的磁阻网络模型及观测器算法，当采样电压作为目标值给定时，可以得到随时间进行的气隙间距估计值，如图9所示。作为一个案例，该图显示了对2 mm间距值进行估计时的情形。随着迭代的进行，气隙间距的估计值快速地稳定在了实际间距值附近，时间小于0.03 s，误差小于0.2 mm。实际上，观测器算法循环迭代的速度极大地取决于计算机的运算速度，利用运算速度更快的计算单元将可更快得到合理的估计值。

图10为各气隙间距的估计值汇总，可见通过本文提出的自检测技术得到了较为精确的位移估计值，估计值的落点均匀分布于真值附近，能够较好地提供气隙间距检测的功能，但仍然存在的估计误差还需进一步研究解决。